الأعداد الحقيقية Real numbers في الرياضياتتعهد مجموعة الأعداد الحقيقية بأها : هي مجموعة الأعداد التي تتكون من مجموعة الأعداد النسبية (Q)ومجموعة الأعداد الغير نسبية ومجموعة الأعداد السليمة (Z)ومجموعة الأعداد الطبيعية(N). وبذلك تكون: مجموعة الأعداد الطبيعية مجموعة جزئية من مجموعة الأعداد السليمة والأخيرة مجموعة جزئية من مجموعة الأعداد النسبية والأخيرة مجموعة جزئية من مجموعة الأعداد الحقيقية. حيث حتى مجموعة الأعداد الطبيعية تبدأ من الواحد السليم إلى موجب ما لا نهاية ، أما مجموعة الأعداد السليمة تشتمل على الأعداد من سالب ما لا نهاية بالاضافة إلى الصفر بالاضافة إلى الأعداد الموجبة والتي تحتويها مجموعة الأعداد الطبيعية, أما الأعداد النسبية فتتكون من أعداد سليمة في صورة بسط ومقام ، أما الأعداد الحقيقية فتضم المجموعات السابقة كلها بالاضافة إلى الأعداد التي تحتوي على كسور مثل ال π أوما يطلق عليه الباي أوالأعداد الجذرية. ويمكن تصور الأعداد الحقيقية بأنها أعداد غير متناهية على خط مستقيم.وتأخذ الأعداد الحقيقية اسمها من تضادها مع فكرة الأعداد التخيلية . كما يمكن لها حتى تقوم بقياس الكميات المستمرة على اختلافها . يمكن التعبير عنها بالكسور العشرية التي تكون عادة سلسلة من الأرقام غير منتهية وغير دورية في حالة الأرقام غير الكسرية أودورية في حالة الأعداد الكسرية .اذا نشأت فكرة الأعداد الحقيقية بسبب وجود أطوال لا يمكن التعبير عن قياسها باستعمال أعداد سليمة طبيعية أو كسرية أوأعداد جذرية ، لهذا يتم إنشاء مجموعة الأعداد الحقيقية وفي هذه المجموعة المعادلة الآتية: ${\displaystyle x^{2 +a=0$ لها حل في هذه المجموعة:

القيمة المطلقة لعدد حقيقي (أونظيمه)

إذا كان س أي عدد حقيقي غير معدوم فإن أكبر العددين س، ـ س يسمى القيمة المطلقة للعدد الحقيقي س أونظيم س ويُرمز لها بـ |س| أو‖س‖. أما إذا كان س=0 فإنه يخط |\|=\، ينتج عن ذلك ما يلي: |س|= س إذا كان س Э ح+ و|س|=-س إذا كان س Эح- . |س×ع|=|س|×|ع|، |س+ع|≤|س|+|ع|، وذلك أياً كان س، ع Эح . ثم إذا |س| =0 ó س=0 يعبر عما تجاوز بالقول: إذا (ح،|0| ) حقل منظم.

خاصة التمام

ينطق عن الحقل المنظم (ح،|0|) إنه تام إذا كانت جميع متتالية كوشية في ح متقاربة (أي لها نهاية) في ح، حيث ينطق عن متتالية (سن) من عناصر مـ أوح إنها كوشية أوأساسية إذا تحقق ما يلي: لقاء أي عدد منطق أوحقيقي هـ > 0 يمكن حتى يعين عدد طبيعي نهـ بحيث يقتضي تحقق المتراجحة ن≥ م ≥ نهـ تحقق المتراجحة |سن_سم|<هـ، ، وينطق عن متتالية (سن) من مـ (أومن ح) إنها متقاربة فيها إذا عثر عدد ل من مـ (أومن ح) بحيث يتحقق مايلي: لقاء أي عدد منطق أوحقيقي هـ > 0 يمكن حتى يعين عدد طبيعي نهـ بحيث يقتضي تحقق المتراجحة ن ≥ نهـ تحقق المتراجحة |س_ ل| <هـ. يدعى هذا العدد ل نهاية المتتالية (سن)، ويخط نهان !هـ سن= ل. ومن الواضح حتى جميع متتالية متقاربة في مـ (أوح) تكون كوشية، وتنص خاصة التمام على صحة العكس في ح. العدد e

التقريب العشري لعدد حقيقي

استناداً إلى أرخميدية ح يمكن القول إنه أياً كان س Э ح فثمة عدد سليم وحيد م يحقق م≤ س≤ م +1 يدعى الجزء السليم لـ س، ويخط [س]=م. وعلى هذا فإن [3.14]=3 و[-3.14]= -4 إلى غير ذلك... ليكن الآن س عدداً حقيقياً ون عدداً طبيعياً. إذا س×10ن عدد حقيقي، ولذا فإنه يوجد عدد سليم وحيد من يحقق من ≤ س×10ن<1+من ومن ذلك ينتج حتى من × 10-ن ≤ س< (1+من)×10-ن يدعى العدد سن =من ×10-ن القيمة العشرية التقريبية للعدد س (بالنقصان) [بينما ندعو صن = (1+من) × 10-ن القيمة العشرية التقريبية للعدد س بالزيادة] وبخطأ لايتجاوز 10-ن. ويشار هنا إلى حتى المتتاليتين (سن) و(صن) متجاورتان، أي أنهما تحققان مايلي: سن≤س ن+1 ≤ ص ن+1 ≤ صن وَ نها ن!¥ (صن- سن) = نهان!¥ 10-ن = \ ويقتضي ذلك حتى جميع عدد حقيقي هونهاية لمتتالية من عناصر مـ. يعبر عن ذلك بالقول: إذا مـ كثيفة في ح.

التمثيل الهندسي للأعداد الحقيقية

يمكن حتى تمثل مجموعة الأعداد الحقيقية بنقط مستقيم كما يلي: لتكن أولاً نقطة م على مستقيم D (يسمى المستقيم العددي) ويمثل بها العدد الحقيقي صفر (0)، ثم تؤخذ نقطة ثانية و(على يمين م مثلاً) ويمثل بها العدد الحقيقي واحد (1). ويقبل أنه يمكن حتى يقابل أي عدد حقيقي س بنقطة وحيدة تدعى صورة س، كما يمكن حتى تقابل أي نقطة هـ من D بعدد حقيقي وحيد سهـ يدعى فاصلة النقطة هـ.

المستقيم الحقيقي الموسع ح

من المعلوم أنه لا يناسبكل مجموعة غير خالية في ح «حد أعلى» أو«حد أدنى» إلا إذا كانت «محدودة من الأعلى» أوكانت «محدودة من الأدنى» على الترتيب. ومرد ذلك أنه ليس في ح عنصر أكبر (مما سواه) وليس فيها عنصر أصغر (مما سواه). ولذا كونت المجموعة حيث ح = {- ∞،+∞ È ح حيث - ∞ و+∞ عنصرين جديدين. تزود ح، والتي تدعى موسع ح أوالمستقيم الحقيقي الموسع، بعلاقة ترتيب كلي يحدد الترتيب المعهد على ح وضمن الشرط -∞ < س < +∞ أياً كان س Э ح ويكون -∞ أصغر عناصر ح و+∞ أكبرها. تمديد العمليات +، × ، ÷ إلى ح: يمدد الجمع من ح إلى ح وفق ما يلي: " سЭ ح:س +∞ = ∞ +س =+∞ ، س + (-∞ )=(-∞ )+ س= -∞ كذلك (+∞ )+(+∞ )=+∞ ، (-∞ )+ (-∞ )= -∞ ويمدد الضرب كما يلي: " سЭ ح+-{0 : س × (+∞) = (+∞) × س = +∞ ، س × (-∞) = (-∞)×س= -∞ كذلك (+∞)×(+∞) =+∞ ، (-∞)× (-∞) = +∞. أما إذا كان س<0 فيوضع س×(+∞) = (+∞) ×س = -∞ ، وَ س×(-∞) = (-∞)×س = +∞ كما يوضع س/+∞ = 0، س/-∞ = 0 أيا كان س من ح. ويشار إلى أنه لامعنى لـ +∞ -∞ أولـ -∞ +∞ أولـ 0× +∞ أولـ 0× -∞ (مع أنه يصطلح في نظرية القياس على حتى 0× +∞ =0)

الفترات (المجالات) المفتوحة

إذا كان ب، جـ Э ح، وكان ب ≤ جـ فإن مجموع العناصر س من ح المحققة للشروط ب < س < جـ تدعى فترة مفتوحة في ح، ويرمز لها بـ]ب، جـ[. فإذا كان ب، جـ Э ح دعيت الفترة ]ب، جـ[ فترة مفتوحة محدودة ودعي س0=ب+جـ/2 مركزها وجـ-ب/2 = ر نصف قطرها ول= جـ ـ ب طولها، بينما تدعى الفترة ]-∞، جـ[، بفرض حتى جـ من ح، فترة مفتوحة محدودة من الأعلى، وتدعى الفترة ]ب، +∞[، بفرض حتى ب من ح، فترة مفتوحة محدودة من الأدنى. ينطق عن مج Ê ح إنها جوارٌ لـ س0 Э ح إذا كـانت مج تحوي فترة مفتوحة ينتمي إليها س0، بينما تسمى ]س0-ر،س0+ر[ حيثقد يكون ر > 0، جواراً نظامياً مفتوحاً لـ س0 وهوفترة مفتوحة مركزها س0 ونصف قطرها ر وطولها 2ر. ينطق عن مج Ê ح إنها مجموعة مفتوحة في ح إذا كانت مج جواراً لكل نقطة من نقاطها، ويلاحظ هنا حتى Φ، المجموعة الخالية، مفتوحة، وح أيضاً مجموعة مفتوحة، كما حتى جميع فترة مفتوحة هي مجموعة مفتوحة (وليس العكس سليماً بالضرورة). يلاحظ حتى تقاطع عدد منته من المفتوحات مجموعة مفتوحة، وأن اتحاد أي جماعة من المفتوحات هومجموعة مفتوحة. يدعى صف المجموعات المفتوحة في ح طبولوجيه ح. وينطق عن نقطة س0 من ح إنها نقطة تجمع (تراكم) للمجموعة مج Ê ح إذا حوى جميع جوار لـ س0 مجموعة جزئية غير منتهية من عناصر مج. وينطق عن مج إنها مغلقة إذا حوت جميع نقط تجمعها، ويمكن حتى يثبت حتى مج مغلقة ⇔ مكملتها مفتوحة. ويمكن حتى يرى بسهولة أنه أياً كان ب، جـ Э ح فإن مجموعة العناصر س Э ح المحققة للشرط ب≤ س ≤جـ، والتي يرمز لها بـ[ب، جـ]، هي مجموعة مغلقة تدعى عادة فترة مغلقة محدودة. كذلك فإنه إذا كان هـэ ح ، فإن مجموعة العناصر س من ح المحققة للشرط س ≤ هـ (أوس ≥ هـ)، والتي يرمز لها بـ ] -∞، هـ] (أوبـ[هـ، +∞[)، هي مجموعة مغلقة تدعى فترة مغلقة محدودة من الأعلى (من الأدنى). وينطق عن مج Ê ح إنها محدودة من الأعلى (من الأدنى) إذا كانت محتواة في فترة مفتوحة محدودة من الأعلى (من الأدنى)، وينطق إذا مج محدودة إذا كانت محدودة من الأعلى ومن الأدنى، ويكفي لتحقق ذلك حتى تكون مج محتواة في فترة مفتوحة محدودة. أصبح الآن من الممكن إيراد بعض المبرهنات المهمة في ح.

(1) مبرهنة الفترات المغلقة المحدودة المتداخلة: إذا كانت [بن،جـن] متتالية من الفترات المغلقة المحدودة والمتداخلة، أي إذا جميع فترة تحوي تاليتها، وإذا كانت المتتالية لن=جـن-بن متقاربة من الصفر فهنالك نقطة واحدة فقط هـ تشهجر فيها جميع هذه الفترات، ويكون نها ن!¥ بن =نها ن!¥ جـن = هـ

(2) مبرهنة الحد الأعلى: إذا كانت مج غير خالية ومحدودة من الأعلى في ح، فإن في ح عنصراً وحيداً ل يدعى الحد الأعلى لـ مج يحقق مايلي: مج Ê ]-∞، ل] ولَ < ل Ü مج ]-∞، لَ].

(3) مبرهنة وجود الجذر التربيعي لأي عدد حقيقي موجب (أوالجذر من المرتبة ن حيثقد يكون ن عنصراً من ط*): إذا كان ب عدداً حقيقياً موجباً فثمة عنصر س э ح* ويحقق المساواة سن = ب يدعى العنصر س هذا، الجذر الموجب لـ ب، ويرمز له بـ ، ويكفي للتأكد من صحة هذه المبرهنة حتى يلاحظ حتى المجموعة {س: س Э ح* وسن ب غير خالية وأنها محدودة من الأعلى. إذن يوجد في ح حد أعلى لها، وليكن ل، عندئذ ينتج حتى لن= ن.

(4) مبرهنة بولزانوـ فاير شتراس Bolzano- Weierstrass: لكل مجموعة غير منتهية ومحدودة في ح نقطة تجمع واحدة على الأقل.

(5) مبرهنة بوريل ـ لوبيغ Borel- Lebesgue: إذا كان اتحاد جماعة (مجهـ)هـdЭ من المفتوحات يحوي الفترة المغلقة المحدودة [ب، حـ] فيمكن حتى توجد العناصر هـ1، هـ2،...هـن من مجموعة الأدلة d بحيثقد يكون مج هـ1 È...È مجهـ ن Í [ب، جـ] يعبر عن ذلك بالقول حتى [ب، حـ] مجموعة متراصة.

(6) إذا ح غير عدودة (أي غير قابلة للعد)، وإن مـ العدودة كثيفة فيها، أي إذا جميع فترة مفتوحة في ح لابد وأن تبتر بعبارة أخرى: إذا كان ب، جـэ ح وب <حـ فثمة عنصر س من بحيثقد يكون ب <س <حـ، كذلك فإن مكملة مـ في ح كثيفة في ح، كما حتى جميع عدد حقيقي هونهاية لمتتالية من الأعداد المنطقة، وهونهاية لمتتالية من الأعداد الصماء.

إنشاء ح

هناك عدة طرائق لأنشاء (تمثيل) ح يلفت النظر هنا إلى أنه إذا كان هناك حقلان مرتبان تامان فإن ثمة تقابلاً من أحدهما إلى الآخر يحافظ على الجمع والضرب والترتيب فيهما. ولذا لايميز بينهما. وليكن البدء بإنشاء ديدكند Dedekind لـ ح.

انشاء ديدكند

يسمى عدداً حقيقاً أي مجموعة ج غير خالية من مـ تحقق مايلي: مكملة ج غير خالية، وإذا كان العدد المنطق ب من ج فإن جميع عناصر مـ التي تصغره تنتمي إلى ج، وثمة عدد منطق واحد على الأقل أكبر تماماً من ب ينتمي إلى ج أيضاً. وسيرمز بـ ح لمجموعة الأعداد الحقيقية. غمر مـ في ح: ليكن تا:مـ ! ح: ب ! تا(ب) ={س:س э مـ وس <ب إذا تا (ب) عدد حقيقي يدعى عدداً حقيقياً منطقاً وإن تا متباين. لذا سيطابق بين مـ وتا(مـ)، وسيدعى أي عنصر من ح/تا(مـ) عدداً حقيقياً غير منطق (أصماً). وقد يرمز للسهولة لـ تا(ب) بـ ب ولـ تا(0) بـ 0 ولـ تا (1) بـ 1.

تعريف الترتيب

إذا كان ج1 وج2 عددين حقيقيين فإنه ينطق إذا ج1 ج2 اذا كانت المجموعة الأولى تحوي الثانية. وإذا كان ج1 Í ج2 وَ ج1 ج2 فإنه ينطق إذا ج1 أكبر تماماً من ج2 ويخط ج1 > ج2 وترد هنا المبرهنة التالية:

• مبرهنة: لكل مجموعة مج غير خالية ومحدودة من الأعلى في ح حد أعلى في ح: (خاصة الحد الأعلى).

تعريف الجمع

ج1+ج2 @ {س =س1+س2:س1 Э ج1 وَ س2 Э ج2 أياً كان ج1 وج2 من ح.

تعريف الضرب

يعهد أولاً ضرب عددين موجبين تماماً ثم يمدد التعريف: إذا كان ج1 > تا(0) وج2 > تا(0) فإن ج1ج2 @ {س = س1× س2: سر>0 وَ سرЭ جر وَ ر =1،2 È تا(0) أما مقلوب عنصر ج > تا(0) فيعطى بـ: 1/ج @ {1/س: س عنصر من مكملة ج وليس أصغر عنصر فيها È تا(0)، ونظير ج ={-س: س عنصر من مكملة ج وليس أصغر عنصر فيها . بعد جميع هذه التعريفـات يمكن إثبـات مايلي: (ح، +، ×، ) حقل مرتب تام، وتا المعهد سابقاً يحافظ على الجمع والضرب والترتيب.

إنشاء كانتور Cantor

سيرمز بـ a لمجموعة متتاليات كوشي في مـ وليعهد عليها علاقة تكافؤ كمايلي: ينطق عن متتاليتين (بن) و(جـن) إنهما متكافئتان اذا كانت نها ن!¥ (بن- جـن) =0 ، وسيرمز لذلك بـ (بن) ~ (جـن)، وبـ ح لمجموعة صفوف التكافؤ، ويدعى جميع صف تكافؤ عدداً حقيقياً.

تعريف الجمع

ليفرض س Э ح وصЭ ح وليفرض (سن)Э س و(صن)Э ص إذا المتتالية (سن+ صن) كوشية. ليرمز بـ جـ لصف التكافؤ الموافق لها وليسمَّ حاصل جمع س وص ويخط س+ص= جـ.

تعريف الضرب

ليفرض س Эح وصЭ ح وليفرض (سن)Э س و(صن)Э ص إذا المتتالية (سن× صن) كوشية. ليرمز بـ د لصف التكافؤ الموافق لها وليسمَّ جداء س وص ويخط س × ص= د.

تعريف علاقة الترتيب

ليفرض س Э ح وصЭ ح. ينطق إذا س ≥ ص إذا أمكن إيجاد ممثل لـ س: (سن) وممثل لـ ص: (صن) بحيث سن> صن أياً كانت ن من ط. يمكن بعد هذا إثبات مايلي: (1) (ح، +، ×، ≥) حقل تبادلي مرتب، (2) تا: مـ !ح المعهد سابقاً محافظ على الجمع والضرب والترتيب. لذا سيطابق بين مـ وتا(مـ) كما أُشير، (3) بين أي عددين حقيقيين مختلفين هنالك عدد منطق (أي إذا مـ كثيفة في ح)، (4) جميع متتالية كوشية في ح متقاربة (أي إذا ح حقل منظم تام).

أنظر أيضاً

المصادر

الموسوعة العربية

• Georg Cantor, 1874, "Über eine Eigenschaft des Inbegriffes aller reellen algebraischen Zahlen", Journal für die Reine und Angewandte Mathematik, volume 77, pages 258-262.
• Robert Katz, 1964, Axiomatic Analysis, D. C. Heath and Company.
• Edmund Landau, 2001, ISBN 0-8218-2693-X, Foundations of Analysis, American Mathematical Society.
• Howie, John M., Real Analysis, Springer, 2005, ISBN 1-85233-314-6

وصلات خارجية

• The real numbers: Pythagoras to Stevin
• The real numbers: Stevin to Hilbert
• The real numbers: Attempts to understand