معادلة تفاضلية خطية

في الرياضيات، المعادلة التفاضلية الخطية من الدرجة n هي معادلة من الشكل العام

${\displaystyle p_{n (x)y^{(n) +p_{n-1 (x)y^{(n-1) +\cdots +p_{1 (x)y^{\prime +p_{0 (x)y=q(x)\qquad (1)$

حيث ${\displaystyle p_{n (x)\neq 0$

عندما ${\displaystyle q(x)=0\!$ تسمى المعادلة بالمتجانسة Homogeneous حيث ايجاد حل المعادلة المتجانسة هوخطوة أولى نحوالحل العام للمعادلة اللامتجانسة.

عندما تكون المعاملات ${\displaystyle p_{i (x)\!$ مجرد أعداد نقول حتى المعادلة هي ذات معاملات ثابته.

تمثيلات أخرى

أحياناً قد يمثل الشكل العام للمعادلة (1) بطريقة أخرى حيث نستبدل المعامل التفاضلي من الدرجةin بالرمز ${\displaystyle D^{i$ أي

${\displaystyle y^{(i) ={\frac {d^{i y {dx^{i =D^{i y\!$

وتصبح المعادلة (1) كالتالي

${\displaystyle (p_{n (x)D^{n +p_{n-1 (x)D^{n-1 +\cdots +p_{1 (x)D+p_{0 (x))y=q(x)$

أو ${\displaystyle \sum _{i=0 ^{n p_{i (x)D^{i y=q(x)\!$

حل المعادلة التفاضلية المتجانسة ذات المعاملات الثابتة

هذه المعادلة هي من الشكل ${\displaystyle p_{n y^{(n) +p_{n-1 y^{(n-1) +\cdots +p_{1 y^{\prime +p_{0 y=0$

وتحل باستخدام الوسيط ${\displaystyle y=e^{\lambda \!$

فنحصل على معادلة جبرية من الشكل ${\displaystyle {p_{n \lambda ^{n +p_{n-1 \lambda ^{n-1 +\cdots +p_{1 \lambda +p_{0 =0$ لها عدد n من الحلول ${\displaystyle \lambda =s_{0 ,s_{1 ,\dots ,s_{n-1$

يقابلها نفس العدد من الحلول للمعادلة التفاضلية

{\displaystyle y_{i (x)=e^{s_{i x

من الممكن برهنة حتى هذه الحلول مستقلة خطياً. فيكون الحل العام للمعادلة التفاضلية المتجانسة ذات المعاملات الثابتة من الشكل ${\displaystyle y_{H (x)=C_{0 (x)y_{0 (x)+C_{1 (x)y_{1 +\cdots +C_{n-1 (x)y_{n-1$