في الرياضيات ،المعادلات الحدودية أومعادلات كثير الحدود : هي معادلات تكون على الشكل التالي:

${\displaystyle \qquad a_{n x^{n +a_{n-1 x^{n-1 +\cdots +a_{1 x+a_{0 =0$

حيث ${\displaystyle a_i}$كل معادلة حدودية ذات معاملات تنتمي إلى الأعداد الحقيقية إذا كان لها حلول تنتمي إلى الأعداد المركبة فإن هذه الحلول تكون دائما مترافقة أي أنهقد يكون دائما هناك حل في شكل a+ib وآخر في شكل a-ib. أما إذا كانت المعاملات عقدية فإن ذلك ليس سليما.

توضيح المبرهنة الأساسية في الجبر

إذا إعتبرنا المعادلة التالية:
${\displaystyle x^{2 +2x+1=0$
فإن الحل هو1- ولكن يتم إعتبار هذا الحل مكررا مرتين لأننا يمكن حتى نخط المعادلة بالشكل التالي:
${\displaystyle x^{2 +2x+1=(x+1)^{2 =(x+1)(x+1)=0$
ولذلك نرى أنه لتكون المعادلة سليمة يجب حتىقد يكون القوس الأول يساوي صفرا أوالثاني يساوي صفرا وفي جميع مرة يعينا ذلك حلا أي حتى الحل 1- مكرر مرتين. كذلك إذا إعتبرنا
${\displaystyle (x-1)^{n =0$
فإن الحل هو1 ولكنه مكرر n مرة إلخ.... بهذه الكيفية تتم حساب عدد الحلول. وعلى أساس ذلكقد يكون كما هومذكور أعلاه لكل معادلة حدودية من الدرجة n عدد n من الحلول

طرق حل المعادلات الحدودية

المعادلة من الدرجة الأولى

حل المعادلة: ${\displaystyle ax+b\,=0$ هو ${\displaystyle x={\frac {-b {a$ حيث ${\displaystyle a\neq 0\,$

المعادلة من الدرجة الثانية

لحل المعادلة: ${\displaystyle ax^{2 +bx+c\,=0$, نحسب المميز Δ المعهد ب: ${\displaystyle \Delta =b^{2 -4ac\,$, وقد يكون للمعادلة حلان هما:

• ${\displaystyle x_{1 ={\frac {-b-{\sqrt {\Delta {2a$
• ${\displaystyle x_{2 ={\frac {-b+{\sqrt {\Delta {2a$.

المعادلة من الدرجة الثالثة

طريقة كاردان

طريقة كاردان هي كيفية تمكن من حل جميع المعادلات من الدرجة الثالثة.

هذه الكيفية تكمن من استعمال صيغ كاردان المعطات بدلالة p وq حلول المعادلة: ${\displaystyle x^{3 +px+q=0~$. وهي تمكن من البرهنة على حتى المعادلات من الدرجة ثلاثة يمكن حلها جبريا.

صيغ كاردان

بالنسبة للمعادلة: ${\displaystyle x^{3 +px+q=0\,$ نحسب ${\displaystyle \Delta =4p^{3 +27q^{2 \,$, ثم ندرس إشارته.

Δ موجب

نضع

• ${\displaystyle u={\sqrt[{3 ]{\frac {-27q+3{\sqrt {3 {\sqrt {\Delta {2$
• ${\displaystyle v={\sqrt[{3 ]{\frac {-27q-3{\sqrt {3 {\sqrt {\Delta {2$

الحل الوحيد الحقيقي هو${\displaystyle x_{1 ={\frac {1 {3 (u+v)$.

وحلان عقديان مترافقان:

• ${\displaystyle x_{2 ={\frac {1 {3 (ju+{\bar {j v)$
• ${\displaystyle x_{3 ={\frac {1 {3 ({\bar {j u+jv)$

حيث ${\displaystyle j=-{\frac {1 {2 +i{\frac {\sqrt {3 {2 =e^{i{\frac {2\pi {3$

Δ سالب

يوجد عدد عقدي u الذي هوجذر مكعب ل ${\displaystyle {\frac {-27q+3i{\sqrt {3 {\sqrt {-\Delta {2$.

المعادلة تقبل ثلاث حلول حقيقية:

• ${\displaystyle x_{1 ={\frac {1 {3 (u+{\bar {u )$
• ${\displaystyle x_{2 ={\frac {1 {3 (ju+{\bar {j {\bar {u )$
• ${\displaystyle x_{3 ={\frac {1 {3 (j^{2 u+{\bar {j^{2 {\bar {u )$

تفسير الطريقة

الصيغة المختصرة

نعتبر الصيغة العامة للمعادلة: ${\displaystyle \qquad a_{3 x^{3 +a_{2 x^{2 +a_{1 x+a_{0 =0$,

نضع:
${\displaystyle x=z-{\frac {a_{2 {3a_{3$
لنحصل على الصيغة:
${\displaystyle \qquad z^{3 +pz+q=0$
نضع الآن:
${\displaystyle \qquad z=u+v$ الآن نحصل على مجهولين بدل مجهول واحد, لكن نضع شرطا يمكن من التبسيط:
${\displaystyle \qquad (u+v)^{3 +p(u+v)+q=0$ تتحول هذه المعادلة إلى الشكل:
${\displaystyle \qquad u^{3 +v^{3 +(3uv+p)(u+v)+q=0$ شرط التبسيطقد يكون إذن:
${\displaystyle \qquad 3uv+p=0$ الذي يعطي من جهة:
${\displaystyle \qquad u^{3 +v^{3 +q=0$ ومن جهة أخرى:
${\displaystyle \qquad uv=-{\frac {p {3$ وعند حمل العددين إلى القوة 3, نحصل على:
${\displaystyle \qquad u^{3 v^{3 =-{\frac {p^{3 {27$ ونحصل أخيرا على نظمة معادلتين لمجهولين ${\displaystyle u^{3$ و${\displaystyle v^{3$ الآتية :
${\displaystyle \qquad u^{3 +v^{3 =-q$
${\displaystyle \qquad u^{3 v^{3 =-{\frac {p^{3 {27$
${\displaystyle u^{3$ et ${\displaystyle v^{3$ هما إذن عددين نعهد جمعهما وجذاءهما. هذين العددين هما جذرا المعادلة من الدرجة الثانية:
${\displaystyle X^{2 +qX-{\frac {p^{3 {27 =0$

المعادلة من الدرجة الرابعة

طريقة فيراري

نعتبر الصيغة العامة للمعادلة من الدرجة الرابعة: ${\displaystyle \qquad a_{4 x^{4 +a_{3 x^{3 +a_{2 x^{2 +a_{1 x+a_{0 =0$

نقسم على ${\displaystyle a_{4 \,$ ونضع

${\displaystyle \qquad x=z-{\frac {a_{3 {4a_{4$

لنصل إلى معادلة على صيغة :

${\displaystyle \qquad z^{4 +pz^{2 +qz+r=0$

معادلة تخط:

${\displaystyle \qquad z^{4 +r=-pz^{2 -qz$

نضيف

${\displaystyle \qquad 2z^{2 {\sqrt {r$

لطرفي المتساوية. فنحصل على:

${\displaystyle \qquad z^{4 +2z^{2 {\sqrt {r +r=2z^{2 {\sqrt {r -pz^{2 -qz$

نلاحظ حتى الطرف الأول يخط على صيغة مربع:

${\displaystyle \qquad (z^{2 +{\sqrt {r )^{2 =2z^{2 {\sqrt {r -pz^{2 -qz$

من هاته النتيجة الأخيرة, نقوم بالنشر :

${\displaystyle \qquad (z^{2 +{\sqrt {r +y)^{2 =(z^{2 +{\sqrt {r )^{2 +2y(z^{2 +{\sqrt {r )+y^{2$

${\displaystyle \qquad (z^{2 +{\sqrt {r +y)^{2 =2z^{2 {\sqrt {r -pz^{2 -qz+2y(z^{2 +{\sqrt {r )+y^{2$

${\displaystyle \qquad (z^{2 +{\sqrt {r +y)^{2 =(2{\sqrt {r -p+2y)z^{2 -qz+2y{\sqrt {r +y^{2$ (*)

الهدف هوتحديد y بحيث يخط الطرف الثاني أيضا على صيغة مربع.

الطرف الثاني معادلة من الدرجة الثانية z. يخط على شكل مربع . إذا كان المميز منعدما يعني:

${\displaystyle \qquad q^{2 -4(2{\sqrt {r -p+2y)(2y{\sqrt {r +y^{2 )=0$

الشيء الذي يعطي, عن طريق النشر والتجميع معادلة من الدرجة الثالثة y الآتية :

${\displaystyle \qquad 8y^{3 +4(6{\sqrt {r -p)y^{2 +8(2r-p{\sqrt {r )y-q^{2 =0$

نستطيع حل هذه المعادلة باستعمال الطريقة الخاصة بمعادلات الدرجة الثالثة لإيجاد y₀ .

المعادلة من الدرجة الخامسة فما فوق

انظر مبرهنة آبل

طرق رقمية لحل المعادلات الحدودية

• طريقة نيوتن في حل المعادلات