راديان

بعض الزوايا الشهيرة مقاسة بالراديان

طول قوس الدائرة مساوي لنصف قطرها يعادل زاوية بمقدار واحد راديان (rad) طول تام قوس الدائرة يعادل زاوية بمقدار 2 راديان

الزاوية نصف القطرية أوالراديان أوالتقدير الدائري هي وحدة قياس للزوايا المستوية وهي الوحدة الرسمية المعتمدة ضمن النظام الدولي للوحدات المستخدمة في الرياضيات والفيزياء وتعهد بأنها الزاوية المركزية المتوضعة على مركز الدائرة والتي تحدد قوساً طوله مساوي لنصف قطر الدائرة. يعادل الراديان الواحد ${\displaystyle {\tfrac {180 {\pi$ درجات، أي بالتقريب ${\displaystyle 57.29578^{\circ$ .

رسميًا، فإنّ الراديان كمية لا بعدية، بعكس الثانية أوالمتر، فهومجرّد عدد. لذا فإنّ تدوين حدثة راديان (أوrad) هوللإيضاح فقط ويجب ألاّ يفهم منه أنّ له مفهومًا فيزيائيًا. عندما تخط الزاوية بدون أي علامة، يقصد بشكل عام حتى القيمة هي بالراديان، بينما تضاف العلامة ${\displaystyle ^{\circ$ للإشارة إلى الدرجة.

إنّ وحدة القياس الرسمية المعتمدة ضمن النظام الدولي للوحدات للزاوية الفراغية الصلبة هي الستراديان، وهي، كذلك مثل الراديان، كميّة لابعديّة لأنها خارج مساحة على مساحة.

تعريف

يعرّف الراديان الواحد على أنّه الزاوية المركزيّة في دائرة التي تقابل قوسًا طوله مساوٍ لطول نصف قطر الدائرة.

زاوية مركزيّة مقدارها 1 راديان تكون لقاءة لقوس طوله يساوي طول نصف قطر الدائرة

وبشكل عام، فإنّ مقدار أي زاوية مركزيّة يحصرها نصفا قطر ما بالراديان تساوي النسبة بين طول القوس اللقاء للزاوية وبين نصف قطر الدائرة، أي أنّ:

{\displaystyle \theta ={\frac {l {R

بحيث أنّ:

{\displaystyle \theta

هي الزاوية المركزيّة،

{\displaystyle l

هوطول القوس،

و

{\displaystyle R

هوطول نصف قطر الدائرة.

باللقاء، فبالإمكان حساب طول قوس في دائرة نصف قطرها ${\displaystyle R$ يقابل زاوية مركزية مقدارها ${\displaystyle \theta$ : ${\displaystyle l=\theta \cdot R$

من هذا القانون بالإمكان الاستدلال على مقدار الراديان الواحد. فإنّ زاوية دائرية كاملة تعادل ${\displaystyle 360^{\circ$ ، وهي تقابل قوسًا يساوي جميع محيط الدائرة، لذا فإنّ مقدارها بالراديان هو: ${\displaystyle {\tfrac {2\pi R {R =2\pi$ . إذا كانت زاوية مقدارها 360 درجة تعادل ${\displaystyle 2\pi$ راديان، فيعادل الراديان الواحد ${\displaystyle {\tfrac {180 {\pi$ درجة.

تاريخ

أوّل من أتى بفكرة الراديان كان الرياضي البريطاني روجر كوتس، عام 1714. مع أنّه لم يطلق على الفكرة حدثة راديان، فقد فهم كوتس مدى بديهيّة المفهوم كوحدة للقياس الزاوي.

تحويل بين الراديان والدرجة

للتحويل من راديان إلى درجات يجب حتى نضرب الراديان بالقيمة ${\displaystyle {\tfrac {180 {\pi$ . عملى سبيل المثال:

{\displaystyle 1\ {\mbox{rad ={\frac {180 {\pi \approx 57.29578^{\circ

{\displaystyle {\frac {\pi {3 \ {\mbox{rad ={\frac {\pi {3 \cdot {\frac {180 {\pi =60^{\circ

وباللقاء، فللتحويل من درجات إلى راديان، يجب حتى نضرب بالقيمة ${\displaystyle {\tfrac {\pi {180$ :

{\displaystyle 1^{\circ ={\frac {\pi {180 \approx 0.01745\ {\mbox{rad

{\displaystyle 90^{\circ =90\cdot {\frac {\pi {180 ={\frac {\pi {2 \ {\mbox{rad

إمكانيّة أخرى هي تحويل مقدار الزاوية بالراديان إلى عدد الدورانات بواسطة القسمة على ${\displaystyle 2\pi$ . فمثلاً، إنّ ${\displaystyle 6\pi \ {\mbox{rad$ تعادل ثلاثة دورات كاملة.

قائمة بأكثر الزوايا شيوعًا وقيمها بالدرجات وبالراديان
جزء الدائرة	${\displaystyle 0$	${\displaystyle {\tfrac {1 {12$	${\displaystyle {\tfrac {1 {8$	${\displaystyle {\tfrac {1 {6$	${\displaystyle {\tfrac {1 {4$	${\displaystyle {\tfrac {1 {2$	${\displaystyle {\tfrac {3 {4$	${\displaystyle 1$
الزاوية بالدرجات	${\displaystyle 0^{\circ$	${\displaystyle 30^{\circ$	${\displaystyle 45^{\circ$	${\displaystyle 60^{\circ$	${\displaystyle 90^{\circ$	${\displaystyle 180^{\circ$	${\displaystyle 270^{\circ$	${\displaystyle 360^{\circ$
الزاوية بالراديان	${\displaystyle 0$	${\displaystyle {\tfrac {\pi {6$	${\displaystyle {\tfrac {\pi {4$	${\displaystyle {\tfrac {\pi {3$	${\displaystyle {\tfrac {\pi {2$	${\displaystyle \pi$	${\displaystyle {\tfrac {3\pi {2$	${\displaystyle 2\pi$

التحليل البعدي

كثيرًا ما يستخدم الراديان كوحدة القياس المفضّلة في الكثير من المجالات. ففي حساب التفاضل والتكامل، مثلاً، يساعد كون الراديان كميّة غير بعديّة في صياغ المعادلات والبراهين، وهذا بسبب عدم وجود حاجة إلى "إلغاء" وحدة القياس.

إنّ استعمال الراديان، خاصّة في الدوال المثلثية كالجيب وجيب التمام وغيرها، هوبسيط. فمثلاً بواسطة الراديان بالإمكان برهنة نهاية الدالة الآتية:

{\displaystyle \lim _{h\rightarrow 0 {\frac {\sin h {h =1,

وهي نتيجة أساسيّة. كذلك، بالإمكان برهنة عدد من المعادلات المثلثية:

{\displaystyle {\frac {d {dx \sin x=\cos x

{\displaystyle {\frac {d^{2 {dx^{2 \sin x=-\sin x.

بسبب مثل هذه الخواص وغيرها، قد تظهر الدوال المثلثية بالتمثيل الرادياني في سياقات قد لا تمت بصلة مباشرة للمفهوم الهندسي الأصلي لتلك الدوال. فمثلاً، تكون هذه الدوال حلاًّ للمعادلة التفاضلية التالية: ${\displaystyle {\frac {d^{2 y {dx^{2 =-y$ .

طريقة أخرى لرؤية الفائدة من وراء كون الراديان كميّة لا بعدية تظهر عند التمعن بمتسلسلة تايلور للدوال المثلثيّة:

{\displaystyle sin(x)=x-{\frac {x^{3 {3! +{\frac {x^{5 {5! -{\frac {x^{7 {7! +\ldots

فإذا لم يكن الراديان كميّة غير بعديّة، لما كان بإمكان متسلسلة تايلور حتى تخط بهذه البساطة، إذ كان يتوجّب إلغاء البعد الفيزيائي للكمية لكي نتمكن من جمع جميع الحدود، لأنّ جميع منها بقوّة مختلفة. فلا يمكن حتى نجمع حدًا بُعده متر وحدًا بُعده متر ${\displaystyle ^{3$ .

الاستعمال في الفيزياء

إنّ استعمال وحدة الراديان في الفيزياء أمر رائج لقياس الزوايا. عملى سبيل المثال، تقاس السرعة الزاوية في غالب الأحيان بوحدات راديان في الثانية ( ${\displaystyle {\tfrac {rad {sec^{2$

يعود سبب الاستعمال الشائع للراديان في الفيزياء إلى نفس مسببات استعماله في الرياضيات - فإنّ استعمال الكمية يبسط الأمور في الكثير من الأحيان.

انظر أيضا

ستراديان
سرعة زاوية
تردد زاوي

مراجع

↑ العنوان : Quantities and units—Part 1: General — الاصدار الأول — الباب: 6.5.3 — الصفحة: 18 — الناشر: المنظمة الدولية للمعايير وسم <ref> غير صالح؛ الاسم "04236527a1d6139c066bc969a1e83e439efc00ba" معهد أكثر من مرة بمحتويات مختلفة.
^ النص الكامل متوفر في: https://www.bipm.org/utils/common/pdf/si-brochure/SI-Brochure-9.pdf — العنوان : The International System of Units — الاصدار التاسع — الناشر: المخط الدولي للأوزان والمقاييس — ISBN 978-92-822-2272-0
↑ النص الكامل متوفر في: https://www.bipm.org/utils/common/pdf/si-brochure/SI-Brochure-9-concise-EN.pdf — العنوان : SI A concise summary of the International System of Units, SI
^ النص الكامل متوفر في: http://www.wurvoc.org/vocabularies/om-1.8/?exportFormat=application%2Fx-turtle — الرخصة: Creative Commons Attribution 3.0 Netherlands
^ النص الكامل متوفر في: http://www.wurvoc.org/vocabularies/om-1.8/?exportFormat=application%2Fx-turtle — العنوان : Quantities and units—Part 3: Space and time — الاصدار الأول — الباب: 3-5.a — الناشر: المنظمة الدولية للمعايير
^ قاموس المورد، البعلبكي، بيروت، لبنان.

في كومنز صور وملفات عن: راديان

[04236527a1d6139c066bc969a1e83e439efc00ba-1] العنوان : Quantities and units—Part 1: General — الاصدار الأول — الباب: 6.5.3 — الصفحة: 18 — الناشر: المنظمة الدولية للمعايير وسم <ref> غير صالح؛ الاسم "04236527a1d6139c066bc969a1e83e439efc00ba" معهد أكثر من مرة بمحتويات مختلفة.

[2561ab550ec0a4062942601b60cd51b1bdc8e51c-2] النص الكامل متوفر في: https://www.bipm.org/utils/common/pdf/si-brochure/SI-Brochure-9.pdf — العنوان : The International System of Units — الاصدار التاسع — الناشر: المخط الدولي للأوزان والمقاييس — ISBN 978-92-822-2272-0

[107ecbc3e9b9a765bb6091481fe72ce92e0a26ba-3] النص الكامل متوفر في: https://www.bipm.org/utils/common/pdf/si-brochure/SI-Brochure-9-concise-EN.pdf — العنوان : SI A concise summary of the International System of Units, SI

[0f02f7bc6eefb27757fd16cd7be43df7b99ce334-4] النص الكامل متوفر في: http://www.wurvoc.org/vocabularies/om-1.8/?exportFormat=application%2Fx-turtle — الرخصة: Creative Commons Attribution 3.0 Netherlands

[6303ab82ec4fa69e3d8777b07c40c65ca124aacf-5] النص الكامل متوفر في: http://www.wurvoc.org/vocabularies/om-1.8/?exportFormat=application%2Fx-turtle — العنوان : Quantities and units—Part 3: Space and time — الاصدار الأول — الباب: 3-5.a — الناشر: المنظمة الدولية للمعايير

[6] قاموس المورد، البعلبكي، بيروت، لبنان.

الزوايا
جزء من سلسلة منطقات حول

وفق القياس زاوية مُنعدمة زاوية حادة زاوية قائمة زاوية منفرجة زاوية مستقيمة زاوية منعكسة
وفق العلاقات البينية زاويتان متجاورتان. زاويتان متتامتان. زاويتان متكاملتان. زاويتان متقابلتان بالرأس.
الناتجة عن قاطع زوايا داخلية زوايا خارجية زوايا متبادلة داخلياً زوايا متبادلة خارجياً زوايا متحالفة زوايا متناظرة
قياس الزوايا درجة راديان
بوابة هندسة رياضية