هذه الموضوعة مرشحة حالياً لتكون منطقة مختارة، شارك في تقييمها وفق الشروط المحددة في معايير الموضوعة المختارة وساهم برأيك في صفحة ترشيحها. تاريخ الترشيحخمسة أبريل 2020

دائرة
رسم توضيحي للدائرة، يُوضِّحُ القطرَ ونِصفَ القطرِ والوترَ وقوساً منها والمحيطَ.
أضلاع ورؤوس	حافة واحدة
المساحة	ط نق۲ أو${\displaystyle \pi r^{2$
المحيط	۲ط نق أو${\displaystyle 2\pi r$
زاوية داخلية (درجة)	عديمة الزَّوايا.
خصائص	مُنحنىً.

في الهَندسِةِ الرّياضِيّةِ، الدَّائرَة هي شكلٌ هَندَسيٌّ مُستوٍ، تُعرَّفُ على أنّها المحلُّ الهندسيُّ لنقاطِ تقع على سطح مُستوٍ وتَبعدُ بُعداً ثابتاً من نقطةٍ ما. تُسمَّى هَذه المجمُوعةُ غَيرُ المُنتَهيةِ من النقاطِ مُحيط الدائرةِ أو«المُحيطُ» اختصاراً. بينما النُّقطةُ الثابتةُ تُسمَّى مركزَ الدائرةِ. وأخيراً، تُسمّى المَسافةُ من أيِّ نُقطَةٍ على المُحيطِ إلى المركزِ نصفَ القُطْرِ أوشعاعاً، والقطرُ هوقِطعةٌ مُستقيمةٌ تمرُ بمركز الدائرة وتصل بين نقطتين على المحيط. تُصنُّفُ الدائرةُ على أنَّها بترٌ ناقصٌ تلاشت بؤرتاهُ في نُقطةٍ واحدة أوبتر مخروطي مُنعدِمُ الاختلافِ المركزيّ؛ وعلى ذلك، فإنَّ الدائرةَ بترٌ مخروطيٌّ ينتج عن تقاطع المخروط مع مستوىً مُوازٍ لقاعدتهِ. كما عُرِّفتِ الدائرةُ بوصفها مُضلَّعاً مُنتظماً لانهائي الأضلاع.

ارتبطتِ الدائرةُ قديماً بالكثيرِ منِ المسائل الرياضية، كما أنَّ لها ارتباطاً وثيقاً ببقيةِ الأشكالِ الهندسيّةِ من الزوايا، البترِ المستقيمةِ والمُضلّعاتِ. يُطلق على المُضلعات التي توجَدُ دائرةٌ تُحيطها صفة «الدائرية»، أي أنَّ رؤوسَها مُشتَرِكَةٌ بِدَائِرَةٍ. ولهذهِ المُضلعاتُ قوانينُ ومبرهناتٌ خاصّةٌ تنطبق عليها. كانت الدائرةُ محطَّ اهتمامٍ بالأخصِّ عِندَ الإغريقِ القدماء. يَنتُجُ عن قِسْمَةِ طولِ مُحيطِ الدّائرةِ على طولِ قطرِها الثّابت الرّياضي أوط. وقد ابتكر أَرْخَمِيدِس طريقةً لتقريبِ قيمة عبر حصر الدائرة بين مُضلّعين وحَاوَلَ -في مسألةٍ عُرفَت بمسألة «تربيع الدائرة»- تَحويلَ الدّائرةِ إلى مربعٍ ذي المِساحَةِ ذاتها باستِعْمالِ فِرْجَارٍ ومَسطَرَةٍ فقطْ ولكنّه فشلَ في ذلك. قاسَ أبولونيوس وغياث الدين الكاشي قيمة بدقةٍ عاليةٍ. وحَاولَ المَصريُّونَ القُدماءُ والبابليّون إيجادَ مساحةِ الدائرةِ. تُحسَبُ مساحةُ الدائرةِ بضرب في مُربَّعِ نصف قطرها. وتختصُّ الدائرةُ عن غيرها من الأشكال الهندسية الأخرى بأنَّ لها أكبر مساحةٍ بالنِّسبةِ لطولِ مُحيطِها.

وضع فلاسفة الأغريق القدماء نموذج مركزية الأرض الذي استندوا فيه على أنَّ الأرض كرةٌ تقع في مركز الكونِ والسماوات وتدور حولها بقية الأجرام السماوية في دوائرَ. وعندما قدَّم نيكولاس كوبرنيكوس نظرية مركزية الشمس، اعتبر حتى نسيج الكون يتكون من حلقات دائرية حول الشمس. إلى حتى توصَّلَ كيبلر إلى حقيقة شكل مدارات الأجرام السماوية، وهي قطوع ناسيرة بدلاً من كونها دوائرَ، وحدد نيوتن الشروط التي يجب حتى تتوفر في الجسم حتى يحذومساراً دائرياً.

تُعتبرُ الدائرةُ أحد أكملِ الأشكال الهندسية وأكثرها مثاليةً، وكان لها أهميَّة في التقنية، الفنون، الأديان والثقافات. تُرسَمُ الدوائرَ باستعمال الفرجار. والفرجار هوالأداة الوحيدة إلى جانب المسطرة المسموح باستخدامها في الهندسة الإقليدية؛ وهذا ما جعلها تُسمَّى «هندسة المسطرة والفرجار».تربيع الدائرة، تثليث الزاوية ومضاعفة المُكعَّب كانت من أبرز المسائل الرياضية والمواضيع التي حاول فيها الرياضيون على مر التاريخ، إلى حتى أثبت بيير وانتزل وفيردينوند فون ليندمان استحالة تِلكُمُ المسائل.

القُطوعُ المخروطيَّةُ

هذه الموضوعةُ جزءٌ من سلسلةِ القطوع المخروطية
بتر مكافئ
المعادلة	${\displaystyle y^{2 =4ax\,$
الانحراف المركزي(${\displaystyle e$)	${\displaystyle 1\,$
البعد البؤري(${\displaystyle l$)	${\displaystyle 2a\,$
بتر زائد
المعادلة	${\displaystyle {\frac {x^{2 {a^{2 -{\frac {y^{2 {b^{2 =1$
الانحراف المركزي (${\displaystyle e$)	${\displaystyle {\sqrt {1+{\frac {b^{2 {a^{2$
البعد البؤري(${\displaystyle l$)	${\displaystyle {\frac {b^{2 {a$
بتر ناقص
المعادلة	${\displaystyle {\frac {x^{2 {a^{2 +{\frac {y^{2 {b^{2 =1$
الانحراف المركزي (${\displaystyle e$)	${\displaystyle {\sqrt {1-{\frac {b^{2 {a^{2$
البعد البؤري (${\displaystyle l$)	${\displaystyle {\frac {b^{2 {a$
دائرة (حالة خاصة من البتر الناقص)
المعادلة	${\displaystyle x^{2 +y^{2 =a^{2 \,$
الانحراف المركزي (${\displaystyle e$)	${\displaystyle 0$
البعد البؤري (${\displaystyle l$)	${\displaystyle a$
• ' • ' •

تَحتَوي هذه الموضوعةُ عَلى تراميز ومعادلات رياضية؛ بدون دَعمِ تَصيِيرٍ مُناسبٍ، قَد تَظْهرُ عَلاماتُ استفهامٍ، صناديقٌ، ورموزٌ أخْرَى بدل الرموز الرياضية

مصطلحات أساسية

هذهِ الموضوعةُ مُدَعَّمةٌ بِصوَرٍ ورُسومٍ تَوضِيحيةٍ تُرافِقُ بعضَ التَّعاريفِ والمُعادلاتِ الرِِّياضيَّة. فضلاً، تأكَّد من ظُهورِ الصوَرِ.

يُرمز للدائرة التي مركزها النقطة ${\displaystyle O}$د»

جدول مصطلحات الدائرة الأساسية

المصطلح	التّعريف	الترميز العربي	التّرميز اللاتيني	ملاحظة
مركز	نقطة ثابتة تبعد البعد نفسه عن جميع النقاط الواقعة على المحيط.	م	${\displaystyle O$ أو${\displaystyle M$
محيط	مسار المحل الهندسي لنقطة مُتحرّكة في مستوٍ تبعد بعداً ثابتاً عن المركز.	مح
مساحة	منطقة السطح المحصور بمحيط الدَّائرة.	م	${\displaystyle A$
نصف قطر	أوالشعاع: بترة مستقيمة تصل بين المركز وأي نقطة واقعة على المحيط.	نق	${\displaystyle r$
	بترة مستقيمة تصل بين أي نقطتين على محيط الدائرة.
	وتر مار بمركز الدائرة.	ق	${\displaystyle d$

جدول مصطلحات قِطَع وجُزئيّات الدائرة

الجزء	التّعريف	الرمز	صورة
	جزء متّصل من محيط الدائرة.	︵
	مساحة منحصرة بين نصفي قطر وقوسٍ واصلٌ بينهما.	⌔
بترة	مساحة منحصرة بين وتر وقوسٍ يحصره.	⌓
	مساحة تحصرها دائرة.
نصف قرص	مساحة منحصرة بين قطر وقوسٍ يحصره.

التعريف

تعودُ تسمية وتعريفُ الدائرةِ في بعض اللغات إلى أشكال كانت في الطبيعة أواستصنعها الإنسان كالخواتم، الحلقات والعجلات، بينما في اللّغة العربيّةِ، تعود لفظة «دائرة» إلى العمل «دار» أوالجذر «د ور»، والدائرة هي ما أحاط بالشّيء وتعني أيضاً «الحلقة». اتى في لسان العرب لابن منظور: «دار الشيء، يدور دَوراً ودَوَراناً، واستدار، وأدرتُه أنا. والدهر دوَّار بالإنسان. وتدوير الشيء جعله مدوّراً، وفي الحديث: إذا الزمان قد استدار كهيئته يوم خلقَ الله السموات والأرض. استدار بمعنى إذا طاف حول الشيء، وإذا عاد إلى الموضع الذي ابتدأ منه...». يضيف ابن منظور: «والدائرة والدارة كلاهما: ما أحاط بالشيء. والدارةُ: دارة القمر التي حوله، وهي الهالة. ودارت عليه الدوائر: أي نزلت به الدواهي، والدائرة: الهزيمة والسوء، ينطق: عليهم دائرة السوء... والدَّوَّار والدُّوَّار من أسماء البيت الحرام، لأنهم يطوفون به في شبه دائرة...». وفي اللّغة الإنجليزيّة يعود أصل تسمية الدائرة (بالإنجليزية: Circle)‏ إلى الحدثة الإغريقيّة κίρκος/κύκλος (تُنطق: كيركوس/كوكلس) المُحرَّفة من الحدثة الإغريقية الهومرية κρίκος (كريكوس)، والتي تعني «الطّوق» أو«الخاتم».

وفقاً لتعريف الدّائرة الذي ينصُّ على أنها مجموعة نقاط على مستوى تبعد البعد ذاته عن نقطة ثابتة ما، فَيُمكِنُ إعادةُ صياغةِ التّعريفِ إلى أنَّ الدائرة هي منحنى مغلق أحادي البُعد، وبشكل مكافئ هي مُنحنى ترسمه نّقطةٌ متحرّكة تبعد بُعداً ثابتاً عن نقطة ثابتةٍ أخرى. وكونها كذلك فهي تقسم المستوى إلى جزأين: داخل الدائرة وخارجها. في الاستعمال اليومي المتداول، قد يستعمل مصطلح «دائرة» للإشارة إلى محيط الدائرة، كما أنه قد يستعمل للإشارة إلى ما يوجد بداخل الدائرة؛ لكن في الاستعمال التّقني الدّقيق، الدائرة هي المحيط فقط ويُسمّى ما داخلها قُرصاً. غالباً ما يُفرّق الرَّياضيُّونَ بين السطح الدائري المغلق أوالقرص والسطح الدائري المفتوح (يُسمّى بالدائرة الداخلية) اعتماداً على وقوع خط الدائرة في الاعتبار من عدمه.

تعريف إقليدس

عرَّف إقليدس الدائرة في كتابه: الأصول، كما يأتي:

الدّائرة هي شكلٌ مُسطّحٌ يَحصُرُه خطُ واحدٌ، بحيث تكونُ جميعُ البترِ المستقيمةِ مرسومةً من نقطةٍ مُعيّنة داخلها إلى الخط الحاصر مُتساوية. فإن الخط الحاصر يُسمّى مُحيطاً والنقطة المُعيّنة تُسمّى مركزاً

يُعبِّرُ الرياضيون عن تعريف إقليدس للدائرة أيضاً باستخدام نظرية المجموعات على النحوالآتي:

تعريف أبولونيوس

أثبت أبولونيوس حتى الدائرة بالإمكان التعبير عنها على أنها المحل الهندسي لجميع النقاط التي نسبة بعدها عن نقطتين ثابتتين ثابتة. أورياضياً: بفرض أنَّ ${\displaystyle A,B$ نقطتين ثابتتين على المستوى، فإنَّ الدائرةَ التي بُؤرَتَيْها ${\displaystyle A,B$ هي المحل الهندسي لجميع النقاط ${\displaystyle P$ التي تُحقِّقُ أنَّ:

النسبة التبادلية لدائرة

تُعهد النسبة التبادلية للبترتين المستقيمتين ${\displaystyle \stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{AC},\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{BD}}$${\displaystyle (A,B;C,D)=\frac{AC\cdot <!--\; \cdot \; -->BD}{BC\cdot <!--\; \cdot \; -->AD}}$${\displaystyle (z_1,z_2;z_3,z_4)=\frac{(z_3-<!--\; -\; -->z_1)(z_4-<!--\; -\; -->z_2)}{(z_3-<!--\; -\; -->z_2)(z_4-<!--\; -\; -->z_1)}.}$${\displaystyle P}$${\displaystyle [A,B;C,P]$ مساوياً للواحد.

تُعرّفُ النقطة ${\displaystyle D}$${\displaystyle \stackrel{\leftrightarrow <!--\; \leftrightarrow \; -->}{PA},\stackrel{\leftrightarrow <!--\; \leftrightarrow \; -->}{PB},\stackrel{\leftrightarrow <!--\; \leftrightarrow \; -->}{PC},\stackrel{\leftrightarrow <!--\; \leftrightarrow \; -->}{PD}}$

تعريف الدائرة المعممة

في حال ما كانت ${\displaystyle C}$${\displaystyle P}$

تأويل لانهائي

بالإمكان تعريف الدائرة على أنها مُضلّعٌ منتظمٌ بنصف قطر مماسي (بالإنجليزية: Inradius)‏ يُرمز إليه بالرمز ${\displaystyle r}$Circumradius)‏ يُرمز إليه بالرمز ${\displaystyle R}$

والمساحة، عبر العلاقة:والنتيجتان تظهران مُتساويتين سواءً باستخدام نصف القطر المماسي أونصف القطر المحيطي، لأن نصفي القطرين يؤولان للقيمة نفسها عند المالانهاية.

الدائرة بوصفها حالة حدية

تُوصف الدائرة على أنها حالة حدية خاصة باستعمال أكثر من مُقاربةٍ رياضيةٍ: من أشهرها هي وصفها بتراً مخروطيّاً. تُصنّف الدائرة على أنها بيضاوي ديكارتي، نسبةً إلى رينيه ديكارت، وهومنحنى مستوومجموعة النقاط في المستوى التي لها نفس الهجريب الخطي (ويُعبّر عنه أيضاً بمجموعٍ موزونٍ) بالنسبة لنقطتين ثابتتين في المستوى. وهي بذلكَ حالةٌ خاصّةٌ منه تكون عند انعدام أحد الأوزان وتؤوُّلِه للصفر.البيضاوي الفائق هومجموعة نقاط في المستوى تحقق: ${\displaystyle {\left|\frac{x}{a}\right|}^n+{\left|\frac{y}{b}\right|}^n=1}$${\displaystyle a=b$. والدّائرةُ هي حالةٌ خاصّة من الدائرة الفائقة تكون عندما ${\displaystyle n=2$.

القطوع المخروطية

تُوصَفُ الدائرةُ باعتبارها حالةً خاصةً من البتر الناقص، حيث تكونُ حينَ تنطبقا البؤرتان معاً لِتُكوِّنَ مركزَ الدّائرةِ؛ حينئذٍ،قد يكون الاختلاف المركزي مُساوٍ للصفر (${\displaystyle e=0}$

استيفاء المساحة

تعود مسألة المحيط الثابت إلى القِدمِ، وتصاغ كالآتي: «من بين جميعِ المُنحنياتِ المُغلَقةِ ذات مُحيطٍ مُعطىً، أيُّها يجعلُ مساحتها أكبر ما يُمكن؟» وُجِدَ أنّ هذه المسألةَ مُكافئةٌ لمسألة شبيهة: «من بين جميع المنحنيات المُغلقة ذات مساحةٍ مُعطاةٍ، أيُّها يجعلُ محيطَها أكبرُ ما يُمكن؟». وتختصُّ الدائرةُ بأنها الحل لهذا المسألة. إذ توصف على أنَّها الشكلُ الذي يحصر أكبر مساحةٍ نسبةً إلى طول مُحيطه.

ترتبط هذه المسألةُ بمفهومِ مبدأِ العملِ الأدنى في الفيزياء، والذي بالإمكان صياغته على الصورة: ما «العملُ الذي يجعل المساحة أكبر ما يُمكن بأقلّ جهدٍ ممكن؟» على الرغم من أنَّ الدائرةَ كانت الحل الأوضح لهذه المسألة، إلا أنّ إثباتَ ذلكَ كان صعباً. أوّل محاولة أنَجَزَتْ في السؤالِ كانت سنة 1838م عندما استخدم المهندس الرياضياتي السويسري جيكوب شتاينر طريقةً هندسيةً أُسميَت لاحقاً بطريقةِ شتاينر للاستنظار. أثبت شتاينر أنَّه إذا وُجِدَ حلٌّ لهذه المسألةِ فلا بُدّ وأنقد يكون دائرةً. استئنف رياضيّون حلّ شتاينر لاحقاً وأكملوه.

بدأ شتاينر بأول الإنشاءات الهندسية التي عُرفت جيداً؛ عملى سبيلِ المثالِ، إذا كان هناك منحنى مغلق ليس محدباً بالكامل، فبالإمكان إيجاد منحنى أكثر تحدباً منه وأعلى في المساحة عن طريق طَيّ الأجزاء المقعرة لجعلها محدبة. وبُرهِنَ أيضاً حتى أي شكل لامتماثل بالإمكان تمديده بحيث يُغطي مساحةً أكبر. ولأن الشكل الوحيد المُحدب والمتناظر تماماً هوالدائرة فإن الحل كان لا بد وأنقد يكون هو. مع ذلك، هذا الحل بمفرده لا يُقدّمُ بُرهاناً صارماً للمسألة، إذ أنَّه مليءٌ بالثغرات التي بحاجة إلى المراجعة.

غالباً ما يُعبّرُ عن مسألة المحيط الثابت بمتباينةٍ تربطُ طولَ منحنىً مغلقٍ بمساحته. تنص متباينة المحيط الثابت على أنَّ:

وتحقّق المساواةُ إذا وفقط إذا كان المنحنى دائرةً. مساحة القرص ذوالشعاع ${\displaystyle R}$

تنص متباينة ثباتية المحيط على أنَّ ${\displaystyle Q\leq 1$ بالتكافؤ، فإنّ نسبة ثباتيّةُ المحيط${\displaystyle {\frac {L^{2 {A$ هي على الأقل ${\displaystyle 4\pi$ لكل منحنى. أما بالنسبة للمضلعات المنتظمة النونية، فإنّ نسبة ثباتية المحيط هي:${\displaystyle Q_{n ={\frac {\pi {n\tan {\tfrac {\pi {n .$. إذا كان ${\displaystyle C$ منحنى مغلقاً محدباً سَويَّاً فإنَّ متباينة ثباتية المحيط المُطوَّرة تنص على أنَّ:

حيث حتى ${\displaystyle L,A,{\widetilde {A _{0.5$ ترمز إلى طول ${\displaystyle C$ والمساحة التي يحصرها، والمساحة المتجهة له، على الترتيب. تحقق المساواة فقط وإذا فقط كان ${\displaystyle C$ منحنى ثابت العرض.

دوائر بإعادة تعريف المسافة

تعريفُ دائرةٍ على أنها مجرد مجموعة نقاط ذات بعد ثابت عن نقطة يُؤدِّي إلى ضمّ أشكالٍ أخرى إلى هذا التعريف. تُعدّ هذه الأشكالُ دوائرَ بسبب يعود إلى تعاريفٍ مُختلفةٍ للمسافة عن التعريف الإقليدي لها المُعتاد. ففي المعيار-${\displaystyle p}$p-norm)‏، تُعرَّفُ المسافة بالقانون:

بينما في الهندسة الإقليدية، وكحالةٍ خاصةٍ، تكون ${\displaystyle p=2$، وبهذا تكون الصيغة المعروفة:

في هندسة سيارة الأجرة، تكون ${\displaystyle p=2}$${\displaystyle r$ في المستوى هي أيضاً مُربّع ذوضلع ${\displaystyle 2r$. لكنها خلاف دائرة سيارة الأجرة، توازي المحاور الإحداثية.

النَّتائِجُ التَّحليليَّة

يرتبط الشّعاع مع القطر بالعلاقة ${\displaystyle r=\frac{d}{2}}$

المُحِيطُ وثَابِتُ النّسبة ${\displaystyle \pi$

جزء من سلسلة منطقات حول
الثابت الرياضي π
الاستعمالات مساحة القرص المحيط صيغ أخرى
الخواص لا نسبية عدد متسام
القيمة تقريبات تذكّر أقل من 22/7
أشخاص أرشميدس ليوهوي زوتشونغزي أريابهاتا مادهافا السنغماراي لودولف فان ساولن سيكي تاكاكازو تاكيبي كينكو ويليام جونز جون ماكن ويليام شانكس جون رنش الإخوان شودنوفسكي ياسوماسا كانادا
تاريخ تسلسل زمني كتاب
متعلقات متعلقات: تربيع الدائرة معضلة بازل نقطة فينمان أخرى
بوابة هندسة رياضية

يتناسبُ طولُ مُحيطِ الدائرةِ مع طول قطرِها. ويُرمز لهذه النسبة بـ«${\displaystyle \mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}$${\displaystyle \pi$ وبينَ القطرِ والمُحيطِ بالمُعادلة التّالية، مع اختلافِ بعضِ الصّيغِ المُشتّقة منها:

في مسائل الدّائرة وإيجاد المجاهيل منها، غالباً ما يُستعملُ تَقريبٌ لقيمة ${\displaystyle \pi$، وهومُشتَقٌّ من مُتباينة أرخميدس التي أوجدها عبر حصر مُحيط الدائرة بين مُضلَّعين. الفقرة الآتية توضح التقريبات الشّائعة لقيمة ${\displaystyle \pi$:

$${\displaystyle \pi \approx {\frac {22 {7 \approx 3.14$$

$${\displaystyle \pi \approx {\frac {355 {113 =3.14159\ 29^{+$$

على الرغم من تعريف ${\displaystyle \mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}$${\displaystyle \mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}$ثابت أرخميدس. بسبب كونه عدداً غير نسبي، ${\displaystyle \mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}$${\displaystyle \mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}$

المِساحَةُ

تَتَناسبُ مِسَاحةُ الدّائرةِ طرديّاً مع مُربّع نصفِ القطرِ بثابتِ تناسبٍ يُطلق عليهِ ${\displaystyle \mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}$${\displaystyle \pi r$ وعَرْضُه ${\displaystyle r$. وعلى هذا، تَكونُ مساحةُ الدّائرةِ مُكافئةً لمساحة المُستطيلِ بالقانون:

$${\displaystyle \mathrm {Area =\pi r\cdot r=\pi r^{2 ={\frac {\pi d^{2 {4 \approx 0{. 7854d^{2$$

الأقْواسُ

يُعبِّرُ مصطلحُ «قياس القوس» إلى قياسِ الزاويةِ المركزيةِ التي تَحصِرُ القوسَ. وباعتبار حتى الدائرة قوساً مُتَّصِلَ الطَّرفَينِ فإن قياسُها بالدرجاتِ ${\displaystyle {360}^{\circ <!--\; \circ \; -->}}$

	الراديان
يُعرَّف القوس الذي قياسه درجة واحدة على أنه ${\displaystyle {\frac {1 {360$من قياس الدائرة كاملةً.	يُعرَّف القوس الذي قياسه راديان واحد على أنه القوس الذي طوله نصف قطر الدائرة الأصلية ${\displaystyle r$.

إذا كانت ${\displaystyle A,B$ نقطتين مختلفتين على الدائرة ${\displaystyle C(O,r)$ فإنهما يقسمان الدائرة إلى قوسين: قوس أصغر ${\displaystyle {\widehat {AB$، وقوس أكبر ${\displaystyle {\widehat {AB$ يتممان بعضهما بعضاً. يُرمَز إلى القوس الأكبر ${\displaystyle {\widehat {AB$ أحياناً بالرمز ${\displaystyle {\widehat {ACB$ عِوَضاً عن ذكر «${\displaystyle {\widehat {AB$ الأكبر». يُعرّف القوس الأصغر ${\displaystyle {\widehat {AB$ على أنَّه مجموعةُ النّقاط الناتجةِ عن تقاطعِ الدائرةِ مع نقاطِ الزاويةِ المركزية ${\displaystyle \angle AOB$ الداخلية ويُعبَّرُ عنه أيضاً بأنه القوس الأقصر طولاً الذي يصل بين النقطتين ${\displaystyle A,B$ على الدَّائرة، حيثُ يُساوي قياسه قياسَ الزَّاويةِ المركزيةِ المُقابلةِ لَهُ، ويقل عن ${\displaystyle 180^{\circ$. على الوجه اللقاء، فإن القوس الأكبر ${\displaystyle {\widehat {AB$ هومجموعةُ النّقاط الناتجةِ عن تقاطعِ الدائرةِ مع نقاطِ الزاويةِ المركزية ${\displaystyle \angle AOB$ المُنعكِسة ويُعبَّرُ عنه أيضاً بأنه القوس الأقصر طولاً الذي يصل بين النقطتين ${\displaystyle A,B$ على الدَّائرة، حيثُ يُساوي قياسه قياسَ الزَّاويةِ المركزيةِ المُقابلةِ لَهُ، ويزيد عن ${\displaystyle 180^{\circ$. تُسمَّى النقطتان ${\displaystyle A,B$ طرفا القوس ${\displaystyle {\widehat {AB$ أوطرفا الوتر ${\displaystyle {\overline {AB$. في حالِ كَوْنِ النُّقطتينِ ${\displaystyle A,B$ نقطتينِ متقابلتينِ قُطريَّاً، فإن كُلاً مِن القَوسَيْنِ المُقَابِلَيْنِ لَهُمَا القياس نفسه، ويُسمَّى القوسُ الواحدُ نِصفَ دَائرةٍ. وكُلُّ قِطْرٍ في دائرةٍ ما يُحدِّدُ نِصفَيْ دائرةٍ.

إذا كانَ طُولُ القوْسِ يُساوي ${\displaystyle \ell$، فإنَّ النسبةَ بينَ طولِ القوسِ إلى مُحيطِ الدَّائرةِ يُساوي نسبةَ قياسِ القوسِ إلى قِياسِ الدَّائرةِ كاملةً.

القوس الأصغر ${\displaystyle {\widehat {AB$	القوس الأكبر ${\displaystyle {\widehat {AB$ (أواختصاراً ${\displaystyle {\widehat {ACB$)	نصف الدَّائرة ${\displaystyle {\widehat {ADB$

البتر والجزئيات

القرص

هومنطقة المستوى التي تحصرها الدّائرة. ويعرَّف رياضيَّاً:${\displaystyle C(O,r)\cup Int~C(O,r)=\left\{P\in E~:~{\overline {OP \leq r\right\$.

القطاع

يعتمد حجم قطاع الدائرة على قياس الزاوية المركزية التي يحصرها ونصف قطر الدائرة. حيث يُمثِّل القطاع نسبةً من مساحة الدّائرة الكُلّية هي نفسها نسبة قياس زاويته المركزية على قياس الدائرة الكُلّية. أي أن: مساحة القطاع مُساوية لحاصل ضرب نسبة زاويته المركزية لزاوية الدائرة الكلية في مساحة الدائرة الكُلّية.

تُستعمل القطاعات كذلك في الإحصاء لتمثيل البيانات. وبطريقةٍ مُشابهة، يُؤخذ تناسب زاوية القطاع المركزية إلى ${\displaystyle 360^{\circ$ مع النسبة المئوية للبيانات، حيث تُمثّل الدائرة الكاملة في الإحصاء نسبة ${\displaystyle 100\%$.

الزوايا

تصنيفات الزوايا المتعلقة بالدائرة حسب مسقط رأسها:

الزاوية	التّعريف	مسقط رأس الزَّاوية	قياس الزَّاوية	ملاحظة
زاوية مركزية	زاوية محصورة بين نصفي قطرين ويُرمز لها بـ${\displaystyle v$	مركز الدَّائرة	قياس القوس اللقاء
زاوية محيطية	زاوية محصورة بين وترين متلاقيين على المحيط	محيط الدَّائرة	نصف قياس القوس اللقاء
زاوية مماسية	زاوية محصورة بين مماس ووتر يمر بنقطة التماس	محيط الدائرة	نصف قياس القوس المَحصُور.
زاوية خارجة	زاوية امتداد أحد زوايا رباعي دائري المحيطة	محيط الدائرة	قياس الزاوية اللقاءة لها من الرباعي.
زاوية داخلية	زاوية محصورة بين قاطعين داخل الدَّائرة	داخل الدَّائرة	نصف مجموع قياسي القوس اللقاء للزاوية والقوس اللقاء للزاوية التي تقابلها بالرأس
زاوية خارجيَّة	زاوية محصورة بين قاطعين خارج الدَّائرة	خارج الدَّائرة	نصف الفرق المطلق بين قياسي القوسين اللقاءين لها

جزء من سلسلة منطقات حول
الزوايا
وفق القياس زاوية مُنعدمة زاوية حادة زاوية قائمة زاوية منفرجة زاوية مستقيمة زاوية منعكسة
وفق العلاقات البينية زاويتان متجاورتان. زاويتان متتامتان. زاويتان متكاملتان. زاويتان متقابلتان بالرأس.
الناتجة عن قاطع زوايا داخلية زوايا خارجية زوايا متبادلة داخلياً زوايا متبادلة خارجياً زوايا متحالفة زوايا متناظرة
قياس الزوايا درجة راديان
بوابة هندسة رياضية

حالات الزاوية المحيطية بالنسبة لضلعي الزاوية المركزية

الحالة الأولى	الحالة الثَّانية	الحالة الثَّالثة	مبرهنةُ طالس (حالة خاصَّة)
يَقَعُ مَرْكَزُ الدَّائِرَةِ خَارِجَ الزَّاويةِ المُحيطيَّةِ.	يَقَعُ مَرْكَزُ الدَّائرةِ على أحدِ ضِلْعَيْ الزَّاويةِ المُحيطيةِ.	يَقعُ مَركَزُ الدَّائرةِ دَاخلَ مَنطقةِ الزَّاوية المُحيطيَّة.	الزَّاويةُ المُحيطيةُ زَاوِيةٌ مُستقيمةٌ.

المُبرهنة السابقة تُعطي علاقةً بين الزوايا المركزية وبين الزوايا المماسية والمحيطية. كنتيجة، عند تثبيت قوسٍ ما في دائرة، فإنَّ الزوايا المحيطية التي تحصر هذا القوس متساوية. والعكس سليمٌ أيضاً، فالمحل الهندسي لرؤوس الزوايا متساوية القياسات التي تحصر بترةً مُستقيمةً ثابتةَ الطول هي قوس دائري. وينتج عن هذه المبرهنة أيضاً مبرهنة طالس: والتي تنص على أنَّ الزاويةَ المُحيطيةَ التي تَحصِرُ قطراً قائمةٌ.

النقاط

النِّقاطُ ${\displaystyle P_{1 ,P_{2 ,P_{3$ هِيَ نِقاطٌ دَاخليةٌ ومُحيطيَّةٌ وخَارِجَةٌ على التَّرْتيبِ.	النقطتانِ ${\displaystyle P,P'$ نُقطَتانِ مُتقَابَلَتان قطْرياً.

هُناك ثلاثُ حالات ممكنةٍ لمسقطِ نُقطةٍ ما بالنسبةِ إلى دائرةٍ مُعطاةٍ في المستوى نَفسِهِ تُصنّفُ حَسب بُعدِها من مركز الدائرة: نقاط داخليَّة ومُحيطيَّة وخارجيَّة:

التصنيف	التعريف	الترميز	مراجع
نقطة داخلية	نقطة تقع داخل الدائرة، أي: تبعد عن المركز مسافةً أقل من نصف القطر.	${\displaystyle Int~C(O,r)$
نقطة مُحيطيَّة	نقطة تقع على محيط الدائرة، أي: تبعد عن المركز مسافةً مساوية لنصف القطر.	${\displaystyle C(O,r)$
نقطة خارجيَّة	نقطة تقع خارج الدائرة، أي: تبعد عن المركز مسافةً أكبر من نصف القطر.	${\displaystyle Ext~C(O,r)$
نقطتان متقابلتان	أوالنقطتان المتقابلتان قطريَّاً هما نقطتا طرفي قطر ما في الدَّائرة	${\displaystyle P,P'$

إنَّ التعريفَ الرياضيَّ المُقابلَ للجدول السابق بالإمكان التعبير عنه بمبرهنة المجموعات كالآتي: إذا كانت الدائرة مركزها ${\displaystyle O$ والنقطة المتغيِّرةُ ${\displaystyle P$، فإنَّ مجموعة نقاط ${\displaystyle P$ في المستوى ${\displaystyle E$ تُعرَّف على أنَّها:

تُصنَّفُ مجموعةُ النقاطِ الداخليةِ على أنَّها مجموعة محدبة: أي حتى الضلع الواصل بين أي نقطتين داخل الدائرة لا يبترها.

يُعهد زوج النقاط التي تمثل طرفي قطر في دائرة على أنهما نقطتان متقابلتان، وهما متماثلتان بالنسبة لمركز الدائرة. تُعرَّف مجموعة أزواج النقاط التي تحقق ذلك رياضياً:.

قوة النقطة

تُعرّفُ قوةُ نقطة ما بالنسبة لدائرة ثابتة على أنها مربع المسافة بين النقطة ومركزِ الدائرة مطروحاً من مربع نصف قطر الدائرة. رياضيّاً: في قوة النقطة ${\displaystyle P}$${\displaystyle {\mathcal {Pow (P)$ هومقدارٌ ثابت لكل نقطة ودائرة ثابتتين، وأنَّ أي خط مستقيم يمر بهذه النقطة فإن الصيغ الرياضية المرتبطة به تساوي ${\displaystyle {\mathcal {Pow (P)$.

كما تُعرّفُ قوة النقطة الواقعة خارج دائرة على أنّها مُربّعُ المماس الخارج من هذه النقطة إلى الدائرة. وتُثبت هذه العلاقات باستخدام مبرهنة فيثاغورس ومبرهنة تعامد شعاع الدائرة مع المماس عند نقطة التماس: لتكن ${\displaystyle T$ نقطة تماس المماس الخارج من ${\displaystyle P$ إلى الدائرة ${\displaystyle O$. من مبرهنة التعامد: ${\displaystyle OT\perp PT$، بتطبيق فيثاغورس في المثلث القائم: ${\displaystyle \triangle OTP$، فإنَّ ${\displaystyle OT^{2 +PT^{2 =OP^{2$ أوبشكلٍ مكافئ:${\displaystyle OP^{2 -OT^{2 =PT^{2 =OP^{2 -r^{2$.

نظريات قوة النُّقطة

الاسم	الصيغة الرياضية	النص
	${\displaystyle {\mathcal {Pow (P)=P_{1 B\cdot P_{1 D=P_{1 A\cdot P_{1 C$	إذا تَقاطعَ وَتَرانِ في دائرةٍ فَإنَّ حَاصلَ ضَرْبِ طُولَيْ جُزأيْ الوَتَرِ الأوَّلِ يُساوي حَاصِلَ ضَرْبِ طُولَيْ جُزْأيْ الوَتَرِ الثَّانِي.
مبرهنة القاطع	${\displaystyle {\mathcal {Pow (P)=P_{2 X\cdot P_{2 Y=P_{2 Z\cdot P_{2 W$	إذا رُسِمَ قَاطِعَانِ لدائرةٍ من نُقطَةٍ خَارِجها، فإنَّ حَاصِلَ ضَرْبِ طُولِ القاطِعِ الأوَّلِ في طُولِ الجُزْءِ الخَارِجِيِّ مِنهُ، يُساوي حَاصِلَ ضَرْبِ طُولِ القَاطِعِ الثَّانِي فِي طُولِ الجُزْءِ الخَارِجِيِّ مِنهُ.
مبرهنة قاطعُ التَّماسِ	${\displaystyle {\mathcal {Pow (P)=PT^{2 =PA\cdot PB$	إذا رُسِمَ مَمَاسٌّ وقَاطِعٌ لدائِرَةٍ من نُقطَةٍ خَارِجها فإنَّ مُربَّعَ طُولِ المَماسِ يُساوي حَاصِلَ ضَرْبِ طُولِ القَاطِعِ في طُولِ الجُزءِ الخَارِجِيِّ مِنْه.تEعهد في الهندسة المستوية بأنها عدد حقيقي يعبر عن المسافة النسبية لنقطة معطاة في دائرة.

مبرهنتا قِطَعِ الوترِ والقاطع.	مبرهنة قاطعِ التَّماسِّ.

أزواج الدوائر

تَصْنِيفُ أزْواجِ الدَّوائِرِ حَسب بُعدِها عن بعضها

دائرتان متباعدتان		دائرتان متماستان		دائرتان متقاطعتان
دائرتان لا تشهجران في أي نقطةٍ		دائران تمسان مستقيماً في نقطةٍ مشهجرةٍ		أعلى عدد ممكن من التقاطعات بين دائرتين هوتقاطعان.
		خارجيَّاً	داخليَّاً
		دائرتان متماسَّتان يقع مركز كلِّ منهُما خارج مُحيط الأخرى	دائرتان متماسَّتان يقع مركز إحداهما في قرص الأخرى

الدائرتان المتقاطعتان هما دائرتان تشهجران بنقطتين وهوأعلى عدد من النقاط الممكن اشتراكه بين دائرتين. يُعبّر عن ذلك رياضياً كالآتي: باعتبار ${\displaystyle r_1}$

تَصْنِيفُ أزْواجِ الدَّوائرِ حَسب مَرَاكِزِها وَأنْصافِ أقْطارِها

الدائرتان المُتعامدتان: في الهندسة التعاكسية، هما دائرتان، المماسان لهما في نقطتَيْ تقاطُعِهِما يمر بمركزِ كُلٍّ منهُما.	الدائرتان المتطابقتان: دائرتان لهما نصف القطر نفسه.	الدائرتان متحدتا المركز أوفي الهندسة التعاكسية: الدائرتان المتوازيتان هما دائرتان يشهجران في المركز نفسه.	الدائرتان المنطبقتان: دائرتان متحدتان مركزياً لهما الشعاع نفسه.

الدائرتان متحدتا المركز: ${\displaystyle \odot O$ التي نصف قطرها ${\displaystyle {\overline {OA$ و${\displaystyle \odot O$ التي نصف قطرها ${\displaystyle {\overline {OB$ دائرتان متحدتا المركز. تُعهد الدَّائرة على أنها مُطابقةٌ إلى دائرةٍ أُخرى إذا وفقط إذا تطابقت أنصاف أقطارهما، ويحققان: ${\displaystyle \odot O_{1 \cong \odot O_{2 \Leftrightarrow {\overline {O_{1 A \cong {\overline {O_{2 B$.

أشكالٌ مُركَّبةٌ من دوائرَ

: شكل شبيه بالخاتم محصور بدائرتين متحدتيّ المركز.	العدسة: تقاطع قرصين. الهلال: جزء الدائرة غير المتقاطع.	مثلث رولو: تقاطع ثلاثة دوائر تمر جميع منهم في مركز الأخرى	: أنصاف دوائرَ تشهجر في قاعدة ما

تُسمَّى العدسة الناتجة عن تقاطع دائرتين متطابقتين عدسة متناظرة، عدا ذلكَ فتُسمّى عدسة جامعة أوغير متناظرة. تُقاس مساحة العدسة المتناظرة بدلالة زاوية القوس المحصورة به ${\displaystyle \theta$ بالراديان ونصف قطر الدائرتين ${\displaystyle R$ بالصيغة الآتية:

بإزالة العدسة من إحدى الدوائر المُتقاطعة يتكوَّن شكل الهلال. وبشكل أكثر عمومية، فإن تقاطع أي دائرتين يُنتج عدسةً وهلالينِ. هلال أبقراط هوهلال مُتكوِّن من تقاطع دائرتين، قُطر إحداهما هووترٌ في الأخرى.

الأوتار والمستقيمات

تَصْنِيفُ المستقيمات في الدَّائرةِ حسْبَ عدد نقاط تقاطعها معها وبُعدِها عن مركزها

المستقيم	التعريف	رياضياً	ملاحظة
	مستقيم يبتر الدائرة في نقطتين.	مُستقيمٌ يبعدُ عنِ المركزِ مَسافَةً أصغر من نِصْفِ قِطرِ الدَّائرةِ (${\displaystyle {\text{dist (O,\ell )<r$)
مستقيمٌ مَاسٌّ	مستقيم يُمسّ الدَّائرة في نقطة وحيدة.	مُستقيمٌ يبعدُ عنِ المركزِ مَسافَةً مساويةً لنِصْفِ قِطرِ الدَّائرةِ (${\displaystyle {\text{dist (O,\ell )=r$)
مستقيمٌ مَارٌّ	مستقيم لا يمس ولا يبتر الدائرة في أي نقطة.	مُستقيمٌ يبعدُ عنِ المركزِ مَسافَةً أكبر من نِصْفِ قِطرِ الدَّائرةِ (${\displaystyle {\text{dist (O,\ell )>r$)
مستقيمٌ مُنَصِّفٌ	مستقيم يمر بمركز الدائرة.	مستقيم يمر بنقطة المركز، أوبُعدُه عن المركز معدومٌ. (${\displaystyle {\text{dist (O,\ell )=0$)

تَصنِيفُ المُستقيمَاتِ المُشهجرة في دائرتين

المستقيم	التَّعريف	الترميز
خطُّ مركزين	مستقيم يصل بين مركزي دائرتين	${\displaystyle {\overline {O_{1 O_{2$
وتر مُشهجر	وتر طرفاه هما نقطتا تقاطع دائرتين	${\displaystyle {\overline {AB$
مَماسٌ مشهجرٌ خارجيّ	أومماس خارجي، مستقيم يمس كلتا الدائرتين ويبترُ امتدادَ خَطِّ المَركزين.	${\displaystyle {\overleftrightarrow {T_{1 T_{2$
مماسٌ مشهجرٌ داخليّ	أومماس داخلي، مستقيم يمس كلتا الدائرتين ويبتر البترة الواصلة بين المركزين.	${\displaystyle {\overleftrightarrow {T_{1 T_{2$
بترة تماس	بترة من مماس مشهجر طرفاها نقطتا تماس الدَّائرين	${\displaystyle {\overline {T_{1 T_{2$
محور أساسي	المحل الهندسي لمجموعة النقاط في المُستوى التي لها نفس القوة بالنِّسبة لدائرتين مُتباعِدَتين.	${\displaystyle {\overleftrightarrow {AB$

التناظر في الدائرة

في نظرية الزمر، الدائرة هي أكثرُ الأشكالِ تناظراً. أيُّ مُستقيمٍ مُنصِّفٍ (خطٍّ مُستقيمٍ يمرُ بمركزِ الدائرةِ) يُحَقِّقُ خاصيةَ التناظر الانعكاسي وخاصيةَ التناظر الدوراني. زُمرة تماثل الدائرة هي زمرةٌ متعامدةٌ ${\displaystyle O(2,R)}$${\displaystyle \mathbb {T$) وتُعرّف على أنها زمرة ضربية تحتوي على جميع الأعداد المركبة التي معيارها مساوٍ لـ1.

في الدائرة ذات المركز ${\displaystyle O$ والوتر ${\displaystyle {\overline {AB$، المثلث ${\displaystyle \triangle ABO$ متطابق الضلعين. إذا كانت ${\displaystyle M$ نقطة منتصف ${\displaystyle {\overline {AB$ فإنَّ ${\displaystyle \triangle AMO\cong \triangle BMO$ من تطابق (SSS)، وعليه فإنَّ ${\displaystyle \angle AMO\cong \angle BMO$ وكذلك ${\displaystyle OM\perp AB$. أيضاً الزاويتان ${\displaystyle \angle AOM\cong \angle BOM$. إذا كانت ${\displaystyle P,Q$ نقطتا تقاطعِ المستقيمِ ${\displaystyle OM$ مع الدائرة، فإنَّ من تطابق ${\displaystyle \triangle OAP\cong \triangle OBP$ (SSS) والذي يُنتج ${\displaystyle {\overline {AP \cong {\overline {BP$. كنتيجة، القوسان ${\displaystyle AP,BP$ متطابقان أيضاً. بالمثل، ${\displaystyle \triangle AOQ\cong \triangle BOQ$ (من تطابق SAS) و${\displaystyle {\overline {AQ \cong {\overline {BQ$. وهذا يعني حتى الدائرةَ ${\displaystyle O$ ونقطتي مُنتصفي القوس الأكبر والقوس الأصغر جميعهم يقعون على العمود المنصف للوتر ${\displaystyle {\overline {AB$. إذن، مركز أي دائرة هوتقاطع المنصفين العموديين لأي وترين على الدائرة.

إذا كانت ${\displaystyle T}$${\displaystyle T{A}^2=T{O}^2-<!--\; -\; -->O{A}^2=T{O}^2-<!--\; -\; -->O{B}^2=T{B}^2}$

تتلخَّصُ النتائج السابقة في ما يلي:

• العمود المنصف لوتر يُنصف القوسين اللذان يحصرهما ويمر بمركز الدائرة.
• يتساوى وتران في الدائرة إذا وفقط إذا سقطا على مسافة واحدة من مركز الدائرة.
• الوتران الموازيان في دائرة يقسمانها يحصران قوسين متساويي الأطول.
• القطر العمودي على وتر في دائرة يُنصِّفه ويُنصِف كلاً من قوسيه. القطر الذي يُنصِّف وتراً (ليس قطراً) في دائرةقد يكون عموديَّاً على هذا الوتر. العمود المنصف لوتر في دائرة يمر بمركز الدَّائرة.
• المماس عند نقطة التماس يتعامد مع بنصف القطر الواصل بينها وبين المركز.
• المماسان من نقطة واحدة خارج الدائرة متطابقان.

التطابق في الدائرة

ليكن ${\displaystyle \stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{AB}}$${\displaystyle OB+OC>AB}$${\displaystyle AB}$

العمق وطول الوتر

عمق القوس (بالإنجليزية: Sagitta)‏ هوبترة مستقيمة تصل بين منتصف قوسٍ ومنتصف وتره. تُستعمل حسابات عمق القوس بكثافة في العمارة. يُحسب عمق القوس ذي الزاوية ${\displaystyle \theta$ في الدائرة التي نصف قطرها ${\displaystyle r$ بالصيغة:

بشكلٍ مُماثل، يُقاسُ طول الوتر المحصور في قوس قياس زاويته ${\displaystyle \theta$ بالصيغة ${\displaystyle 2r\sin \theta$. أما إذا أُعطي وترٌ طوله ${\displaystyle y$ وقوسٌ يحصر الوتر ذوعمقٍ مساوٍ لـ${\displaystyle x$ فباستعمال مبرهنة فيثاغورس يُقاس نصف قطر الدائرة المارَّة بالوتر وعمق القوس كالآتي:

خط القوة

خط القوة أوالمحور الأساسي (بالإنجليزية: Radical axis)‏ لدائرتين ما، هوالمحل الهندسي للنقاط في المستوى التي تتساوى قُوَّتها بالنسبة لهما. وبشكل مكافئ، إذا كانت الدائرتان متباعدتان ولا تحتوي إحداهما الأخرى فبالإمكان تعريف خط القوة على أنه المحل الهندسي للنقاط في المستوى التيقد يكون طول المماسين المارين بها والمماسين للدائرتين متساوٍ. المحور الأساسي دائماً يتَّخذ خطّاً مستقيماً تكون نقاطه متساوية القوى بالنسبة للدائرتين؛ ولذلك فإنه يُسمَّى بخط القوة. عدا أنه في حالة اتحاد الدائرتين مركزياً يصبح خط القوة غير مُعرَّف. وفي حالة تقاطع الدائرتين، فإن خط القوة يمر بنقطتي تقاطعهما أوتماسهما. خط القوة عمودي دائماً على الخط الواصل بين مركزي الدائرتين وهوأقرب لمحيط الدائرة الأكبر. ومن خصائصه:

• خط القوة لدائرتين عمودي على المُستقيم المار بمركزيهما ويُنصِّفُ وترَهُما المُشهجرَ.
• خط القوة لدائرتين متقاطعتين يمر بنقطتي تقاطعهما.
• خط القوة لدائرتين متماسَّتين يمر بنقطة تماسّهما ويكون حينئذٍ مماسَّاً مُشهجراً لهما.
• خط القوة لدائرتين مُتماسّتين من الخارج يمر بمنتصف بترة المماس المُشهجر الآخر لهما.
• لأي ثلاث دوائر مراكزها ليست على استقامةٍ واحدةٍ، فإن محاورها الرَّئيسيَّة مثنى مثنى تتقاطع في نقطة واحدة تُسمَّى المركز الأساسي أومركز القوة للدوائر الثلاث.

مركز القوة

لتكن ${\displaystyle A,B,C$ دوائرَ غير متحدةٍ مركزياً مثنىً مثنىً. فإنَّ مبرهنة خط القوة تنصُّ على أنَّ الثلاثَ خطوط القوة لكل زوجِ دوائرَ إما حتى تتوازى أوتلتقي في نقطة تُسمَّى: مركز قوة الدوائر. ويُنطق تقنياً أيضاً عن خطوط القوى عندما تتوازى بأنّها تلتقي في نقطة في اللانهاية.

وبُرهانُ ذلك: من خواصّ خط القوة لزوجِ دوائرَ، أنَّ المماسات المنطلقة من نقطة تقع عليه لدائرتين تتطابق. فإذا التقى خطّ قوة الدائرتين ${\displaystyle A,B$ مع محور الأساسي الدائرتين ${\displaystyle C,D$ في نقطة ${\displaystyle M$ فإنَّ المماسات المنطلقة من ${\displaystyle M$ لجميعِ الدوائرَ تتطابق، أي أنَّ: ${\displaystyle {\mathcal {Pow (M,A)={\mathcal {Pow (M,B)$ وأيضاً ${\displaystyle {\mathcal {Pow (M,B)={\mathcal {Pow (M,C)$ فبالتعدّي، يُصبح ${\displaystyle {\mathcal {Pow (M,C)={\mathcal {Pow (M,A)$وبتطبيق عكسِ مبرهنة خط القوة، فإنّ النقطة ${\displaystyle M$ تقعُ على خط القوة للدائرتين ${\displaystyle C,A$ وبذلكَ يحصل تلاقي جميع خطوط القوة في النقطة ${\displaystyle M$. من البرهانِ السابق، تَصيرُ النقطة ${\displaystyle M$ مركزاً لدائرةٍ تبترُ الدوائر الثلاث. وتُعدّ هذه الدائرةُ دائرةً وحيدةً لكُلِّ ثلاثة أزواج من الدوائر وتكون مُتعامِدةً عليهم جميعاً.

العلاقات مع المضلعات

حالات وعلاقات الكائنات الهندسية فيما بينها
	تعامد
تنصيف

لِكلّ مثلثٍ ثمَّةَ دائرةٌ وحيدةٌ تمرُّ برؤوسه. وتُسمَّى هذه الخاصيَّة التي تتمتع بها المُضلعات من حتى تقع رؤوسها على دائرة ما «الدّائريَّة»، فيُنطق عن المُضلّع أنه «دائري» إذا وُجدت دائرة تمر بجميع رؤوسه. أما النقاط التي تتمتع بهذه الخاصية فتُسمَّى نقاطاً مُشهجرةً بدائرةٍ. على الرغم من ان جميع المثلثات دائرية، إلا أنّ ليست جميع المُضلَّعات الأخرى تتمتع بنفس هذه الخاصية. عملى سبيلِ المثال، جميعُ المضلّعات المُحدَّبة تستحيل وجود دائرة تمر بجميع رؤوسها، وليست جميعُ الرباعيات لها دوائرَ مُحيطة. فجميعُ المُعيَّنات غير المربعة لا يُمكن حتى تقع رؤوسها على دائرة. هناك أشكال شهيرة تُصنَّف دائماً على أنها دائرية، من ضمنها المستطيل وشبه منحرف متساوي الساقين، واللذان يُصنّف من ضمنهما المُربّع أيضاً وكذلك المُضلَّعات المُنتظِمة. للرباعيات الدائرية والمضلعات الدائرية الأخرى عموماً نظريات خاصة تنطبق عليها.

هُناك علاقة أخرى تربط الدائرة بالمضلعات، وهي التّماسُّ. تُعرَفُ المضلعاتُ المماسيَّة على أنها مُضلّعات توجد لها دائرة تمسُّ جميعَ أضلاعها أوامتداداتها. جميع المُثلَّثات والمُضلّعات المنتظمة مُضلعات مماسية. ولها خواص ونظريات خاصة تنطبق عليها أيضاً.

المُثلَّث

تُصنّف مراكز الدوائر الخاصة بالمثلث على أنها من مراكز المثلث. من أبرزها: دائرة المثلث الداخلية، دائرة المثلث المحيطة، دائرة النقاط التسع و3 دوائرَ خارجية للمثلث. لكل مثلث يُوجد دائرة وحيدة تمس جميع أضلاعه تُسمَّى الدَّائرة الدَّاخلية أوالدَّاخلة. الدَّوائر الخارجيَّة لمثلث لكل مثلث توجد ثلاث دوائر خارجية تمس امتدادات أضلاعه. تُنشأُ الدوائر الماسة للمثلث بأخذ منصفات الزوايا الخارجية والداخلية للمثلث، إذ تتقاطع هذه المنصفات في مراكز الدوائر الماسة. يمرُّ خط أويلر بمركزَي الدائرتين البارزتين في المثلث: دائرة النقاط التسع ودائرته المحيطة، بالإضافة إلى نقطتي ملتقى ارتفاعات المثلث وملتقى متوسطاته. كما تربط مبرهنة فويرباخ بين أبرز دوائر المثلث: دائرة النقاط التسع ودوائره الماسة: الدائرة الداخلية والدوائر الخارجية الثلاث.

• يقع مركز محيطة مثلثٍ ما داخلَه إذا وفقط إذا كانت جميع زوايا المثلث حادة.

• يقع مركز مُحيطة مثلث قائم على وتره (مبرهنة طاليس).

• يقع مركز محيطة مثلث حاد خارجه.

تُعطى الإحداثيات الخطية الثلاثية لمركز دائرة المثلث المُحيطة بالصيغة:

يرتبطُ نصفُ قطرِ مُحيطةِ الُمثلَّثِ بعلاقةٍ هامّة تُسمّى قانون الجيوب أوقانون الجيوب المُوسَّع:كما يُعبّرُ عنه في علاقاتٍ أخرى مُشتقّةٍ من قانون الجيب الموسّع وصيغة هيرون لمساحة المثلث:

والصيغةُ المُثلَّثية المكافئة لما تجاوز تكون كالآتي:

تربط مبرهنة أويلر في الهندسة بين شُعاعَي الدائرة المحيطة والدائرة الداخلية بالعلاقة:تُقاسُ المسافةُ بين مركز محيطة المثلث ونقطة تقاطع ارتفاعاته بالصيغة:

تنص مبرهنة كارنوعلى أنَّ مجموع الأبعاد المُؤشّرة من مركز محيطة المثلث إلى أضلاعه يساوي مجموع شعاعَيْ دائرتَيْ المثلث المحيطة والداخلية:

دائرة النقاط التسع هي دائرةٌ في المثلث تَمُرُّ بتسعِ نقاطٍ مُهمّةٍ فيه. تحديداً:

• منتصف جميع ضلع المثلث.
• مسقط جميع رأس المثلث.
• منتصف جميع بترة واصلة بين رأس المثلث وملتقى ارتفاعاته.

من تعريفات دائرة النقاط التسع أنَّها صورة دائرة المثلث المحيطة بعد تحاكٍ مركزه ملتقى الارتفاعات ومعامل تصغير النصف. وكنتيجة، فإنَّ قطر دائرة النقاط التسع يساوي نصف قطر الدائرة المحيطة. وكذلكَ فإنَّ دائرة النقاط التسع تمر بمنتصف أيّ وتر يمر بنقطة ملتقى ارتفاعات المثلث. بينما بشكلٍ مُشابه، يُنصّف مركز دائرة النقاط التسع (والذي يُرمز إليه بالنقطة ${\displaystyle N$) البترة المستقيمة ${\displaystyle {\overline {OH$ الواصلة بين مركز محيطته ونقطة ملتقى ارتفاعاته أي أنَّ: ${\displaystyle {\overline {NO ={\overline {NH$.

الرباعي الدائري

الرباعي الدائري هومُضلع رباعي تُوجَدُ دائرةٌ تمرُّ بجميعِ رؤوسِه. الشروط المذكورة للرباعي الدائري هي شروط مُتكافئة، أي أنَّ تَحقُّقَ أحد الشروط يُؤدي إلى تحقُّقِ بقيةِ الشروط. تُعرَف أيضاً الشروط على أنها شروطٌ كافية وضرورية أي أنَّ تحقُّقَ عكسِ الشرط المذكور يُؤدّي إلى حتىقد يكونَ الرباعيُّ دائرياً. يُعدُّ الشكلُ الرُّباعيُّ دائريَّاً إذا وفقط إذا:

• تقاطعت مُنصَِفاتُ أضلاعِه العموديةِ في نُقطَةٍ واحدةٍ.
• وُجِدَت زاويتان مُتقابلتان فيه مُتكاملتان.
• وُجِدَت زاويتان متساويتان رأسهما إحدى رأسي الرُّباعي على جهةٍ واحدةٍ من قاعدته. (رياضيّاً: ${\displaystyle \angle CAD=\angle CBD$)
• انطبقَ عليه عكسُ مبرهنة بطليموس.
• انطبقت عليه عكس مبرهنة قوة النقطة.

جميعُ المربعات، المستطيلات، أشباه المنحرف متطابقة الساقين وأضداد متوازي الأضلاع رباعيات دائرية. بينما الطائرة الورقية تُعدُّ دائريةً إذا وفقط إذا احتوت على زاويتين قائمتين. والرباعي التوافقي هودائريقد يكون فيه حاصل ضرب أطوال أضلاعه المتقابلة متساوٍ.

بحسب صيغة مساحة براهماغوبتا، تُحسَب مساحة الرباعي الدائري الذي أطوال أضلاعه: ${\displaystyle a,b,c,d}$${\displaystyle s$ حيث ${\displaystyle S={\frac {a+b+c+d {2$ بالصيغة الآتية:

في القرن الخامس عشر الميلادي، استنتج العالم الهندي ڤاتاسِّيري پاراميشڤارا صيغة إيجاد نِصفِ قُطرِ الدَّائرةِ المُحِيطَةِ بدلالةِ أطوالِ الأضلاعِ ونصف المحيط:

مُضلَّعاتٌ مماسيَّة

المُضلَّع المماسي هومضلع تُوجد دائرة ما تمس جميع أضلاعه. تُسمَّى هذه الدَّائرة: الدَّائرةَ الدَّاخليَّةَ للمضلَّع. الرُّباعي المُحيط بدائرة يختص بأن جميع مجموع طولي جميع ضلعين متقابلين منه متساوٍ. فإذا كان الرباعي المُحيط دائرياً أيضاً سُميَّ رباعيّاً ثُنائيَّ المركزِ.ويُختص الرباعي ثنائي المركز (بالإنجليزية: Bicentric quadrilateral)‏ على أنه رباعي مماسي ودائري ومن خواصه أنَّ مجموعَ أطوالِ أضلاعِه المتقابلةِ مُتساوٍ. بينما الرباعي ثنائي المركز الخارجي (بالإنجليزية: Ex-bicentric quadrilateral)‏ هورباعي مماسي خارجي ودائري في الوقت نفسه.

يحتوي المضلع المحدب على دائرةٍ داخليةٍ إذا وفقط إذا التقت جميع منصفات زواياه في نقطة وحيدة. تُعهد هذه النقطة على أنها مركز دائرته الداخلية. أما إذا كانت أضلاع مضلع ذو${\displaystyle n}$${\displaystyle s$ فإنَّ نصف قطر دائرته الداخلية يُحسب بالصيغة:

مبرهنات

بالإضافة إلى مبرهنتَيْ خطُّ القوة وقوة النقطة اللتين ذُكرتا وبقية مبرهنات الزوايا الخاصة بالدائرة، فإنّ هناك مبرهناتٌ أخرى مُتعلقةٌ بالدائرةِ، من أبرزها وأكثرها استعمالاً:

مبرهنة بطليموس

مبرهنة بطليموس هي مبرهنة تربط بين أضلاع الرباعي الدائري وقطريه. سميت هذه المبرهنة نسبةً لعالم الفلك والرياضيات الإغريقي بطليموس. وتنص على أنَّ مجموع جداء كُلٌّ من ضلعي رباعي متقابلين مُساوٍ لجداء قُطرَيْه إذا وفقط إذا كان الرباعيُّ دائريّاً. يُعبَّرُ عن العلاقةِ السابقة رياضياً كالآتي: ${\displaystyle {\overline {AC \cdot {\overline {BD ={\overline {AB \cdot {\overline {CD +{\overline {BC \cdot {\overline {AD$. كما أنَّ عكسَ المبرهنةِ سليمٌ أيضاً.

خط أويلر

خط أويلر، نسبةً إلى ليونهارد أويلر، هومُستقيمٌ مُعرّفٌ لكلِّ مثلثِ مختلف الأضلاع. يمرُّ بعدّة مراكز بارزة للمثلث. حيث يمر من عدة نقاط هامة محددة في المثلث. برهن أويلر في عام 1767م حتى أربعة من مراكز المثلث تتسامت، وهي: ملتقى الارتفاعات ${\displaystyle H$، ملتقى المتوسطات ${\displaystyle G$، مركزَي الدائرتين المحيطية ودائرة النقاط التسع ${\displaystyle O,N$. تنطبق هذه النقاط عند كَوْنِ المثلث متطابقَ الأضلاعِ. يمكن رسم مستقيم أويلر بإيجاد أي نقطتين من النقاط الأربعة والوصل بينهما.

خط سيمسون

خط سيمسون (بالإنجليزية: Simson line)‏ هومستقيمٌ يمُرّ بمساقط نقطةٍ مشهجرةٍ مع مثلثٍ في دائرته المحيطة على أضلاعه. رياضياً: إذا كان ${\displaystyle \mathrm{△<!--\; △\; -->}ABC}$خط سيمسون. كما أنَّ عكسَ المبرهنة سليمٌ أيضاً؛ إذا تسامتت مساقطُ نقطةٍ على أضلاع مثلث، فلا بدَّ أنَّ تقع هذه النقطة على دائرة المثلث المحيطة. بالإمكان التعبير عن ذلك أيضاً بأنَّ نقطةً ينعدمُ عندها مثلث المساقط إذا وفقط إذا سقطت على دائرته المحيطة.

مبرهنة باسكال

في الهندسةِ الإسقاطية، تنصُّ مُبرهنةُ باسكال (بالإنجليزية: Pascal's theorem)‏ على أنَّ لأيّ ستِّ نقاطٍ على بترٍ مخروطيٍّ (أي: بتر ناقص، مكافئ أوزائد) وُصِلَت بينَهم بترٌ مستقيمةٌ بأيّ ترتيبٍ بحيث تُشكّل سداسياً، فإنَّ أزواجَ الأضلاع المتقابلة من السداسي (أوامتداداتها) تتتلاقى في نقاطٍ تتسامتُ على خطّ يُسمّى خطَّ باسكال للسداسي. أسميت المبرهنة نسبةً إلى بليز باسكال، وتصحُّ أيضاً في الهندسةِ الإقليدية إلا حتى هناك حالة خاصة من حتى تتوازى المستقيمات ينبغي حتى تؤخذ بعينِ الاعتبار.

الصيغة الرياضية لمبرهنة باسكال هي كالآتي: لأي سداسي ${\displaystyle ABCDEF$ تقع رؤوسه على بترٍ مخروطيٍّ فإنّ ملتقياتِ أزواج المستقيمات الآتية مُتسامتة:

.

كنتيجة لمبرهنة باسكال، تنتج العلاقة الآتية بين أطوال الأضلاع:

مبرهنة مونج

تنصُّ مبرهنة مونج (بالإنجليزية: Monge's theorem)‏، نسبةً إلى غاسبار مونج، على أنَّ لأيِّ ثلاثة دوائر في المستوى لا تقع إحداهن داخل الأخرى تماماً، فإن ملتقيات أزواج المماسات المشهجرة الخارجية تُسمّى مراكز التشابه الخارجية لأزواج الدوائر لها متسامتة. بالإمكان إثبات مبرهنة مونج باستعمال مبرهنة ديزارغ وكذلك بمبرهنة مينيلاوس، حيث تُحسَب النسب الداخلة في المبرهنة باستعمال بدلالة أشعة الدوائر.

مبرهنة فويرباخ

تنص مبرهنة فويرباخ (بالإنجليزية: Feuerbach's theorem)‏ على أنّ دائرةَ النقاط التسع لمثلثٍ ما تمسُّ دوائرَه الخارجية والداخلية. تُسمّى نقطة تماس دائرة النقاط التسع مع الدائرة الداخلية نقطة فويرباخ بينما نقاط تماس دائرة النقاط التسع مع دوائر المثلث الخارجية فتُسمّى مُثلثَ فويرباخ. وتُعدُّ نقطة فويرباخ مركزاً للمثلث. أي حتى تعريفها لا يعتمد على أطوال أضلاع المثلث أوموضعه. أسميت النقطة نسبةً إلى المهندس الرياضي الألماني كارل فويرباخ والذي نشر مبرهنته عام 1822م. أقصر بُرهانٍ لمبرهنة فويرباخ هي باستخدام مبرهنة كايزي التي نشرها جون كايزي عام 1866م، وذلك بتطبيقها على المماسات لدوائر المثلث الخارجية والداخلية الأربع تمسُّ الدائرة الخامسة.

مبرهنة ميكيل

مبرهنة ميكيل (بالإنجليزية: Miquel's theorem)‏ هي مبرهنة تخص تقاطع ثلاثة دوائر تمر برؤوس مثلثٍ ما. ورياضياً: إذا كان ${\displaystyle \mathrm{△<!--\; △\; -->}ABC}$

خط سيمسون ${\displaystyle LN$ (بالأحمر) للنقطة ${\displaystyle P$ بالنسبة للمثلث ${\displaystyle \triangle ABC$ يمُرُّ على النقاط ${\displaystyle L,M,N$.	مبرهنة ميكيل: الدوائرُ المارةُ برؤوس مثلثٍ ${\displaystyle \triangle ABC$ونقاطٍ مشهجرةٍ على أضلاعه ${\displaystyle A',B',C'$، تُسمّى دوائرَ ميكيل وهي متلاقية في نقطةٍ ما ${\displaystyle M$.	تنص مبرهنة دوائر ميكيل الست على أنَّ إذا رسمت خمسُ دوائرٍ تتشارك في نقاطٍ دائريةٍ، فإنَّ نقاط تقاطعهم الأخرى أيضاً تقع على دائرةٍ سادسةٍ.
مبرهنة ميكيل وشتاينر على الرباعي التام: الدوائر المارة بمثلثات رباعي تام تلتقي في نقطة وحيدة.	مبرهنة ميكيل على الخماسي.	مبرهنةٌ الفراشة: النقطة ${\displaystyle M$ هي منتصف ${\displaystyle X,Y$ حيث أنَّ الوترين ${\displaystyle AB,CD$ يمرّان بمنتصف ${\displaystyle PQ$.

مبرهنة كايزي

مبرهنة كايزي (بالإنجليزية: Casey's theorem)‏ وتُعرَفُ أيضاً على أنها تعميمُ مبرهنة بطليموس ، هي مبرهنةٌ في الهندسة الإقليدية أسميت نسبةً إلى الرياضياتي جون كايزي. تعريفها الرياضي هوكالآتي: لتكن ${\displaystyle \,O$ دائرةً شعاعها ${\displaystyle \,R$. ولتكن ${\displaystyle \,O_{1 ,O_{2 ,O_{3 ,O_{4$ أربعَ دوائرٍ غير متقاطعةٍ تقع داخل ${\displaystyle \,O$وتمسها على الترتيب. وليرمز ${\displaystyle \,t_{ij$ إلى المماس المشهجر الخارجي للدائرتين ذواتي المركزين ${\displaystyle \,O_{i ,O_{j$، فإنَّ مبرهنة كايزي تنصُّ على أنَّ:

${\displaystyle \,t_{12 \cdot t_{34 +t_{14 \cdot t_{23 =t_{13 \cdot t_{24 .$

لاحظ أنَّ الحالةَ المُنعدمةَ لمبرهنة كايزي هي مبرهنة بطليموس. وعكسُ المبرهنةِ سليمٌ أيضاً، أي إذا وجدت أربعة دوائر تُحقق العلاقة السابقة فإنَّ هناكَ دائرةٌ تمسُّهم جميعاً.

مبرهنة الفراشة

تنصُ مبرهنة الفراشة على حتى الأوتار الواصلة بين طرفي وترين في دائرة يمران بمنتصف وتر ثالث يبتران الوتر الثالث في نقطتين متناظرتين بالنسبة لمنتصفه. تُوصف هذه العلاقة رياضياً كالآتي: إذا كانت النقطة ${\displaystyle M}$${\displaystyle PQ$ في دائرة، وُرسم وتران آخران ${\displaystyle AB,CD$ يمران خلالها. فإنَّ المُستقيمان ${\displaystyle AD,BC$ يبتران الوتر ${\displaystyle PQ$ في نقطتين متماثلتين ${\displaystyle X,Y$ حول ${\displaystyle M$، أي أنَّ النقطة ${\displaystyle M$ هي منتصف البترة المستقيمة ${\displaystyle XY$.

التحويلات الهندسية

هُناكَ تحويلان هندسيانِ رئيسانِ بالنسبةِ للدوائر:

التحاكي

مركز التشابه الخارجي لدائرتين	مركز التشابه الداخلي لدائرتين

التحاكي (بالإنجليزية: Homothety)‏ هوتحويل هندسي ينقل الخطوط المُستقيمة المتوازية إلى خطوط مُتوازية بمعامل تكبير عدد حقيقي غير صفري. للدائرتان المُتباعدتان مركزا تشابهٍ (أوتحاكٍ) اثنان: مركز التشابه الخارجي ومركز التشابه الداخلي. ولأنَّ جميعَ الدوائرِ مُتشابهةٌ، فإنَّه يُوجد مركز تشابهٍ (أوتحاكٍ) واحدٍ على الأقل لكل دائرتين. بالإمكان إيجاد مركزَيْ التحاكي لدائرة بعدد من الطرق. في الهندسة التحليلية، مركز التشابه الداخلي يُحسَبُ بالمتوسط الموزون لمركزي الدائرتين موزوناً بنصفي قطري الدائرتين. رياضياً، لتكن ${\displaystyle C_{1 =(x_{1 ,y_{1 ),C_{2 =(x_{2 ,y_{2 )$ مركَزَيْ الدائرتين و${\displaystyle r_{1 ,r_{2$ هما نصفَيْ قُطريهما. فإنَّ مركز التشابه الداخلي ${\displaystyle (x_{0 ,y_{0 )$ يُحسَب عبر الصيغة:

بينما يُحسب مركز التشابه الخارجي ${\displaystyle (x_{e ,y_{e )$ بصيغةٍ مُماثلة عدا أنَ الإشارة مُختلفة.

كنتيجةٍ من خصائص التحاكي، يمر خط المركزين لدائرتين بمركزَيْ تشابههما الخارجي والداخلي. بالنسبة للدائرتين المُتماستين خارجياً، فإنّ طول بترة التماس لهما مُساوٍ لوسط شعاعيهما التوافقي. تربط مبرهنة مونج بين مراكز التشابه الخاصة بثلاثٍ من الدوائر مثنىً مثنىً. وتنصُّ على أنَّ كلَّ ثلاثَةِ مراكزِ تشابهٍ لزوجٍ من الدوائر حاصل ضرب إشاراتها ${\displaystyle 1}$

التعاكس

النقطة ${\displaystyle P'$ هي انعكاس النقطة ${\displaystyle P$ بالنسبة للدائرة ذات المركز ${\displaystyle O$.

إنشاء انعكاس لنقطة حول دائرة.

التعاكس (بالإنجليزية: Inversion)‏ هوتحويل هندسي يعكِسُ كلَّ نُقطةٍ على المُستوى حول دائرةٍ ثابتة. يُعرّف انعكاسُ النقطة ${\displaystyle P}$${\displaystyle C(O,r)}$${\displaystyle \stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{OP}}$${\displaystyle P}$

• انعكاس دائرة مارة بمركز الدائرة أخرى حول الأخيرة، يُنتج خطاً مُستقيماً.

• انعكاس الدائرة الخضراء هوالدائرة الزرقاء بالنسبة للدائرة الحمراء.

• التعاكس لا ينقل مراكز الدوائر إلى بعضها بعضاً.

ينقل التعاكس كُل نقطة داخل الدائرة إلى صورةٍ نظيرةٍ لها خارجها، وكل نقطة تقع على محيط الدائرة فإنَّها تظل كما هي. يُعبِّر هذا التحويل الهندسي عن اختزالٍ للصورة المستوى اللا نهائي الواقعة عليه الدائرة، بمعنى أنه حدثا قربت النقطة من مركز الدائرة كُلمَّا كانت صورتها أبعد عن الدائرة، وكلَّما كانت النقطة بعيدة من مركز الدائرة فإن صورتها تُصبح أقرب لمركز الدائرة.

الهندسة التحليلية

دائرة الوحدة والدوال المثلثية

رسمٌ توضيحيٌّ للإنشاءات الهندسية لمختلف الدوال المثلثية من الوتر ${\displaystyle AD$ الذي يصنع زاوية ${\displaystyle \theta$ مع محور السينات في دائرة الوحدة. بالإضافة إلى استعمال الدوال المثلثية الشائعة الحالية: ${\displaystyle \sin ,\cos ,\tan ,\csc ,\sec ,\cot$ فإنَّ الشكل يظهرُ بعضَ الدوالِ المثلثيّةِ التي هُجِرَ استعمالُها مثل: ${\displaystyle {\text{cvs, excsc, crd, exsec, versin$.

يمكنُ تعريفِ الدوالِ المثلثيةِ: الجيب وجيب التمام والظل ومقلوباتها، بقيمِ إحداثياتِ النقاطِ على المستوى الإقليدي المرتبطةِ . دائرة الوحدة هي دائرة نصف قطرها وحدةٌ واحدةٌ ومركزها نقطة الأصل. رغم حتى تعريفات المثلثِ قائمِ الزاوية للدول المثلثية تسمحُ بتعريفِها للزوايا بينَ 0 و$\frac{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{2}$

حساب المثلثات
التاريخ الاستعمالات الدّوال (الدوال العكسية) حساب مثلثات معممة حساب المثلثات الكروية
مراجع
المتطابقات القيم الدقيقة للثوابت الجداول دائرة الوحدة
القوانين والنظريات
الجيوب جيوب التمام الظّلال ظلال التمام مبرهنة فيثاغورس
الحسبان
تعويضات مثلثية التكاملات (تكاملات الدوال العكسية) المشتقات

تُعطى تعريفات الدوال المثلثية من تقاطع مستقيمات مرتبطة بزاوية واقعةٍ على نقطة الأصل. إذا بترَ الشعاعُ المنطلق من نقطة الأصل بزاويةَ ${\displaystyle \theta$ دائرةَ الوحدةِ في النقطة ${\displaystyle A=(x,y)$ فإنّ الدالةُ ${\displaystyle \cos \theta$ تُعرّف على أنها الإحداثي ${\displaystyle x$ والدالة ${\displaystyle \sin \theta$ هي الإحداثي ${\displaystyle y$ لنقطة التقاطع، وبمعنى آخر فإنَّ: ${\displaystyle (x,y)=(\cos \theta ,\sin \theta )$. وبرسم مماس من النقطة ${\displaystyle (x,y)$ يبتر محورَي السينات والصادات في النقطتين ${\displaystyle E=(a,0),F=(0,b)$ على الترتيب، فإنَّ ${\displaystyle a=\sec \theta ,b=\csc \theta$.

رسم دالتي الجيب وجيب التمام باستخدام دائرة الوحدة

يتطابقُ هذا التعريفُ مع تعريفِ المثلث قائم الزاوية في الفترة ${\displaystyle (0,\frac{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{2})}$${\displaystyle P=(x_0,y_0)}$${\displaystyle \cos ^{2 \theta +\sin ^{2 \theta =1$. وأخيراً فإنَّ المسافات ${\displaystyle AF,AE$ تُعرّفُ على أنّها الدوال المثلثية: ${\displaystyle \cot {\theta ,\tan {\theta$ على الترتيب. بشكلٍ مُشابهٍ للاستنتاج السابق، يمكن تطبيق مبرهنة فيثاغورس في بقية المثلثات القائمة ${\displaystyle \triangle OAF,\triangle OAE,\triangle OEF$للوصول إلى متطابقات فيثاغورس الخاصة ببقية المتطابقات المثلثية. ومن تشابه هذه المثلثات القائمة السابقة، تُعطى العلاقات التي تربط بين جميع الدوال المثلثية كالآتي:

${\displaystyle \tan \theta ={\frac {\sin \theta {\cos \theta ,\quad \cot \theta ={\frac {\cos \theta {\sin \theta ,\quad \sec \theta ={\frac {1 {\cos \theta ,\quad \csc \theta ={\frac {1 {\sin \theta .$

بما أنَّ دوراناً بزاوية ${\displaystyle \pm 2\pi$ لا يُغير موضعَ الشكلِ ولا حجمَهُ، فإن النقاط ${\displaystyle F,A,E$ ستبقى نفسها بالنسبة لزاويتين فرقَهُما مضاعف سليم لـ ${\displaystyle 2\pi$. وعلى ذلكَ، فإنَّ المساواةَ ${\displaystyle \sin \theta =\sin \left(\theta +2k\pi \right)$ و${\displaystyle \cos \theta =\cos \left(\theta +2k\pi \right)$ صالحةٌ لأي زاوية ${\displaystyle \theta$ ولأي عدد سليم ${\displaystyle k$. تنطبق الخاصية ذاتها على الدوال المثلثية الأربع الأخرى.

الإحداثيات الديكارتية

دائرة شعاعها ${\displaystyle r=1$، ومركزها ${\displaystyle (a,b)$ مساوٍ إلى ${\displaystyle (1.2,-0.5)$.

في النظام الإحداثي الديكارتي، إذا كانت النقطة ${\displaystyle (a,b)$ مركزاً لدائرةٍ ${\displaystyle C(a,b)$ نصف قطرها ${\displaystyle r$، والنُّقطةُ ${\displaystyle (x,y)$ مُتغيّرةً على مُحيطِ الدائرةِ، فإنَّ من تعريف الدائرة الذي ينص على حتى البُعد بين النقطتين ${\displaystyle C,P$ هوبُعدٌ ثابت مُساوٍ إلى ${\displaystyle r$، فإنَّ مُعادلة تمثيل الدائرة في النظام الإحداثي الديكارتي هي الآتي:

$${\displaystyle \left(x-a\right)^{2 +\left(y-b\right)^{2 =r^{2$$

تنبثقُ هذه المعادلةُ أيضاً من مبرهنة فيثاغورس عند تطبيقها بإنشاء ضلعي القائمة على الوتر ${\displaystyle r$. عندئذٍ، تُصبحُ المسافتان ${\displaystyle x-a$ و${\displaystyle y-b$ طُولَينِ للضلعين الآخرين في المثلث قائم الزاوية. هناك ثلاثةُ مواضعٍ للدائرةِ بالنّسبةِ للمحاورِ الإحداثيَّةِ: دائرةُ المركزِ ودائرة مماسة للمحور الأفقي ودائرة مماسة للمحور الرأسي. تُعتبرُ مُعادلة كلٌّ منها عن حالة خاصّة من مُعادلة تمثيل الدائرة في الإحداثيات الديكارتية الأصلية.

كحالة خاصّة، تُحسب معادلة دائرة المركز، وهي الدائرة التي مركزها نقطة تقاطع المحورين، عند انطباق مركز الدائرة على نقطة الأصل ${\displaystyle (0,0)$ تُصبح المُعادلة بتعويض قيم ${\displaystyle a,b$: كالآتي

$${\displaystyle x^{2 +y^{2 =r^{2 \!\$$

وبالإمكانِ كتابةُ هذهِ المعادلةِ على شكل معادلة وسيطية (بالإنجليزية: Parametric equation)‏ باستعمال الدوال المثلثية: جيب وجيب تمام على الشكل الآتي:

$${\displaystyle x=a+r\,\cos t,\,$$

$${\displaystyle y=b+r\,\sin t\,$$

حيث حتى ${\displaystyle t}$Parameter)‏ تتغيرُ قيمتُه بين العددين ${\displaystyle 0$ و${\displaystyle 2\pi$. هندسيَّاً، يُمثّل هذا الوسيطُ الزاويةَ التي يُكَوِّنُها الشَّعاعُ المَارُّ بالنقطتين ${\displaystyle (a,b)$ و${\displaystyle (x,y)$ مع المحور الأفقي. المعادلة الوسيطية التالية تمثل أيضاً دائرة:

$${\displaystyle x=a+r\cdot {\frac {1-t^{2 {1+t^{2 \,$$

$${\displaystyle y=b+r\cdot {\frac {2t {1+t^{2$$

إذا كانت الدائرة تمس المحور الأفقي فتُسمّى دائرة مماسة للمحور الأفقي وتُصبح المُعادلة على الصورة: ${\displaystyle \left(x-a\right)^{2 +\left(y-r\right)^{2 =r^{2$. وبصورةٍ مماثلةٍ، إذا كانت الدائرة مماسةً للمحور الرأسي فتُصبح المُعادلة على الصورة: ${\displaystyle \left(x-r\right)^{2 +\left(y-b\right)^{2 =r^{2$.

كما أنه بالإمكان أيضاً إيجاد مُعادلة الدائرة بمعلوميَّة إحداثيات طرفي قطر فيها. إذا كان ${\displaystyle AB$ قطراً في الدائرة، وكانت إحداثيَّات النقطتين ${\displaystyle A,B$ هي ${\displaystyle A(x_{1 ,y_{1 ),B(x_{2 ,y_{2 )$ بحيث أنهما نقطتان معلومتان عليها. تُؤخذ نقطة ثالثة ${\displaystyle P(x,y)$ على مُحيط الدائرة وبما حتى ${\displaystyle AB$ قُطر في الدائرة، فإن ${\displaystyle m{\widehat {\displaystyle APB ={\frac {1 {2 \cdot 180=90$ وعليه فإن ${\displaystyle AP\perp PB$، ليكن ميل المستقيمين ${\displaystyle m_{1 ,m_{2$ هما على الترتيب، حيث:

$${\displaystyle m_{1 ={\frac {y-y_{1 {x-x_{1 ,m_{2 ={\frac {y-y_{2 {x-x_{2$$

ولِكَوْن ${\displaystyle AP\perp PB$ فإن ${\displaystyle m_{1 m_{2 =-1$ وعليه تكون مُعادلة الدائرة بمعلومية طرفي قطر فيها تُصبح على الصورة:

$${\displaystyle (x-x_{1 )(x-x_{2 )+(y-y_{1 )(y-y_{2 )=0$$

إذا كانت ${\displaystyle P=(x_{1 ,y_{1 )$ نقطةً على دائرةٍ نصف قطرها ${\displaystyle r$ على المستوى الإحداثيّ، فإنَّ المماسَ المنطلقَ منها تُكتَب مُعادلَتُه على الشكل:

$${\displaystyle (x_{1 -a)(x-a)+(y_{1 -b)(y-b)=r^{2 .\!\$$

صيغة الثلاث نقاط

بالإمكان تحديد مُعادلة الدائرة من أي ثلاثِ نقاطٍ ليست على استقامةٍ واحدةٍ: ${\displaystyle (x_{1 ,y_{1 ),(x_{2 ,y_{2 ),(x_{3 ,y_{3 )$عبر المعادلة الآتية:

$${\displaystyle {\frac {({\color {green x -x_{1 )({\color {green x -x_{2 )+({\color {red y -y_{1 )({\color {red y -y_{2 ) {({\color {red y -y_{1 )({\color {green x -x_{2 )-({\color {red y -y_{2 )({\color {green x -x_{1 ) ={\frac {(x_{3 -x_{1 )(x_{3 -x_{2 )+(y_{3 -y_{1 )(y_{3 -y_{2 ) {(y_{3 -y_{1 )(x_{3 -x_{2 )-(y_{3 -y_{2 )(x_{3 -x_{1 )$$

يُعبَّر عن المُعادلة أحياناً بالمصفوفة الصفرية الآتية أيضاً:

$${\displaystyle {\begin{bmatrix x^{2 +y^{2 &x&y&1\\x_{1 ^{2 +y_{1 ^{2 &x_{1 &y_{1 &1\\x_{2 ^{2 +y_{2 ^{2 &x_{2 &y_{2 &1\\x_{3 ^{2 +y_{3 ^{2 &x_{3 &y_{3 &1\end{bmatrix =0$$

وبالإمكان كتابتها أيضاً على صورة المعادلة التربيعية:

${\displaystyle ax^{2 +cy^{2 +dx+ey+f=0$

حيثُ أنَّ ${\displaystyle c=a$ وَ:

$${\displaystyle {\begin{aligned a={\begin{bmatrix x_{1 &y_{1 &1\\x_{2 &y_{2 &1\\x_{3 &y_{3 &1\end{bmatrix \\d=-{\begin{bmatrix x_{1 ^{2 +y_{1 ^{2 &y_{1 &1\\x_{2 ^{2 +y_{2 ^{2 &y_{2 &1\\x_{3 ^{2 +y_{3 ^{2 &y_{3 &1\end{bmatrix \\e={\begin{bmatrix x_{1 ^{2 +y_{1 ^{2 &x_{1 &1\\x_{2 ^{2 +y_{2 ^{2 &x_{2 &1\\x_{3 ^{2 +y_{3 ^{2 &x_{3 &1\end{bmatrix \\f=-{\begin{bmatrix x_{1 ^{2 +y_{1 ^{2 &x_{1 &y_{1 \\x_{2 ^{2 +y_{2 ^{2 &x_{2 &y_{2 \\x_{3 ^{2 +y_{3 ^{2 &x_{3 &y_{3 \end{bmatrix \end{aligned$$

وعلى ذلك، تُصبح إحداثيات مركز الدائرة: ${\displaystyle (x_{0 ,y_{0 )=(-{\tfrac {d {2a ,-{\tfrac {e {2a )$ ونصف قطرها:

$${\displaystyle r={\sqrt {{\frac {d^{2 +e^{2 {4a^{2 -{\frac {f {a$$

الإحداثيات القطبية

على خلافِ الإحداثيات الديكارتية، تعتمد الإحداثياتُ القطبية على مُدخلَين: زاويةٌ وشعاع دائرة المركز.

في النظام الإحداثي القطبي، المعادلة القطبية للدائرة التي نصف قطرها ${\displaystyle r$ ومركزها عن النقطة ${\displaystyle R(a_{1 ,\theta _{1 )$ يُمكن الحصول عليها باستخدام قانون جيب تمام الزاوية للمثلث ${\displaystyle \triangle ORP$، حيث أنَّ النقطةَ ${\displaystyle P(a,\theta )$ تُعبّرُ عن أيِّ نقطةٍ على الدائرةِ وذلك على الصورة:

$${\displaystyle a^{2 +a_{1 ^{2 -2aa_{1 \cos(\theta -\theta _{1 )=r^{2$$

حيث أنّ ${\displaystyle (r,\theta )$ هي الإحداثية القطبية لنقطةٍ ما من الدائرة و${\displaystyle (r_{0 ,\phi )$ هي الإحداثية القطبية لمركزِ الدائرةِ. حالة خاصّة من ذلك عند كون مركز الدائرة عند النقطة ${\displaystyle (r,0^{0 )$ فإن ${\displaystyle \theta _{1 =0^{0$ وَ ${\displaystyle a_{1 =r$ وعندئذٍ تأخذُ معادلة الدائرة في الصورة القطبية الصورة: ${\displaystyle a=2r\cos \theta$. وعند موقوع مركز الدائرة على النقطة ${\displaystyle (r,{\frac {\pi {2 )$ تأخذ المعادلة الصورة: ${\displaystyle a=2r\sin \theta$.

المستوى العَقَدي

الجذور الخماسية للعدد 1 في المستوى العقدي، جميعها تقع على دائرة الوحدة المركبة.

في المستوى العقدي، الدائرة ذات المركز ${\displaystyle c}$${\displaystyle z=r{e}^{it}+c}$${\displaystyle n}$

التفاضل والتكامل

في الدائرة ذات القطر ${\displaystyle d$ والشعاع ${\displaystyle r$،قد يكون مُحيطها ${\displaystyle C$:

$${\displaystyle C=\pi d=2\pi r$$

استخدم أرخميدس طريقة الاستنفاد لتقدير قيمة الباي.

بالإمكان الوصول إلى هذه النتيجة باستعمال صيغة طول القوس بالإحداثيات القطبية في التفاضل والتكامل:

$${\displaystyle C=\int _{0 ^{2\pi {\sqrt {r^{2 +\left({\frac {dr {d\theta \right)^{2 d\theta =\int _{0 ^{2\pi {r d\theta =2\pi r$$

استخدم أرخميدس طريقةَ استنفادٍ لحساب مساحة الدائرة. قطَّع فيها الدائرةَ إلى أربعةِ قطاعاتٍ مُتساوية، ثمَّ أعاد ترتيبها وأعاد تقطيها إلى قطاعاتٍ مُتساويةٍ مُجدداً، واستمرَّ في ذلك إلى حتى وصل إلى شكلٍ مُشابهٍ لمتوازي الأضلاع:

طريقة الاستنفاد التي استخدمها أرخميدس لتقدير مساحة الدائرة

خطوة1	خطوة2	خطوة3
النتيجة النهائية (قبل وبعد)

بُنيَت طريقةُ الاستنفادِ بناءً على افتراض حتى الدائرة قُسمَّت إلى قطاعات مُتساوية، وأن الشكل الناتج الأخير سيكون قريباً جداً من متوازي الأضلاع. وعلى ذلكَ فتكونُ مساحة الدائرةِ مُساويةً لمساحةِ مُتوازي الأضلاع، والتي يُمكنُ حسابها بقانون المساحة الخاص بمتوازي الأضلاع: وهوجداء القاعدة في الارتفاع. قاعدة متوازي الأضلاع ستكون نصف المُحيط (${\displaystyle 2\pi r$) بينما ارتفاعه هو${\displaystyle r$. وعلى ذلك تُصبح المساحة الكلية ${\displaystyle A=\pi r^{2$. حل طريقة الاستنفاد بالإمكان إعادة صياغته لجعله أكثرَ رسميةٍ في البراهين الرياضية عبر صيغة التكامل الآتية:

$${\displaystyle A=\int _{0 ^{2\pi {d\theta \int _{0 ^{r rdr=(2\pi )\left({\frac {1 {2 r^{2 \right)=\pi r^{2$$

في الأبعاد الأخرى

إسقاط ثلاثي الأبعاد للهايبرسفير، إحدى الأشكال في البعد الرابع.

الكرة

الكرة أوالفلكة هي سطح هندسي ثنائي تام التناظر، ينتج عن دوران دائرة حول أحد أقطارها.. تختص الدائرة في تعريفها حتى تكون النقاط التي تبعد البعد نفسه عن المركز على حتى تكون في المستوى نفسه أيضاً، وبهذا فإن النظير الثلاثي الأبعاد للدائرة هوالكرة، حيث أنها مجموعة النقاط التي تبعد البعد نفسه عن نقطة ثابتة في الفضاء. يتكون المبتر الجانبي للكرة من دوائر.

إذا بتر المستوى ${\displaystyle ax+by+cz+d=0$ الكرةَ ${\displaystyle x+y+z-2hx-2ky-2mz+e=0$، فانَّ المبتر الناتج سيكون دائرةً تُسمى دائرة المبتر. تكون دائرة المبتر أكبر ما یمكن عند مرور المستوى القاطع بمركز الكرة. وفي هذه الحالة، یكونُ نصف قطرِ الدائرة مساویاً لنصف قطر الكرة وتُسمَّى دائرة الكرة الكبرى. عدا ذلك، تسمى دائرة المبتر دائرة صغرى، لأن نصف قطرها أصغر من نصف قطر الكرة ومركزها یختلف عن مركز الكرة.

الأُسطوانة

هي مجسم ينتج عن دوران المستطيل حول أحد أضلاعه دورة كاملة فتكون قاعدة الاسطوانة دائرة. وبالإمكان تعريفه أيضاً على أنه مجسم يتشكل سطحه من جميع النقاط التي تبعد مسافة معينة عن بترة مستقيمة معطاة.

الكرة الفائقة

في الهندسة الرياضية متعددة الأبعاد، الهايبرسفير أوالكرة الفائقة (بالإنجليزية: Hypersphere)‏ هي مجموعة نقاط تبعد مسافةً ثابتةً عن نقطة مُعطاة تُسمى المركز. تُعد الهايبرسفير متعددة الشعب. ومع زيادة نصف قطرها، يزداد انحناؤها. المستويات الفائقة والكرات الفائقة هي مثال على السطوح الفائقة.

إنشاءات المسطرة والفرجار

تُستخدَم حواف المرسام لرسم الدوائرَ الصغيرة أوطلائها بالبخاخ والدهان على الجدران.

يُستخدم الفرجار في الرسومات الهندسية الدقيقة للدوائرَ، وأخذ قياسات الأضلاع ومطابقتها.

يُعدَّ الفرجار من أكثر الأدوات شيوعاً التي تُستخدم لِرسمِ دوائرَ أوأقواسٍ دائريةٍ. والفرجار هوأداة هندسية تقنية بالإمكانِ استعمالُها أيضاً لقياس المسافات على الخرائط والمخططات المعمارية. غالباً ما يُصنع الفرجار من بلاستيك أومعدن، ويتَكوَّنُ من طرفين: أحدُهما رأسُ إبرةٍ مُدبّبةٍ والآخرُ قلم رصاصٍ أوحِبْرٍ. إلا أنه في الفترة الحالية، بعد تطور تقنيات التصوير والتصميم الحاسوبي، اختُزِلَ استِعمالُ الفرجار والمرسام كاستعمالٍ دارجٍ المدارس والجامعات لتعليم التصميم والهندسة الرياضية. تُرسَم الدائرة بتثبيت رأس الفرجار المدبب (أوالإبرة) على الورقة ووضع رأس القلم على الورقة وتدويره حول البترة المثبتة. كما يُتَحكَّمُ بقياسٍ نصفِ قطرِ الدائرةِ عن طريق تعديل قياس الفتحة بين البترتين: الرأس المدبب والقلم، باستخدام المفصل العلوي للفرجار.

الإنشاء بمسطرة وفرجار هوإنشاء أضلاع، زوايا، وأشكال هندسية أخرى عبر استعمال المسطرة والفرجار فقط. وفي الهندسةِ الإقليدية، هاتان الأداتان هُما الوحيدتان المسموح باستخدامهما. وهوما جعلها تُسمَّى «هندسة المسطرة والفرجار».تربيع الدائرة، تثليث الزاوية ومضاعفة المُكعَّب كانت من أبرز المسائل الرياضية والمواضيع التي حاول فيها الرياضيون على مر التاريخ. إلى حتى أثبت بيير وانتزل وفيردينوند فون ليندمان استحالة تِلكُمُ المسائل.

القائمة الآتية تستعرض أبرز وأهم الإنشاءات الهندسية بالمسطرة والفرجار التي تدخل فيها الدائرة بوصفها عنصراً أساسيّاً:

• إنشاء عمود منصف لبترةٍ مُستقيمةٍ: بافتراض أنَّ ${\displaystyle {\overline {AB$ بترة مستقيمة، ارسم الدائرتين ${\displaystyle C(A,{\overline {AB ),C(B,{\overline {AB )$ وافترض أنهما يتقاطعان في ${\displaystyle X,Y$. إنَّ ${\displaystyle XY$ هُوالمنصف العمودي للبترة المستقيمة ${\displaystyle {\overline {AB$.

• إنشاء مُنصِّف لزاوية: يُنشئ منصف الزاوية ${\displaystyle \angle ABC$ كالآتي:

1. أنشئ الدائرة ${\displaystyle C(B,r)$ وافترض أنها تبتر شعاعا الزاوية ${\displaystyle {\overrightarrow {BA ,{\overrightarrow {BC$ في ${\displaystyle A',C'$ على الترتيب.
2. ارسم الدائرتين ${\displaystyle C(A',r),C(C',r)$ بأيِّ نصفِ قُطرٍ ${\displaystyle r$، وافترض حتى إحدى نقطتي تقاطعهما هي ${\displaystyle T$.
3. إن منصفَ الزاويةِ ${\displaystyle \angle ABC$ هو${\displaystyle BT$.
4. لإنشاء المنصف الخارجي للزاوية، طبق المراحل السابقة لكن مع أخذ الشعاعين: ${\displaystyle {\overrightarrow {AB ,{\overrightarrow {CB$.

إنشاء عمود منصف	إنشاء منصف زاوية	إنشاء سداسي منتظم	إنشاء مربع

• إنشاء مركز مُحيطة المثلث: لتكن ${\displaystyle A}$${\displaystyle O$، وبما حتى ${\displaystyle OA=OB=OC$ فإن الدائرة التي تمر بالنقاط الثلاثقد يكون مركزها ${\displaystyle O$. بالإمكان تعميم هذه الطريقة لأي مُضلّع دائري، وذلك بأخذ ضلعين منه وإنشاء العمودين المنصفين له.
  إنشاءات المسطرة والفرجار هي التي ميّزت الهندسةَ الإقليدية. ولهذا كانت تُسمّى: «هندسة المسطرة والفرجار».

• إنشاء مماس من نقطة خارج الدائرة: إذا كانت ${\displaystyle C(O,r)$ دائرةً، و${\displaystyle P$ نُقطةً خارجَها، فإنّ إنشاء مماس من النقطة ${\displaystyle P$ إلى الدائرةقد يكون كالآتي:

1. صِلْ ${\displaystyle OP$ ولتكن ${\displaystyle M$ نقطة تقاطعه مع الدائرة.
2. خُذ نقطة منتصف ${\displaystyle OM$ ولتكن ${\displaystyle N$.
3. ارسم الدائرة ${\displaystyle \Omega$ التي قطرها ${\displaystyle {\overline {OM$ أوبترميز الدائرة: ${\displaystyle C(N,{\frac {|{\overline {OM | {2 )$.
4. تقاطع الدائرة ${\displaystyle \Omega$ مع الدائرة الأصلية ${\displaystyle C(O,r)$ هما نقطتا تماس النقطة ${\displaystyle P$ مع الدائرة ${\displaystyle C(O,r)$.

• إنشاء المماس المشهجر الداخلي لدائرتين: لتكن ${\displaystyle A,B$ دائرتين معلومتين مركزاهما ${\displaystyle O_{1 ,O_{2$ على الترتيب. إنشاء المماس المشهجر لهما من الداخل،قد يكون كالآتي:

1. صِل ${\displaystyle O_{1 O_{2$ وارسم الدائرة ذات القطر ${\displaystyle O_{1 O_{2$ ولتكن ${\displaystyle \Gamma$.
2. ارسم الدائرتين ${\displaystyle C(O_{1 ,{\overline {O_{1 O_{2 ),C(O_{2 ,{\overline {O_{1 O_{2 )$ وافرض حتى نقطة تقاطعهما مع أحد نصفي الدائرة ${\displaystyle \Gamma$ هما ${\displaystyle C,D$ على الترتيب.
3. صل ${\displaystyle O_{1 C,O_{2 D$ وليبترا الدائرتين ${\displaystyle A,B$ في ${\displaystyle E,F$ على الترتيب.
4. كرِّر العملية مع نصف الدائرة ${\displaystyle \Gamma$ الآخر ولتكن نقاط التقاطع هي ${\displaystyle E',F'$.
5. المستقيمان ${\displaystyle EE',FF'$ هما مماسان مشهجران داخليان للدائرتين الأصليتين ${\displaystyle A,B$.

إنشاءات محالة

مسألة تربيع الدائرة تبحث حول إنشاءٍ بالمسطرة والفرجار لمربّعٍ ذي مساحةٍ تُساوي مساحة الدائرة المُعطاة.

مُكعّبُ وحدةٍ (بضلعٍ = 1) ومكعّبٌ آخر ذوضعف حجمهِ (ضلعه = ${\displaystyle {\sqrt[{3 ]{2$).

تربيع الدائرة

تربيع دائرة هي معضلةٌ وضعَها فهماء الهندسة القدامى. تتمثل في إنشاء مربع مساحته تساوي مساحة دائرة معينة باستعمال عدد منته من المراحل فقط بواسطة الفرجار والمسطرة. في عام 1882، أُثبت حتى هذه المهمة محالة، نتيجة لمبرهنة ليندمان-ويرستراس التي تُبرهن على حتى ${\displaystyle \mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}$

مضاعفة المكعب

عُرفت مسألة مضاعفة المكعب في الكثير من الأجناس كالمصريين، الإغريق، والهنود. تتمثل المسألة في تحويل أي مُكعّبٍ مُعطى إلى مُكعّب ذي ضعف الحجم. رياضياً، من المكعب ذي طولِ الضلع${\displaystyle s}$${\displaystyle {\sqrt[{3 ]{2$ بالمسطرة والفرجار.

تثليث الزاوية

مسألة تثليث الزاوية تبحث حول إيجاد إنشاء بالمسطرة والفرجار برسم ثلاثة مستقيمات تقسم الزاوية إلى ثلاثة زوايا مُتساوية القياس. ثبت استحالة إيجاد حل باستعمال المسطرة والفرجار على صورتها العامة لأي زاوية، لكن هناك زوايا خاصة مثل 90 بالإمكان تثليثها عبر إنشاءات المسطرة والفرجار.

التاريخ

يرجع تاريخُ هذه الأيقونةِ إلى القرن الثالث عشر الميلادي، وهي تمثل يسوع، وفقاً للمعتقد المسيحي، وهويُخلق العالم باستعمال فرجار في إدارة، أي: نظام الكون. وتظهرُ ما تُسمَّى بـ«هالة القداسة» دائريَّة الشكل.

عُرفت الدّائرة قبل بداية تسجيل التاريخ. ولوحظت الدّوائر في الطبيعيّة، كالقمر، الشمس والنّباتات ذات الأزهار الدّائرية. كانت الدائرة الأساس للعجلة، والتي ارتبطت لاحقاً بابتكارات أخرى كالتروس التي مكّنت من تطور الآلات الحديثة. في الرياضيات، ساعدت دراسة الدائرة في تطوير علوم الهندسة، الفلك، التفاضل والتكامل. بينما ارتبطت العلوم المُبكّرة كالهندسة، التنجيم، والفلك بالأديان عند معظم فهماء القرون الوسطى، والكثير منهم افترض بأن الدائرة - جوهريّاً - تحمل شيئاً «مُقدّساً» أو«كاملاً مثاليّاً». تُلخًّصُ النقاطُ الآتية أبرز الأحداث التّاريخية الهامّة في تاريخ الدائرة:

• في عام 1700 قبل الميلاد، أعطت ورقة قديمة تعود إلى ذلك الزمان كيفية تمكن من إيجاد مساحة الدائرة. تعطي هاته الطريقة قيمة مقربة ل π وهي 256 / 81 (أي 3.16049...).
• في عام 300 قبل الميلاد، تحدث الجزء الثالث من كتاب أصول أقليدس عن خصائص الدوائرَ.
• في الرسالة السابعة لأفلاطون، وُجِدَ تعريفٌ وشرحٌ للدائرةِ.
• في عام 1880، أثبت فيردينوند فون ليندمان حتى عدد متسام، ليحل وبشكل نهائي المعضلة المطروحة منذ آلاف السنين والمتمثلة في تربيع الدائرة.

الفراعنة

تقدير لمساحة الدائرة في بردية بيبرس، الشّكل المرسوم في البرديّة أعلاه هوثماني غير منتظم.

بردية ريند الرياضية التي وُجد عليها حسابات تقدير الدائرة.

إضافةً للنّقطة والخط المستقيم، عُرفت الدائرة على أنها من أقدم العناصر الهندسية من قبل الأغريق. ففي الألفية الثانية قبل الميلاد، كانت الهندسة من المجالات التي عمل عليها المصريون القدماء، وقدّروا مساحة الدائرة، عن طريق تربيع ثمانية أتساع طول قطرها، فحسبوا المساحة كالآتي:

$${\displaystyle A\approx \left({\frac {8 {9 d\right)^{2 ={\frac {256 {81 r^{2 =3{, 16049\dotso \cdot r^{2$$

نسبة الخطأ التي وُجدت في حساباتهم كانت بزيادة 0.6%. ووُجد هذا التّقدير في بردية ريند الرّياضيّة، والّذي اتى بعد تقريب مساحة الدائرة إلى ثُماني غير منتظم.

البابليون

استخدم البابليّون (1,900 حتى 1,600 ق.م) طريقةً مُغايرة لحساب مساحة الدّائرة. خلافاً لما عمله المصريّون، قدّر البابليَّون مُحيط الدّائرة بثلاثة أضعاف قطر الدّائرة. بينما قُدِّرت مساحة الدّائرة بإنها واحد من اثني عشر من مربع طول المحيط. هي:

$${\displaystyle A\approx {\frac {1 {12 U^{2 \approx {\frac {9 {12 d^{2 =3r^{2 ,$$

بنسبة خطأ نقص حوالي 4.5%. ارتبطت أعمال البابليين بأضلاع الدائرة أيضاً. وكانوا قادرين على إيجاد طول الوتر أوعُمقه. وبهذه الطّريقة هيَّأوا الأساس لهندسة الأوتار التي طوّرها بعدئذ هيبارخوس. ووضع بطليموس كلوديوس أساساتها في كتابه الفلكي «المجسطي».

الإغريق

يُعتبر عهد الإغريق أحد الفترات الزمنية المؤثرة في توثيق الأعمال الهندسية التي من بينها الدائرة. في هذه الفترة انتشرت الكثير من المؤلفات الهامة، ونُسبت الكثير من النظريات لفلاسفة ورياضيي الإغريق.

طالس

يُعتبر طالس (546-624 ق.م.) أحد الفلاسفة والرياضيين المُؤثرين في فترته. إذ نقل العلوم الهندسية من مصر إلى الإغريق. وتنص المبرهنة المنسوبة إليه على حتى الزوايا المحيطية لنصف الدائرة قائمة.

أول تعريف وُضِعَ للدائرة يرجع إلى الفيلسوف الإغريقي أفلاطون (428/427-348/347 ق.م.) الّذي صاغها في حواره بارمنيدس:

«الدّائرة قد تكون ذلك الشّكل الذي أطرافه تحمل نفس البُعد من المركز.» – أفلاطون، بارمنيدس

إقليدس

غلاف كتاب العناصر المُترجم إلى الإنجليزيّة سنة 1570م.

أقدم مخطوطة لكتاب إقليدس العناصر باللغة اليونانية (حوالي 100 قبل الميلاد)، عثر عليها في منطقة البهنسا الأثرية، وهي من الجزء الثاني من الكتاب.

لم يُعهد عن الرياضياتي الإغريقي أقليدس الإسكندرية (300 ق.م.) سوى القليل. إلا حتى أغلب عمله في مجال الهندسة كان له تأثيراً حتى الوقت الحاضر. إذ لا تزالُ تُنسبُ إليه بعض المفاهيم والأفكار في الرّياضيات. كالفضاء الإقليدي، الهندسة الإقليدية والقياسات الإقليدية. استخلص إقليدس مقترحاتٍ لمسلّمات رياضية، نشرها في كتابه العناصر. كما أنه وثّق أعمال الرياضيين الذين سبقوه في هذا المجال وأدرج البراهين الرياضية لنظرياتهم، يُعرِّف إقليدس الدائرة في كتابه العناصر قائلاً:

«الدّائرة هي شكل مُسطّح يحصره خط واحد، وبحيث جميع الخطوط المستقيمة مرسومة من نقطة مُعيّنة داخلها إلى الخط الحاصر مُتساوية. فإن الخط الحاصر يُسمّى مُحيطاً والنقطة المُعيّنة تُسمّى مركزاً.» – إقليدس، كتاب العناصر

كان كتاب العناصر لإقليدس أحد أبرز أعماله ومن الخط الرائدة في مجال الهندسة. يتكون الكتاب من 13 فصلاً جمع فيها منطقاتٍ مُلخّصة. نظّم من خلالها وعلوم الحساب والهندسة وأفكارها وقتئذ. في الفصل الثالث من الكتاب جمع إقليدس جميع المفاهيم المُتعلّقة بالدّائرة ونظّمها فيه.

أرخميدس

أثبت أرخميدس في دراساته «كرسيمس» حتى مساحة الدائرة مُساوية لنصف المحيط مضروباً في نصف القطر. وبهذا المفهوم فقد طرح مسألة تربيع الدائرة: «كيف تُنشئ المحيط من نصف قطر مُعطىً». وفي ورقته قياس الدّائرة حصر أرخميدس قيمة ${\displaystyle \pi$ برسم مُضلّعات مُنتظمة تمس الدائرة من الخارج تارةً ومن الدّاخل تارةً أخرى وإيجادها بنسبة المُحيط إلى القطر: ${\displaystyle 3{\tfrac {10 {71 <\pi <3{\tfrac {1 {7$. ومن المتباينة${\displaystyle \pi <3{\tfrac {1 {7$ يُستخدم التّقدير الشّائع، والّذي لا زال يُستعمل حتى اليوم بأن ${\displaystyle \pi \thickapprox {\tfrac {22 {7 =3.1428...$. ومن العلاقتين يُمكن استنتاج حتى مساحة الدائرة إلى مربع قطرها مُساوٍ تقريباً إلى ${\displaystyle {\tfrac {11 {14$. وكان أقليدس على فهم بأن مساحة الدائرة تتناسب مع مربع قطرها. وبذلك قدَّم أرخميدس تقديراً جيّداً لهذا الثّابت النسبي.

في عمل آخر لأرخميدس «على اللوالب» وصف أرخميدس إنشاءً نُسبَ اسمه إليه لاحقاً بـ«لولب أرخميدس». بهذا الإنشاء استطاع أرخميدس تحويل محيط دائرة ما إلى خط مستقيم. وبهذه الطّريقة، فإنه يستطيع تحديد مساحة الدائرة بدقة. رغم استحالة إنشاء اللولب باستعمال المسطرة والفرجار فقط.

أبولونيوس

صفحة مترجمة من كتاب المخاريط لأبولونيوس، نُقلت إلى العربية في القرن التاسع بعد الميلاد.

حلٌّ (بالوردي) لمسألة أبولونيوس، تمسُّ الدائرةُ الورديةُ الدوائر المعطاة مُلّونة بالأسودِ.

فصّل أبولونيوس البرغاوي (262-190ق.م) في قطاعه المخروطي «كونيكي» حتى الإهليلج والدّائرة ما هما إلا جزئي قمع مخروطي قائم، والتّي لا زالت حتّى تُتدارس على هذا الأساس في الهندسة الجبرية. عمل على مراجعة أعمال سابقيه في هذا المجال إقليدس وأرسطيوس (حوالي سنة 330 ق.م.) وكثّف الأطروحات والدّراسات حول القطوع المخروطية.

قدَّم أبولونيوس مسألةً عُرِفت لاحقاً بمسألة أبولونيوس طرح من خلالها تساؤلاً حول كيفية إنشاء دائرة تمسّ ثلاث دوائرَ باستعمال الأدوات الإقليديّة: الفرجار والمسطرة فقط. مقارنةً بالعناصر الإقليديّة، لوحِظت أعمال أبولونيوس أكثر في العالم الإسلامي. في أوروبا الغربيّة، أصبحت خطه أكثر أهمية خلال القرن السابع عشر الميلادي، عندما لاحظ يوهانز كيبلر حتى الإهليلج هوالمسار الحقيقي التي تتخذه الكواكب حول الشمس.

العصور الوسطى

مخطوطةٌ لترجمةٍ عربيةٍ من كتاب «المخاريط» لأبولونيوس.

مخطوطة عربية تظهرُ فيها رُسومٌ فلكية تأخذُ مداراتٍ دائريةً.

أثناء حكم المأمون في خراسان (القرن الثالث للهجرة)، ترجم بنوموسى كتاب المخاريط لأبولونيوس من اليونانية إلى العربية. كان بحوزة بني موسى نسخة غير مكتملة من الخط، لذا فإن القطوع المخروطية لم تنقل كاملةً وقد قابلوا صعوبةً في ترجمة العبارات. بعدئذٍ بفترةٍ، قدّم الحسن ابن موسى نظرية القطوع المخروطية التي وصف فيها بدايات وأساسيات للقطوع المخروطية. مهّد فيها مقدمةً لفهمها. بعد وفاته، أكمل أخوه أحمد الذي كان يعيش في المشرق نسخة مكتملةً من أعماله. سلم أحمد وأخوه محمد النسخة المترجمة من أول أربعة فصول من كتاب المخاريط إلى هلال حمصي، ومن الفصل الخامس حتى السابع إلى ثابت بن قرة. النسخة الوحيدة التي تبقت من الترجمة هي التي كانت بحوزة بني موسى واحتوت على الفصول الخامسة والسادسة والسابعة.

قدّم بنوموسى حلاً باستخدام القطوع المخروطية لمسألة تثليث الزاوية. كما قدّم أبوجعفر الخازن وأبوسهل القوهي والسجزي وأبوالريحان البيروني ثلاثَ مسائلَ مُبرهنين على أنه بحل هذه المسائل، ستحل مسألة تثليث الزاوية تباعاً. بطلبٍ من عضد الدولة بن بويه، خط عبد الرحمن بن عمر الصوفي كتاباً بعنوان: «رسالة فی عمل المتساویة الاضلاع کلها بفتحة واحدة». والذي وضّح فيه طريقةَ رسمِ مضلع منتظم باستعمال المسطرة والفرجار فقط. وفي كتابه: «فیما یحتاج إلیه الصانع من الأعمال الهندسية» أواختصاراً كتاب «الأعمال الهندسية» درس أبوالوفاء البوزجاني، استكمالاً على أعمال عبد الرحمن الصوفي، في رسم الأشكال الهندسية بالفرجار والمسطرة. حَسَبَ غياثُ الدين الكاشي نسبةَ محيطِ الدائرة إلى قطرها أو${\displaystyle \mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}$

في الثقافة والفن

أخذت الدائرةُ الأساسَ في بناء الكثير من التكوینات الفنیة وارتبطت بالكثير من المفاهيم فيها. إلا أنه مع ذلك، كان للنظرة المجتمعية والعالمية تجاه الدائرةِ تأثيراً على إدراك ونظرة الفنان لها وجعله منحازاً أكثر تجاه مفهوم معين. فثمّة من يرى أنّ شكل الدائرة المُحيط يُمثّل الوِحدَة والإيحاء بالديموقراطية، ولهذا يُوجد في مجالس الشورى والبرلمانات. بينما ترى بعض المعتقدات الروحانية على أنَّ الدائرة ترمز إلى الاستمراریة واللانهائیة والسرمدیة والتي هي طبيعة هذا العالم. في تنطقيدٍ دينيةٍ أخرى، الدائرة تُمثل الأجسام السماوية والأرواح الملائكية وترمز إلى الكثير من المفاهيم المُقدّسة، منها الاتحاد، الاكتمال والكون، الألوهية والاتزان، الثبات والمثالية، من بين عديد من المفاهيم. وفي الفن، تُؤوّلُ الدائرة للقدر والمصير، أوالموروث التقليدي للتشاؤم والتفاؤل على حدّ تعبير بعض الفنانيين. كما حتى هناك من يربطها بالمفهوم القابع في شعار اليين واليانغ، والذي يربط بين المفاهيم المتضادة: كالخير والشر، الفناء والخلق، الموت والولادة، الفوضى والتناغم، الجمود والحركة. هذا الخليط من المفاهيم أدى إلى انتنطقها بين الثقافات، فوُجدت على سبيل المثال في البوصلة، الهالة، الترميز للعين والبصيرة، وقوس القزح والدارما، ونوافذ بعض المعابد والمباني الدينية، والأوربوروس.

في فنون الحضارات القديمة، حضرت الدائرة، للدلالة على الشمس أوالقمر، مثل المنحوتات الجدارية الفرعونية، حيث يعلوالرأس قرص مستدير يرمز إلى الشمس. كما ظهرت الكرة السماوية والكرة الأرضية في عدد كبير من اللوحات الأوروبية ما بين عصر النهضة والقرن التاسع عشر. وفي معظم الأحيان للدلالة على المكانة الفهمية للشخص المرسوم، أوللإشارة إلى عمله كبحار أوكجغرافي. في عام 1913م، رسم فاسيلي كاندينسكي لوحته «دوائرُ ضمن مربعات»، ليؤسس بها تيار التجريد الهندسي. وحظيت الكرة بدفع كبير في الفن البصري على يد الفنان فيكتور فازاريلي الذي رسم عشرات اللوحات المؤلفة من مربعات هندسية تماماً، تبدأ أضلاعها بالتقوس حدثا اقتربت من وسط اللوحة، لتشكِّل ما يظهر كرة أونصف كرة، ناتئة من اللوحة التي هي في الواقع مسطحة تماماً.كما ظهرت مئات الأعمال الفنية المعاصرة المكوّنة من كرات بسيطة، بعضها معلَّق في سقف إحدى الصالات الفنية كما هوالحال في «مركز هونف فوف» في ميونيخ بألمانيا، وبعضها موضوع في الأماكن العامة كما هوالحال أمام «متحف مارتا» في هيرفورد بألمانيا أيضاً، أوكالكرة التي صاغها الفنان إريك بريدي لحديقة الفاتيكان. ونتيجة لتطور فن التصميم الطباعي خلال القرن الماضي بات هناك مئات الفنانين المتخصصين في رسم الكرة الأرضية بأساليب تعبيرية وجمالية، تأتي الدقة الجغرافية في آخر اهتماماتها.

حينقد يكون المؤتمِرون من رتبة واحدة، كرؤساء الدول مثلاً، أوالوزراء النظراء من بلدان مختلفة، فلا تُستعمل الطاولة المستطيلة. إذ حتى الطاولة المستديرة ترمز إلى المساواة وطلب الصلح ومضادة للطبقية. ويُعتقد حتى هذا الترميز يعود إلى الملك البريطاني آرثر حين ساوى بين الفرسان الذين التمّوا حول محيط الطاولة في عاصمته كاميلوت. إلا حتى وينستون تشيرشل حاول إبطال هذا المفهوم بقوله: «أينما أجلسقد يكون رأس الطاولة».

في 1655م، استلهم عالِم الرياضيات البريطاني جون وليس رمزاً للإشارة إلى اللانهائية، وهوتعبير عن دائرة منبعجة يحولها إلى دائرتين مرسومتين بخط واحد، يشبه الرقمثمانية المقلوب. ومن رمزيته الفهمية إلى الأرقام اللامتناهية، استمدَّ هذا الشكل رمزية أخرى، فأصبح اليوم أيضاً شكلاً فنياً، اعتمده كثير من المصمِّمين لصياغة حلي على سبيل المثال ترمز إلى ديمومة العلاقات.

استخدمت الدائرة في خلق التجانس الزخرفي مع الخط العربي بشكل مكثف بين الخطوط والأشكال. تُرسم النجوم في الزخارف العربية مُشتقةً من الدائرة وبأخذ مقاييسها. يذكر أبوحیان التوحیدي: «وأما الصورة الفلكیة فداخلة تحت الرسم بالعرض، وللوهم فیها أثر كبیر، ولأنها مأخودة من الجسم الأعظم صارت مشاكهتها مقسومة بین البسیط الذي لا هجریب فیه البتة، وبین المركب الذي لا یخلومن الهجریب البتة.». وقد ابتكر المسلمين العرب الصفر على هيئة الدائرة للدلالة على دورها التولیدي في حساب الأرقام. يرى كثيرون حتى في الدائرة عاملُ جذبٍ قويّ للعين، استدلالاً على كثرة استعمالها في علامات السلع التجارية وترويجات التخفيضات وغيرها.

التطبيقات والاستعمالات

ميكانيكيَّةُ تحويلِ الحركة الدائرية المُستمرة إلى حركة دائرية متبترة.

الدولاب هوقرص مستدير يُصنع من مادة صلبة ويُستعمل بشكل رائج في العربات للتنقل. ويُصنّف باحثون على أنَّ اختراع الدولاب من أبرز ما اخترع البشر، إذ أنه أدى إلى تطوّرهم الفهمي والتكنولوجي. وُجد أقدم دولاب بين الآثار الباقية من التاريخ، بعمر يصل إلى 3,000 سنة. كما احتوت النقوش السومرية والفرعونيّة رسوماً لعربات بدواليب، عمرها 5000 سنة. ويُرجح حتى الحيّاكين والنسّاجين والخزّافين وصانعي الفخّار والآجرّ، كانوا من أوائل من استخدم الدولاب في مهنتهم.

إن الأوعية الفخّاريّة التي كان الخزّافون يصنعونها، كانت ضرورية لخزن الماء والمشروبات وحتى الحبوب وغيرها من الأغذية، في المستقرّات الزراعية التي نشأت من حولها القرى والمدن الأولى. وكانت تعتمد آنية الفخّار على أساسٍ طيني على شكل قرص، والذي يديره الخزّاف لصنع آنيته. ومن هذه الدواليب الأولى، طوّر البشر شيئاً فشيئاً صناعة الدولاب، إلى أطر العجلات والعربات ثم المركبات فالسيارات. كما حتى الدائرة كانت الأساس للمحرك الكهربائي والمراوح وبقية المحركات الأخرى.

معرض صور

براهين وعلاقات

• مساحة الدائرة تساوي: ${\displaystyle \pi$ × مساحة المربع الملون. يُوضّح هذا الرّسم حتى مساحة الدّائرة ينبغي -بتراً- حتى تكون أقل من ${\displaystyle 4r^{2$.

• رسم توضيحي لمثلث في المستوى ${\displaystyle \mathrm{△<!--\; △\; -->}ABC}$${\displaystyle H$ هي نقطة تقاطع ارتفاعات المثلث. النقطة ${\displaystyle N$ هي مركز دائرة النقاط التسع. النقطة ${\displaystyle G$ هي نقطة تقاطع متوسطات المثلث. النقطة ${\displaystyle O$ هي مركز الدائرة المحيطة بالمثلث.

• هلِالا الحسنِ ابنِ الهيثم: مجموع مساحة الهلالين (بالأزرق) مُساوٍ لمساحة المثلث الأخضر.

• حالات أزواج الدوائر المُختلفة.

• القيم الشهيرة المُرتبطة بدائرة الوحدة.

• إنشاء خماسي منتظم باستعمال الفرجار والمسطرة.

• الزوايا التي يصنعها مماس الدائرة المحيطة لمثلثٍ عند رأسه

• مُقاربة لتسمية بعض المصطلحات المتعلقة بالدائرة بأسمائها؛ كالقوسِ والوَتر وعمق القوس، ونقطة المنتصف.

• حالات الزوايا بالنسبة لدائرة.

• الزوايا المماسية والمركزية والخارجة عن رباعي دائري.

الترميز الموحد

العلامة	تمثيل اليونيكود البرمجي:(Hex)	بالإنجليزية
○	U+25CB	WHITE CIRCLE
●	U+25CF	BLACK CIRCLE
◯	U+25EF	LARGE CIRCLE
	◌	DOTTED CIRCLE
	◍	CIRCLE WITH VERTICAL FILL
	◎	BULLSEYE
	◉	FISHEYE

في الأعلام والرموز

• فهم كوريا الجنوبية.

• فهم اليابان.

• فهم الهند.

• فهم البرازيل.

• شعار الألعاب الأولمبية.

• شعار ماسهجرارد إحدى الشعارات التي يظهر فيه استخدام الدَّائرة بوضوح.

• شعار تويتر مُنشأ بالكامل من مناطق محصورة بين دوائر.

في اللغات والثقافة

• رسم مأخوذ من مخطوطة آيسلنديَّة تعود إلى حوالي عام 1750م، ويوضح نموذج مركزية الأرض.

• تُرسم دائرة صغيرة فوق الحُروفِ العربيَّة للتعبير عن سكون الحرف.

• تستعملُ اللغةُ اليابانيَّةُ الدَّائرة لتفخيم أوتغيير نطق بعض المقاطع الصّوتية برسمها فوقها. كما أنها تستعمل الدَّائرة كنقطة نهاية السَّطر (。 )

• تُستعمل الدَّائرة فوق الحروف اللاتينية لبعض اللغات الأوروبيَّة مثل النّرويجية، السُّويديَّة والفنلنديَّة.

• الصِّفر 0 وحرف الـO من حروف الأبجدية اللاتينية من الحروف المُتناظرة والشبيهة جداً بالدائرة.

• تتميز اللغة الكورية عن غيرها من بقية اللغات الشرق آسيوية بأن حروف أبجديتها تحوي أشكال بيضاوية ودوائر.

• الماروجيروشي (باليابانية: 丸印) أوالغونجبو(بالكورية: 공표, 空標)، هي اسم للرمز "◯" المستعمل للدلالة على الإيجاب والموافقة في شرق آسيا، وهي مماثلة في استخدام علامة الصح. عكسها هوعلامة الشطب ("✗") أو("×").

• لعبة إكس-أوه من الألعاب التي تتضمن شكل الدائرة.

• علامة اليين واليانغ ترمز لكيفية عمل الأمور في الفهم الصيني القديم.

في التقنية والعلوم

• تّقنيَّاً، الشّكل الدائري للعجلة يُمكّنها من الحركة الدّورانية.

• الساعات من الأمثلة الشائعة في الحياة اليومية عن توظيف الشكل الدائري في الأمور المتكررة.

• التروس هي العناصر الأساسية والبسيطة للحركة في الهندسة الميكانيكية.

• المراوح تأخذ الشكل الدائري لأنه الشكل الذي تتخذه المُحركات.

• مُحرِّكات الطيارات دائرية الشكل.

• الشكل الدائري للكاميرا يُمكِّنها من التقاط الضوء من نواحٍ متعددة.

• العدسات المقعرة والمُحدّبة تصنع في الغالب على قوالب دائرية.

• عوامات السباحة تصنع بشكل دائري لتوزيع قوة الطفوعلى جميع أنحاء الجسم وسهولة تعلقه فيها.

• تُصنع أغطية المجاري وغيرها بالشَّكل الدَّائري لتوزيع الضّغط. (انظر: إجهاد اسطوانة).

• ترمز الدائرة إلى انقطاع التيار الكهربائي في منطقيد الأجهزة الإلكترونية.

• تطور مقود السيارة في فترات مختلفة.

• أنابيب نقل السوائل والغازات.

• تُستعمَلُ الدَّائرةُ كرمز لقياس درجة الحرارة في أغلب المعايير الحراريَّة، منها: الدَّرجة المئويَّة (°C)، والفهرنهايت (°F) والدليزل (°D) والنيوتن (°N) والرومير (°Ré) والرومر (°Rø) والودجوود (°W).

• يُشار لقياس الزَّوايا والأقواس الدَّائريَّة بدائرة صغيرة وتُنطق: «درجة».

• في نظام الإحداثيَّات الجُغرافيَّة، تُصنَّف خطوط الطُّول ودوائر العرض بالنَّسبة لبعدها عن خط الاستواء، ويُقاس كُلّ منها بالدرجة التي يرمز لها بالدَّائرة.

• تُستعمل الدّرجة لقياس هجريز الكحول وتُرسم دائرةً.

• تُستخدم الدَّوائر لتمثيل علاقات ڤن في نظرية المجموعات.

• علامة النسبة المئوية «%» تُستخدم للتعبير عن عدد على شكل كسر من مئة.

في العمارة والفنون

• قبة زجاجية في إحدى مطاعم مدينة باريس.

• برج طغرل من الدّاخل.

• بترة دائريَّة من الحرير مع نقوش منغوليَّة.

• إحدى الجسور الرومانية في إيطاليا.

• تتخذ الدوارات المرورية الشكل الدائري المتناظر لتنظيم عملية سير السيارات.

• دوائر في لوحة فن تجريدي للفنان روبرت ديلواني.

• طبق أثري يعود تاريخه إلى القرن الثالث عشر الميلادي في متحف شانغهاي.

• عجلات ملاهي الألعاب ليلاً.

• زخرفة إسلامية على شكل دائرية لجملة "يا غفَّار".

• لوحة الفلكي للفنان يوهانس فيرمير.

• لوحة مربعات في دوائر متعرجة للفنان فاسيلي كاندينسكي.

• لوحة دوائر في دائرة للفنان فاسيلي كاندينسكي.

• لوحة عدة دوائر للفنان فاسيلي كاندينسكي.

في الطَّبيعةِ

• عين إنسان.

• كريات الدَّم الحمراء هي المسؤولة عن نقل الغذاء والأكسجين لأجهزة الجسم.

• فوّهة تايكو، واحدة من الأمثلة المتعددة التي تظهر فيها الدوائر في الطبيعة.

• الشكل الكامل لقوس المطر هودائرة كاملة، ويُسمَّى الجُزءُ الَّذي يُمكنُ رؤيتهُ منها فوق الأفق قوساً.

• هالة الشَّمس أثناء الكسوف الكُلِّي.

• الشَّمس، واحدة من بلايين الأجرام السَّماويَّة التي تظهر بشكل القرص الدَّائريّ.

• دوائر المحاصيل تحدث عند دهس حقل من المحاصيل، وقد استخدمت للترويج.

• الموجات الناتجة على سطح الماء دائريَّة.

• حلقة تكونت بعمل نموالفطريات.

• دوائر الحجر.

• بتر من فواكه متنوعة من فئة الحمضيات.

• الحلزون أبيض الطرف هونوع من الحلزونات البرية الشائعة في أوروبا.

• تباع الشمس هي نبتة بذور زيتية.

انظر أيضاً

دائرة في المشاريع الشقيقة

---

• صور وملفات صوتية من كومنز
• دروس من ويكي جامعة.

ويكي مصدر يحتوي على نصوصٍ ومنطقات من the موسوعة بريتانيكا الحادية عشرة 1911 عن Circle.

يوجد في ويكي مصدر خط أومستندات أصلية تتعلق بـ: الدائرة في كتاب مفاتيح العلوم لمحمد بن أحمد الخوارزمي

ابحث عن دائرة في ويكاموس.

قائمة من الحدثات متعلقة بالدائرة، انظر في ويكاموس القاموس الحر.

• قائمة المواضيع المتعلقة بالدائرة.
• علامة O.
• حلقة
• كرة
• مخروط.
• بتر ناقص أوالشكل البيضاوي.
• بيضاوي ديكارتي.
• بتر مكافئ.
• بتر زائد.
• مثلث.
• حساب مثلثات.

دوائر خاصة

• دائرة وحدة.
• دائرة أبولونية.
• دائرة أرخميدية.
• دائرة جونسون.
• دائرة فائقة.
• كرة فائقة.

في مثلث

• دائرة داخلية.
• دائرة خارجية.
• دائرة محيطة.
• دائرة محيطة بمثلث قائم.
• دائرة النقاط التسع.
• دائرة ليستر.
• دائرة مالفاتي.
• دائرة بروكار.

في أشكال أخرى

• دائرة رباعي داخلية.
• دائرة مضلع محيطة.
• نقاط مشهجرة بدائرة.
• نقاط دائرية في اللانهاية.
• دائرة عظمى.
• دائرتا فيلاركو.

ملاحظات

1. ^ في بعض الكُتب يُذكر هذا التّعريف نفسه، مع تقليل المصطلحات لمراعاة الفترة الدّراسية التي يستهدفها الكتاب. كالتعريف الآتي على سبيل المثال: "الدائرة: هي مجموعة نّقاط على مستوى تبعد البعد ذاته من نقطة ثابتة ما، هي مركز الدّائرة". هذا المحل الهندسي من النّقاط هومجموعة غير منتهية.
2. ^ يُشتَرط لنصف قطر الدائرة ${\displaystyle r}$
3. ^ يُسمّى المركز نقطة المنتصف أوالنّقطة المركزية أيضاً. والترميز O اتى من اللاتينية: Origin بمعنى نقطة الأصل. بينما M من الإنجليزية: Midpoint والتي تعني نقطة المنتصف. بينما اتى الترميز العربي للمصطلح من حدثة «مركز».
4. ^ من اللاحقة اللاتينية: Circum- والتي تعني يُحيط. ويُقرأ مُحيط الدَّائرة ${\displaystyle O$. بينما اتى الترميز العربي من أول حرفين من حدثة «محيط».
5. ^ من اللاتينيّة: Area أي: بترة مستوية وفارغة من مستوى الأرض. بينما اتى الترميز العربي بأخذ أول حرف من «مساحة».
6. ^ من اللاتينية: Radius بمعنى شعاع. بينما اتى الترميز العربي من حروف البداية لحدثتي «نصف قطر»
7. ^ من اللاتينية المأخوذة من الإغريقية: Diagonios بمعنى من زاوية إلى زاوية (القطر). بينما اتى الترميز العربي من أول حرف من حدثة «قطر»
8. ^ نصف القرص هوحالة خاصة من البترة، ويُعهد أيضاً بأنه أكبر بترة في الدائرة.
9. ^ لاحظ حتى تعريف الدّائرة ينص على أنّها "مجموعة نقاط".
10. ^ يُعهد نصف القطر المماسي لمضلع منتظم على أنه البعد بين مركز المضلع المنتظم وأحد أضلاعه. (انظر أيضاً: مسافة بين نقطة وخط)
11. ^ يُعهد نصف القطر المحيطي لمضلع منتظم على أنه البعد بين مركز المضلع المنتظم وأحد رؤوسه.
12. ^ القطر هوحالة خاصّة من الوتر، حيث ينطبق عليه نفس تعريف الوتر ويُمكن القول بإنّ القطر هوأطول وتر ممكن في الدّائرة. يُرمز للقطر بـ"ق" أو"2 نق" حيث حتى طوله ضعف طول الشّعاع.
13. ^ القياسقد يكون عبر إحاطة مُحيط الدائرة بخيط ثُمّ قياس طوله بعد فرده مستقيماً لاحقاً.
14. ^ يُقرأً پاي.
15. ^ الزاوية الداخلية هي عكس الزاوية المُنعكسة. (انظر أيضاً: زاوية)
16. ^ سُمِّيت بذلك لأن رأسها يقع على نقطةَ المركز.
17. ^ سُمِّيت بذلك لأن رأسها يقع على محيط الدائرة وتحصر جزءاً منه.
18. ^ سُمّيت بذلك بسبب انحصارها بين وتر وومماس على الدائرة.
19. ^ ${\displaystyle Int~C(O,r)$هوترميز لمجموعة النقاط الداخلية. و${\displaystyle Int$هواختصار للحدثة الإنگليزيَّة: ${\displaystyle Interior$والتي تعني داخليّ.
20. ^ ${\displaystyle Ext~C(O,r)$هوترميز لمجموعة النقاط الخارجية. و${\displaystyle Ext$هواختصار للحدثة الإنگليزيَّة: ${\displaystyle External$والتي تعني خارجيّ.
21. ^ أي: إما حتى تكون حادة أوقائمة.
22. ↑ المسافة بين نُقطة ومُستقيم تُعهد بأنها المسافة العموديّة بين النّقطة والمُستقيم. وتُقاس بقياس طول العمود السّاقط من النقطة على المستقيم، ويُرمز للمسافة بين نقطةٍ ما ${\displaystyle P}$
23. ^ أويبتر الدائرة في نقطة واحدة.
24. ^ لاحظ حتى طول قطر الدائرة ${\displaystyle C(O,r)$ثابت ويساوي ${\displaystyle 2r$وأن أي وتر آخر لا يمثل قطراً فإن طوله أصغر من قطر الدائرة.
25. ^ أويُعبَّر عنه أحياناً بـ: ثلاث نقاط ليست على استقامة واحدة.
26. ^ تتضمن الدوائر الماسة للمثلث الدوائر الداخلية والخارجية.
27. ^ أوبشكلٍ مُكافئ، وُجدت نُقطة داخل الرُّباعي بحيث تبعد بعداً متساوٍ عن رؤوسه.
28. ^ الرمز ${\displaystyle \cap$ يُشير إلى «تقاطع».
29. ^ إشارةُ مركز التشابهِ هي كما تجاوز ذكره: موجبةٌ لمركز التشابه الخارجي، وسالبة لمركز التشابه الداخلي.
30. ^ ويطلق عليها أيضاً اسمَ الدائرة المثلثية
31. ^ عكس اتجاه عقارب الساعة لأجلِ زاويةٍ موجبةٍ ${\displaystyle \theta >0$، وفي اتجاه عقارب الساعة من أجل زاويةٍ سالبةٍ ${\displaystyle \theta <0$.
32. ^ ويُطلق عليها اسم «معادلة بارامترية» أيضاً (بالإنجليزية: Parametric equation)‏.
33. ^ وهوفي الواقع ${\displaystyle \pi$ ضعف طول القطر أي ما يُساوي تقريباً 3.14 ضعف طول القطر، وهوتقدير قريب نوعاً ما نسبةً إلى ذلك الزّمن.

مراجع

باللغة العربية

1. ↑ أديب, عادل نسيم (2009-01-01). . المنهل. ISBN . مؤرشف من الأصل في 12 مارس 2020.
2. ↑ سمحان, معروف; التويجري, نجلاء; توبان, ليانا (1437هـ/2016م). (الطبعة الأولى). الرياض: العبيكان للنشر. ISBN . مؤرشف من الأصل في 07 مارس 2020. اطلع عليه بتاريخستة سبتمبر، 2017م..
3. ↑ صابر, طارق; أندريكا, دورين (1434هـ). . الرياض. دار الخريجي للنشر والتوزيع. مؤرشف من الأصل في 18 ديسمبر 2019. اطلع عليه بتاريخ 21 سبتمبر، 2018م.
4. ↑ كتاب الأصول لإقليدس، ترجمة: الطوسي، نصير الدين محمد بن محمد، 1201-1274 نسخة محفوظة 23 مارس 2019 على مسقط واي باك مشين.
5. ↑ العلاقة التكاملية بين التكوينات الرمزية والأبعاد الرياضية الهندسية للدائرة في الفن التشكيلي، جبريل, جمال الدين محجوب الجاك; مشرف, -سليمان يحي محمد نسخة محفوظة 11 مارس 2020 على مسقط واي باك مشين.
6. ↑ القافلة, فريق. "الدائرة | مجلة القافلة". مؤرشف من الأصل فيعشرة فبراير 2018. اطلع عليه بتاريخ 12 مارس 2020.
7. ↑ "الدوائر (العام الدراسي 8, الهندسة والوحدات) – Matteboken". Matteboken. مؤرشف من الأصل في 05 سبتمبر 2017. اطلع عليه بتاريخ 05 سبتمبر 2017.
8. ↑ سعيد سعد الفهمي الزهراني (2013). المرجع في أولمبياد الرياضيات. مطابع الحميضي. ISBN .
9. ↑ "الرموز الهندسية نموذج الدائرة ومداها المفاهيمي في التجربة التشكيلية". دنيا الرأي. مؤرشف من الأصل في 11 مارس 2020. اطلع عليه بتاريخ 11 مارس 2020.

بلغات أجنبية

1. ↑ "Circle definition with calculator - Math Open Reference". www.mathopenref.com. مؤرشف من الأصل فيستة سبتمبر 2019. اطلع عليه بتاريخ 11 مارس 2020.
2. ^ "Conic section - circle - Math Open Reference". www.mathopenref.com. مؤرشف من الأصل في 21 أغسطس 2019. اطلع عليه بتاريخ 12 مارس 2020.
3. ^ "Simple proofs: Archimedes' calculation of pi « Math Scholar". mathscholar.org. مؤرشف من الأصل في 22 أغسطس 2019. اطلع عليه بتاريخ 12 مارس 2020.
4. ^ "Approximating Pi — NOVA | PBS". www.pbs.org. مؤرشف من الأصل في 24 يوليو2019. اطلع عليه بتاريخ 12 مارس 2020.
5. ^ approximated 2π toتسعة sexagesimal digits. Al-Kashi, author: Adolf P. Youschkevitch, chief editor: Boris A. Rosenfeld, p. 256 O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F., "Ghiyath al-Din Jamshid Mas'ud al-Kashi", MacTutor History of Mathematics archive CS1 maint: ref=harv (link). Azarian, Mohammad K. (2010), "al-Risāla al-muhītīyya: A Summary", Missouri Journal of Mathematical Sciences 22 (2): 64–85.
6. ^ "A Brief History of Pi (π)". Exploratorium (باللغة الإنجليزية). 2017-01-23. مؤرشف من الأصل في 24 فبراير 2020. اطلع عليه بتاريخ 12 مارس 2020.
7. ^ Fraser, Craig G. – The Cosmos: A Historical Perspective (2006) – p.14
8. ^ Lawson, Russell M. (2004). Science in the Ancient World: An Encyclopedia. ABC-CLIO. صفحات 29–30. ISBN .
9. ↑ Jean-François Charnier, "The Circle from East to West", The Louvre Abu Dhabi: A World Vision of Art, October 29, 2019 نسخة محفوظة 12 مارس 2020 على مسقط واي باك مشين.
10. ↑ Davis, P.J. (2006). Mathematics & Common Sense: A Case of Creative Tension. CRC Press. ISBN 978-1-4398-6432-6. Archived from the original on 29 March 2019. Retrieved 2019-01-15. نسخة محفوظة 12 مارس 2020 على مسقط واي باك مشين.
11. ↑ Ball, W.W. Rouse (1960). A Short Account of the History of Mathematics (4th ed. [Reprint. Original publication: London: Macmillan & Co., 1908] ed.). New York: Dover Publications. pp. 50–62. ISBN 0-486-20630-0.
12. ↑ Azad, H., and Laradji, A., "Some impossible constructions in elementary geometry", Mathematical Gazette 88, November 2004, 548–551.
13. ↑ "Geometry - Circles and Angles". Malin Christersson's Math Site (باللغة الإنجليزية). مؤرشف من الأصل في 11 سبتمبر 2019. اطلع عليه بتاريخ 12 مارس 2020.
14. ^ Muḥammad ibn Mukarram Ibn (1997). . دار بيروت للطباعة والنشر،. مؤرشف من الأصل في 12 مارس 2020.
15. ^ krikos نسخة محفوظة 2013-11-06 على مسقط واي باك مشين., Henry George Liddell, Robert Scott, A Greek-English Lexicon, on Perseus
16. ^ Ilia Nikolaevich Bronštein: Taschenbuch der Mathematik. Verlag Harri German, 5th edition, Thun and Frankfurt 2001, p. 143.
17. ^ Arnold, B. H. (2013), , Courier Dover Publications, صفحة 58, ISBN , مؤرشف من الأصل في 11 مارس 2020 CS1 maint: ref=harv (link).
18. ^ "What Is Circle?". www.cut-the-knot.org. مؤرشف من الأصل في 21 أغسطس 2019. اطلع عليه بتاريخ 12 مارس 2020.
19. ^ Harkness, James (1898). "Introduction to the theory of analytic functions". Nature. 59 (1530): 30. Bibcode:1899Natur..59..386B. doi:10.1038/059386a0. مؤرشف من الأصل في 07 مارس 2009. ^{[وصلة مكسورة]}
20. ↑ Ogilvy, C. Stanley, Excursions in Geometry, Dover, 1969, 14–17.
21. ^ Altshiller-Court, Nathan, College Geometry, Dover, 2007 (orig. 1952).
22. ^ Courant and Robbins 1996, p. 172; Durell 1928, p. 73
23. ^ Weisstein, Eric W. "Cross Ratio". mathworld.wolfram.com (باللغة الإنجليزية). مؤرشف من الأصل في 2 نوفمبر 2018. اطلع عليه بتاريخ 12 مارس 2020.
24. ↑ H. S. M. Coxeter and S. L. Greitzer.Geometry revisited, volume 19 ofNew MathematicalLibrary. Random House, Inc., New York, 1967.
25. ↑ (الطبعة 3d ed). New York: McGraw-Hill. 1979. ISBN . OCLC 4036464. مؤرشف من الأصل في 13 مارس 2020. صيانة CS1: نص إضافي (link)
26. ^ The Associated Harmonic Quadrilateral, Paris Pamfilos, Forum Geometricorum, Volume 14 (2014) 15–29.
27. ^ Hans Schwerdtfeger, Geometry of Complex Numbers, Courier Dover Publications, 1979
28. ^ Michael Henle, "Modern Geometry: Non-Euclidean, Projective, and Discrete", 2nd edition, Prentice Hall, 2001
29. ^ Weisstein, Eric W. "Degenerate". mathworld.wolfram.com (باللغة الإنجليزية). مؤرشف من الأصل في 30 يوليو2019. اطلع عليه بتاريخ 29 نوفمبر 2019.
30. ^ "The Most Marvelous Theorem in Mathematics". www.maa.org. مؤرشف من الأصل في 24 يونيو2017. اطلع عليه بتاريخ 12 مارس 2020.
31. ↑ Weisstein, Eric W. "Circle". mathworld.wolfram.com (باللغة الإنجليزية). مؤرشف من الأصل في 30 يوليو2019. اطلع عليه بتاريخ 11 مارس 2020.
32. ^ O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F., "Cartesian Oval", MacTutor History of Mathematics archive CS1 maint: ref=harv (link)
33. ^ . Dordrecht: Reidel. ©1988-©1994. ISBN . OCLC 16755499. مؤرشف من الأصل في 13 مارس 2020.
34. ^ Burago (2001) [1994], "Isoperimetric inequality", in Hazewinkel, Michiel (ed.), Encyclopedia of Mathematics, Springer Science+Business Media B.V. / Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1-55608-010-4
35. ↑ K., المحرر (1882-01-31). . Berlin, New York: DE GRUYTER. ISBN . مؤرشف من الأصل في 28 يونيو2018.
36. ↑ Blåsjö, Viktor (2005). "The Evolution of the Isoperimetric Problem". Amer. Math. Monthly. 112 (6): 526–566. doi:10.2307/30037526. JSTOR 30037526.
37. ↑ "The Unit Circle Deformed". students.rockefeller.edu. مؤرشف من الأصل في 26 أغسطس 2019. اطلع عليه بتاريخ 12 مارس 2020.
38. ↑ "p-norm in nLab". ncatlab.org. مؤرشف من الأصل في 25 مارس 2019. اطلع عليه بتاريخ 12 مارس 2020.
39. ↑ Max Koecher, Aloys Krieg: Ebene Geometrie. 3. Auflage. Springer, Berlin Heidelberg New York 2007, ISBN 978-3-540-49327-3, S. 143.
40. ^ "IXL | Similarity of circles | Geometry math". IXL Learning (باللغة الإنجليزية). مؤرشف من الأصل في 19 سبتمبر 2015. اطلع عليه بتاريخ 12 مارس 2020.
41. ^ Katz, Victor J. (1998), (الطبعة 2nd), Addison Wesley Longman, صفحة 108, ISBN , مؤرشف من الأصل فيسبعة مارس 2020 CS1 maint: ref=harv (link)
42. ^ Andrews, George E.; Askey, Richard; Roy, Ranjan (1999). Special Functions. مطبعة جامعة كامبريدج. صفحة 58. ISBN .
43. ^ Gupta, R.C. (1992). "On the remainder term in the Madhava–Leibniz's series". Ganita Bharati. 14 (1–4): 68–71.
44. ^ trillion digits of π نسخة محفوظةستة December 2016 على مسقط واي باك مشين.
45. ^ Pi in the sky: Calculating a record-breaking 31.4 trillion digits of Archimedes’ constant on Google Cloud نسخة محفوظة 19 أكتوبر 2019 على مسقط واي باك مشين.
46. ^ Weisstein, Eric W. "Arc". MathWorld.
47. ^ "معلومات عن قطاع دائري على مسقط bigenc.ru". bigenc.ru. مؤرشف من الأصل في 12 ديسمبر 2019.
48. ^ Gerard, L. J. V., The Elements of Geometry, in Eight Books; or, First Step in Applied Logic (London, Longmans, Green, Reader and Dyer, 1874), p. 285.
49. ↑ . مؤرشف من الأصل في 22 أغسطس 2019.
50. ^ شتاينر (1826). "Einige geometrische Betrachtungen". Journal für die reine und angewandte Mathematik 1: 161–184.
51. ^ داربو، غاستون (1872). "Sur les relations entre les groupes de points, de cercles et de sphéres dans le plan et dans l’espace". Annales Scientifique de l'École Normale Superieure 1: 323–392.
52. ^ Coxeter، H. S. M. (1969). Introduction to Geometry (الطبعة 2nd). New York: Wiley.
53. ↑ "Tangent Circles". whistleralley.com. مؤرشف من الأصل في 15 أغسطس 2019. اطلع عليه بتاريخ 12 مارس 2020.
54. ^ Eric W. Weisstein (2007). "circle - circle intersection" (باللغة الإنجليزية). مؤرشف من الأصل في 19 يونيو2019. اطلع عليه بتاريخ 24/12/2019.
55. ↑ Coxeter, H. S. M. "Inversion in a Circle" and "Inversion of Lines and Circles." §6.1 and 6.3 in Introduction to Geometry, 2nd ed. New York: Wiley, pp. 77-83, 1969.
56. ↑ Euclid (2013-05-09). (باللغة الإنجليزية). Courier Corporation. ISBN . مؤرشف من الأصل في 07 مارس 2020.
57. ^ Pedoe, D. (1995). "Circles: A Mathematical View, rev. ed". Washington, DC: Math. Assoc. Amer.
58. ^ Weisstein, Eric W. "Lens". mathworld.wolfram.com (باللغة الإنجليزية). مؤرشف من الأصل في 30 يوليو2019. اطلع عليه بتاريخ 12 مارس 2020.
59. ^ Postnikov, M. M. (2000), "The problem of squarable lunes", الرياضيات الأمريكية الشهرية, 107 (7): 645–651, doi:10.2307/2589121, JSTOR 2589121 CS1 maint: ref=harv (link). Translated from Postnikov's 1963 Russian book on نظرية غالوا.
60. ^ Heath, Thomas L. (2003), , Courier Dover Publications, صفحات 121–132, ISBN  CS1 maint: ref=harv (link).
61. ^ James, Robert C.; James, Glenn (1992). (الطبعة Fifth). Chapman & Hall. صفحة 436. مؤرشف من الأصل في 31 ديسمبر 2019. a unit complex number is a عدد مركب of unit قيمة مطلقة
62. ^ Woodward, Ernest (December 1978). . Research & Education Association (REA). صفحة 359. ISBN . مؤرشف من الأصل في 11 مارس 2020.
63. ^ Chakerian, G. D. (1979). "7". In Honsberger, R. (ed.). A Distorted View of Geometry. Mathematical Plums. Washington, DC, USA: Mathematical Association of America. p. 147.
64. ^ Mottola, R. M. "Liutaio Mottola Lutherie Information Website". Liutaio Mottola Lutherie Information Website (باللغة الإنجليزية). مؤرشف من الأصل فيخمسة يناير 2020. اطلع عليه بتاريخ 12 مارس 2020.
65. ^ THE SAGITTA AND ITS APPLICATIONS, Herbert Wertheim College of Engineering; Department of Mechanical & Aerospace Engineering نسخة محفوظة 24 أكتوبر 2018 على مسقط واي باك مشين.
66. ↑ R. A. Johnson (1960). Advanced Euclidean Geometry: An Elementary Treatise on the Geometry of the Triangle and the Circle (الطبعة reprint of 1929 edition by Houghton Miflin). New York: Dover Publications. صفحات 31–43. ISBN .
67. ↑ Libeskind, Shlomo (2008), Euclidean and Transformational Geometry: A Deductive Inquiry, Jones & Bartlett Learning, p. 21, ISBN 9780763743666/
68. ↑ Posamentier, Alfred S., and Lehmann, Ingmar. The Secrets of Triangles, Prometheus Books, 2012.
69. ^ Nelson, Roger, "Euler's triangle inequality via proof without words," Mathematics Magazine 81(1), February 2008, 58-61.
70. ^ Dragutin Svrtan and Darko Veljan, "Non-Euclidean versions of some classical triangle inequalities", Forum Geometricorum 12 (2012), 197–209. http://forumgeom.fau.edu/FG2012volume12/FG201217index.html
71. ^ Smith, Geoff, and Leversha, Gerry, "Euler and triangle geometry", Mathematical Gazette 91, November 2007, 436–452.
72. ^ Marie-Nicole Gras, "Distances between the circumcenter of the extouch triangle and the classical centers", Forum Geometricorum 14 (2014), 51-61. http://forumgeom.fau.edu/FG2014volume14/FG201405index.html
73. ^ Altshiller-Court, Nathan, College Geometry, Dover, 2007.
74. ^ Altshiller-Court (1925, pp. 103–110)
75. ^ Kay (1969, pp. 18,245)
76. ^ Casey, John (1886). (الطبعة 4th). London: Longmans, Green, & Co. صفحة 58. مؤرشف من الأصل في 12 مارس 2020.
77. ^ Usiskin, Zalman; Griffin, Jennifer; Witonsky, David; Willmore, Edwin (2008), "10. Cyclic quadrilaterals", The Classification of Quadrilaterals: A Study of Definition, IAP, صفحات 63–65, ISBN  CS1 maint: ref=harv (link)
78. ↑ Bryant, Victor; Duncan, John (2010), "Wheels within wheels", The Mathematical Gazette, 94 (November): 502–505 CS1 maint: ref=harv (link).
79. ↑ Maley، F. Miller؛ Robbins، David P.؛ Roskies، Julie (2005). "On the areas of cyclic and semicyclic polygons" (PDF). Advances in Applied Mathematics. 34 (4): 669–689. doi:10.1016/j.aam.2004.09.008. مؤرشف من الأصل (PDF) فيعشرة يناير 2020.
80. ^ Josefsson, Martin (2011), "More Characterizations of Tangential Quadrilaterals" (PDF), Forum Geometricorum, 11: 65–82, مؤرشف من الأصل (PDF) في 13 مارس 2020 CS1 maint: ref=harv (link).
81. ^ Alsina, Claudi and Nelsen, Roger, Icons of Mathematics. An exploration of twenty key images, Mathematical Association of America, 2011, p. 125.
82. ^ Wilson, Jim. "Ptolemy's Theorem." link verified 2009-04-08 نسخة محفوظة 15 ديسمبر 2017 على مسقط واي باك مشين.
83. ^ "Sine, Cosine, and Ptolemy's Theorem". مؤرشف من الأصل فيعشرة يوليو2018.
84. ^ Euler, Leonhard (1767). "Solutio facilis problematum quorundam geometricorum difficillimorum". Novi Commentarii academiae scientarum imperialis Petropolitanae. 11: 103–123. E325. مؤرشف من الأصل في 11 أبريل 2015.
85. ^ . مؤرشف من الأصل في 1 أكتوبر 2018. اطلع عليه بتاريخ 15 مارس 2020. Invalid |script-title=: missing prefix (مساعدة)
86. ^ "Gibson Historyسبعة - Robert Simson". 2008-01-30. مؤرشف من الأصل في 09 أكتوبر 2016.
87. ^ Todor Zaharinov, "The Simson triangle and its properties", Forum Geometricorum 17 (2017), 373--381. http://forumgeom.fau.edu/FG2017volume17/FG201736.pdf
88. ^ Biggs, N. L. (1981), "T. P. Kirkman, mathematician", جمعية الرياضيات في لندن, 13 (2): 97–120, doi:10.1112/blms/13.2.97, MR = 0608093 0608093 CS1 maint: ref=harv (link)
89. ↑ Pascal 1640, translation Smith 1959، صفحة 326
90. ↑ Graham, L. A. (1959). . New York: Dover. ISBN . مؤرشف من الأصل في 17 مارس 2020. اطلع عليه بتاريخ 01 ديسمبر 2012.
91. ^ Casey, J. (1866), "On the Equations and Properties: (1) of the System of Circles Touching Three Circles in a Plane; (2) of the System of Spheres Touching Four Spheres in Space; (3) of the System of Circles Touching Three Circles on a Sphere; (4) of the System of Conics Inscribed to a Conic, and Touching Three Inscribed Conics in a Plane", Proceedings of the Royal Irish Academy, 9: 396–423, JSTOR 20488927 CS1 maint: ref=harv (link). See in particular the bottom of p. 411.
92. ^ Kimberling, Clark (1994), "Central Points and Central Lines in the Plane of a Triangle", Mathematics Magazine, 67 (3): 163–187, JSTOR 2690608, MR = 1573021 1573021 CS1 maint: ref=harv (link).
93. ^ Encyclopedia of Triangle Centers نسخة محفوظة April 19, 2012, على مسقط واي باك مشين., accessed 2014-10-24.
94. ^ A high school teacher in the French countryside (Nantua) according to Ostermann & Wanner 2012، صفحة 94
95. ^ Miquel, Auguste (1838), "Mémoire de Géométrie", Journal de Mathématiques Pures et Appliquées, 1: 485–487 CS1 maint: ref=harv (link)
96. ^ Wells 1991، صفحة 184 - Wells refers to Miquel's theorem as the pivot theorem
97. ↑ Johnson, Roger A. (1929). Modern Geometry. Houghton Mifflin, Boston (republished facsimile by Dover 1960, 2007 as Advanced Euclidean Geometry).
98. ^ Casey, J. (1866). "On the Equations and Properties: (1) of the System of Circles Touching Three Circles in a Plane; (2) of the System of Spheres Touching Four Spheres in Space; (3) of the System of Circles Touching Three Circles on a Sphere; (4) of the System of Conics Inscribed to a Conic, and Touching Three Inscribed Conics in a Plane". Proceedings of the Royal Irish Academy. 9: 396–423. JSTOR 20488927.
99. ^ Johnson, Roger A., Advanced Euclidean Geometry, Dover Publ., 2007 (orig. 1929).
100. ^ Martin Celli, "A Proof of the Butterfly Theorem Using the Similarity Factor of the Two Wings", Forum Geometricorum 16, 2016, 337–338. http://forumgeom.fau.edu/FG2016volume16/FG201641.pdf
101. ↑ Kunkel, Paul (2007), "The tangency problem of Apollonius: three looks" (PDF), BSHM Bulletin: Journal of the British Society for the History of Mathematics, 22 (1): 34–46, doi:10.1080/17498430601148911 نسخة محفوظة 24 مارس 2018 على مسقط واي باك مشين.
102. ^ Johnson RA (1960). Advanced Euclidean Geometry: An Elementary treatise on the geometry of the Triangle and the Circle. New York: Dover Publications.
103. ↑ Weisstein, Eric W. "Inversion". mathworld.wolfram.com (باللغة الإنجليزية). مؤرشف من الأصل في 29 ديسمبر 2019. اطلع عليه بتاريخ 11 مارس 2020.
104. ^ Durell, C. V. "Inversion." Ch.عشرة in Modern Geometry: The Straight Line and Circle. London: Macmillan, pp. 105-120, 1928.
105. ↑ Coxford, Arthur. Trigonometry. صفحة 285.
106. ^ Bityutskov, V.I. (2011-02-07). "Trigonometric Functions". Encyclopedia of Mathematics (باللغة الإنجليزية). مؤرشف من الأصل في 29 ديسمبر 2017. اطلع عليه بتاريخ 29 ديسمبر 2017.
107. ^ "Clark University". مؤرشف من الأصل في 18 ديسمبر 2017.
108. ^ Weisstein, Eric W. "Circular Functions". mathworld.wolfram.com (باللغة الإنجليزية). مؤرشف من الأصل في ثلاثة أبريل 2017. اطلع عليه بتاريخ 01 مارس 2020.
109. ^ "معلومات عن جذور الوحدة (تحليل عقدي) على مسقط zthiztegia.elhuyar.eus". zthiztegia.elhuyar.eus. مؤرشف من الأصل في 16 ديسمبر 2019.
110. ^ "معلومات عن جذور الوحدة (تحليل عقدي) على مسقط mathworld.wolfram.com". mathworld.wolfram.com. مؤرشف من الأصل في ثلاثة أكتوبر 2018.
111. ^ "معلومات عن جذور الوحدة (تحليل عقدي) على مسقط brilliant.org". brilliant.org. مؤرشف من الأصل في 14 يناير 2019.
112. ^ "معلومات عن كرة على مسقط babelnet.org". babelnet.org. مؤرشف من الأصل في 13 ديسمبر 2019.
113. ^ "معلومات عن كرة على مسقط britannica.com". britannica.com. مؤرشف من الأصل في 2 أبريل 2017.
114. ^ "معلومات عن كرة على مسقط jstor.org". jstor.org. مؤرشف من الأصل في 26 مايو2019.
115. ^ Albert 2016، p. 43
116. ^ "MathWorld: Cylindric section". مؤرشف من الأصل في 15 يناير 2018.
117. ^ Slaught, H.E.; Lennes, N.J. (1919), (PDF) (الطبعة Revised), Allyn and Bacon, صفحات 79–81, مؤرشف من الأصل (PDF) في 27 سبتمبر 2019 CS1 maint: ref=harv (link)
118. ^ دنكان سومرفيل (1914) Elements of Non-Euclidean Geometry, page 193 via أرشيف الإنترنت
119. ^ "Drawing Compass - History, Use and Types". www.historyofpencils.com. مؤرشف من الأصل في 24 أغسطس 2019. اطلع عليه بتاريخ 07 مارس 2020.
120. ^ Ammer, Christine. "Square the Circle. Dictionary.com. The American Heritage® Dictionary of Idioms". Houghton Mifflin Company. مؤرشف من الأصل في 09 سبتمبر 2015. اطلع عليه بتاريخ 16 أبريل 2012.
121. ^ Guilbeau, Lucye (1930). "The History of the Solution of the Cubic Equation". Mathematics News Letter. 5 (4): 8–12. doi:10.2307/3027812. JSTOR 3027812.
122. ^ It shows up in Plato's الجمهورية (ح. 380 BC) VII.530
123. ^ Lucye Guilbeau (1930). "The History of the Solution of the Cubic Equation", Mathematics News Letter 5 (4), p. 8-12.
124. ^ Stewart, Ian. Galois Theory. صفحة 75.
125. ^ "معلومات عن تثليث زاوية على مسقط britannica.com". britannica.com. مؤرشف من الأصل فيخمسة سبتمبر 2015.
126. ^ "معلومات عن تثليث زاوية على مسقط mathworld.wolfram.com". mathworld.wolfram.com. مؤرشف من الأصل فيتسعة يوليو2019.
127. ^ "معلومات عن تثليث زاوية على مسقط id.loc.gov". id.loc.gov. مؤرشف من الأصل في 14 ديسمبر 2019.
128. ^ آرثر كوستلر, The Sleepwalkers: A History of Man's Changing Vision of the Universe (1959)
129. ^ برقلس, Tr. Thomas Taylor (1816) Vol. 2, Ch. 2, "Of Plato" نسخة محفوظة 13 مارس 2017 على مسقط واي باك مشين.
130. ^ "Chronology for 30000BC to 500BC". www-history.mcs.st-andrews.ac.uk. مؤرشف من الأصل في 23 يناير 2018. اطلع عليه بتاريخ 14 أغسطس 2017.
131. ^ Squaring the circle. History.mcs.st-andrews.ac.uk. Retrieved on 2012-05-03. نسخة محفوظة 20 مايو2017 على مسقط واي باك مشين.
132. ↑ Christoph J. Scriba, Peter Schreiber: 5000 Jahre Geometrie: Geschichte, Kulturen, Menschen (Vom Zählstein zum Computer). Springer, Berlin, Heidelberg, New York, ISBN 3-540-67924-3.
133. ↑ Max Koecher, Aloys Krieg: Ebene Geometrie. Springer, Berlin, Heidelberg, 3. neu bearbeitete und erweiterte Auflage 2007, Korrigierter Nachdruck 2009, ISBN 978-3-540-49327-3, S. 145.
134. ↑ بالإنجليزية: Thomas Little Heath: The works of Archimedes, ed. in modern notation, with introductory chapters. University press, Cambridge 1897. Kreismessung: S. 91  ff., Über Spiralen: S. 151 ff., (Digitalisat). نسخة محفوظةسبعة نوفمبر 2016 على مسقط واي باك مشين.
135. ^ Siehe Gericke: Antike und Orient. S. 120 ff.
136. ^ یان.‌پ.‌هوخندایک; امینی, ‌حسن (1392-01-04). "مطالعه مقاطع مخروطی در دوره اسلامی". میراث فهمی اسلام وایران (باللغة الفارسية). 3 (2): 86–98. مؤرشف من الأصل في 13 مارس 2020.
137. ^ میرابوالقاسمى, سید محمد تقى; باقرى, محمد (2003-11-22). "رسالهء عبدالرحمان صوفی دربارهء هندسهء پرگاری". مجله تاریخ فهم. 1 (1). ISSN 1735-0573. مؤرشف من الأصل في 06 مايو2017.
138. ^ یان.‌پ.‌هوخندایک; امینی, ‌حسن (1392-01-04). "مطالعه مقاطع مخروطی در دوره اسلامی". میراث فهمی اسلام وایران (باللغة الفارسية). 3 (2): 86–98. مؤرشف من الأصل في 13 مارس 2020.
139. ^ عالم‌زاده, ‌هادی; دوست‌قرین, ‌فاطمه (1387-07-01). "میرزا ابوتراب نطنزی ورویکردی بدیع به مسأله تثلیث زاویه". تاریخ وتمدن اسلامی (باللغة الفارسية). 8 (4): 123–140. مؤرشف من الأصل في 13 مارس 2020.

قراءة موسعة

• الهندسة: دورة تدريبية شاملة (1988م) «بيدودان». (بالإنجليزية: Geometry: a comprehensive course)‏.
• (بالإنجليزية): Hazewinkel, Michiel, المحرر (2001), "الدائرة", Encyclopedia of Mathematics, سبرنجر, ISBN  CS1 maint: ref=harv (link)

ملحق: مسرد المصطلحات الإنجليزية

مَسرد المفردات وفق أقسام الموضوعة
مصطلحات أساسية
مركز	Center
محيط	Circumference
مساحة	Area
نصف قطر (شعاع)	Radius
وتر	Chord
قطر	Diameter
قوس	Arc
بتر وجزئيات
قطاع	Sector
بترة	Circular segment
قرص	Disk
مصطلحات استخدمت في التعاريف
نسبة تبادلية	Cross-ratio
دائرة معممة	Generalized circle
تأويل لانهائي	Infinite limit
حالة حدية	Limitig case
بتر مخروطي	Conic secion
استيفاء المساحة	Area optimization
متباينة المحيط الثابت	Isoperimetric inequality
معيار-p	p-norm
زوايا
العدد ط	Pi
راديان	Radian
زاوية مركزية	Centeral angle
زاوية محيطية	Inscribed angle
زاوية مماسية	Tangential angle
زاوية خارجية	External angle
زاوية داخلية	Internal angle
نقاط
نقطة داخلية	Internal point
نقطة محيطيَّة	Circumference point
نقطة خارجية	External point
قوة نقطة	Power of a point
مبرهنة بتر الوتر	Intersecting chord theorem
مبرهنة القاطع	Intersecting secants theorem
مبرهنة قاطع التماس	Tangent-secant theorem
أزواج الدوائر حسب بعدها عن بعضها
دائرتان متباعدتان	Non-intersecting circles
دائرتان متقاطعتان	Intersecting circles
دائرتان متماستان داخلياً	Internally tangent circles
دائرتان متماستان خارجياً	Externally tangent circles
أزواج الدوائر حسب مراكزها وأنصاف أقطارها
دائرتان متعامدتان	Orthogonal circles
دائرتان متطابقتان	Congruent circles
دائرتان متحدتا المركز	Concentric circles
دائرتان منطبقتان	coincident circles
أشكال مركبة من دوائر
حلقة	Annulus
عدسة	Lens
مثلث رولو	Reuleaux triangle
أربيلوس	Arbelos
مستقيمات وأوتار
مستقيم قاطع	Secant line
مستقيم مماس	Tangent line
مستقيم مار	Non-intersecting line
خط التناظر/خط مركزي	Symmetry line/Center line
وتر مشهجر	Common chord
مماس مشهجر خارجي	External common tangent
مماس مشهجر داخلي	Internal common tangent
بترة تماس	Tangency segment
محور أساسي	Radical axis
عمق القوس أوالسهم	Sagitta أوVersine
الدائرة في نظرية الزمر
زمرة التناظر	Symmetry group
تناظر انعكاسي	Reflection symmetry
دوائر مرتبطة بمضلعات
مضلع دائري	Cyclic polygon
مضلع مماسي	Tangential polygon
دائرة محيطة	Circumcircle
دائرة داخلية	Incircle
دائرة خارجية	Excircle
دائرة النقاط التسع	Nine-point circle
دائرة الوحدة	Unit circle
مبرهنات وعلاقات أخرى
التحاكي	Homothety
التعاكس	Inversion
الإحداثيات الخطية الثلاثية	Trilinear coordinates
قانون الجيب	Sine law
مبرهنة الفراشة	Butterfly theorem
مبرهنة يابانية في الرباعي الدائري	Japanese theorem in cyclic quadrilateral
الكرة الفائقة	Hypersphere
مبرهنة طاليس	Thales theorem

مَسرد المفردات الأبجدي
A
حلقة	Annulus
أربيلوس	Arbelos
قوس	Arc
مساحة	Area
استيفاء المساحة	Area optimization
B
مبرهنة الفراشة	Butterfly theorem
C
مركز	Center
زاوية مركزية	Centeral angle
وتر	Chord
بترة	Circular segment
دائرة محيطة	Circumcircle
محيط	Circumference
نقطة محيطيَّة	Circumference point
دائرتان منطبقتان	coincident circles
وتر مشهجر	Common chord
دائرتان متحدتا المركز	Concentric circles
دائرتان متطابقتان	Congruent circles
بتر مخروطي	Conic secion
نسبة تبادلية	Cross-ratio
مضلع دائري	Cyclic polygon
D
قطر	Diameter
قرص	Disk
E
دائرة خارجية	Excircle
زاوية خارجية	External angle
مماس مشهجر خارجي	External common tangent
نقطة خارجية	External point
دائرتان متماستان خارجياً	Externally tangent circles
G
دائرة معممة	Generalized circle
H
التحاكي	Homothety
الكرة الفائقة	Hypersphere
I
دائرة داخلية	Incircle
تأويل لانهائي	Infinite limit
زاوية محيطية	Inscribed angle
زاوية داخلية	Internal angle
مماس مشهجر داخلي	Internal common tangent
نقطة داخلية	Internal point
دائرتان متماستان داخلياً	Internally tangent circles
مبرهنة بتر الوتر	Intersecting chord theorem
دائرتان متقاطعتان	Intersecting circles
مبرهنة القاطع	Intersecting secants theorem
التعاكس	Inversion
متباينة المحيط الثابت	Isoperimetric inequality
J
مبرهنة يابانية في الرباعي الدائري	Japanese theorem in cyclic quadrilateral
L
عدسة	Lens
حالة حدية	Limitig case
دائرة النقاط التسع	Nine-point circle
دائرتان متباعدتان	Non-intersecting circles
مستقيم مار	Non-intersecting line
O
دائرتان متعامدتان	Orthogonal circles
P
معيار-p	p-norm
العدد ط	Pi
قوة نقطة	Power of a point
راديان	Radian
R
محور أساسي	Radical axis
نصف قطر (شعاع)	Radius
تناظر انعكاسي	Reflection symmetry
مثلث رولو	Reuleaux triangle
S
عمق القوس أوالسهم	Sagitta أوVersine
مستقيم قاطع	Secant line
قطاع	Sector
قانون الجيب	Sine law
زمرة التناظر	Symmetry group
خط التناظر / خط مركزي	Symmetry line/Centerline
T
بترة تماس	Tangency segment
مستقيم مماس	Tangent line
مبرهنة قاطع التماس	Tangent-secant theorem
زاوية مماسية	Tangential angle
مضلع مماسي	Tangential polygon
مبرهنة طاليس	Thales theorem
الإحداثيات الخطية الثلاثية	Trilinear coordinates
U
دائرة الوحدة	Unit circle

وصلات خارجية

• دروس في هندسة الدائرة على منصة إدراك.
• مساحة الدائرة على منصة إدراك.
• كتاب Inventing the circle للمحرر يوهان جيليس.
• الدائرة في أرشيف ماكتوتر لتاريخ الرياضيات.
• "تطبيقات (بُرَيمجات) جافا تفاعلية". مؤرشف من الأصل في 07 سبتمبر 2019. لخواص الإنشاءات الأساسية المرتبطة بالدائرة.
• "مسائل ونقاش حول الدائرة". مؤرشف من الأصل في 21 أغسطس 2019. Cut the knot
• "تطبيق تفاعلي لمعادلة الدائرة القياسية". مؤرشف من الأصل في 02 مايو2019.
• الدائرة في الهندسة الوصفية. على اليوتيوب.
• الدائرة في الهندسة التحليلية. على اليوتيوب.