نظرية الأعداد

نظرية الأعداد هوفرع من الرياضيات يهتم بخصائص الأعداد السليمة، سواء كانت طبيعية أونسبية، وتتضمن عدة مسائل مفتوحة سهلة الفهم، حتى بالنسبة لغير المختصين. بصفة عامة، المجال الذي تدرسه هذه النظرية يهتم بفئة كبيرة من المسائل التي تأتي من دراسة الأعداد الطبيعية. من الممكن تقسيم نظرية الأعداد إلى عدة مجالات حسب الطريقة المستعملة ونوع المسألة. فهي فرع من فروع الرّياضيات تهتم بدراسة خواص وعلاقات الأعداد السليمة وتوسيعاتها الجبرية والتحليلية.

عند الإطلاق، نظرية الأعداد تدرس قابلية القسمة والأوليّة والتحليل (إلى جداء عوامل أولية). كما تدرس خواص التجزئة وما قارب ذلك. ويوجد فروع أخرى نذكر منها نظرية الأعداد الجبرية التي تعتني باستعمال الطرق الجبرية لدراسة الأعداد الصماء والأعداد المتسامية ونظرية التحليل في التوسيعات الجبرية وغير هذا، ونظرية الأعداد التحليلية وهي تستغل طرق التحليل العقدي (الأعداد العقدية) حين دراسة بعض خواص الأعداد الأولية مثلا، أنظر دالّة زيتا.

انظر مثلا قائمة بمجالات نظرية الأعداد.

المفهوم «حسابيات» مستعمل كمرجع لمبرهنة الأعداد وهومفهوم قديم جدا.

عند ترتيب الأعداد الطبيعية في حلزون والهجريز على الأعداد الأولية، يـُلاحـَظ نمط مثير للاهتمام وغير مفهوم تماماً، يسمى حلزون اولام.

المبرهنة البدائية للأعداد

في هذا المجال، تدرس الأعداد دون اللجوء لتقنيات آتية من فروع أخرى للرياضيات. مسألة قابلية القسمة، خوارزمية إقليدس تمكن من حساب القاسم المشهجر الأكبر ، تفكيك الأعداد إلى أعداد أولية, البحث عن الأعداد المثالية والتقريب تنتمي لهذا المجال.

النتائج هي مبرهنة فيرما الصغرى ومبرهنة أولير, ثم مبرهنة الباقي الصيني وقانون الإنعكاس الرباعي. خاصيات الدوال الجذائية مثل دالة ميبيس ودالة أولير تمت دراستها ; وأيضا المتتاليات مثل عاملي وأعداد فيبوشى.

عدة مسائل المبرهنة البدائية للأعداد تبدوبسيطة بحاجة لتعمق في الرياضيات ولمقاربات جديدة. كما في المثلة الآتية :

حدسية گولدباخ الخاصة بالأعداد الزوجية كجمع عددين أوليين,
حدسية كاتالان الخاصة بأس أعداد طبيعية متتالية,
حدسية الأولين التوأم التي تقول حتى مجموعة الأعداد الأولية التوأم غير منتهية, و
حدسية سيراكيز الخاصة بمتتالية بسيطة.

مبرهنة 'المعادلة الديوفانية تم البرهنة على أنها غير محددة (أنظر مسائل هيلبرت ).

المبرهنة التحليلية للأعداد

تستعمل أدوات الحساب والتحليل العقدي, لدراسة مسائل حول الأعداد الطبيعية. مبرهنة الأعداد الأولية وفرضية ريمان هي بعض الأمثلة.

حدسية التوأمين الأولية
حدسية غولدباخ

تم معالجتها بواسطة طرق تحليلية. الدليل على كون أعداد مثل عدد بي وعدد أولير هي أعداد لا يمكنها حتى تكون حلولا لأي معادلة جبرية تم تصنيفها في هذا الإطار أي تحليل الأعداد.

في حين النتائج الخاصة بالأعداد التي ليس حلا لأي معادلة جبرية, تبدوخارج دراسة الأعداد الطبيعية.

المبرهنة الجبرية للأعداد

في هذا الحقل، مفهوم الأعداد تم إضافة مصطلح الأعداد الجبرية، التي هي جذور المعادلات الحدودية ذات معاملات نسبية. كما نجد مفهوما مقاربا وهوالأعداد الطبيعية الجبرية.

عدة مواضيع تم التعامل معها باستعمال الموافقة بترديد، مما أدى لظهور المبرهنة الجبرية للأعداد.

المبرهنة الهندسية للأعداد

يمكن تسميتها هندسة الأعداد، تتضمن جميع أشكال الهندسة. نجد في هذا المجال مبرهنة مينكوفسكي الخاصة بشبكة النقط في شكل محدب. الهندسة الجبرية والجسم الإهليلجي، يتم أيضا استعمالها في هذا المجال من دراسة الأعداد. ومبرهنة فيرما الأخيرة والشهيرة تم البرهنة على صحتها اعتمادا على هذه التقنيات.

الهامش

المصادر والاستزادة

هناك كتاب ، Discrete mathematics، في فهم الخط.

نطقب:Apostol IANT
Dedekind, Richard (1963). Essays on the Theory of Numbers. Cambridge University Press. ISBN .
Davenport, Harold (1999). The Higher Arithmetic: An Introduction to the Theory of Numbers (7th ed.). Cambridge University Press. ISBN .
Guy, Richard K. (1981). Unsolved Problems in Number Theory. Springer-Verlag. ISBN .
Hardy, G. H. and Wright, E. M. (1980). An Introduction to the Theory of Numbers (5th ed.). Oxford University Press. ISBN .CS1 maint: multiple names: authors list (link)
Niven, Ivan, Zuckerman, Herbert S. and Montgomery, Hugh L. (1991). An Introduction to the Theory of Numbers (5th ed.). Wiley Text Books. ISBN .CS1 maint: multiple names: authors list (link)
Ore, Oystein (1948). Number Theory and Its History. Dover Publications, Inc. ISBN .
Smith, David. (1906) (adapted public domain text)
Dutta, Amartya Kumar (2002). 'Diophantine equations: The Kuttaka', .
O'Connor, John J. and Robertson, Edmund F. (2004). 'Arabic/Islamic mathematics', MacTutor History of Mathematics archive.
O'Connor, John J. and Robertson, Edmund F. (2004). 'Index of Ancient Indian mathematics', MacTutor History of Mathematics archive.
O'Connor, John J. and Robertson, Edmund F. (2004). 'Numbers and Number Theory Index', MacTutor History of Mathematics archive.
Kraeft, Uwe, (2000 - 2010). 'Studies in Number Theory', 22 vols., last vol. 'Additive Representations of Integers in Number Theory', Shaker Verlag, Aachen, ISBN 978-3-8322-8793-1.
Important publications in number theory