عامل شدة الإجهاد، ${\displaystyle K}$

تعتمد شدة ${\displaystyle K$ على هندسة العينة، وحجم الصدع أوالثلم ومسقطهما، وشدة الأحمال وتنوع أوضاعها على المادة.

تتنبأ نظرية المرونة الخطية حتى توزع الإجهادات (${\displaystyle {\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}}_{ij}}$${\displaystyle r,\theta$${\displaystyle r,\theta$${\displaystyle r,\theta$) عند وضع مبدأ الإحداثيات عند حافة الصدع، يأخذ الشكل التالي:

${\displaystyle \sigma _{ij (r,\theta )={\frac {K {\sqrt {2\pi r \,f_{ij (\theta )+\,\,{\rm {higher\,order\,terms$

حيث ${\displaystyle K}$

عوامل شدة الإجهاد لعدة أوضاع

تستخدم ثلاثة أوضاع مستقلة خطيًّا في ميكانيك الانكسار (ميكانيكا التصدع). تسمى أنواع التحميل هذه الوضع الأول والثاني والثالث على التتالي. الوضع الأول هووضع فتح (شد) يتباعد فيه سطحا الصدع مباشرةً عن بعضهما البعض. الوضع الثاني هووضع انزلاق (قص في المستوي) ينزلق فيه سطحا الصدع فوق بعضهما البعض باتجاه عمودي على الحافة القائدة للصدع. الوضع الثالث وضع تشقق (قص فراغي أوقص متعدد المستويات) يتحرك فيه سطحا الصدع بالنسبة لبعضهما البعض بشكل موازٍ للحافة القائدة للصدع. الوضع الأول هوالأكثر شيوعًا في التصاميم الهندسية.

تستخدم أرقام دلالية مختلفة لتخصيص عامل شدة الإجهاد للأوضاع الثلاثة المتنوعة، عامل شدة الإجهاد للوضع الأول يرمز له ${\displaystyle K_{\rm {I$ ويطبق على وضع انفتاح الصدع. عامل شدة الإجهاد للوضع الثاني ${\displaystyle K_{\rm {II$، يطبق على وضع انزلاق الصدع، أما عامل شدة الإجهاد للوضع الثالث ${\displaystyle K_{\rm {III$، يطبق على وضع التمزق. تعرّف هذه العوامل بشكل رسمي على أنها على التتالي:

${\displaystyle {\begin{aligned K_{\rm {I &=\lim _{r\rightarrow 0 {\sqrt {2\pi r \,\sigma _{yy (r,0)\\K_{\rm {II &=\lim _{r\rightarrow 0 {\sqrt {2\pi r \,\sigma _{yx (r,0)\\K_{\rm {III &=\lim _{r\rightarrow 0 {\sqrt {2\pi r \,\sigma _{yz (r,0)\,.\end{aligned$

علاقة العامل بمعدل تحرير الطاقة وتكامل المسار الحدودي

في شروط الإجهاد المستوي،قد يكون معدل تحرير طاقة الانفعال (${\displaystyle G$) لأجل صدع يخضع للتحميل من الوضع الأول الصافي أوالوضع الثاني الصافي متعلقًا بعامل شدة الإجهاد وفق:

${\displaystyle G_{\rm {I =K_{\rm {I ^{2 \left({\frac {1 {E \right)$

${\displaystyle G_{\rm {II =K_{\rm {II ^{2 \left({\frac {1 {E \right)$

حيث${\displaystyle E}$${\displaystyle \nu$ نسبة بواسون (معامل بواسون) للمادة. يفترض حتى المادة متناظرة (إيزوتروبية)، ومتجانسة، ومرنة خطيًّا. افتُرض حتى الصدع يمتد على اتجاه الصدع الابتدائي.

لأجل شروط الانفعال المستوي، تكون العلاقة المكافئة أكثر تعقيدًا بقليل:

${\displaystyle G_{\rm {I =K_{\rm {I ^{2 \left({\frac {1-\nu ^{2 {E \right)\,$

${\displaystyle G_{\rm {II =K_{\rm {II ^{2 \left({\frac {1-\nu ^{2 {E \right)\,.$

للتحميل وفق الوضع الثالث الصافي:

${\displaystyle G_{\rm {III =K_{\rm {III ^{2 \left({\frac {1 {2\mu \right)=K_{\rm {III ^{2 \left({\frac {1+\nu {E \right)$

حيث ${\displaystyle \mu$ معامل القص. يبقى الجمع الخطي سليمًا عند التحميل العام في الانفعال المستوي :

${\displaystyle G=G_{\rm {I +G_{\rm {II +G_{\rm {III \,.$

يمكن الحصول على علاقة مماثلة للانفعال المستوي بإضافة إسهامات الأوضاع الثلاث.

يمكن استعمال العلاقات السابقة أيضًا للربط بين تكامل المسار الحدودي (التكامل جيه) وعامل شدة الإجهاد لأن:

${\displaystyle G=J=\int _{\Gamma \left(W~dx_{2 -\mathbf {t \cdot {\cfrac {\partial \mathbf {u {\partial x_{1 ~ds\right)\,.$

عامل شدة الإجهاد الحرج

عامل شدة الإجهاد، ${\displaystyle K$، بارامتر يضخم شدة الجهد المطبق الذي يتضمن البارامتر الهندسي ${\displaystyle Y$ (نوع الحمل). تتناسب شدة الإجهاد في أي وضع تناسبًا طرديًّا مباشرًا مع الحمل المطبق على المادة. إذا أمكن خلق صدع حاد جدًّا أوثلم على شكل حرف فّي في مادة، يمكن تحديد القيمة الأصغرية للمقدار ${\displaystyle K_{\mathrm {I$ تجريبيًّا، وهي القيمة الحرجة (الحدية) لعامل شدة الإجهاد المطلوبة لتشكيل الصدع. تسمى هذه القيمة الحرجة المحددة للتحميل بالوضع الأول في الانفعال المستوي باسم حد المتانة الحرج (${\displaystyle K_{\mathrm {Ic$) للمادة. ${\displaystyle K_{\mathrm {Ic$ له واحدة الإجهاد مضروبًا بجذر المسافة (أي MN/m^3/2). تشير واحدات ${\displaystyle K_{\mathrm {Ic$ إلى حتى إجهاد الكسر للمادة يجب حتى يحدث قبل مسافة ما حرجة لكي تصل القيمة إلى ${\displaystyle K_{\mathrm {Ic$ ويحدث تشكل الصدع. عامل شدة الإجهاد الحرج للوضع الأول،${\displaystyle K_{\mathrm {Ic$، هوأكثر بارامتر تصميمي استعمالًا في ميكانيك الانكسار ولذلك يجب فهمه إذا أردنا تصميم مواد لها سماحية للتصنادىت كما في الجسور، والأبنية، والطيارات، وحتى الأجراس.

لا يمكن للتجليخ (التلميع) اكتشاف الصدوع. عادةً، إذا كان بالإمكان رؤية الصدع فهوفي حالة قريبة جدًّا من حالة الإجهاد الحرج التي يتنبأ بها عامل شدة الإجهاد.

المعيار جي

المعيار جي (بالإنجليزية: G-criterion)‏ معيار تصدع يصف علاقة عامل شدة الإجهاد الحرج (أوحد المتانة) بعوامل شدة الإجهاد للأوضاع الثلاثة. يخط معيار الانهيار هذا كالتالي:

${\displaystyle K_{\rm {c ^{2 =K_{\rm {I ^{2 +K_{\rm {II ^{2 +{\frac {E' {2\mu \,K_{\rm {III ^{2$

حيث ${\displaystyle K_{\rm {c$ حد المتانة، ${\displaystyle E'=E/(1-\nu ^{2 )$ للانفعال المستوي و${\displaystyle E'=E$ للإجهاد المستوي. يُخط عامل شدة الإجهاد الحدي للإجهاد المستوي عادةً ${\displaystyle K_{\rm {c$.

أمثلة

صفيحة لا نهائية: إجهاد وحيد البعد متوزع بانتظام

عامل شدة الإجهاد لصدع مستقيم مفترض طوله ${\displaystyle 2a$ عمودي على اتجاه التحميل، في مستوٍ لانهائي، له حقل إجهاد منتظم ${\displaystyle \sigma$ يعطى بالعلاقة:

${\displaystyle K_{\mathrm {I =\sigma {\sqrt {\pi a$

تشقق على شكل بترة نقدية في مجال لا نهائي

عامل شدة الإجهاد عند حافة تشقق على شكل بترة نقدية نصف قطرها ${\displaystyle a$ في مجال لانهائي خاضع لإجهاد شد وحيد البعد ${\displaystyle \sigma$ هو:

${\displaystyle K_{\rm {I ={\frac {2 {\pi \sigma {\sqrt {a\pi \,.$

صفيحة محدودة: إجهاد وحيد البعد متوزع بانتظام

إذا توضع الصدع مركزيًّا على صفيحة محدودة عرضها ${\displaystyle 2b$ وارتفاعها ${\displaystyle 2h$، يعطى عامل شدة الإجهاد بالعلاقة التقريبية التالية:

${\displaystyle K_{\rm {I =\sigma {\sqrt {\pi a \left[{\cfrac {1-{\frac {a {2b +0.326\left({\frac {a {b \right)^{2 {\sqrt {1-{\frac {a {b \right]\,.$

إذا لم يكن الصدع مركزيًّا بالنسبة للعرض، أي حتى ${\displaystyle d\neq b$، يمكن تقريب قيمة عامل شدة الإجهاد عند الموضع A من خلال منشور السلسلة:

${\displaystyle K_{\rm {IA =\sigma {\sqrt {\pi a \left[1+\sum _{n=2 ^{M C_{n \left({\frac {a {b \right)^{n \right]$

حيث يمكن إيجاد العوامل ${\displaystyle C_{n$ من خلال الملاءمة مع منحنيات شدة الإجهاد لأجل الكثير من قيم ${\displaystyle d$. يمكن إيجاد علاقة مماثلة (ولكن غير متطابقة) لأجل الحافة B من الصدع. من العلاقات البديلة لعوامل شدة الإجهاد عند A وB:

${\displaystyle K_{\rm {IA =\sigma {\sqrt {\pi a \,\Phi _{A \,\,,K_{\rm {IB =\sigma {\sqrt {\pi a \,\Phi _{B$

حيث

${\displaystyle {\begin{aligned \Phi _{A &:=\left[\beta +\left({\frac {1-\beta {4 \right)\left(1+{\frac {1 {4{\sqrt {\sec \alpha _{A \right)^{2 \right]{\sqrt {\sec \alpha _{A \\\Phi _{B &:=1+\left[{\frac {{\sqrt {\sec \alpha _{AB -1 {1+0.21\sin \left\{8\,\tan ^{-1 \left[\left({\frac {\alpha _{A -\alpha _{B {\alpha _{A +\alpha _{B \right)^{0.9 \right]\right\ \right]\end{aligned$

مع

${\displaystyle \beta :=\sin \left({\frac {\pi \alpha _{B {\alpha _{A +\alpha _{B \right)~,~~\alpha _{A :={\frac {\pi a {2d ~,~~\alpha _{B :={\frac {\pi a {4b-2d ~;~~\alpha _{AB :={\frac {4 {7 \,\alpha _{A +{\frac {3 {7 \,\alpha _{B \,.$

في العلاقات السابقة: ${\displaystyle d$ هي المسافة من مركز التشقق (الصدع) إلى النقطة المحيطية الأقرب A. لاحظ أنه عندما ${\displaystyle d=b$ لا يمكن تبسيط العلاقات السابقة إلى العلاقة التقريبية لصدع متمركز.

تشقق طرفي في صفيحة خاضعة لإجهاد وحيد البعد

لأجل صفيحة لها الأبعاد ${\displaystyle 2h\times b$ تحوي فيها تشققًا طرفيًا غير مقيد طوله ${\displaystyle a$، إذا كانت أبعاد الصفيحة تحقق ${\displaystyle h/b\geq 0.5$ و${\displaystyle a/b\leq 0.6$،قد يكون عامل شدة الإجهاد عند طرف التشقق الخاضع لإجهاد وحيد البعد ${\displaystyle \sigma$:

${\displaystyle K_{\rm {I =\sigma {\sqrt {\pi a \left[1.122-0.231\left({\frac {a {b \right)+10.55\left({\frac {a {b \right)^{2 -21.71\left({\frac {a {b \right)^{3 +30.382\left({\frac {a {b \right)^{4 \right]\,.$

لأجل الوضع الذي يحقق ${\displaystyle h/b\geq 1$ و${\displaystyle a/b\geq 0.3$، يمكن تقريب عامل شدة الإجهاد إلى:

${\displaystyle K_{\rm {I =\sigma {\sqrt {\pi a \left[{\frac {1+3{\frac {a {b {2{\sqrt {\pi {\frac {a {b \left(1-{\frac {a {b \right)^{3/2 \right]\,.$

تستخدم العينات الخاضعة لهذه الشروط بشكل رائج في اختبارات حد المتانة.

صفيحة لا نهائية: صدع مائل في حقل إجهادات ثنائي البعد

لأجل صدع مائل طوله ${\displaystyle 2a$ في حقل إجهادات ثنائي البعد بإجهاد ${\displaystyle \sigma$ في اتجاه المحور ${\displaystyle y$ (اتجاه العينات) وإجهاد ${\displaystyle \alpha \sigma$ في اتجاه المحور ${\displaystyle x$ (اتجاه السينات)، عوامل شدة الإجهاد هي:

${\displaystyle {\begin{aligned K_{\rm {I &=\sigma {\sqrt {\pi a \left(\cos ^{2 \beta +\alpha \sin ^{2 \beta \right)\\K_{\rm {II &=\sigma {\sqrt {\pi a \left(1-\alpha \right)\sin \beta \cos \beta \end{aligned$

حيث ${\displaystyle \beta$ الزاوية التي يصنعها الصدع مع محور ${\displaystyle x$.

صدع في صفيحة خاضع لقوة نقطية في داخل المستوي

لنأخذ صفيحة أبعادها ${\displaystyle 2h\times 2b$ تحتوي صدعًا طوله ${\displaystyle 2a$. تطبق قوة نقطية مركباتها ${\displaystyle F_{x$ و${\displaystyle F_{y$ على النقطة (${\displaystyle x,y$) من الصفيحة.

للحالة التي تكون فيها الصفيحة كبيرة مقارنةً بحجم الصدع ونقطة تأثير القوة قريبة نسبيًّا من الصدع -أي ${\displaystyle h\gg a$, ${\displaystyle b\gg a$, ${\displaystyle x\ll b$, ${\displaystyle y\ll h$${\displaystyle y\ll h$ - يمكن اعتبار الصفيحة لا نهائية. في هذه الحالة عوامل شدة الإجهاد للمركبة ${\displaystyle F_{x$ عند طرف الصدع B (${\displaystyle x=a$${\displaystyle x=a$${\displaystyle x=a$${\displaystyle x=a$) هي:

${\displaystyle {\begin{aligned K_{\rm {I &={\frac {F_{x {2{\sqrt {\pi a \left({\frac {\kappa -1 {\kappa +1 \right)\left[G_{1 +{\frac {1 {\kappa -1 H_{1 \right]\\K_{\rm {II &={\frac {F_{x {2{\sqrt {\pi a \left[G_{2 +{\frac {1 {\kappa +1 H_{2 \right]\end{aligned$

حيث

${\displaystyle {\begin{aligned G_{1 &=1-{\text{Re \left[{\frac {a+z {\sqrt {z^{2 -a^{2 \right]\,,\,\,G_{2 =-{\text{Im \left[{\frac {a+z {\sqrt {z^{2 -a^{2 \right]\\H_{1 &={\text{Re \left[{\frac {a({\bar {z -z) {({\bar {z -a){\sqrt {{\bar {z ^{2 -a^{2 \right]\,,\,\,H_{2 =-{\text{Im \left[{\frac {a({\bar {z -z) {({\bar {z -a){\sqrt {{\bar {z ^{2 -a^{2 \right]\end{aligned$

مع ${\displaystyle z=x+iy}$${\displaystyle \mathrm{\kappa <!--\; \kappa \; -->}=(3-<!--\; -\; -->\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->})/(1+\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->})}$${\displaystyle F_{y$ عند الطرف B محددًا وفق:

${\displaystyle {\begin{aligned K_{\rm {I &={\frac {F_{y {2{\sqrt {\pi a \left[G_{2 -{\frac {1 {\kappa +1 H_{2 \right]\\K_{\rm {II &=-{\frac {F_{y {2{\sqrt {\pi a \left({\frac {\kappa -1 {\kappa +1 \right)\left[G_{1 -{\frac {1 {\kappa -1 H_{1 \right]\,.\end{aligned$

يمكن تحديد عوامل شدة الإجهاد عند الطرف A (${\displaystyle x=-a$) من العلاقات السابقة. لأجل الحمل ${\displaystyle F_{x$ المؤثر على النقطة ${\displaystyle (x,y)$:

${\displaystyle K_{\rm {I (-a;x,y)=-K_{\rm {I (a;-x,y)\,,\,\,K_{\rm {II (-a;x,y)=K_{\rm {II (a;-x,y)\,.$

وبشكل مشابه لأجل الحمل ${\displaystyle F_{y$${\displaystyle K_{\rm {I (-a;x,y)=K_{\rm {I (a;-x,y)\,,\,\,K_{\rm {II (-a;x,y)=-K_{\rm {II (a;-x,y)\,.$

انظر أيضًا

• ميكانيكا تصدع
• حد المتانة
• معدل انبعاث طاقة الإجهاد
• نظرية فشل المواد

مراجع