عدد قلوب

عدد قلوب بالإنگليزية: Palindromic number هوعدد يمكن قراءته بنفس الشكل حتى لوعكس ترتيب أرقامه. كالعدد 16461 مثلاً، ويُدعى أيضاً عددا متناظراً.

أول الأعداد القلوبة في النظام العشري هي المتتالية: , 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99, 101, 111, 121, 131, 141, 151, 161, 171, 181, 191, … ( A002113 من OEIS).

يتم الهجريز على الأعداد القلوبة كثيراً في مجال الرياضيات المسلية .

إحدى المسائل النموذجية تسأل عن أعداد بخواص معينة بالإضافة إلى صفحة العدد القلوب, على سبيل المثال:

الأعداد الأولية القلوبة هي: 2, 3, 5, 7, 11, 101, 131, 151, … (المتتالية A002385 في OEIS).
المربعات الكاملة القلوبة هي: 0, 1, 4, 9, 121, 484, 676, 10201, 12321, … (المتتالية A002779 في OEIS).
لكل عدد عدده القلوب ويتم حسابه عن طريق عملية الجمع بين العدد ونظيره، يتوالى الحساب. حتى نحصل على العدد القلوب، فمتلا العدد القلوب للعدد 12 يحسب هكذا:

12+21=33 اذن، العدد القلوب ل 12 هوالعدد 33 لكن هناك عدد واحد ليس له العدد القلوب، قد يستمر الحساب الى اوراق ودفاتر لكن دون جدوي... وهوالعدد98

الأعداد القلوبة العشرية

كل الأعداد في الأساسعشرة برقم واحد هي قلوبة. عدد الأعداد القلوبة ذات رقمين هو9:

{11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99 .

يوجد 90 عدد قلوب بثلاث أرقام (باستخدام قاعدة الضرب:تسعة خيارات لأول رقم - وهوما يحدد الرقم الثالث كذلك - مضروباً بـعشرة خيارات للرقم الثاني):

{101, 111, 121, 131, 141, 151, 161, 171, 181, 191, …, 909, 919, 929, 939, 949, 959, 969, 979, 989, 999

وأيضاً 90 عدد قلوب بأربعة أرقام: (مرة أخرى،تسعة خيارات لأول رقم مضروبة بعشر خيارات لثاني رقم. الرقمان الآخران يتم تحديدهما بتحددان من أول إثنين)

{1001, 1111, 1221, 1331, 1441, 1551, 1661, 1771, 1881, 1991, …, 9009, 9119, 9229, 9339, 9449, 9559, 9669, 9779, 9889, 9999 ,

ولذلك يوجد 199 عدد قلوب تحت 10⁴. وتحت 10⁵ فهؤلاء هم 1099 عدد قلوب وللأسس الأخرى لـ 10ⁿ يوجد لدينا: 1999, 10999, 19999, 109999, 199999, 1099999, … (sequence A070199 in OEIS). لبعض أنواع الأعداد القلوبة، فإن تلك القيم مسرودة أدناه في جدول. وهنا 0 متضمَن.

	10¹	10²	10³	10⁴	10⁵	10⁶	10⁷	10⁸	10⁹	10¹⁰
n طبيعي	10	19	109	199	1099	1999	10999	19999	109999	199999
n زوجي	5	9	49	89	489	889	4889	8889	48889	88889
n فردي	5	10	60	110	610	1110	6110	11110	61110	111110
n مربع	4		7		14	15	20		31
n cube	3		4	5			7			8
n أولي	4	5	20		113		781		5953
n squarefree	6	12	67	120	675	1200	6821	12160	+	+
n non-squarefree ()=0)	4	7	42	79	424	799	4178	7839	+	+
n square with prime root	2		3		5
n with an even number of distinct prime factors (μ(n)=1)	2	6	35	56	324	583	3383	6093	+	+
n with an odd number of distinct prime factors (μ(n)=-1)	4	6	32	64	351	617	3438	6067	+	+
n even with an odd number of prime factors	1	2	9	21	100	180	1010	6067	+	+
n even with an odd number of distinct prime factors	3	4	21	49	268	482	2486	4452	+	+
n odd with an odd number of prime factors	3	4	23	43	251	437	2428	4315	+	+
n odd with an odd number of distinct prime factors	4	5	28	56	317	566	3070	5607	+	+
n even squarefree with an even number of (distinct) prime factors	1	2	11	15	98	171	991	1782	+	+
n odd squarefree with an even number of (distinct) prime factors	1	4	24	41	226	412	2392	4221	+	+
n odd with exactly 2 prime factors	1	4	25	39	205	303	1768	2403	+	+
n even with exactly 2 prime factors	2	3	11		64		413		+	+
n even with exactly ثلاثة prime factors	1	3	14	24	122	179	1056	1400	+	+
n even with exactly ثلاثة distinct prime factors	0	1	18	44	250	390	2001	2814	+	+
n odd with exactly ثلاثة prime factors	0	1	12	34	173	348	1762	3292	+	+
n عدد كارمايكل	0	0	0	0	0	1	1	1	1	1
n for which ) is palindromic	6	10	47	114	688	1417	5683	+	+	+

أعداد شهرزاد

أعداد شهرزاد Scheherazade numbers هي فئة من الأعداد ميّزها بكمنستر فولر في كتابه Synergetics. لم يعط فولر تعريفاً شكلياً للمصطلح، بل من أمثلة أعطاها، يمكن فهم أنها تلك الأعداد التي تحتوي على معامل مضروب الأوليات primorial للعدد n#، حيث n≥13 وهوأكبر معامل أولي في العدد. سمّى فولر تلك الأعداد أعداد شهرزاد لأنهم لابد حتى يضموا مفاعل 1001. شهرزاد هي الحكائة في ألف ليلة وليلة، التي تحكي جميع ليلة حكاية جديدة لتأجيل حكم بإعدامها. ولما كان n يجب ألا يقل عن 13، فإن مضروب الأوليات يجب ألا يقل عن 1·2·3·5·7·11·13, و7×11×13 = 1001. ويشير فولر أيضاً إلى أسس 1001 بإسم "أعداد شهرزاد". أصغر مضروب أوليات يحتوي عدد شهرزاد هو13# = 30,030.

ويشير فولر إلى حتى بعض تلك الأعداد هي أعداد قلوبة بمجموعات من الأرقام. عملى سبيل المثال 17# = 510,510 يبيّن تماثل لمجموعات من ثلاثة أرقام. ويسمي فولر تلك الأعداد "مقسومات شهرزاد السامية الكاملة سهلة التذكر" Scheherazade Sublimely Rememberable Comprehensive Dividends، أوأعداد SSRCD. ويلاحظ فولر حتى 1001 مرفوعة لأس ليس فقط تنتج أعداد sublimely rememberable قلوبة في مجموعات من ثلاثة أرقام، بل أيضاً قيم المجموعات هم binomial coefficients. عمل سبيل المثال،

{\displaystyle (1001)^{6 =1,006,015,020,015,006,001

هذا التسلسل يفشل عند (1001)¹³ لأنه لا يوجد رقم حمل يؤخذ إلى المجموعة إلى اليسار في بعض المجموعات. ويقترح فولر كتابة تلك الانسكابات في سطر منفصل. إذا عملنا ذلك، باستخدام المزيد من أسطر الانسكاب حسب الحاجة، فإننا نحافظ على التماثل إلى ما لا نهاية ولأي أس. Many other Scheherazade numbers show similar symmetries when expressed in this way.

انظر أيضاً

Lychrel number
عدد أولي قلوب Palindromic prime
قلب مستو
Strictly non-palindromic number

الهامش

^ R. Buckminster Fuller, with E. J. Applewhite, , Macmillan, 1982 ISBN 0-02-065320-4.
^ Fuller, pp. 773-774
^ Fuller, pp. 777-780

وصلات خارجية

Eric W. Weisstein, Palindromic Number at MathWorld.
Jason Doucette - 196 Palindrome Quest / Most Delayed Palindromic Number
196 and Other Lychrel Numbers
On General Palindromic Numbers at MathPages
Palindromic Numbers to 100,000 from Ask Dr. Math
P. De Geest, Palindromic cubes
Yutaka Nishiyama,Numerical Palindromes and the 196 Problem, IJPAM, Vol.80, No.3, 375-384, 2012.

نطقب:Classes of natural numbers