جداء

في الرياضيات، الجُدَاءُ (بالإنجليزية: Product)‏ هونتيجةُ عمليةِ ضربِ كميتينِ. الترتيب الذي تأتي فيه الأعداد الحقيقية أوالعقدية في عملية الضرب ليس له تأثير على قيمة الجداء. هذه الخاصية تعني حتى عملية الضرب هي عملية تبديلية.

جداء عددين

جداء عددين طبيعيين

3 في أربعة تساوي 12

وضع عدد من الكرات على شكل مستطيل عدد أسطره ${\displaystyle r$ وعدد أعمدته ${\displaystyle s$ يعطي :

{\displaystyle r\cdot s=\sum _{i=1 ^{s r=\sum _{j=1 ^{r s

كرة.

جداء عددين سليمين

{\displaystyle {\begin{array {|c|c c| \hline \cdot &-&+\\\hline -&+&-\\+&-&+\\\hline \end{array

وبتعبير آخر:

جداء عددين سالبين يساوي عددا موجبا.
جداء عدد سالب وعدد موجب يساوي عددا سالبا.
جداء عدد موجب وعدد سالب يساوي عدد سالبا.
جداء عددين موجبين يساوي عددا موجبا.

جداء كسرين

جداء كسرين هوكسر بسطه يساوي جداء بسط الكسرين ومقامه يساوي جداء مقام الكسرين، كما تبين ذلك الصيغة التالية:

{\displaystyle {\frac {z {n \cdot {\frac {z' {n' ={\frac {z\cdot z' {n\cdot n'

جداء عددين حقيقيين

جداء عددين عقديين

يحسب جداء عددين عقديين باستعمال قانون التوزيعية وبفهم كون ${\displaystyle \mathrm {i ^{2 =-1$ كما تبين ذلك الصيغة التالية:

{\displaystyle {\begin{aligned (a+b\,\mathrm {i )\cdot (c+d\,\mathrm {i )&=a\cdot c+a\cdot d\,\mathrm {i +b\cdot c\,\mathrm {i +b\cdot d\cdot \mathrm {i ^{2 \\&=(a\cdot c-b\cdot d)+(a\cdot d+b\cdot c)\,\mathrm {i \end{aligned

المعنى الهندسي لجداء عددين عقديين

عدد عقدي في تمثيله القطبي.

يمكن حتى تخط الأعداد العقدية في النظام الإحداثي القطبي كما يلي:

{\displaystyle a+b\,\mathrm {i =r\cdot (\cos(\varphi )+\mathrm {i \sin(\varphi ))=r\cdot \mathrm {e ^{\mathrm {i \varphi

وبالإضافة إلى ذلك،

{\displaystyle c+d\,\mathrm {i =s\cdot (\cos(\psi )+\mathrm {i \sin(\psi ))=s\cdot \mathrm {e ^{\mathrm {i \psi

, ومن ذلك يحصل على ما يلي:

{\displaystyle (a\cdot c-b\cdot d)+(a\cdot d+b\cdot c)\,\mathrm {i =r\cdot s\cdot (\cos(\varphi +\psi )+\mathrm {i \sin(\varphi +\psi ))=r\cdot s\cdot \mathrm {e ^{\mathrm {i (\varphi +\psi )

المعنى الهندسي لجداء عددين عقديين هوجداء معياريهما وجمع عمدتيهما.

الجداءات في الجبر الخطي

الجداء القياسي

جداء قياسي هوتطبيق ثنائي الخطية:

{\displaystyle \cdot :V\times V\rightarrow \mathbb {R

بالشروط التالية، ${\displaystyle v\cdot v>0$ من أجل جميع ${\displaystyle 0\not =v\in V$ .

من الجداء القياسي، يمكننا تحديد معيار بجعل ${\displaystyle \|v\|:={\sqrt {v\cdot v$ .

الجداء القياسي يمكن أيضا من تعريف الزاوية المحصورة بين متجهتين كما يلي:

{\displaystyle \cos \angle (v,w)={\frac {v\cdot w {\|v\|\cdot \|w\|

في فضاء إقليدي بُعده ${\displaystyle n$

{\displaystyle \left(\sum _{i=1 ^{n \alpha _{i e_{i \right)\cdot \left(\sum _{i=1 ^{n \beta _{i e_{i \right)=\sum _{i=1 ^{n \alpha _{i \,\beta _{i

الجداء الاتجاهي في الفضاء ثلاثي الأبعاد

جداء مصفوفتين

لتكن المصفوفتين

{\displaystyle A=(a_{i,j )_{i=1\ldots s;j=1\ldots r \in \mathbb {R ^{s\times r

و

{\displaystyle B=(b_{j,k )_{j=1\ldots r;k=1\ldots t \in \mathbb {R ^{r\times t

جذاؤهما هو:

{\displaystyle B\cdot A=\left(\sum _{j=1 ^{r a_{i,j \cdot b_{j,k \right)_{i=1\ldots s;k=1\ldots t \;\in \mathbb {R ^{s\times t

هجريب دالتين خطيتين ممثلا بجداء مصفوفتين

جداء متتالية

يرمز إلى الجداء الخاص بجداء متتالية بواسطة الحرف اليوناني الكبير پي ${\displaystyle \prod _{i=1 ^{N u_{i =u_{1 \times u_{2 \times \cdots \times u_{N$

جداءات أخرى

هناك الكثير من أنواع الجداءات الأخرى اللائي يدرسن في الرياضيات:

جداء هادامار،
جداء كرونكر.
جداء الداخل
جداء الخارج
جداء عقدي، نظرية حول المنحنيات الإهليلجية.

انظر أيضا

بي (حرف).

مراجع

^ Moschovakis, Yiannis (2006). Notes on set theory (الطبعة 2nd). New York: Springer. صفحة 13. ISBN .
^ Boothby, William M. (1986). An introduction to differentiable manifolds and Riemannian geometry (الطبعة 2nd). Orlando: Academic Press. صفحة 200. ISBN .
^ Clarke, Francis (2013). Functional analysis, calculus of variations and optimal control. Dordrecht: Springer. صفحات 9–10. ISBN .