الكُسيريات أوالفركتلات (بالإنجليزية: Fractals)‏ هي أشكال هندسية تختلف عن الأشكال الهندسية الأخرى بسبب الكيفية التي تتدرج بها زيادة أونقصانا. مضاعفة أطوال حافة مضلع يضاعف لها المساحة إلى أربعة، وهواثنان (النسبة بين الطول الجديد إلى طول الجانب القديم) مرفوعا للقوة (أس) اثنين ( مساحة المضلع ). وبالمثل، إذا تضاعف نصف قطر الكرة، فإن حجم الكرة يقفز إلى ثمانية أضعاف، والتي هي اثنين (نسبة القطر الجديد إلى القديم) مرفوعا إلى القوة ثلاثة (المساحة التي تشغلها الكرة). ولكن إذا تم مضاعفة الأطوال الفركتلية ذات البعد الواحد فقط، فإن المحتوى المكاني للجداول الكسورية من قبل الأس الذي ليس بالضرورة حتىقد يكون واحدا سليم. وتسمى هذه القوة أوالأس البعد كسيري للفراكتل، وعادة ما يتجاوز البعد الطوبوغرافي الكسوري .

مثل المعادلات الرياضية، فإن الفركتلات عادة ما تكون قابلة للاشتقاق أي مكان. ويمكن تصور المنحنى الكسورية اللانهائي بأنهقد يكون ملتفا عبر الفضاء بشكل مختلف عن الخط العادي، لا يزال كونه مساحة ذات البعد الواحد وهوالخط لديه بعدا كسوريا مشيرا إلى أنه يشبه أيضا سطح.

جذور فكرة رياضية تم الرجوع إلى مفهوم الفركتلات على مر السنين كمسار رسمي من المصنفات المنشورة، بدءا من القرن ال17 مع مفاهيم استنادىء ذاتي، ثم تتحرك من خلال معالجة رياضية صارمة لمفهوم دراسة متواصلة ولكن ليست دالة قابلة للاشتقاق في القرن ال19، وإلى صياغة لل حدثة كسورية في القرن ال20 مع ازدهار لاحق من الاهتمام في فركتلات والنمذجة القائم على الحاسوب في القرن ال21. وقد استخدم مصطلح "كسورية" أول مرة من قبل عالم الرياضيات بونوا ماندلبروفي عام 1975. ماندلبروت قام باشتقاقها مناللاتينية frāctus تعني "كسر" أو"متشظية "، وتستخدم لتوسيع المفهوم النظري كسور البعد إلى أنماط هندسية في الطبيعة.

تدرس الهندسة الكسيرية (بالإنجليزية: Fractal Geometry أوFractals)‏ البنى الهندسية المؤلفة من كسيريات وهومجموع كسيرية Fractals التي يمكن تعريفها بأنها جزء هندسي صغير جدا غير منتظم ذوأبعاد لامتناهية بالصغر، يمكن حتى يتألف من أجزاء متشابهة مؤلفة بدورها من أجزاء متشابهة مماثلة للجزء الأم.

الكسيرية إذا يمكن تعريفها على أنها كائن هندسي خشن غير منتظم على كافة المستويات، ويمكن تمثيلها بعملية كسر شيء ما إلى أجزاء أصغر لكن هذه الأجزاء تشابه الجسم الأصلي. تحمل الكسيرية في طياتها ملامح مفهوم اللانهاية وتتميز بخاصية التشابه الذاتي أي حتى مكوناتها مماثلة للكسيرية الأم مهما كانت درجة التكبير. غالبا ما يتم تشكيل الأجسام الكسيرية عن طريق عمليات أوخوارزميات متكررة: مثل العمليات الذاتية الاستنادىء أوالتكرارية.

الكسيرية هي مجموعة لها بُعد كسيري عادة ما يتجاوز بعدها الطوبولوجي.

تمت صياغة مصطلح كسيرية (fractal) من قبل بونوا ماندلبرو، من اللاتينية fractus بمعنى مكسور. كان ذلك عام 1975. قبل هذا المصطلح كان الاسم الشائع لهذه البنى هوندفة الثلج لكوخ. تقوم الهندسة الكسيرية عادة بدراسة البنى المؤلفة من كسيريات وتصف الكثير من الأوضاع والبنى التي لا يمكن تفسيرها أودراستها بالهندسة الرياضية الكلاسيكية، إضافة لذلك تمتلك الهندسة الكسيرية تطبيقات عديدة في العلوم والتكنولوجيا والفنون الحاسوبية.

الكسيرية

الكسيرية كائن هندسي يتصف بالخشونة وعدم الانتظام على جميع المقاييس، ولهذا يظهر في جوهره وكأنه 'مكسور'. ببساطة، يمكن تعريف الكسيريات على أنها صور مقسمة إلى أجزاء، جميع منها يظهر مماثلاً للأصل. تحتوي الكسيريات في طياتها معنى اللانهاية، ويبدي بعضها بنية تتصف بالتشابه الذاتي على جميع المقاييس، ومختلف مستويات التكبير. في معظم الحالات، يمكن توليد الكسيريات من خلال تكرار معين، يتم ذلك عبر إجراء تعاودي أوتكراري. قبل حتى يقوم ماندلبروت بصياغة هذا المصطلح، كان الاسم الشائع لهذه البنى (كندفة الثلج لكوخ مثلاً) هوالمنحني الغريب monster curve.

تمت دراسة الكثير من أنواع الكسيريات على أنها كائنات رياضية. تشكل الهندسة الكسيرية فرعاً من الرياضيات يختص بدراسة سلوك وخصائص الكسيريات، كما تصف الكثير من الحالات التي يستعصي وصفها على الهندسة الكلاسيكية، وغالباً ما تطبق في حقول العلوم والتكنولوجيا والفنون المولدة حاسوبياً. إذا تتبع الجذور المفاهيمية للكسيريات يقود إلى محاولات سابقة لقياس أغراض عجزت التعاريف التقليدية للهندسة الإقليدية والحساب الإقليدي عن شرحها.

تاريخ الكسيريات

إسهامات التحليل الكلاسيكي

لقد اكتشفت الأغراض المسماة حالياً كسيريات ودُرست قبل زمن بعيد من إطلاق هذه التسمية عليها، فإشارة ماندلبروت ذاته إلى فكرة (التشابه الذاتي التعاودي) تعد تطويراً قام به الفيلسوف لايبنتز الذي تعمق في دراسة تفاصيل هذه الأغراض. في عام 1872، أوجد كارل ويرستراس مثالاُ لدالة ذات خاصية غريبة، ذلك أنها تستمر في جميع مكان ولا يمكن تمييزها في أي مكان، إذا مخطط هذه الدالة يدعى حالياً كسيرية. في عام 1904، اختلف هيلغ فون كوخ مع التعريف التحليلي المجرد لفايرستراس، وقدم تعريفاً ذا مضمون هندسي أكثر لدالة مماثلة تدعى حالياً ندفة الثلج لكوخ. إذا فكرة المنحنيات ذات التشابه الذاتي طورت من قبل باول بيير ليفي والذي شرح عام 1938 في ورقة بحثه السطوح والمنحنيات المستوية أوالفراغية التي تشكل أجزاءً مماثلة للأصل منحنى كسيريا جديدا يدعى كسيرية ليفي. كما قدم جورج كانتور أمثلة لمجموعات جزئية من الخط الحقيقي تتصف بصفات غير طبيعية -إن مجموعات كانتور هذه تصنف حالياً ضمن الكسيريات. تمت دراسة التوابع التكرارية في المستوى العقدي في أواخر القرن التاسع عشر وبدايات القرن العشرين من قبل هنري بوانكاريه وفيليكس كلاين وبيير فاتووغاستون جوليا. لسوء الحظ، فإن انعدام التقنيات المرئية الحاسوبية الشائعة حالياً في ذلك الوقت، حرم أولئك الفهماء من إدراك المعنى الجمالي المرئي للعديد من الأغراض التي اكتشفوها.

مفاهيم لتوضيح مجموعة الكسيريات

في محاولة جادة لفهم أغراض معينة كمجموعات كانتور، عمد الرياضيون من أمثال كونسستانتين كاراثيودوري وفيليكس هاوسدورف إلى تعميم المفهوم الحدسي للبعد حيث يتضمن قيماً غير سليمة. كانت هذه المستوى جزءاً من توجه ساد في بدايات القرن العشرين بهدف تكوين نظرية وصفية للمجموعة، وكان هذا إتماماً لأبحاث كانتور والتي كانت قادرة إلى حد ما على تصنيف مجموعات من النقاط في فضاء إقليدي. إذا تعريف بُعد هاوسدروف ذوطبيعة هندسية، ولوأنه شُكل تقنياً باستخدام أدوات من التحليل الرياضي. عمل بيزيكوفيتش في هذا الاتجاه على غرار الآخرين، وقد اختلف في مضمونه عن التحريات المنطقية التي بُني على أساسها القسم الأعظم من النظرية الوصفية للمجموعة على عشرينيات وثلاثينات القرن العشرين، وقد تمت متابعة الأبحاث لاحقاً في هذا المجال، ولكن من قبل المختصين حصراً.

إسهامات ماندلبروت في الستينيات

عمل بينويت ماندلبروت على استقصاء التشابه الذاتي، تجلى ذلك في بضعة أوراق نشرها مثل كم طول ساحل بريطانيا،يا ترى؟ التشابه الذاتي الإحصائي والبعد الكسيري، وقد بنى عمله على الأعمال السابقة للويس فراي ريتشاردسن. تمكن ماندلبروت من اكتشاف صلات قوية بين نتائج رياضية لطالما اعتبرت غير مترابطة سابقاً بفضل اعتماده وبشكل كبير على مقاربة مرئية. عام 1975، صاغ ماندلبروت حدثة كسيرية أو'فركتل' 'fractal' للدلالة على أغراض ذات تشابه ذاتي، لا تمتلك بعداً محدداً. لقد اشتق حدثة كسيرية من الحدثة اللاتينية fractus والتي تعني 'مكسور' أو'غير نظامي'، وليس من حدثة fractional والتي تعني كسري كما يظن الكثيرون، مع الفهم حتى هذه الأخيرة يعتقد أنها مشتقة أيضاً من حدثة fractus اللاتينية. لدى استخدام المرئيات الحاسوبية في مجال الهندسة الكسيرية، ظهرت براهين مرئية سرعان ما ربطت الكثير من مجالات الرياضيات والعلوم بشكل غير مسبوق، تحديداً في حقول الديناميكية اللاخطية، نظرية الشواش (فهماً حتى البعض يفضل استخدام المصطلح xaos عوضاً عن السايقة وذلك بهدف التمييز بين السلوك اللاخطي والمعنى المتداول للحدثة) والتعقيد. عملى سبيل المثال، أظهر رسم خوارزمية نيوتن بشكل كسيري حتى الحدود بين الحلول المتنوعة هي ذات طبيعة كسيرية، كما أظهرت حتى الحلول بحد ذاتها هي جواذب غريبة. تستخدم الهندسة الكسيرية أيضاً في مجال ضغط البيانات ونمذجة الأنظمة الجيولوجية والعضوية المعقدة، يعد نموالأشجار وتظور أحواض الأنهار أمثلة واضحة على ذلك. وسع هاريسون الحساب النيوتوني بشكل يتضمن المجالات الفركتلية، بما فيها نظريات غاوس وغرين وستوكس.

البعد الكسيري لحد ندفة ثلج كوخ

إن الطول الكلي لعدد ما N بالنسبة لمجموعة من المراحل L هوالجداء NL، بتطبيق ذلك على حد ندفة ثلج كوخ سنحصل على طول لانهائي للحد ذلك حتى L لامتناهية في الصغر، إذا هذا غير مقبول، فكما حتى ندف ثلج كوخ المتنوعة لها قياسات مختلفة، فإن الحل هوبالقياس، ليس بالمتر ولا بالمتر المربع، بل باستخدام واحدة المتر مرفوعة إلى قوة على الشكل m². وبالتالي: 4N(L/3)^x = NL^x، نفسر العلاقة السابقة بأن تصغير طول المستوى لثلاثة أمثال يحتاج أربعة أمثال عدد المراحل، إذا حل المعادلة السابقة يعطي x = (log 4)/(log 3) = 1.26186. وبالتالي فإن واحدة قياس حد ندفة ثلج كوخ هي m^1.26186,

تعاريف

لعل أكثر خواص الكسيريات إثارة هي لانظاميتها بشكل عام من حيث الشكل. ولهذا فهي ليست نمطاً من الأغراض القابلة للتعريف بالهندسة التقليدية، إذا هذا يعني حتى الكسيريات تنحوباتجاه إعطاء تفاصيل مرئية جديدة باستخدام المقاييس المتنوعة، ففي حالة التشابه الذاتي، عند تكبير الكسيريات نحصل على صور مماثلة للأصل وغالباً ما تعهد مجموعات كهذه تعاودياً. إن أي شكل إقليدي كالدائرة على سبيل المثال، يظهر أكثر تسطحاً بزيادة التكبير، وعندما يصبح التكبير لانهائياً يصبح من المحال التمييز فيما إذا كان أصل الشكل دائرة أوخط مستقيم، تنعدم هذه الخاصة في الكسيريات. فالفكرة التقليدية للمنحني والتي تبين تغير نصف قطر الدائرة بالتقريب يصبح من المحال اعتمادها لغياب التقييس، في حين حتى زيادة تكبير الكسيريات يظهر تفاصيل أكثر وأكثر كانت غائبة سابقاً. مثلما تظهر الكثير من الصفات المميزة الخاصة بالكسيريات، يتعذر بشكل ملحوظ إجمالها في تعريف رياضي صريح ودقيق، لقد عهد ماندلبروت الفركتل على أنه "مجموعة يتجاوز فيها بعد هاوسندروف بعدها اللاكمي". فمن أجل شكل كسيري ذوتشابه ذاتي، فإن بعد هاسندروف يساوي إلى بعد مينكوفسكي بوليجاند.

من المشاكل التي تخص تعريف الكسيريات:

• لا يوجد تعريف دقيق لعبارة "شديد اللانظامية".
• لا يوجد تعريف دقيق للـ "بعد".
• توجد الكثير من الطرق التي يمكن من خلالها تعريف كائنات ذات تشابه ذاتي.
• ليست جميع الكسيريات فهم بشكل تعاودي.

تقنيات مشهورة لتوليد الكسيريات

يمكن تصنيف الكسيريات في ثلاث مجموعات رئيسية. تصنف هذه المجموعات الكسيريات اعتماداً على طرق توليدها أوتعريفها:

• أنظمة الدوال المتكررة — تحتوي هذه المجموعة على قاعدة استبدال هندسي واضحة لكل كسيرية. منها ندفة الثلج لكوخ ومجموعة كانتور وسجادة سربنسكي وحشية سربنسكي ومنحنى بيانوومنحني التنين هارتر هايواي والمربع تي واسفنجة مينجر.
• كسيريات الانفلات الوقتي — تعهد الكسيريات في هذه المجموعة عبر علاقة تكرارية من أجل جميع نقطة في الفراغ (كما في المستوى العقدي). أمثلة على ذلك مجموعة ماندلبروت ومجموعة جوليا وكسيرية الباخرة المحترقة وكسيرية نوفا وكسيرية ليابونوف.
• الكسيريات العشوائية تولد من خلال إجراءات مختارة بشكل عشوائي بدلاً من حتى تكون محددة، أمثلة على ذلك المناظر الكسيرية ورحلة ليفي.
• الأنظمة اللامية,

يمكن تصنيف الكسيريات أيضاً اعتماداً على تشابهها الذاتي. توجد ثلاثة أنواع للتشابه الذاتي في الكسيريات:

• تشابه ذاتي متطابق — يعد أقوى أنواع التشابه الذاتي، تبدوالكسيريات ذاتها على أي مقياس تكبير، إذا الكسيريات الفهم باستخدام أنظمة التوابع التكرارية غالباً ما تكون ذات تشابه ذاتي متطابق.
• تشابه ذاتي ظاهري — وهونمط غير محكم من التشابه الذاتي، تبدوالكسيريات متطابقة إلى حد ما (ولكن ليس تماماً) على مقاييس تكبير مختلفة، تحتوي كسيريات التشابه الذاتي الظاهري على نسخ مصغرة من تام الفركتل ولكن بأشكال منحلة مشوهة، إذا الكسيريات الفهم بعلاقات تكرارية غالباً ما تكون ذات تشابه ذاتي ظاهري وليست ذات تشابه ظاهري متطابق.
• التشابه الذاتي الإحصائي — يعد من أضعف أنواع التشابه الذاتي، يبيدي الكسيرية قياسات رقمية أوإحصائية ثابتة على اختلاف مقاييس التكبير.

إن أكثر تعاريف الكسيريات بداهة تحتوي في مضمونها شكلاً من أشكال التماثل الظاهري الإحصائي، (البعد الكسيري أوالفركتلي مثلاً هوقياس رقمي محفوظ على اختلاف مقاييس التكبير). إذا الكسيريات العشوائية هي أمثلة واضحة على كسيريات التشابه الذاتي الإحصائي، ولكنها ليست ذات تشابه ذاتي متطابق أوظاهري. من الجدير بالملاحظة أنه ليست جميع الأغراض ذات التماثل الذاتي هي فركتلات، فالخط الحقيقي (خط إقليدي متصل) مثلاً ذوتماثل ذاتي تام، إلا حتى الانادىء بأن تام الكائنات الإقليدية هي فركتلات يمثل موقف قلة من الأشخاص، فقد رأى ماندلبروت حتى تعريف الكسيرية لا يجب حتى يتضمن الكسيريات "الحقيقية" فقط، بل الأغراض الإقليدية الكلاسيكية، فوجود الأعداد الصماء على مستقيم الأعداد يولد خصائص معقدة لا متكررة. طالما حتى البنية الحبيبية للكسيريات لا متناهية، فمن غير الممكن اعتبار أياً من الأغراض الطبيعية فركتلاً، على جميع الأحوال، يمكن حتى تبدي الأغراض الطبيعية خصائص مماثلة للفركتلات على عدد محدود من مقاييس التكبير.

أمثلة

تتضمن الأمثلة الشائعة للكسيريات مجموعة ماندلبروت وكسيرية ليابونوف ومجموعة كانتور وحشية سربنسكي وسجادة سربنسكي واسفنجة مينجر ومنحني التنين ومنحني بيانو, والمجموعات المحدودة مجموعة كلاينايان, ومنحنى كوخ. قد تكون الكسيريات محددة أومختارة بشكل عشوائي. الأنظمة الديناميكية الشواشية غالباً (إن ليس دائماً) تربط بالكسيريات. تتضمن مجموعة ماندلبروت أقراصاً كاملة ببعد يساوي 2، وهذا ليس مفاجئاً، ذلك حتى الذي يفاجئ بشكل كبير هوحتى بعد هاوسدروف لحد مجموعة ماندلبروت هوأيضاً 2.

مجموعة أخرى من الأمثلة المماثلة هي مجموعات كانتور، والتي بانتزاع فترات أصغر وأصغر من الفترة [0.1]، تهجر مجموعات من الممكن (وقد يحدث من غير الممكن) حتى تحتوي على بنية تماثل ذاتي لدي تكبيرها، وقد تحتوي (أولا تحتوي) على بعد d يقع بين 0 و1. كتطبيق سهل يظهر الترابط بين المفهومين، انتزاع الرقمسبعة من الامتدادات العشرية يتصف بالتشابه الذاتي لدى تكبير انطوائي بمقدار العشرة، ولديه أيضاً البعد log9/log10 (تبقى القيمة ذاتها حتى لوقمنا بتغيير قاعدة اللوغاريتم)

• فركتل متشكل جراء نزع ورقتين إكريليكيتين مطليتين بالغراء عن بعضهما

• تفريغ فولطية عالية في بلوك إكريليكي يخلق فركتل شكل ليشتنبرغ.

• فركتل متشكل جراء إضاءة دي في دي بأمواج ميكروية

• رومانيسكوبروكولي يظهر فركتلات طبيعية رائعة

الكسيريات في الطبيعة

من الممكن مصادفة أشباه الكسيريات بكثرة في الطبيعة. تظهر كائنات كهذه بنية معقدة على امتداد تكبير منته. هذه الكسيريات التي تتولد طبيعياً (الغيوم والجبال وشبكات الأنهار وأنظمة الأوعية الدموية) لديها حدود دنيا وعليا، ولكنها تتميز عن بعضها بمقاييس تكبير مختلفة. على الرغم من وجود الكسيريات حولنا بكثرة، فإنها لم تدرس بشكل معمق حتى بدايات القرن العشرين، أما التعريفات العمومية لها فاتىت متأخرة قليلاً.

إن الأشجار والسراخس فركتلية بطبيعتها، ويمكن نمذجتها بالحاسب عبر استخدام خوارزميات تعاودية. تبدوالطبيعة العودية واضحة في هذه الأمثلة، ففرع الشجرة أوورقة من السراخس هي تكرار مصغر للكل: ليس مطابقاً ولكنه مشابه من حيث الطبيعة.

برمجيات لتوليد الكسيريات

غالباً ما تولد الكسيريات باستخدام الحاسب. يوجد عدد كبير من البرامج التي تمكن من نمذجة الكسيريات كما يمكن لبعضها حتى تقوم بتوليدها:

• Fractint (يعمل على مجموعة من منصات التشغيل)
• سترلينغ — برنامج توليد فركتلات محسن يخص أنظمة مايكروسوفت ويندوز من قبل ستيفن فيركسون.
• XaoS — برنامج سريع يعمل بالنظام الحقيقي يختص بنمذجة وتكبير الكسيريات (homepage).

التطبيقات في التكنولوجيا

يمكن وصف الهندسة الكسيرية بأنها النظام الحقيقى لكمية هائلة من الأنظمة الرياضية المعقدة في شكل تمثيلى قد تظهر من الوهلة الأولى أنها بلا نظامية إلا أنها الطريقة المثلى لتمثيل هذه البيانات. للكسيريات العشوائية تطبيقات هامة، ذلك أنه من الممكن استخدامها لوصف كائنات من العالم الحقيقي شديدة اللانظامية، أمثلة على ذلك الغيوم والجبال والاضطرابات والخطوط الساحلية والأشجار. تطبق التقنيات الكسيرية أيضاً في مجال ضغط الصور الفركتلي، بالإضافة إلى الكثير من المجالات الفهمية الأخرى.

هناك الكثير من التطبيقات للكسيريات في الحقول التالية:

• تصنيف الشرائح التي تصف تغير مراحل الأمراض في الطب,
• ابتكار أنواع جديدة من الموسيقى,
• تخلق أشكال جديدة في مجال الفن,
• ضغط الصورة والإشارة,
• فهم الزلازل,
• فهم الكون,
• تصميم الألعاب الحاسوبية وخاصة فيما يتعلق بالصور الحاسوبية الخاصة بالبيئات العضوية.

انظر أيضا

• تشعب (رياضيات)
• تأثير الفراشة
• نظرية الشواش
• تعقيد
• خوارزمية مربع الماس
• جريان مضطرب

المراجع

هندسة كسيرية في المشاريع الشقيقة

---

• صور وملفات صوتية من كومنز