العدد الأولي prime number، هوعدد سليم طبيعي أكبر من 1, يقبل القسمة فقط على نفسه وعلى الواحد.

كأي مجموعة من مجموعات الأعداد المتنوعة، تعتبر الأعداد الأولية مجموعة لا نهائية من الأرقام.

دراسة الأعداد الأولية جزء من دراسة نظرية الأعداد، حيث خضعت الأعداد الأولية لبحوث عديدة، مع ذلك تظل الكثير من الأسئلة الأساسية مثل فرضية ريمان وحدسية گولدباخ مسائل غير محلولة حتى الآن بالرغم من مرور أكثر من قرن على طرحها.

السبب الأساسي يعود إلى عدم فهمنا لكيفية توزيع الأعداد الأولية، على عكس الأعداد الفردية أوالزوجية.

الاعداد الأولية الأصغر من 100 هي : 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97.

تاريخ الأعداد الأولية

تشير بعض السجلات التاريخية القديمة إلى فهم قدماء المصريين لمفهوم الأعداد الأولية، مع ذلك يظل اليونانيون القدامى أول من أجرى دراسات جدية بشأن هذه الموضوع، فإقليدس على سبيل المثال أثبت في خطه لا نهائية الأعداد الأولية، وإراتوسثينيس وضع طريقة بسيطة لحساب الأعداد الأولية كما سنرى بعد قليل.

اهتم الفهماء منذ القدم بهذه المسألة، وقد وضعت براهين كثيرة على أنّ عدد الأعداد الأولية غير منتهٍ.

من أقدم هذه البراهين البرهان الذي قدمه إقليدس Euclid في نحو300 قبل الميلاد، في الموضوعة التاسعة في كتابه الشهير «الأصول».

تسمى الأعداد التي تخط على النحوقن = ق1، ق2 .... قن-1+1 حيث ق1 = 2 وينتج عن ذلك ق2= 3، … أعداد إقليدس.

وليست كلها أولية فالعدد ق5 مثلاً يساوي 1807 = ´13 ن139 هوعدد مؤلف.

تعريفات

العدد الأولي هوعدد سليم أكبر من الواحد، ليس له إلا قاسمان موجبان فقط، هما: الواحد والعدد نفسه.

يتضح من التعريف حتى العدد 2 هوأصغر عدد أولي، وأنّه هوالعدد الأولي الزوجي الوحيد.

الأعداد التالية مثلاً: 2، 3، 5، 13 … هي أعداد أولية.

إذا كان ن عدداً سليماً أكبر من الواحد ولم يكن أوّلياً فإنه يدعى عدداً مؤلفاً، أي إنّ جميع عدد سليم أكبر من الواحد هوإمّا عدد أولي، أوعدد مؤلف، والأعداد التالية أربعة =2´2، ن91 =سبعة ´ ن13 … هي أعداد مؤلفة.

ينطق إنّ العددين السليمين ب وجـ أوليان نسبياً إذا كان القاسم المشهجر الأعظم لهما = 1، أي إذا كان (ب، جـ) = 1، فالعددان (6، 25) مثلاً أوليان نسبياً.

القواسم الأولية

دللت المبرهنة الأساسية في الرياضيات حتى جميع عدد سليم موجب أكب رمن 1 يمكن حتى يخط كناتج لواحد أوأكثر من الأعداد الاولية بطريقة which is unique except possibly for the order of the prime factors. ويمكن حتى يتكرر العدد الأولي لمرات متعددة. ومن ثم يمكن اعتبار الأعداد الأولية على أنها “الكتل البنائية الأساسية” للأعداد الطبيعية. على سبيل المثال، يمكن كتابة:

${\displaystyle 23244=2^{2 \times 3\times 13\times 149$

خصائص الأعداد الأولية

• جميع الأعداد الأولية - عدا 2 وخمسة - تنتهي ب 1 ، ثلاثة ،سبعة أوتسعة لما ؟

لأن جميع الأعداد التي تنتهي ب(0، 2، 4،ستة أو8) هي من مضاعفات الاثنين فليست بالتأكيد أوليّة، والأعداد التي تنتهي ب(0 أو5) من مضاعفات الخمسة فليست أولية أيضاً.

• إذا كان لدينا عددان سليمان أ وب، ولدينا عدد ثالث ج، حيث ج عدد أولي. وكان حاصل ضرب العددين (أ × ب) يقبل القسمة على العدد ج، فإن "أ" أو"ب" يقبل القسمة على ج هذه الخاصية تعهد أيضا ً بمبرهنة إقليدس.

المبرهنة الأساسية في الحساب

إنّ جميع عدد سليم ن أكبر من الواحد يمكن حتى يُخط جداءَ عددٍ منتهٍ من الأعداد الأولية، قد يحدث بعضها مكرراً، ويتم ذلك بشكل وحيد، فيمكن مثلاً كتابة العدد 17640 على النحو17640=2 3×3 2×5×7 2، وتسمى هذه العملية تحليل العدد إلى عوامله الأولية.

ينتج من المبرهنة الأساسية أنّ لكل عدد سليم أكبر من الواحد، عاملاً أولياً واحداً على الأقل.

ويمكن بسهولة إثبات النتيجة التالية: إذا كان ن عدداً مؤلفاً أكبر من الواحد فإنه يوجد حتماً عددٌ أولي ل أصغر من أويساوي جذر ن، يقسم العدد ن، وإلا كان العدد ن أولياً.

مرشحة إراتوستينس

مرشحة إراتوستينس (230 ق.م)، هي قاعدة للحصول على الأعداد الأولية التي هي أصغر من عدد سليم ما (ن)، ويتم ذلك كما يأتي:

تخط جميع الأعداد السليمة بدءاً من العدد 2 حتى العدد ن، ثم يُشطَب من هذه الأعداد جميع مضاعفات العدد 2، فيكون العدد ثلاثة هوأصغر عدد لم يتم شطبه، وهوعدد أولي، ثم يُشطَب من الأعداد الباقية مضاعفات العدد ثلاثة جميعها، فيكون العددخمسة هوأصغر عدد لم يُشطَب، وهوعدد أولي، ثم يُتابَع العمل على هذا المنوال حتى نصل إلى العدد الأولي الذي يقل عن الجذر التربيعي لـ ن أويساويه، فتكون الأعداد التي لم تُشطَبَ هي جميع الأعداد الأولية المطلوبة.

فللحصول على الأعداد الأولية التي هي أصغر من مئة مثلاً تُشطَبُ مضاعفات الأعداد 2 و3 و5 و7 فقط، من جدول الأعداد من 2 إلى 100.

توزيع الأعداد الأولية

إنّ عدد الأعداد الأولية غير منتهٍ، والبحث عن الأعداد الكبيرة منها في غاية الصعوبة، فهل تتوزع هذه الأعداد بشكل منتظم، وهل يمكن وضع دستور يعطي جميع الأعداد الأولية؟

لقد درس الفهماء عن دساتير بسيطة تعطي أعداداً أولية فوضعت العبارة:

س2- س + 41، وعثر أنها تعطي أعداداً أولية من أجل قيم س من الصفر حتى العدد 40، لكنها تعطي عدداً مؤلفاً عندما تصبح س = 41.

حاول الرياضيون تطوير هذه العبارة والبحث عن حدوديات تحقق الغاية دون جدوى.

ثم تم إثبات المبرهنة التي تنص على أنه لا توجد أي حدودية ذات أمثال سليمة وقوى موجبة تعطي أعداداً أولية فقط من أجل قيم المتحول س، فبحث الفهماء عن صيغ أخرى.

اختبارات أولية العدد

هناك أكثر من 15 اختبارا لفهم هل عدد معين أولي أم لا وهي:

• اختبار ليكاس - ليهمر
• ختبار فيرما المتربط بمبرهنة فيرما الصغرى.

اختبار فيرما

وضع فيرما (1601ـ 1665م) الصيغة التي افترض بحدسه أنها تعطي أعداداً أولية فقط، وهي العبارة:

فن = 2 (2ن)+1 ون £ 0 ولكنه أخطأ بحدسه هذا إذ أثبت أولر Euler في عام 1732 م ، أنّ ف5 عدد مؤلف ولم يستطع أحد حتى اليوم إيجاد عدد أولي بعد هذا العدد من أعداد فيرما.

مبرهنة فيرما الصغرى تبين أنه إذا كان p عدد أولي وa عدد أولي مع p، إذن :${\displaystyle a^{p-1 \equiv 1\ \ (p)$

عكس المبرهنة خاطئ، مثلا 561=3×11×17 ليس عدد أولي ومع ذلك بالنسبة لعدد a أولي مع 561، لدينا ${\displaystyle a^{560 \equiv 1\ \ (561)$

لكن يمكن مع ذلك كتابة:

إذا كان p غير أولي فإن ${\displaystyle a^{p-1$ متوافق مع 1 بترديد p لقيمة ما a

الشيء الذي يمثل عكس احتمالي للمبرهنة.

برمجة التشفير PGP، تستعمل هذه الخاصية لفهم إذا كانت الأعداد العشوائية التي يختارها أعداد أولية.

إذا كان: ${\displaystyle 1\equiv <!--\; \equiv \; -->2^{x-<!--\; -\; -->1}\equiv <!--\; \equiv \; -->3^{x-<!--\; -\; -->1}\equiv <!--\; \equiv \; -->5^{x-<!--\; -\; -->1}\equiv <!--\; \equiv \; -->7^{x-<!--\; -\; -->1}(x)}$

إذا أعطت إحدى المعادلات قيمة مخالفة ل1, في هذه الحالة x عدد غير أولي بتريا.

صيغة ميرسن

كما وضع ميرسن (1644) صيغة أخرى على النحو: م ل = 2ل - 1 حيث ل عدد أولي، ثم تبين حتى العدد م = 23×89 عدد مؤلف.

استخدمت صيغة ميرسن لتعيين أكبر عدد أولي حُدِّد عام 1984، وهوالعدد الذي يوافق القيمة ل=216091.

ولم يستطع أحد حتى اليوم وضع صيغة تعطي أعداداً أولية فقط، ولكن لدى دراسة جداول الأعداد الأولية لوحظ حتى توزع هذه الأعداد غير منتظم، وأن الفجوات بينها تزداد مع ازدياد قيمها.

صيغة گاوس

في عام 1793 وضع العالم گاوس المبرهنة الشهيرة التي تسمى مبرهنة الأعداد الأولية، وتنص على أنه إذا كان (س) هوعدد الأعداد الأولية التي لا تتجاوز قيمها العدد س فإن نسبة (س) إلى الدالة س/لع س تنتهي إلى الواحد عندما تنتهي قيمة س إلى مالانهاية، ولم تثبت صحة هذه المبرهنة إلا عام 1896 حين أثبتها العالمان بوسان C.J.V.Poussin وهادامار J.Hadamard كلٌ على انفراد.

وبقيت البراهين على صحة هذه المبرهنة معقدة وصعبة حتى نشر العالم النرويجي سلبرگ برهاناً بسيطاً أثار ضجة فهمية، يعتمد على مفاهيم نظرية الأعداد وذلك في عام 1949.

أهمية واستخدامات الأعداد الأولية

تستعمل الأعداد الأولية في ميدان المعلوميات وخاصة في فهم التعمية. ومن أشهر التطبيقات التي تستعمل الأعداد الأولية نجد نظام التشفير RSA. لمزيد من المعلومات راجع التشفير ومعضلة التفكيك إلى جداء عوامل أولية.

جوائز العثور على أعداد أولية

عرضت مؤسسة الحدود الإلكترونية جائزةمقدارها 100.000 دولار أمريكي لأول من يكتشف عدد أولي من ضمنعشرة مليون عدد على الأقل. وعرضت المؤسسة أيضاً 150.000 دولار لاكتشاف العدد الأولي من ضمن 100 مليون عدد، و250.000 من ضمن بليون عدد. في عام 2000 قدمت جائزة مقدارها 50.000 دولار لاختيار عدد أولي من ضمن مليون عدد. ومن المتحمل حتى تقدم جائزة 100.000 دولار إلى قسم الرياضيات في جامعة لوس أنجلس، كاليفورنيا ومشروع جي أي إم پي إس GIMPS لاكتشافهم 13 مليون عدد أولي في أغسطس 2008.[1][2]

عرضت RSA Factoring Challenge جوائز قيمتها أكثر من 200.000 دولار للعثور على أعداد أولية من أعداد نصف أولية مؤكدة عددها أكثر من 2048 بيت. بالرغم من ذلك، توقف التحدي في 2007 بعد منح عدد كبير من الجوائز الأصغر لاكتشاف الأعداد الأولية من ضمن أعداد نصف أولية أقل.

طالع أيضاً

المشاريع الحاسوبية الموزعة التي يبحث عن أعداد أولية

• GIMPS searches for أعداد مرسن الأولية.
• PrimeGrid searches for megaprimes.
• Seventeen or Bust searches for primes which can help prove that 78557 is the smallest Sierpinski number.
• Twin Prime Search searches for record twin primes
• Wieferich@Home searches for Wieferich primes.

هوامش

المصادر

وصلات خارجية

• Caldwell, Chris, The Prime Pages at primes.utm.edu.
• Prime Numbers at MathWorld
• MacTutor history of prime numbers
• The prime puzzles
• An English translation of Euclid's proof that there are infinitely many primes
• Number Spiral with prime patterns
• An Introduction to Analytic Number Theory, by Ilan Vardi and Cyril Banderier
• EFF Cooperative Computing Awards
• Why a Number Is Prime by Enrique Zeleny, The Wolfram Demonstrations Project.

Prime number generators & calculators

• Online Prime Number Generator and Checker - instantly checks and finds prime numbers up to 128 digits long (does NOT require Java or Javascript)
• Prime number calculator — Check prime number, and find next largest and next smallest prime numbers (requires Javascript).
• Fast Online primality test — Dario Alpern's personal site – Makes use of the Elliptic Curve Method (up to thousands digits numbers check!, requires Java)
• Prime Number Generator — Generates a given number of primes above a given start number.
• Primes from WIMS is an online prime generator.
• Huge database of prime numbers