قسمة (رياضيات)

شكل يبين عملية القسمة :

{\displaystyle 20\div 4=5

في الرياضيات، وبالتحديد في الحسابيات الابتدائية، القسمة هي العملية الحسابية الرابعة بعد الجمع والطرح والضرب. وتشتق القسمة من تقسيم وهوتجزيئ الشئ إلى أجزاء صغيرة أوتوزيعه على مجموعة من الأمور. القسمة هي إذن توزيع بالتساوي. يُرمز إلى القسمة بالعلامة ÷. إذا كان جداء b وc يساوي a, أي

{\displaystyle a=b\times c\,

حيث b يختلف عن الصفر, فإن قسمة a على b تساوي c, وتُخط على الشكل التالي:

{\displaystyle c=a\div b\,

على سبيل المثال،

{\displaystyle 2=3\div 6\,

بما أن

{\displaystyle 6=3\times 2\,

.

في التعبير ${\displaystyle c=a\div b\,$

الرموز المستعملة

عادة ما يُشار إلى عملية القسمة في الجبر وفي العلوم بواسطة خط أفقي يأتي فوقه المقسوم ويأتي تحته المقسوم عليه. على سبيل المثال، يُشار إلى قسمة a على b بما يلي:

{\displaystyle {\frac {a {b

قد يُشار إلى عملية القسمة بكتابة جميع من المقسوم(أوالبسط) والمقسوم عليه(أوالمقام) في سطر واحد، اتى بينهما خط أفقي مائل إلى اليمين (/), كما يلي:

{\displaystyle a/b\,

تلك هي الطريقة المستعلة في معظم لغات برمجة الحاسوب للتعبيير عن القسمة. يعود ذلك إلى بساطة ضرب حرف / في الحاسوب، لكونه حرفا موجودا وشائعا في الأسكي.

^a⁄_b

حساب القسمة

خوارزمية القسمة

قسمة الأعداد السليمة

مجموعة الأعداد السليمة غير منغلقة تحت عملية القسمة. يعود ذلك إلى حتى قسمة عدد سليم ما على عدد سليم آخر مختلف عن الصفر، لا تعطي بالضرورة عددا سليما، إلا إذا كان المقسوم مضاعفا للمقسوم عليه. على سبيل المثال، 26 لا يمكن حتى تقسم على 11 وأن تعطي عددا سليما. في هاته الحالة، تُختار واحدة من المقاربات الخمس التالية:

قسمة الأعداد النسبية

قسمة عددين نسبيين تعطي عددا نسبيا آخر حينقد يكون المقسوم عليه مختلفا عن الصفر.

تعهد قسمة العددين النسبيين p/q وr/s كما يلي:

{\displaystyle {p/q \over r/s ={p \over q \times {s \over r ={ps \over qr .

قسمة الكسور تعنى ضرب المقسوم في مقلوب المقسوم عليه.

القسمة على الصفر

القسمة على الصفر هي عملية غير فهم. وسبب ذلك هوأنه إذا ضُرب الصفر في عدد ما، فإن النتيجة تساوي دائما الصفر.

قسمة الأعداد العقدية

قسمة عددين مركبين تعطي عددا مركبا ثالثا عندماقد يكون المقسوم عليه مختلفا عن الصفر، يُعهد كما يلي:

{\displaystyle {p+iq \over r+is ={pr+qs \over r^{2 +s^{2 +i{qr-ps \over r^{2 +s^{2 .

قسمة متعددات الحدود

قسمة المصفوفات

تتمثل الطريقة الأكثر انتشارا من أجل تعريف قسمة المصفوفات فيما يلي: A / B = AB⁻¹ حيث B⁻¹ هي معكوس المصفوفة B.

انتشار استعمال AB⁻¹ يفوق بكثير أي استعمال آخر.

القسمة في الجبر التجريدي

القسمة والاشتقاق

يُعطى اشتقاق قسمة دالة ما على دالة أخرى فيما يلي:

{\displaystyle {\left({\frac {f {g \right) '={\frac {f'g-fg' {g^{2 .

تُعهد هاته القسمة باسم قاعدة ناتج القسمة.

أولويات القسمة

لكل عملية قسمة أولويات وهي :

أحيانا يأتي باق في القسمة حيثقد يكون العددان لايقبلان القسمة على بعضهما.

فمثلا :ستة ÷ 2 = ثلاثة فإنستة المقسوم، 2 المقسوم عليه، ثلاثة خارج القسمة.

لايمكن تغيير هذا الترتيب أبدا وإلا فسيتغير ناتج القسمة.

أشكال عمليات القسمة

أشكال عمليات القسمة ثلاث وهى :

1- المقسوم والمقسوم عليه وبينهم علامة (÷) : وهى مثلعشرة ÷خمسة وتستخدم في القسمة بين رقمين.

2- الكسر : وتوضع في صورة كسر إعتيادى فالمقسوم هوالبسط والمقسوم عيه هوالمقام مثل : 3/6 = 2.

3- المسودة : وتستخدم في القسمة الكبيرة مثل قسمةخمسة أعداد على عددين.

أنواع القسمة

القسمة البسيطة وهى التي تخط في صورة مقسوم وعلامة ÷ ومقسوم عليه أوفي صورة كسر.
القسمة المطولة : وهى تخط في صورة مسودة ويكون المقسوم والمقسوم عيه كبيران

وهذين النوعين يندرجان تحت :

1- قسمة منتهية : وهى التي لاتهجر بواقى

2- قسمة غير منتهية : وهى التي تهجر بواقى وهذا لأن المقسوم والمقسوم عليه قابلان القسمة على بعضهما

العلاقة بين القسمة والضرب

كما للجمع علاقة مع الطرح، فإن للضرب علاقة مع القسمة وكل عملية ضرب ينتج عنها عمليتا قسمة فمثلا :

x × y == z، z ÷ x = y أيضا : z ÷ y == x

ولتجربتها مع الأعداد :

2 × ثلاثة == 6،ستة ÷ 2 = ثلاثة أيضاستة ÷ ثلاثة == 2

وبهذه العلاقة يمكن حتى نحل عمليات القسمة فمثلاعشرة ÷ 2 فإننا نقول ما الذي إذا ضرب في 2 ينتجعشرة فسيكون الناتجخمسة إذاعشرة ÷ 2 = 5.

يجب عند حل مسائل القسمة حتى نعهد جدول الضرب

حل القسمة المطولة

يمكن حل جميع مسائل القسمة عبر طريقة المسودة وهى تشبه حرف Z حيث المقسوم على يسارها والمقسوم عليه على يمينها وخارج القسمة على رأسها وتحل كالآتى :

1- عند القسمة نقسم من ناحية اليسار ونبدأ بالعدد الأول ونقسمه على جميع المقسوم عليه فإن لم يكن عددا سليما أخذنا العدد الذي على يمينه معه فمثلا إذا كانت ثلاثة لاتعطى عددا سليما عند قسمتها على المقسوم عليه وعلى يمينها 2 فإننا نأخذ العددين ويصبح23

2- عند الفروغ من عملية القسمة نتأكد من الناتج فنضرب خارج القسمة في المقسوم ونضع الناتج تحت أعداد المقسوم عليه التي تم استهلاكها.

3- نطرح ونضع الناتج وننزل عددا مع ناتج الطرح وإن لم ينفع القسمة نأخذ عددا آخر ونقسمه على العدد المتبقى إلى غير ذلك حيث تنتهى عملية القسمة بطرح وإنزال الباقى

إشارة

يكون الباقى في القسمة المنتهية صفر.
لتحويل القسمة غير المنتهية إلى منتهية نطرح الباقى من المقسوم عليه ونقسم مرة أخرى
في خوارزمية القسمة المطولةقد يكون فسمة المتغير الأول في المقسوم الا.

قابلية القسمة

للأعداد علاقة مع بعضهم عن طريق القسمة والمقصود بها (أن من العلاقة بين عددين حتى يقبلا القسمة مع بعضهم أولا يقبلا) والقابلية المقصود بها نتوج عدد سليم من خلال قسمة العددين على بعضها فمثلا العلاقة بين 5،عشرة علاقة قابلية لأنعشرة تقبل القسمة علىخمسة وينتج منهما عدد سليم أولا وهو2 وهناك خاصيتان تتوجدا بين العددين الذين يقبلان القسمة على بعضهما :

أنقد يكون أحد العددين من مضاعفات العدد الآخر مثل العددخمسة ومضاعفه.25
أنقد يكون أحد العددين من عوامل العدد الآخر مثل العددستة وعامله ثلاثة

ولكن ليس هذا فقط، بل يوجد أعداد لها خواص غير ذلك مثل :

العددخمسة وهوحتى جميع عدد يبدأ بصفر أوبخمسةقد يكون من مجموعة الأعداد التي تقبل عليهاخمسة القسمة وهى {5، 10، 15، 20، 25، 30... العدد ثلاثة وهوحتى جميع عدد مجموعه = ثلاثة يقبل القسمة على ثلاثة فورا مثل 21 مجموعه يساوى ثلاثة ويقبل القسمة عليه.

العدد 2 وهوحتى جميع عدد رقم آحاده يساوى عدد زوجى فإنه يقبل القسمة على 2

كل هذه الأعداد مضاعفاتها وعواملها يقبلان القسمة عليها بجانب ماسبق ذكره

نتيجة

مجموعة الأعداد الطبيعية غير منغلقة تحت عملية القسمة. بالإضافة إلي ذلك، عملية القسمة ليست تجميعية وليست تبديلية.

انظر أيضا

كسر (رياضيات)
مقلوب عدد
حقل (رياضيات)
زمرة (رياضيات)

مراجع

^ http://www.youtube.com/watch?v=YNaYgKsi4wA نسخة محفوظة 2015-12-11 على مسقط واي باك مشين.
^ [1]/ نسخة محفوظة 30 مارس 2020 على مسقط واي باك مشين.
^ http://www.youtube.com/watch?v=XMbs26-07n4 نسخة محفوظة 2016-10-02 على مسقط واي باك مشين.
^ http://www.youtube.com/watch?v=Sa-XXI_kHoE نسخة محفوظة 2020-05-03 على مسقط واي باك مشين.