منحنى الزمن الأقصر
في الرياضيات والفيزياء، منحنى الزمن الأقصر (brachistochrone curve ؛ من يونانية قديمة βράχιστος χρόνος (brákhistos khrónos)، وتعني "أقصر زمن")، أومنحنى أسرع نزول، هوالذي يقع في المستوى بين نقطة A ونقطة أسفل منها B، حيث B لا تقع مباشرةً أسفل A، والذي عليه تنزلق خرزة بلا احتكاك تحت تأثير مجال تثاقلي منتظم إلى نقطة نهاية معطاة، في أقصر وقت. اقام بصياغة المشكلة يوهان برنولي في عام 1696.
منحنى الزمن الأقصر هونفس شكل منحنى الزمن المتساوي tautochrone curve؛ كلاهما دويري. ومع ذلك، فالجزء المستخدم من الدويري لكلٍ من الإثنين يختلف. وبشكل أكثر تحديداً، فإن منحني الزمن الأقصر قد يستخدم ما قد يصل إلى دورة كاملة من الدويري (عند الحد الأقصى عندماقد يكون A وB على نفس المستوى)، ولكن يبدأ دائمًا عند نتوء. في اللقاء، فإن مسألة الزمن المتساوي قد تستخدم ما لا يزيد عن نصف الدوران الأول، وتنتهي دائمًا في الوضع الأفقي. يمكن حل المسألة باستخدام أدوات من حساب الاختلافات والتحكم الأمثل.
المنحني مستقل عن جميع من كتلة اختبار الجسم والقوة المحلية للجاذبية. يتم اختيار متغير واحد بحيث يناسب المنحني نقطة البداية A ونقطة النهاية B. إذا تم إعطاء الجسم سرعة ابتدائية عند A أوإذا تم أخذ الاحتكاك بعين الاعتبار ، فإن المنحني الذي سيقلل من الزمن سيختلف عن منحني الزمن المتساوي.
ففي 29 يناير 1697، تلقى إسحق نيوتن نسخة من تحدي يوهان برنولي، معضلة منحنى أقصر وقت العصية الحل لزمن بعيد. وقد حلها نيوتن في نفس يوم وصولها إليه. هدية العام الجديد من برنولي في 1 يناير 1697 لعالَم الرياضيات كان المشكلة: “لتحديد الخط المنحنى الذي يصل نقطتين معلومتين، وتقعان على مسافتين مختلفتين من الخط الأفقي وليستا على نفس الخط الرأسي، الذي على امتداده يمضي الجسم المتحرك، لأسفل بتأثير وزنه وبادئاً الحركة من النقطة الأعلى، يفترض أن ينزل بأسرع طريقة إلى النقطة الأسفل.” (صاغ برنولي الاسم من الحدثة اليونانية brachistos، أقصر؛ وchronos، "وقت".) وقد أحال نيوتن حله إلى الجمعية الملكية—بدون ذكر اسمه. وعندما قرأ برنولي الحل، فقد خمن على الفور أنه من عمل نيوتن. ويُعتقد حتى برنولي نطق ”لقد تعهدت على الأسد من مخلبه.“
التاريخ
طرح يوهان برنولي مسألة منحني الزمن الأقصر لقراء آكتا إيروديتورم Acta Eruditorum في يونيو1696. فنطق:
أنا يوهان برنولي أخاطب أروع فهماء الرياضيات في العالم. ليس هناك ما أكثر جاذبية للأشخاص الأذكياء من مسألة صريحة ومثيرة للتحدي ، حيث يمنح حلها المحتمل الشهرة ويظل بمثابة نصب دائم. باتباع المثال الذي وضعه پاسكال وفرما وما إلى ذلك، آمل حتى أحظى بامتنان المجتمع الفهمي بأسره من خلال وضع أمام أرقى فهماء الرياضيات في عصرنا مسألة ستختبر أساليبهم وقوة تفكيرهم. إذا أبلغني أحدهم بحل المسألة المقترحة، فسأعرب أنه يستحق الثناء علانية.
فخط برنولي طرح المسألة على الشكل التالي:
بالنظر إلى النقطتين A وB في المستوي العمودي ، ما المنحني الذي تتبعه نقطة تعمل فقط بالجاذبية ، والتي تبدأ من A وتصل إلى B في أقصر زمن.
استنتج يوهان وشقيقه ياكوب برنولي نفس الحل، ولكن اشتقاق يوهان كان غير سليم، وحاول حتى يتخذ من حل ياكوب حلاً خاص به. نشر يوهان الحل في المجلة في شهر مايومن العام التالي، وأشار إلى حتى الحل هونفس منحني هويگنز الزمن المتساوي. بعد استخلاص المعادلة التفاضلية للمنحني بالطريقة المشروحة أدناه ، تابع ليوضح أنه ينتج عنه خط دائري. ومع ذلك ، فإن إثباته يشوبه استخدام ثابت واحد بدلاً من ثلاثة ثوابت , vm, 2g وD, أدناه.
سمح برنولي بستة أشهر لتقديم الحلول ولكن لم يتم استلام أي منها خلال هذه الفترة. بناءً على طلب لايبنتس، تم تمديد المدة الزمنية علنًا لمدة عام ونصف. في الرابعة عصر يوم 29 يناير 1697 عندما وصل إلى منزله من دار السك الملكية، عثر إسحاق نيوتن التحدي في رسالة من يوهان برنولي. بقي نيوتن مستيقظًا طوال الليل لإيجاد حل له وأوفد الحل بالبريد الإلكتروني من خلال المنشور التالي. عند قراءة الحل، تعهد برنولي على الفور على مؤلفه، قائلاً أنه "يتعهد على الأسد من مخلبه". تعطي هذه السيرة فكرة عن قوة نيوتن، حيث استغرق يوهان برنولي أسبوعين لحلها. خط نيوتن أيضًا ، "أنا لا أحب حتى أكون مزعجاً و[مضايقًا] ومبتزَّاً من قبل الأجانب حول الأمور الرياضية ..." ، وقد حل نيوتن بالعمل مسألة مقاومة نيوتن الدنيا ، والتي تعتبر الأولى من نوعها في اِنـْـظِـمـَالُ التـَّـبـايـُـن (variational calculus).
في النهاية، استجاب خمسة فهماء رياضيات بالحلول: نيوتن، ياكوب برنولي، گوتفريد لايبنتس، إرنفريد ڤالتر فون تشيرنهاوز وگييوم دى لوپيتال. نُشرت أربعة من الحلول (باستثناء لوپيتال) في نفس الطبعة من المجلة التي نشرها يوهان برنولي. في ورقته ، قدم يعقوب برنولي دليلًا على الحالة لأقل زمناً مماثلاً للزمن المشروح أدناه قبل حتى يوضح حتى الحل هومنحني دائري. وفقًا للباحث توم وايتسايد من المدرسة النيوتونية، في محاولة للتغلب على أخيه، ابتكر ياكوب برنولي نسخة أصعب من مسألة منحني الزمن الأقصر. في حلها، طور أساليب جديدة تم تنقيحها بواسطة ليونارد أويلر فيما أطلق عليه الأخير (في 1766) اسم "حساب التفاضل والتكامل". قام جوزيف-لوي لاگرانج بمزيد من العمل الذي أدى إلى حساب غير متناهي الصغر حديث.
في وقت سابق، في عام 1638، حاول گاليليوحل معضلة مماثلة لمسار أسرع نزول من نقطة إلى جدار في "اثنين من العلوم الجديدة". ويخلص إلى حتى قوس الدائرة أسرع من أي عدد من أوتارها,
من جميع مما سبق، من الممكن حتى نستنتج حتى أسرع مسار لكل [lationem omnium velocissimam] ، من نقطة إلى أخرى، ليس أقصر طريق، أعني خط مستقيم، ولكن قوس دائرة. ... وبالتالي، حدثا اقترب المضلع المدرج من دائرة، حدثا كان الزمن الأقصر مطلوبًا للنسب من A إلى C. ما يثبت بالنسبة إلى الربع ينطبق أيضًا على الأقواس الأصغر؛ فالمنطق هونفسه.
مباشرة بعد المبرهنةستة في كتاب "عِلمان جديدان"، حذّر گاليليومن مغالطات محتملة والحاجة إلى "عِلم أعلى". وفي هذا الحوار، استعرض جاليليوعمله. الحل العملي لمسألة گاليليوكان نصف دويري. تفهم گاليليوالدويري وأعطاه الاسم "دويري Cycloid"، إلا حتى العلاقة بين الدويري وبين مسألة گاليليوكان عليها حتى تنتظر حتى يتحقق تقدم في الرياضيات.
حل يوهان برنولي
الطريقة المباشرة
في رسالة إلى هنري باسناج، المحفوظة في المخطة العامة لجامعة بازل، بتاريخ 30 مارس 1697، ذكر يوهان برنولي أنه قد عثر طريقتين (أشار إليهما دائمًا بالاسمين "المباشرة" و"غير المباشرة") لإظهار حتى منحني الزمن الأقصر كان "دويرياً مشهجراً" ، ويسمى أيضًا "الروليت roulette". بناءً على نصيحة من لايبنتس ، فقد قام بتضمين الطريقة غير المباشرة فقط في مجلة Acta Eruditorum Lipsidae في مايو1697. محرراً ذلك بشكل جزئي لأنه افترض أنه كان كافياً لإقناع أي مشكك في الاستنتاج ، ويرجع ذلك جزئيًا إلى أنه قام أيضًا بحل مسألتين مشهورتين في البصريات الذي أثارها "الراحل السيد هويگنز" في أطروحته على فهم الضوئيات. فانتقده نيوتن في نفس الرسالة لإخفائه الطريقة.
بالإضافة إلى أسلوبه غير المباشر ، قام أيضًا بنشر الردود الخمسة الأخرى على المسألةالتي تلقاها.
تعتبر طريقة يوهان برنولي المباشرة ذات أهمية تاريخية لأنها كانت أول مرشد على حتى منحني الزمن الأقصر هودويري. تتمثل الطريقة في تحديد انحناء المنحني في جميع نقطة. وتستند جميع البراهين الأخرى ، بما في ذلك نيوتن (والتي لم يتم الكشف عنها في ذلك الوقت) على إيجاد التدرج في جميع نقطة.
فقد كان العام 1718 م حين شرح برنولي كيف من الممكن أن قام بحل مسألة منحني الزمن الأقصر من خلال طريقته المباشرة.
وأوضح أنه لم ينشرها في عام 1697 ، لأسباب لم تعد مطبقة في عام 1718. فقد تم تجاهل هذه الورقة إلى حد كبير حتى عام 1904 عندما تم تقدير عمق الطريقة لأول مرة من قبل قسطنطين كاراثيودوري ، الذي ذكر أنه يوضح حتى الدويرية هي المنحني الوحيد الممكن لأسرع هبوط. وفقًا له ، فإن الحلول الأخرى تعني ببساطة حتى زمن الهبوط ثابت بالنسبة للدويرية، ولكن ليس بالضرورة الحد الأدنى الممكن.
الحل التحليلي
يُنظر إلى جسم متحرك على طول أي قوس دائري صغير Ce بين أنصاف الأقطار KC وKe ، مع مركز K ثابت. تتضمن الفترة الأولى من الإثبات العثور على قوس دائري معين ، Mm والذي يجتازه الجسم في أقل زمن ممكن.
يتقاطع الخط KNC مع AL عند N ، والخط Kne يتقاطع مع n ، ويصنعون زاوية صغيرة CKe عند K. لبكن NK = a ، ويحدد نقطة متغيرة ، C على KN الممددة. من بين جميع الأقواس الدائرية الممكنة Ce ، من الضروري إيجاد القوس Mm الذي يحتاج الحد الأدنى من الوقت للتنقل بين نصفي القطرين وKM وKm. للعثور على Mm ناقش برنولي ذلك على النحوالتالي.
ليكنMN = x. وعرّف m بحيث MD = mx, وn بحيث Mm = nx + na ويلاحظ حتى x هوالمتغير الوحيد وأن m محدود وأن n متناهي الصغر. الزمن القصير للتنقل على طول القوس Mm هو الذي يجب حتىقد يكون الحد الأدنى (‘أصغر’). فهولا يوضح أنه نظرًا لأن Mm صغير جدًا ، يمكن افتراض حتى السرعة على طوله هي M ، وهي الجذر التربيعي لـ MD ، وهي المسافة العمودية لـ M أسفل الخط الأفقي AL.
ويترتب على ذلك ، فعندها يجب حتى يعطي التفاضل
- بحيث x = a.
تحدد هذه الحالة المنحني الذي ينزلق به الجسم في أقصر زمن ممكن. لكل نقطة ، M على المنحني ، فنصف قطر الانحناء ، يتم بتر MK في جزأين متساويين بواسطة محورها AL. هذه الخاصية ، التي يقول برنولي أنها كانت معروفة منذ فترة طويلة ، هي فريدة من نوعها بالنسبة للدويرية.
أخيرًا ، يعتبر الحالة الأكثر عمومية حيث تكون السرعة تابع عشوائي X(x) ، وبالتالي فإن الزمن الذي يتم تقليله هو. عندها يصبح الشرط الأدنى عندها يخط : والذي يعطي MN (= x) كتابع لـ NK (= a). من هذا ، يمكن الحصول على معادلة المنحني من حساب التكامل ، على الرغم من أنه لا يوضح ذلك.
الحل التخليقي
ثم يتابع ما أسماه "الحل التخليقي" ، الذي كان إثباتاً هندسيًا كلاسيكيًا ، على أنه لا يوجد سوى منحني واحد يمكن للجسم حتى ينزلق فيه بأقل زمن ممكن ، وهذا المنحني هوالدويري.
افترض حتى AMmB هوجزء من الدويري الذي يربط من A إلى B ، والذي ينزلق عليه الجسم في أقل زمن ممكن. اجعل ICcJ جزءاً من منحني آخر يصل من A إلى B والذي يمكن حتىقد يكون أقرب إلى AL من AMmB. إذا كان القوس Mm يقابل الزاوية MKm في مركز انحنائها ، K ، لندع القوس الموجود على IJ والذي يرمز لنفس الزاوية هوCc. القوس الدائري من خلال C مع مركز K هوCe. النقطة D على AL أعلى رأسياً من M. رابطاً K إلى D والنقطة H هي حيث يتقاطع CG مع KD ، ونمدد إذا لزم الأمر.
لندع ويكون الزمن الذي يستغرقه الجسم للهبوط على طول Mm وCe على التوالي.
- , ,
نمدد CG للنقطة F حيث, وعندما , فهويتبع
عندما MN = NK, من أجل الدويري:
- , , و
إذا كان Ce أقرب إلى K من Mm فإنه
- و
في كلتا الحالتين,
- , ويتبع ذلك
إذا كان القوس ، Cc الذي تم لقاءته بالزاوية المتناهية في الصغر للزاوية MKm على IJ والتي هي ليس دائرية ، فيجب حتىقد يكون أكبر من Ce ، لأن Cec يصبح مثلثًا سليمًا في الحد مع اقتراب الزاوية MKm من الصفر.
ملاحظة ، يثبت برنولي حتى CF> CG بواسطة برهان مماثل ولكن مختلف أيضاً.
نستنتج من ذلك إلى حتى الجسم يجتاز AMB الدويرية في زمن أقل من أي منحني ACB آخر.
الطريقة غير المباشرة
وفقًا لـ مبدأ فرما ، فإن المسار العملي بين نقطتين مأخوذة بواسطة حزمة من الضوء هوالطريق الذي يستغرق زمناً أقل. في عام 1697 استخدم يوهان برنولي هذا المبدأ لاشتقاق منحني الزمن الأقصر من خلال النظر في مسار شعاع الضوء في وسط تزداد فيه سرعة الضوء بعد تسارع رأسي ثابت (سرعة الجاذبية g).
بواسطة مبدأ انحفاظ الطاقة ، تُعطى السرعة الآنية للجسم v بعد سقوط من ازدياد y في حقل جاذبية موحد بواسطة:
- ,
لا تعتمد سرعة حركة الجسم على طول منحني عشوائي على الانزياح الأفقي.
أشار برنولي إلى حتى قانون الانكسار يعطي ثابتًا للحركة من أجل شعاع من الضوء في وسط الكثافة المتغيرة:
- ,
حيث vm الثابت و يمثل زاوية المسار فيما يتعلق بالعمودية.
المعادلات أعلاه تؤدي إلى استنتاجين:
- في البداية ، يجب حتى تكون الزاوية صفرية عندما تكون سرعة الجسيمات صفرية. وبالتالي ، فإن منحني الزمن الأقصر هوالظل إلى العمودية في الأصل.
- تصل السرعة إلى أقصى قيمة عندما يصبح المسار أفقيًا والزاوية θ = 90°.
بافتراض بساطة حتى الجسيم (أوالحزمة) مع الإحداثيات (x,y) يغادر من النقطة (0،0) ويصل إلى السرعة القصوى بعد سقوط المسافة العمودية D :
- .
إعادة ترتيب الشروط في قانون الانكسار والتربيع يعطي:
والتي يمكن حلها ل dx من ناحية dy:
- .
باستبدال التعبيرات لـ v وvm أعلاه يعطي:
وهومعادلة تفاضلية ل دويرية مقلوبة تم إنشاؤها بواسطة دائرة قطرها D.
حل ياكوب برنولي
أظهر ياكوب شقيق يوهان كيف من الممكن أن يمكن استعمال الاشتقاق من الدرجة الثانية للحصول على الحالة لأقصر زمن. فالنسخة الحديثة من البرهان على النحوالتالي. إذا قمنا بإنحراف ضئيل عن مسار أقل زمن ، إذن ، للمثلث التفاضلي الذي تشكله الإزاحة على طول المسار ولإزاحة الأفقية والعمودية،
- .
بالتفاضل ب dy الثابت نحصل علي,
- .
وأخيرا إعادة ترتيب الحدود يعطي ،
حيث الجزء الأخير هوالإزاحة لتغيير معين في الزمن بالاشتقاق من الدرجة الثانية. الآن ، لنأخذ بعين الاعتبار التغييرات على المسارين المجاورين في الشكل أدناه والتيقد يكون الفصل الأفقي بين المسارات على طول الخط المركزي فيها d2x (نفس الأمر بالنسبة إلى المثلثات التفاضلية العلوية والسفلية). على طول المسارات القديمة والجديدة ، والأجزاء التي تختلف,
بالنسبة لمسار أقل الأزمنة، تكون هذه الأزمنة متساوية مع اختلافهم ، نجد
والشرط لأقصر زمن هو :
حل نيوتن
مقدمة
في يونيوعام 1696، استخدم يوهان برنولي صفحات "Acta Eruditorum Lipsidae" لتشكيل تحدٍ للمجتمع الرياضي الدولي: لإيجاد شكل المنحني الذي ينضم إلى نقطتين ثابتتين بحيث تنزلق كتلة على طوله ، تحت تأثير الجاذبية وحدها ، في الحد الأدنى من الزمن. كان الحل في الأصل سيقدم في غضون ستة أشهر. بناءً على اقتراح لايبنس ، فمدد برنولي التحدي حتى عيد الفصح 1697 ، عن طريق نص مطبوع يسمى "Programma" ، الذي نُشر في Groningen ، في هولندا.
يعود تاريخ "Programma" إلى ١ يناير ١٦٩٧ في التقويم الميلادي. كان هذا في 22 ديسمبر 1696 في التقويم اليولياني ، المستخدم في بريطانيا. بحسب ابنة أخت نيوتن ، كاثرين كوندويت ، فهم نيوتن بالتحدي في الساعة الرابعة مساء يوم 29 يناير وقام بحله بحلول الساعة أربعة من صباح اليوم التالي. حله ، الذي تم إيصاله بالجمعية الملكية ، مؤرَّخ في 30 يناير. هذا الحل ، الذي نُشر لاحقًا دون الكشف عن هويته في "المعاملات الفلسفية" ، سليم ولكنه لا يشير إلى الكيفية التي وصل بها نيوتن إلى نهايته. أشار برنولي ، الذي خط إلى هنري باسناج في مارس 1697 ، إلى أنه على الرغم من حتى مؤلفه ، "مع كثير من التواضع" ، لم يكشف عن اسمه ، إلا أنه حتى من التفاصيل الهزيلة المقدمة ، فإنه يمكن التعهد عليه كعمل نيوتن "، بفهم الأسد من قبل مخلبها "(في اللاتينية ، 'tanquam ex ungue leonem' '). جون واليس, الذي كان يبلغ من العمر 80 عامًا في ذلك الوقت ، كان قد فهم بالمسألة في سبتمبر 1696 من أخ يوهان برنولي الأصغر هيرونيموس ، وقضى ثلاثة أشهر في محاولة لحلها قبل تمريرها إلى ديڤيد گريگوري في ديسمبر ، الذي فشل أيضا في حلها. بعد حتى قدم نيوتن حله ، سأله گريگوري للحصول على التفاصيل وقدم ملاحظات من محادثتهم. يمكن العثور عليها في مخطة جامعة أدنبرة, مخطوطة A , بتاريخ ٧ مارس 1697. إما حتى گريگوري لم يفهم برهان نيوتن ، أوحتى تفسير نيوتن كان مختصراً جداً. ومع ذلك ، من الممكن ، مع درجة عالية من الثقة ، بناء إثبات نيوتن من ملاحظات گريگوري ، عن طريق القياس مع طريقته لتحديد صلابة الحد الأدنى من المقاومة (Principia ، Book 2 ، Proposition 34 ، Scholium 2). تم تضمين وصف تفصيلي لحله لهذه المسألة الأخيرة في مسودة خطاب في 1694 ، أيضًا إلى ديڤيد گريگوري. بالإضافة إلى مسألة منحني الزمن الأقصر ، كانت هناك مسألة ثانية حلها نيوتن أيضًا في نفس الوقت. ظهر كلا الحلين بشكل مجهول في المعاملات الفلسفية للجمعية الملكية ، في يناير 1697.
مسألة الزمن الأقصر Brachistochrone
يُظهر الشكل 1 مخطط گريگوري (باستثناء السطر الإضافي IF غير موجود منه ، وZ ، تمت إضافة نقطة البداية). منحني ZVA هودويري وCHV هودائرة توليد. نظرًا بأن الجسم يظهر متحركاً صعودًا من e إلى E ، يجب افتراض حتى جسمًا صغيرًا يتم إطلاقه من Z وينزلق على طول المنحنى إلى A ، دون احتكاك ، تحت تأثير الجاذبية.
لنأخذ بعين الاعتبار القوس eE الصغيرة التي يصعدها الجسم. فرضا أنه يجتاز الخط المستقيم eL إلى النقطة L ، والمزاح أفقياً من E بمسافة صغيرة ، o ، بدلاً من القوس eE. نلاحظ حتى eL ليس هوالظل في e ، وأن o سيكون سالبًا عندما تكون L بين B وE. لنرسم الخط عبر E الموازي لـ CH ، ونبتر eL على n. من خاصية الدويرية ، تعتبر En طبيعية في الظل في E ، وبالمثل فإن الظل في Eقد يكون موازيًا لل VH.
بما حتى الإزاحة ، EL صغيرة ، فإنها تختلف قليلاً في الاتجاه عن الظل في E بحيث تكون الزاوية EnL قريبة من الزاوية اليمنى. في الحد الذي يقترب فيه قوس eE من الصفر ، يصبح eL موازياً لـ VH ، بشرط حتىقد يكون o صغيرًا مقارنةً بـ eE مما يجعل المثلثين EnL وCHV متشابهين.
كما يقترب en من طول الوتر eE، والزيادة في الطول, , تجاهل الشروط في والأعلى ، والتي تمثل الخطأ بسبب التقريب حتى eL وVH متوازيان يمكن اعتبار السرعة على طول eE أوeL كما هي في E ، بما يتناسب مع وهوCH, عندما
يبدوحتى هذا هوجميع ما تحتويه مذكرة گريگوري.
لندع tقد يكون الزمن الإضافي للوصول إلى L ،
لذلك ، تعتمد الزيادة في الزمن اللازم لاجتياز قوس صغير يتم إزاحته عند نقطة نهاية واحدة فقط على الإزاحة عند نقطة النهاية وهي مستقلة عن موضع القوس. ومع ذلك ، وفقًا لطريقة نيوتن ، هذا هوالشرط المطلوب لاجتياز المنحني في أقل زمن ممكن. لذلك ، يخلص إلى حتى الحد الأدنى منحني يجب حتىقد يكون دويرياً.
وقد جادل كالتالي.
بافتراض حتى الشكل 1 هوالحد الأدنى للمنحني الذي لم يتم تحديده بعد ، مع المحور العمودي CV ، وإزالة الدائرة CHV ، ويظهر الشكل 2 جزءًا من المنحني بين القوس اللانهائي الأدنى والقوس اللانهائي الإضافي Ff مسافة محددة على طول منحني. الزمن الإضافي ، t ، لاجتياز eL (بدلاً من eE) هوnL مقسومًا على السرعة في E (يتناسب مع √CB), ، مع تجاهل المصطلحات في والأعلى:
,
في L ، يستمر الجسيم على طول LM ، بالتوازي مع EF الأصلي ، إلى نقطة عشوائية M. نظرًا لأن له نفس السرعة عند L كما في E ، فإن زمن اجتياز LM هونفسه كما كان سيكون على طول الأصل منحنى EF. عند M ، تعود إلى المسار الأصلي عند النقطة f. من نفس المنطق ، فإن تقليل الزمن ، T ، للوصول إلى f من M بدلاً من F هو
الفرق (t – T) هوالزمن الإضافي الذي يستغرقه طول المسار eLMf مقارنةً بـ eEFf الأصلي :
بالإضافة إلى الشروط في والأعلى (1)
لأن eEFf هوالحد الأدنى للمنحني , (t – T) يجب حتى تكون أكبر من الصفر ، سواء أكانت موجبة أم سلبية. ويترتب على ذلك حتىقد يكون معامل o في (1) صفراً:
(2) في الحد مثل eE وfF يقتربان من الصفر. نلاحظ حتى eEFf هوالحد الأدنى لمنحني يجب حتى يفترض حتى معامل أكبر من الصفر.
من الواضح أنه يجب حتىقد يكون هناك إزاحتان متساويتان ومعاكستان ، وإلا فلن يعود الجسم إلى نقطة النهاية ، A ، في المنحني.
إذا كانت e ثابتة ، وإذا كانت f تعتبر نقطة متغيرة أعلى المنحنى ، فعندئذٍ لجميع هذه النقاط, f, ثابت (يساوي ). بالحفاظ على f ثابت وجعل e متغير فمن الواضح حتى أيضاً ثابت
ولكن ، بما حتى النقطتين ، e وf عشوائيتان ، فإن المعادلة (2) يمكن حتى تكون سليمة فقط إذا , في جميع مكان ، وهذا الشرط يميز المنحني المطلوب. هذه هي نفس التقنية التي يستخدمها للعثور على شكل المقاومة الأقل صلابة. For the cycloid, , لذلك الذي أظهر أعلاه حتىقد يكون ثابتاً ، ومنحني الزمن الأقصر هودويري.
لم يقدم نيوتن أي إشارة إلى كيفية اكتشافه حتى الدويري يحقق هذه العلاقة الأخيرة. قد يحدث ذلك عن طريق التجربة والخطأ ، أومن الممكنقد يكون قد استوعب فورًا أنه مفهوماً ضمنياً حتى المنحني هودويري.
انظر أيضاً
- Aristotle's wheel paradox
- Beltrami identity
- Calculus of variations
- Catenary
- دويري Cycloid
- Newton's minimal resistance problem
- منحنى الزمن المتساوي Tautochrone curve
- Trochoid
- Uniformly accelerated motion
المراجع
- ^ Chisholm, Hugh, ed. (1911). . دائرة المعارف البريطانية (eleventh ed.). Cambridge University Press.
- ^ Stewart, James. "Section 10.1 - Curves Defined by Parametric Equations." Calculus: Early Transcendentals. 7th ed. Belmont, CA: Thomson Brooks/Cole, 2012. 640. Print.
- ^ Ross, I. M. The Brachistochrone Paradigm, in Primer on Pontryagin's Principle in Optimal Control, Collegiate Publishers, 2009. ISBN 978-0-9843571-0-9.
- ^ Hand, Louis N., and Janet D. Finch. "Chapter 2: Variational Calculus and Its Application to Mechanics." Analytical Mechanics. Cambridge: Cambridge UP, 1998. 45, 70. Print.
- ^ 29 يناير هوحسب التقويم اليوليوسي الذي كان مستخدماً آنذاك في إنگلترة. بالنسبة لبرنولي، في فرنسا التي تستخدم التقويم الگريگوري، فقد كانتثمانية فبراير. السنة 1697 هي نفس السنة كما نستخدمها اليوم. ولكن بالنسبة لنيوتن فقد كانت السنة المدنية 1696. ففي إنگلترة في ذلك الحين، السنة لم تزد حتى النة المدنية الجديدة في 25 مارس. ولذلك فإن أي شيء خطه نيوتن حتى 25 مارس، فقد كان يؤرخه بسنة 1696. هذا الغموض حول تاريخ استلام نيوتن الرسالة تم توضيحه على أنه 29 يناير 1696/7.
- ^ Johann Bernoulli (June 1696) "Problema novum ad cujus solutionem Mathematici invitantur." (A new problem to whose solution mathematicians are invited.), Acta Eruditorum, 18 : 269. From p. 269: "Datis in plano verticali duobus punctis A & B (vid Fig. 5) assignare Mobili M, viam AMB, per quam gravitate sua descendens & moveri incipiens a puncto A, brevissimo tempore perveniat ad alterum punctum B." (Given in a vertical plane two points A and B (see Figure 5), assign to the moving [body] M, the path AMB, by means of which — descending by its own weight and beginning to be moved [by gravity] from point A — it would arrive at the other point B in the shortest time.)
-
^ Solutions to Johann Bernoulli's problem of 1696:
- إسحق نيوتن (يناير 1697) "De ratione temporis quo grave labitur per rectam data duo puncta conjungentem, ad tempus brevissimum quo, vi gravitatis, transit ab horum uno ad alterum per arcum cycloidis" (On a proof [that] the time in which a weight slides by a line joining two given points [is] the shortest in terms of time when it passes, via gravitational force, from one of these [points] to the other through a cycloidal arc), Philosophical Transactions of the Royal Society of London, 19 : 424-425.
- G.G.L. (گوتفريد ڤلهلم لايبنتس) (مايو1697) "Communicatio suae pariter, duarumque alienarum ad edendum sibi primum a Dn. Jo. Bernoullio, deinde a Dn. Marchione Hospitalio communicatarum solutionum problematis curva celerrimi descensus a Dn. Jo. Bernoullio Geometris publice propositi, una cum solutione sua problematis alterius ab eodem postea propositi." (His communication together with [those] of two others in a report to him first from Johann Bernoulli, [and] then from the Marquis de l'Hôpital, of reported solutions of the problem of the curve of quickest descent, [which was] publicly proposed by Johann Bernoulli, geometer — one with a solution of his other problem proposed afterwards by the same [person].), Acta Eruditorum, 19 : 201–205.
- Johann Bernoulli (May 1697) "Curvatura radii in diaphanis non uniformibus, Solutioque Problematis a se in Actis 1696, p. 269, propositi, de invenienda Linea Brachystochrona, id est, in qua grave a dato puncto ad datum punctum brevissimo tempore decurrit, & de curva Synchrona seu radiorum unda construenda." (The curvature of [light] rays in non-uniform media, and a solution of the problem [which was] proposed by me in the Acta Eruditorum of 1696, p. 269, from which is to be found the brachistochrone line [i.e., curve], that is, in which a weight descends from a given point to a given point in the shortest time, and on constructing the tautochrone or the wave of [light] rays.), Acta Eruditorum, 19 : 206–211.
- Jacob Bernoulli (May 1697) "Solutio problematum fraternorum, … " (A solution of [my] brother's problems, … ), Acta Eruditorum, 19 : 211–214.
- Marquis de l'Hôpital (May 1697) "Domini Marchionis Hospitalii solutio problematis de linea celerrimi descensus" (Lord Marquis de l'Hôpital's solution of the problem of the line of fastest descent), Acta Eruditorum, 19 : 217-220.
- أعيد طبعها: Isaac Newton (May 1697) "Excerpta ex Transactionibus Philos. Anglic. M. Jan. 1697." (مقتطف من Philosophical Transactions الإنگليزية لشهر يناير من عام 1697)، Acta Eruditorum, 19 : 223–224.
- ^ Livio, Mario (2003) [2002]. (First trade paperback ed.). New York City: Broadway Books. p. 116. ISBN .
- ^ Struik, J. D. (1969), A Source Book in Mathematics, 1200-1800, Harvard University Press, ISBN 0-691-02397-2
- ^ Herman Erlichson (1999), "Johann Bernoulli's brachistochrone solution using Fermat's principle of least time", Eur. J. Phys. 20 (5): 299–304, doi:
- ^ Sagan, Carl (2011). . Random House Publishing Group. p. 94. ISBN . Retrieved 2 June 2016.
- ^ Katz, Victor J. (1998). (2nd ed.). Addison Wesley Longman. p. 547. ISBN .
- ^ D.T. Whiteside, Newton the Mathematician, in Bechler, Contemporary Newtonian Research, p. 122.
- ^ Galileo Galilei (1638), "Third Day, Theorem 22, Prop. 36", Discourses regarding two new sciences, p. 239 This conclusion had appeared six years earlier in Galileo's Dialogue Concerning the Two Chief World Systems (Day 4).
- ^ Bernoulli, Johann. Mémoires de l'Académie des Sciences (French Academy of Sciences) Vol. 3, 1718, pp. 135–138
- ^ The Early Period of the Calculus of Variations, by P. Freguglia and M. Giaquinta, pp. 53–57, ISBN 978-3-319-38945-5.
- ^ Babb, Jeff; Currie, James (July 2008), "The Brachistochrone Problem: Mathematics for a Broad Audience via a Large Context Problem", The Montana Mathematics Enthusiast 5 (2&3): 169–184, Archived from the original on 2011-07-27, https://web.archive.org/web/20110727210743/http://www.math.umt.edu/tmme/vol5no2and3/TMME_vol5nos2and3_a1_pp.169_184.pdf
- ^ Dubois, Jacques (1991). "Chute d'une bille le long d'une gouttière cycloïdale; Tautochrone et brachistochrone; Propriétés et historique" (PDF). Bulletin De L'Union Des Physiciens. 85 (737): 1251–1289.
وصلات خارجية
- Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), "Brachistochrone", Encyclopaedia of Mathematics, Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1556080104
- Eric W. Weisstein, Brachistochrone Problem at MathWorld.
- Brachistrochrone ( at MathCurve, with excellent animated examples)
- The Brachistochrone, Whistler Alley Mathematics.
- Table IV from Bernoulli's article in Acta Eruditorum 1697
- Brachistochrones by Michael Trott and Brachistochrone Problem by Okay Arik, Wolfram Demonstrations Project.
- The Brachistochrone problem at MacTutor
- Geodesics Revisited — Introduction to geodesics including two ways of derivation of the equation of geodesic with brachistochrone as a special case of a geodesic.
- Optimal control solution to the Brachistochrone problem in Python.
- The straight line, the catenary, the brachistochrone, the circle, and Fermat Unified approach to some geodesics.
