راديان
الراديان هي وحدة قياس للزوايا المستوية وهي الوحدة الرسمية المعتمدة ضمن النظام الدولي للوحدات المستخدمة في الرياضيات والفيزياء وتعهد بأنها الزاوية المركزية المتوضعة على مركز الدائرة والتي تحدد قوساً طولها مساوي لنصف قطر الدائرة. يعادل الراديان الواحد درجات، أي بالتقريب .
رسميًا، فإنّ الراديان كمية لا بعدية، بعكس الثانية أوالمتر، فهومجرّد عدد. لذا فإنّ تدوين حدثة راديان (أوrad) هوللإيضاح فقط ويجب ألاّ يفهم منه أنّ له مفهومًا فيزيائيًا. عندما تخط الزاوية بدون أي علامة، يقصد بشكل عام حتى القيمة هي بالراديان، بينما تضاف العلامة للإشارة إلى الدرجة.
إنّ وحدة القياس الرسمية المعتمدة ضمن النظام الدولي للوحدات للزاوية الفراغية الصلبة هي الستراديان، وهي، بعكس الراديان، كميّة بعديّة ذات مفهوم فيزيائي.
تعريف
يعرّف الراديان الواحد على أنّه الزاوية المركزيّة في دائرة التي تقابل قوسًا طوله مساوٍ لطول نصف قطر الدائرة.
وبشكل عام، فإنّ مقدار أي زاوية مركزيّة يحصرها نصفا قطر ما بالراديان تساوي النسبة بين طول القوس اللقاء للزاوية وبين نصف قطر الدائرة، أي أنّ:
بحيث أنّ:
- هي الزاوية المركزيّة،
- هوطول القوس،
- و هوطول نصف قطر الدائرة.
باللقاء، فبالإمكان حساب طول قوس في دائرة نصف قطرها يقابل زاوية مركزية مقدارها :
من هذا القانون بالإمكان الاستدلال على مقدار الراديان الواحد. فإنّ زاوية دائرية كاملة تعادل ، وهي تقابل قوسًا يساوي جميع محيط الدائرة، لذا فإنّ مقدارها بالراديان هو: . إذا كانت زاوية مقدارها 360 درجة تعادل راديان، فيعادل الراديان الواحد درجة.
تاريخ
أوّل من أتته فكرة الراديان كان الرياضي البريطاني روجر كوتس، عام 1714. مع أنّه لم يطلق على الفكرة حدثة راديان، فقد فهم كوتس مدى بديهيّة المفهوم كوحدة للقياس الزاوي.
تحويل بين الراديان والدرجة
للتحويل من راديان إلى درجات يجب حتى نضرب الراديان بالقيمة . عملى سبيل المثال:
وباللقاء، فللتحويل من درجات إلى راديان، يجب حتى نضرب بالقيمة :
إمكانيّة أخرى هي تحويل مقدار الزاوية بالراديان إلى عدد الدورانات بواسطة القسمة على . فمثلاً، إنّ تعادل ثلاثة دورات كاملة.
| جزء الدائرة | ||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| الزاوية بالدرجات | ||||||||
| الزاوية بالراديان |
التحليل البعدي
كثيرًا ما يستخدم الراديان كوحدة القياس المفضّلة في الكثير من المجالات. ففي حساب التفاضل والتكامل، مثلاً، يساعد كون الراديان كميّة غير بعديّة في صياغ المعادلات والبراهين، وهذا بسبب عدم وجود حاجة إلى "إلغاء" وحدة القياس.
إنّ استعمالها خاصّة في الدوال المثلثية كالجيب وجيب التمام وغيرها هوبسيط. فمثلاً باستعمال الراديان بالإمكان برهنة نهاية الدالة الآتية:
وهي نتيجة أساسيّة، بالإمكان برهنة عدد من المعادلات المثلثية:
بسبب مثل هذه الخواص وغيرها، قد تظهر الدوال المثلثية بالتمثيل الرادياني في سياقات لا تمت بصلة مباشرة للمفهوم الهندسي الأصلي لتلك الدوال. فمثلاً، تكون هذه الدوال حلاًّ للمعادلة التفاضلية التالية: .
طريقة أخرى لرؤية الفائدة من وراء كون الراديان كميّة لا بعدية تظهر عند التمعن بمتسلسلة تايلور للدوال المثلثيّة:
فإذا لم يكن الراديان كميّة غير بعديّة، لما كان بإمكان متسلسلة تايلور حتى تخط بهذه البساطة، إذ كان يتوجّب إلغاء البعد الفيزيائي للكمية لكي نتمكن من جمع جميع الحدود، لأنّ جميع منها بقوّة مختلفة. فلا يمكن حتى نجمع حدًا بُعده متر وحدًا بُعده متر.
الاستعمال في الفيزياء
إنّ استعمال وحدة الراديان في الفيزياء أمر رائج لقياس الزوايا. عملى سبيل المثال، تقاس السرعة الزاوية في غالب الأحيان بوحدات راديان في الثانية (
يعود سبب الاستعمال الشائع للراديان في الفيزياء إلى نفس مسببات استعماله في الرياضيات - فإنّ استعمال الكمية يبسط الأمور في الكثير من الأحيان.
أنظر أيضًا
- ستراديان
- سرعة زاوية
- تردد زاوي
