احتمالات وإحصاء
ما هي الأمور التي سنتطرق لها :
- الأحداث والاحتمالات
- المتحولات العشوائية
- المتحولات العشوائية المنبترة وتوزيعها
- المتحولات العشوائية المستمرة وتوزيعها
- التوابع المولدة وتطبيقاتها
- عزوم العينة
- وبالإحصاء لدينا :
- التقدير النقطي
- اختبار الفرضيات
أولاً أحداث الاحتمالات
- فضاء العينة
- جبر الأحداث
- الاحتمالات
- طرائق العد
- الاحتمالات المشروطة
- الاستقلال
تعريفات اساسية
نظرية الاحتمالات هي الفهم الذي يهتم بدراسة الظواهر العشوائية وتحليليها مثال:= فهم عدد الحوادث التي ستقع على طريق دمشق-حلب
التجربة العشوائية
اي عملية تولد مجموعة من المعطيات اوبكلام احر جميع عمل تقوم له للرد على سؤال مطروح مثال:=
- سجب رقم عشوائي من الصفر الى الواحد
- عدد الزبائن التي تاتي على احد المتاجر احد الايام
- عمر ذرة مشعة
- رمى بترة نرد
فضاء العينة
هومجموعة جميع النتائج للتجربة وسنرمز له ب Ω
- مثال-1-
فضاء العينة في إلقاء بترة نقود هوΩ={H,T
- مثال-2-
فضاء العينة لإلقاء حجر نرد هوΩ={1,2,3,4,5,6
فضاء العينة لعدد الزبائن هي مجموعة قابلة للعد وغير منتهيةΩ=N
فضاء العينة لاختيار عدد عشوائي ضمن المجال ]0,1[ هوΩ=]0,1 غير منته وغير قابل للعد
الحدث العشوائي
هومجموعة جزئية من فضاء العينة ونرمز له بأحد الرموز A,B,C يقع الحدث A إذا كانت نتيجة التجربة E عنصرا من A أي حتى W تنتمي ل A
الحدث الابتدائي :هوالمجموعة التي تحوي إحدى النتائج الممكنة فقط ففي مثال حجر النرد {1 ,{2 ,{3 ,{4 ,{5 ,{6 تمثل أحداثا ابتدائية
ملاحظة :كل وقع هومجموعة ابتدائية من Ω ولكن العكس ليس سليم أي أنه ليس بالضرورة حتى تكون جميع مجموعة جزئية حدثا
جبر الأحداث
*اجتماع حدثين (Union of Events)
اجتماع حدثين A,B هووقع يقع اذا سقط أحد الحدثين أوالحدثين A أوB أوكلاهما ونرمز له ب
- مثال :
في تجربة إلقاء حجر نرد ليكن لدينا الأحداث التالية A = {1,2,3, ومجموعة الأعداد الزوجية B = {2,4,6 وومجموعة الأعداد الفردية c= {1,3,5
عبر عن الحدث
={1,2,3,4,6, هووقع عدم ظهور الرقم 5
*تقاطع الحدثين (Intersection of Events)
تقاطع الحدثين A,b يعني وقوع الحدثين A وB بآن واحد ونرمز له ب
- مثال :
في تجربة إلقاء حجر نرد ليكن لدينا الأحداث التالية A = {1,2,3 ومجموعة الأعداد الزوجية B={2,4,6 وومجموعة الأعداد الفردية c= {1,3,5
عبر عن الحدث , ,
= {2 هووقع ظهور العدد 2 فقط
= Φحدث الحصول على عدد فردي وزوجي في آن واحد وهذا محال (لايمكن وقوع هذا الحدث )
={1,3 هووقع ظهور عدد فردي اقل تماماً منخمسة
*الإحتواء (Inclusion)
ليكن A وB حدثين فإن وقوع الحدث A يؤدي غلى وقوع الحدث b
*فرق الحدثين (Difference between events)
نقول حتى الحدث A\B قد سقط إذا إذا كانت النتيجة هي من A وليست من B
- مثال :
في تجربة إلقاء حجر نرد ليكن لدينا الأحداث التالية A={1,2,3 ومجموعة الأعداد الزوجية B={2,4,6 وومجموعة الأعداد الفردية c= {1,3,5
عبر عن الحدث A \ B
A\B = {1,3 يمثل وقع الحصول على عدد فردي أقل من 5
B\A = {4,6 يمثل الحصول على عدد زوجي أكبر من 2
*الحدثان المنتافيان
نقول ان A وB متناقيان إذا وفقط إذا كان = Φ
ملاحظة :
وقوع أحد الحدثين المتنافيين ينفي إمكانية وقوع الحدث الآخر , أي الحدثان المتنافيان لا يمكن حتى يقعا معاً
= Ø هذا يعني حتى وقوع A يمنع وقوع B
- مثال :
في تجربة إلقاء حجر نرد ليكن لدينا الأحداث التالية A={1,2,3 ومجموعة الأعداد الزوجية B={2,4,6 وومجموعة الأعداد الفردية c= {1,3,5
= Ø
= Ø
وبالتالي الحدثان C وB متنافيان
- متمم الحدث
متمم الحدث A هووقع يحوي سائر الأحداث الإبتدائية من فضاء العينة والغير محتواة في الحدث A ونرمز له ب Á
A وÁ حدثان متتامان حيث :
Ω =
Ø =
