مجموع (علم الحساب)

في الرياضيات، مَجْموع عدديْن هونتيجة جَمْعِهِما. يمكن حسابه بطرق مختلفة اعتماداً على نظام العد المستخدم. حيث حتى عملية الجمع تبادلية وتجميعية، يُعرّف مجموع مجموعة منتهية بغض النظر عن ترتيب الأعداد في عملية الجمع، ولكن لا توجد دائمًا صيغة موحدة للتعبير عنه. ترتبط الطرق المستخدمة للحصول على هذه الصيغ بدراسة السِّلْسِلات العددية.

يرمز لمجموع متتاليات من الأعداد بالرمز ${\displaystyle \sum$

الترميز

الحرف اليوناني سيغما.

يَسْتخدِم الترميز الرياضي رمزًا يمثل مجموع متتالية من الحدود: رمز المجموع Σ هوشكل مكبّر لحرف اللغة اليونانية سيغما، يُعَرّفُ على النحوالتالي:

{\displaystyle \sum _{i\mathop {= m ^{n a_{i =a_{m +a_{m+1 +a_{m+2 +\cdots +a_{n-1 +a_{n

حيث i هومؤشر الجمع. a_i هومتغير يمثل جميع رقم متتالي في السلسلة؛ m هوالحد الأدنى للجمع، وn هوالحد الأقصى للجمع. " i = m " جزء من رمز الجمع، ويعني حتى المؤشر i يبدأ بقيمة m. يزداد المؤشر i ب 1 في جميع تكرار، ويتوقف عند i = n .

هذا مثال يبين مجموع مربعات الأعداد

{\displaystyle \sum _{i\mathop {= 3 ^{6 i^{2 =3^{2 +4^{2 +5^{2 +6^{2 =86.

{\displaystyle \sum a_{i ^{2 =\sum _{i\mathop {= 1 ^{n a_{i ^{2 .

التعبير التالي:

{\displaystyle \sum _{0\leq k<100 f(k)

هومجموع ${\displaystyle f(k)$ على جميع الأعداد السليمة ${\displaystyle k$ في ترتيب معين.

التعريف الرسمي

يمكن تعريف المجموع غالباً على النحوالتالي:

{\displaystyle \sum _{i=a ^{b g(i)=0

{\displaystyle \,

، لكل b < a.

{\displaystyle \sum _{i=a ^{b g(i)=g(b)+\sum _{i=a ^{b-1 g(i)

، لكل b ≥ a.

أمثلة

مجموع الأعداد السليمة

رسوم متحركة تبين "صيغة غاوس قليلا " لإيجاد مجموع n من الأعداد السليمة.

لكل عدد سليم $n$ ، مجموع الأعداد السليمة من 1 إلى $n$ هو:

{\displaystyle S=1+2+3+\cdots +(n-1)+n=\sum _{i=1 ^{n i={\frac {n(n+1) {2 .

يمكن التحقق من هذا التعبير عن طريق الاستدلال بمبدأ التَّرَجع (الاستقراء) على n: يرمز التعبير S _n لمجموع الأعداد السليمة من 1 إلى n. الصيغة S_n = n ( n+1)/2 سليمة عند n = 1 وإذا كانت سليمة عند الرتبة n-1 فإنها سليمة عند الرتبة n لأن:

{\displaystyle S_{n =S_{n-1 +n={\frac {(n-1)n {2 +n={\frac {n^{2 -n+2n {2 ={\frac {n(n+1) {2 .

مجموع الأعداد السليمة الفردية

1 + ثلاثة +خمسة + ... + (2N-1) = n². برهان صامت للرسوم المتحركة 3D لرؤية جهات رباعي الاسطح.

لكل عدد سليم $n$ أكبر من 1، مجموع $n$ من الأعداد السليمة الفردية هو $n ²$ :

{\displaystyle S=1+3+5+\cdots +(2n-1)=\sum _{i=1 ^{n (2i-1)=n^{2 .

أمثلة :

1 = 1²،
1 + ثلاثة = 2²،
1 + ثلاثة +خمسة = 3² ، إلخ.

لكل عدد سليم $n$ ، مجموع n من الأعداد السليمة المربعة يحقق المتساوية التالية:

{\displaystyle \sum _{k=1 ^{n k^{2 ={\frac {n(2n+1)(n+1) {6 .

المراجع

^ Pour un exposé détaillé sur la notation de la sommation, et l'arithmétique avec sommes, voir رونالد غراهام; دونالد كانوث; أورين باتاشنيك (1994). "Sums". (PDF) (باللغة الإنجليزية). أديسون-ويسلي . ISBN . .
^ ونفس الشيء بالنسبة ل n = 0، ومن البديهي حتى المجموع الفارغ S₀ منعدم.