مبرهنة ولسون

في الرياضيات، تنص مبرهنة ولسون على حتى عدداً سليماً طبيعياً ما n > 1 هوعدد أولي إذا وفقط إذا توفر ما يلي :

{\displaystyle (n-1)!\ \equiv \ -1{\pmod {n

وبتعبير آخر، إذا وفقط إذا كان ${\displaystyle (n-1)!\ +1$ مضاعفا ل n.

التاريخ

توصل ابن الهيثم لهذه المبرهنة في العصور الوسطى، لكنها نسبت إلى جون ولسون تلميذ الرياضياتي الإنگليزي إدوارد ويرنگ الذي صاغها في القرن الثامن عشر. أعرب ويرنگ تلك المبرهنة في عام 1770، على الرغم من أنه لا هوولا ولسون أمكنهم إثبات ذلك. استطاع جوزيف لاگرانج في عام 1773، حتى يقدم أول إثبات للمبرهنة. هناك أدلة على حتى لايبنتس كان على فهم أيضًا بتلك المبرهنة قبل ذلك بنحوقرن، لكنه لم ينشر ذلك.

مثال

يبين الجدول التالي في عموده الأول قيم n من 2 حتي 30، وقيم ${\displaystyle (n-1)!$ في عموده الثاني. أما العمود الثالث فيحتوي على الباقي عند قسمة ${\displaystyle (n-1)!$ على n. لُونت السطور حيث n عدد أولي باللون الودي بينما لُونت السطور حيث n غير أولي باللون الأخضر.

جدول تطابق (الباقي قياس ن)
${\displaystyle n$	${\displaystyle (n-1)!$	${\displaystyle (n-1)!\ {\bmod {\ n$
2	1	1
3	2	2
4	6	2
5	24	4
6	120	0
7	720	6
8	5040	0
9	40320	0
10	362880	0
11	3628800	10
12	39916800	0
13	479001600	12
14	6227020800	0
15	87178291200	0
16	1307674368000	0
17	20922789888000	16
18	355687428096000	0
19	6402373705728000	18
20	121645100408832000	0
21	2432902008176640000	0
22	51090942171709440000	0
23	1124000727777607680000	22
24	25852016738884976640000	0
25	620448401733239439360000	0
26	15511210043330985984000000	0
27	403291461126605635584000000	0
28	10888869450418352160768000000	0
29	304888344611713860501504000000	28
30	8841761993739701954543616000000	0

براهين

باستخدام نظرية المجموعات

باستخدام متعددة الحدود

مقلوبها

تطبيقات

هذه المبرهنة لا تستعمل من أجل تحديد أولية عدد ما لأنه سرعان ما يصير !(n-1) كبيرا جدا بمجرد ما يصير n كبيرا شيئا ما.

باستخدام مبرهنة ولسون، for any odd prime p = 2m + 1 ويمكننا اعادة ترتيب الطرف الأيسر من

{\displaystyle 1\cdot 2\cdots (p-1)\ \equiv \ -1\ {\pmod {p

للحصول على المتساوية

{\displaystyle 1\cdot (p-1)\cdot 2\cdot (p-2)\cdots m\cdot (p-m)\ \equiv \ 1\cdot (-1)\cdot 2\cdot (-2)\cdots m\cdot (-m)\ \equiv \ -1{\pmod {p .

وهذا يصبح

{\displaystyle \prod _{j=1 ^{m \ j^{2 \ \equiv (-1)^{m+1 {\pmod {p .

يمكننا استخدام هذه الحقيقة لإثبات جزء من نتيجة شهيرة: لأي عدد أولي p بحيث p ≡ 1 (قياس 4) العدد (−1) هومربع (الراسب التربيعي) قياس p. لأنه بافتراض p = 4k + 1 لبعض الأعداد السليمة k. فإنه بذلك يمكننا أخذ m = 2k فوق، ونستنتج

{\displaystyle {\biggl ( \prod _{j=1 ^{2k \ j{\biggr ) ^{2 =\prod _{j=1 ^{2k \ j^{2 \ \equiv (-1)^{2k+1 \ =-1{\pmod {p .

وقد أُستُخدِمت مبرهنة ولسون لإنشاء صيغ للأعداد الأولية، إلا أنها بطيئة جداً لكي تكون ذات قيمة عملية.

تعميم گاوس

گاوس أثبت that if m > 2

{\displaystyle \prod _{k=1 \atop \gcd(k,m)=1 ^{m \!\!k\ \equiv {\begin{cases -1{\pmod {m &{\text{if m=4,\;p^{\alpha ,\;2p^{\alpha \\\;\;\,1{\pmod {m &{\text{otherwise \end{cases

حيث p هي عدد أولي فردي، و ${\displaystyle \alpha$

وهذا يقوم بتعميم أوسع إلى حقيقة أنه في أي مجموعة أبلية محدودة، إما حتى حاصل ضرب جميع العناصرقد يكون هوالوحدة identity، أوحتى هنالك بالتحديد عنصر واحد a من الرتبة 2 (ولكن ليس كلاهما). في الحالة اللاحقة، فإن حاصل ضرب جميع العناصر يساوي a.

انظر أيضاً

جذر بدائي قياس ن
الحساب النمطي
مبرهنة اويلر
مبرهنة فيرما الصغرى
عدد ولسون الأولي
ابن الهيثم
جدول تطابق

المراجع

^ O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F., "Abu Ali al-Hasan ibn al-Haytham", MacTutor History of Mathematics archive
^ Joseph Louis Lagrange, "Demonstration d'un théorème nouveau concernant les nombres premiers," Nouveaux Mémoires de l'Académie Royale des Sciences et Belles-Lettres de Berlin, vol. 2, pages 125–137 (1771). (Note: Lagrange proved Wilson's theorem in 1773. In 1773, when the Berlin Academy finally published its Mémoires for 1771, Lagrange's proof was simply inserted in the Mémoires for 1771. See footnote [2] on page 499 of: Leonard Euler; A. P. Juskevic and R. Taton (ed.s), Correspondence de Leonard Euler avec A. C. Clairaut, J. d'Alembert et J. L. Lagrange (Cambridge, Massachusetts: Birkhäuser, 1980) [بالفرنسية].)
^ Gauss, DA, art. 78
^ m = 1 and 2 have to be excluded because 1 ≡ −1 (mod 1 or 2).

Ore, Oystein (1988). Number Theory and its History. Dover. pp. 259–271. ISBN .

وصلات خارجية

Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), "Wilson theorem", Encyclopaedia of Mathematics, Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1556080104
Eric W. Weisstein, Wilson's Theorem at MathWorld.