المثلث هوأحد الأشكال الأساسية في الهندسة، وهوشكل ثنائي الأبعاد مكون من ثلاثة رؤوس تصل بينها ثلاثة أضلاع، وتلك الأضلاع هي بتر مستقيمة. ومجموع طولي أي ضلعين في مثلث أكبر من طول الضلع الثالث (شرط وجود المثلث). والمثلث الذي رؤوسه هي A وB وC يرمز له بالرمز ${\displaystyle \triangle ABC$

أنواع المثلثات

حسب أطوال الأضلاع

من الممكن تصنيف المثلثات تبعا لأطوال أضلاعها كما يلي:

• مثلث متساوي الأضلاع: هومثلث جميع أضلاعه متساوية، وتكون جميع زوايا المثلث متساوي الأضلاع متساوية أيضا، وقيمة جميع منها 60 درجة.
• مثلث متساوي الضلعين: ويسمى أيضا متساوي الساقين، هومثلث فيه ضلعان متساويان. الزاويتان اللقاءتان لهذين الضلعين تكونان متساويتين أيضا.
• مثلث مختلف الأضلاع: هومثلث أطوال أضلاعه مختلفة، زوايا هذا المثلث تكون مختلفة القيم أيضا.

حسب زواياه الداخلية

يمكن أيضا تصنيف المثلثات تبعا لقياس الزوايا الداخلية في المثلث:

• مثلث قائم الزاوية: له زاوية قياسها 90 درجة (زاوية قائمة)، يدعى الضلع اللقاء للزاوية القائمة بالوتر، وهوأطول أضلاع هذا المثلث.
• مثلث منفرج الزاوية: له زاوية قياسها أكبر من 90 درجة وأصغر من 180 درجة (زاوية منفرجة).
• مثلث حاد الزوايا: جميع زواياه قياسها أصغر من 90 درجة (زاوية حادة).

الضلع الأفقي يسمى "قاعدة المثلث".

حقائق عن المثلثات

مجموع زوايا المثلث

مجموع الزوايا الداخلية للمثلث يساوي 180 درجة.

ويمكن إثبات ذلك عن طريق الزاوية المستقيمة، كما هومبين بالشكل المجاور.

الزاوية الخارجية للمثلث

الزاوية الخارجية للمثلث تساوي مجموع الزاويتين الداخلتين غير المجاورة لها.

في الشكل المجاورقد يكون قياس الزاوية (ACD) يساوي مجموع قياسي الزاويتين (ABC) و(BAC).

مجموع الزوايا الخارجية الثلاثة (واحدة لكل رأس) لأي مثلث هو360 درجة.

تطابق مثلثين

ينطق عن مثلثين أنهما متطابقان إذا توافرت أحد الشروط التالي:

1. إذا تساوت أطوال الأضلاع المتناظرة فيهما(ضلع، ضلع، ضلع).
2. إذا تساوت زاويتان من المثلث الأول مع زاويتين في المثلث الثاني وتساوى طول الضلع المشهجر بين الزاويتين مع نظيره في المثلث الثاني (زاوية، ضلع، زاوية).
3. إذا تساوى قياس زاوية من مثلث قياس زاوية من مثلث آخر وتساوت أطوال الضلعين اللذين يحتويان هذه الزاوية في مثلث مع أطوال الضلعين المناظرين في المثلث الثاني (ضلع، زاوية، ضلع).

نتائج التطابق

-مساحتي المثلثين المتطابقين متساويتين.

-محيطي المثلثين المتطابقين متساويين.

تشابه مثلثين

ينطق عن مثلثين أنهما متشابهين إذا كانت الزوايا المتقابلة لكل منهما متساوية، أي عندما ينتج أحدهما عن الآخر بتكبيره أوتصغيره. وتكون أطوال أضلاع المثلثين المتشابهين متناسبة، أي أنه إذا كان طول أقصر أضلاع المثلث الأول هوضعفا طول أقصر أضلاع المثلث الثاني، فإن طول جميع من الضلعين الأطول والمتوسط من المثلث الأول هوضعفا طولي الضلعين الأطول والمتوسط من المثلث الثاني أيضا، وبالتالي فإن النسبة بين طولي الضلعين الأقصر والأطول في المثلث الأول مساوية للنسبة بين طولي الضلعين الأقصر والأطول في المثلث الثاني. ويرمز للتشابه بالرمز (~)

حالات التشابه

1. يتشابه مثلثان إذا تناسبت أطوال الأضلاع المتناظرة فيهما(ضلع، ضلع، ضلع).
2. يتشابه مثلثان إذا تساوت زاويتان من المثلث الأول مع زاويتين في المثلث الثاني (زاويا).
3. يتشابه مثلثان إذا تساوى قياس زاوية من مثلث قياس زاوية من مثلث آخر وتناسبت أطوال الضلعين اللذين يحتويان هذه الزاوية (ضلع، زاوية، ضلع).

نتائج التشابه

-النسبة بين مساحتي مثلثين متشابهين تساوي مربع النسبة بين طولي أي ضلعين متناظرين فيهما.

-النسبة بين محيطي مثلثين متشابهين تساوي النسبة بين طولي أي ضلعين متناظرين فيهما.

نظرية فيثاغورس

واحدة من النظريات الأساسية في المثلثات هي نظرية فيثاغورس والتي تنص على أنه في المثلث القائم، مربع طول الوتر (c) يساوي مجموع مربعي طولي الضلعين القائمين (a, b)، أي:

${\displaystyle c^{2 =a^{2 +b^{2 \,$

مما يعني حتى فهم طولي ضلعين من المثلث القائم، كافٍ لفهم طول الضلع الثالث:

من الممكن تعميم نظرية فيتاغورس لتضم أي مثلث عبر قانون جيب التمام:

مربع طول الضلع = مجموع مربعي الضلعين الآخرين مطروح منه ضعف حاصل ضرب طولي الضلعين الآخرين في جيب تمام "الزاوية المحصورة بينهما"

${\displaystyle c^{2 =a^{2 +b^{2 -2ab\ Cos\theta \,$

وهوسليم لكل المثلثات حتى لولم تكن الزاوية ( ${\displaystyle \theta \,$) قائمة.

حساب مساحة المثلث

انظر قوانين مساحة المثلث.

باستعمال فهم المثلثات

أبسط طريقة لحساب مساحة المثلث وأكثرها شهرة هي :

المساحة = ½ القاعدة × الارتفاع

${\displaystyle Area={\frac {1 {2 bh$

حيث ${\displaystyle b$ هي طول قاعدة المثلث و${\displaystyle h$ هوازدياد المثلث. قاعدة المثلث تمثل أي ضلع من أضلاع المثلث والارتفاع هوطول العمود النازل على هذه القاعدة من الرأس اللقاء لها.

من الممكن البرهان على ذلك من خلال الشكل التالي:

باستعمال صيغة هيرو

يمكن حساب المساحة باستخدام صيغة هيرو(أوهيرون) وذلك كالتالي:

${\displaystyle A={\sqrt {s\left(s-a\right)\left(s-b\right)\left(s-c\right)$

حيث s هونصف طول محيط المثلث:

${\displaystyle s={\frac {a+b+c {2 .$

وa وb وc أطوال أضلاع المثلث ABC.

باستعمال المتجهات

قد تحسب مساحة متوازي أضلاع في فضاء اقليدي ثلاثي الأبعاد باستعمال المتجهات. ليكن AB (قد يرمز إلى المتجهة AB ب ${\displaystyle \scriptstyle {\overrightarrow {AB$) وAC المتجهتين المنطلقتين من A والواصلتين إلى B وC على التوالي. مساحة متوازي الأضلاع ABCD هي

${\displaystyle |\mathbf {AB \times \mathbf {AC |$

والذي يعنى وُسع الضرب الاتجاهي للمتجهتين AB وAC. مساحة المثلث تساوي نصف هذا الوسع أي :

${\displaystyle {\frac {1 {2 |\mathbf {AB \times \mathbf {AC |$

باستعمال الإحداثيات

باستعمال مبرهنة بيك

نقاط ومستقيمات ودوائر متصلة بالمثلث

• المنصف العمودي أوالمتوسط العمودي لمثلث هومستقيم عمودي على أحد أضلاع المثلث من منتصفه، وتتلاقى المتوسطات العمودية لمثلث في نقطة تسمى مركز الدائرة المحيطة بالمثلث، ويكون لهذه النقطة نفس البعد عن رؤوس المثلث الثلاثة، ويكون تقاطع متوسطين عموديين فقط كافياً لفهم مركز هذه الدائرة.

• تقول نظرية الدائرة المحيطة بمثلث قائم أنه إذا كان مركز الدائرة المحيطة بالمثلث على ضلع من أضلاع المثلث فإن الزاوية اللقاءة لهذا الضلع تكون قائمة.

• الارتفاع هومستقيم يمر براّس من رؤوس المثلث ويكون عمودياً غلى الضلع اللقاء للرأس. ويمثل الارتفاع البعد بين الرأس والضلغ اللقاء له كما تتقاطع الارتفاعات في نقطة تسمى مركز قائم.

• منصف الزاوية هومستقيم يمر من أحد رؤس المثلث ويقسم الزاوية إلى نصفين وتتقاطع المنصفات الثلاثة في مركز الدائرة المحيطة بالمثلث وهي الدائرة التي تمس أضلاع المثلث الثلاثة.
• المتوسط هوبترة مستقيم تنطلق من أحد رؤس المثلث وتمر من منتصف الضلع اللقاء لهذا الرأس وتتقاطع المتوسطات الثلاثة في نقطة تسمى مركز ثقل المثلث ويكون تقاطع متوسطين فقط كافياً لفهم مركز الثقل. كماقد يكون البعد بين رأس المثلث ومركز الثقل مساوياً لـ${\displaystyle {\frac {2 {3$ من طول المتوسط الصادر من ذلك الرأس.

• منتصفات الأضلاع ونقطة تقاطع الارتفاع والضلع اللقاء له موجودة كلها على دائرة النقاط التسعة للمثلث والنقاط الثلاثة المتبقية هي منتصف البعد بين رأس المثلث والمركز القائم ونصف قطر دائرة النقاط التسعة يساوي ½ نصف قطر الدائرة المحيطة بالمثلث.

المثلثات غير المستوية

انظر الهندسة الكروية والهندسة الزائدية.

المثلثات في الهندسة المعمارية

يعتقد حتى المثلثات ستستعمل في المستقبل أكثر مما هي عليه الآن في المعمار، حيث تزداد الهندسة المعمارية تعقدا.

مراجع

انظر أيضا

مثلث في المشاريع الشقيقة

---

• صور وملفات صوتية من كومنز