جيب التمام

في الرياضيات، السهم^{(ملاحظة 1)} أوجيب التمام (بالإنجليزية: Cosine)‏ هوأحد الدوال المثلثية الرئيسية، وهوالنسبة بين الضلع المحاذي لزاوية والوتر في مثلث ذي زاوية قائمة، حيثقد يكون الوتر هوالضلع اللقاء للزاوية القائمة.

الدوال المثلثية هي دوال لزوايا هندسية، وهي دوال مهمة عندما يُراد دراسة مثلث أوعرض ظواهرِ دورية. يمكن تعريف هذه الدوال كنسبة لأضلاع مثلث قائم يَحتوي تلك الزاويةَ أَوبشكل أكثر عمومية كإحداثيات على دائرة مثلثية أودائرة واحدية.

الدوال المثلثية هي دوال ترتبط بـالزاوية ، وهي مهمة في دراسة المثلثات وتمثيل الظواهر المتكررة (كالموجات). ويمكن تعريف الدوال المثلثية على أنهم نسب بين ضلعين في مثلث قائم فيه الزاوية المعنية. أوبشكل أوسع، كنسبة بين إحداثيات نقاط على دائرة الوحدة. ، ويعتبر دوما عند الإشارة إلى المثلثات حتى الحديث يدور حول مثلث في سطح مستوي (مستوى إحداثي أوإقليدي)، وذلك ليكون مجموع زوايا المثلث 180 درجة دائما. وهناك ثلاثة دوال مثلثية أساسية نوضحها للزاوية A وهي:

جيب الزاوية A، ويُرمز له بالرمز "جا A" (بالإنجليزية: Sin A)‏، ويساوي النسبة بين الضلع اللقاء للزاوية مقسوما على الوتر. (a مقسومة على h)
جيب تمام الزاوية A، ويُرمز له بالرمز "جتا A" (بالإنجليزية: Cos A)‏، ويساوي النسبة بين الضلع المجاور للزاوية مقسوما على الوتر. (b مقسومة على h)
ظل الزاوية A ، ويُرمز له بالرمز "ظا A" (بالإنجليزية: Tan A)‏، ويساوي (tan=sin/cos)، ويساوي النسبة بين الضلع اللقاء للزاوية والضلع المجاور لها. (الظل يساوي a مقسومة على b )

خصائص

دورية

دالة جيب التمام هي دالة دورية دورها $2π$ .

{\displaystyle \forall x\in \mathbb {R \quad \cos(x+2\pi )=\cos x

هذه الخاصية تتدفق بشكل طبيعي من التعريف انطلاقا من دائرة الوحدة. بتعبير أدق، هناك رقمان حقيقيان لهما نفس جيب التمام إذا كان مجموعهم أوفرقهم ينتمي إلى ${\displaystyle 2\pi \mathbb {Z$ .

زوجية

دالة جيب التمام هي دالة زوجية أي:

{\displaystyle \forall x\in \mathbb {R \quad \cos(-x)=\cos x

.

دالة عكسية

دالة جيب التمام هي دالة دورية وبالتالي غير تباينية. أيضا، نعتبر اقتصارها إلى $[0,π]$ التي هي تقابلية عند $[0,π]$ في المدى $[-1,1]$ ، ثم نعهد دالتها العكسية، قوس جيب التمام:

{\displaystyle {\begin{matrix \mathrm {arccos :&[-1,1]&\to &[0,\pi ]\\&x&\mapsto &\arccos x\end{matrix

التي تحقق:

{\displaystyle \forall x\in [0,\pi ]\quad \arccos(\cos x)=x

;

{\displaystyle \forall x\in [-1,1]\quad \cos(\arccos x)=x

النفاضل والتكامل

مشتق

مشتق الدالة هولقاء جيب الزاوية.

${\displaystyle \forall x\in \mathbb {R \quad \cos 'x=-\sin x$ .

مشتق عكسي

{\displaystyle \int \cos(x)dx=\sin(x)

.

نهايات

من أجل إلى جميع عدد حقيقي x، تكون دالة جيب التمام مستمرة عند النقطة a، لذلك تكون النهاية في هذه النقطة هي cos (a)، بتعبير آخر:

${\displaystyle \lim _{x\to a \cos(x)=\cos(a)$

أما بالنسبة لنهاية الدالة عند $\pm\infty$ ، فهي غير موجودة بسبب دورية الدالة

الشكل الأسي للدالة

لدينا:

${\displaystyle {\begin{aligned e^{i\theta &=\cos \theta +i\sin \theta \\[5pt]e^{-i\theta &=\cos \theta -i\sin \theta .\end{aligned$

من تلك الصيغ (صيغ أويلر)، يمكن كتابة دالة جيب التمام على هذا الشكل:

{\displaystyle \cos \theta ={\frac {e^{i\theta +e^{-i\theta {2 =\cosh(i\theta )

حيث $i$ هي الوحدة التخيلية التي مربعها يساوي الواحد، بتعبير آخر: ${\displaystyle i^{2 =-1$

قيم جيب التمام لبعض الزوايا

x (الزاوية)			جيب تمام الزاوية x
درجات	دائري	غراد	القيمة بالضبط	بالنظام العشري
0°	0	0^g	1	1
180°	${\displaystyle \pi$	200^g	$-1$	$-1$
15°	${\displaystyle {\frac {\pi {12$	16 ²⁄₃^g	${\displaystyle {\frac {{\sqrt {6 +{\sqrt {2 {4$	0,965925826289068
165°	${\displaystyle {\frac {11\pi {12$	183 1/3^g	${\displaystyle -{\frac {{\sqrt {6 +{\sqrt {2 {4$	$-0,965925826289068$
30°	${\displaystyle {\frac {\pi {6$	33 ¹⁄₃^g	${\displaystyle {\frac {\sqrt {3 {2$	0,866025403784439
150°	${\displaystyle {\frac {5\pi {6$	166 ²⁄₃^g	${\displaystyle -{\frac {\sqrt {3 {2$	$-0,866025403784439$
45°	${\displaystyle {\frac {\pi {4$	50^g	${\displaystyle {\frac {\sqrt {2 {2$	0,707106781186548
135°	${\displaystyle {\frac {3\pi {4$	150^g	${\displaystyle -{\frac {\sqrt {2 {2$	$-0,707106781186548$
60°	${\displaystyle {\frac {\pi {3$	66 ²⁄₃^g	${\displaystyle {\frac {1 {2$	0,5
120°	${\displaystyle {\frac {2\pi {3$	133 ¹⁄₃^g	${\displaystyle -{\frac {1 {2$	$-0,5$
75°	${\displaystyle {\frac {5\pi {12$	83 ¹⁄₃^g	${\displaystyle {\frac {{\sqrt {6 -{\sqrt {2 {4$	0,258819045102521
105°	${\displaystyle {\frac {7\pi {12$	116 ²⁄₃^g	${\displaystyle -{\frac {{\sqrt {6 -{\sqrt {2 {4$	$-0,258819045102521$
90°	${\displaystyle {\frac {\pi {2$	100^g	0	0
36°	${\displaystyle {\frac {\pi {5$	40^g	${\displaystyle {\frac {1+{\sqrt {5 {4$	0,8090169944
54°	${\displaystyle {\frac {3\pi {10$	60^g	${\displaystyle {\frac {\sqrt {10-2{\sqrt {5 {4$	0,5877852523
126°	${\displaystyle {\frac {7\pi {10$	140^g	${\displaystyle {\frac {\sqrt {10-2{\sqrt {5 {4$	0,5877852523

التعريف باستخدام الجداء القياسي

في هندسة المتجهات، يُعرَّف جيب التمام انطلاقا من الجداء القياسي للمتجهتين u وv ومعاييرها ||u|| و||v|| بواسطة:

${\displaystyle \cos(u,v)={\frac {\langle u,v\rangle {\|u\|\times \|v\|$

تمثيل بياني لدالة جيب التمام

دائرة الوحدة؛ وتعهد بأن الوتر فيها يساوي 1.

هذا الشكل المتحرك يوضح حساب موجة جيبية بواسطة دائرة وحدة . الموجة الجيبية يمكن حتى تمثل تيارا مترددا.

توضيح لدالة جيب التمام (بالأزرق)

{\displaystyle y=\cos {\theta

كنقطة تتحرك على دائرة الوحدة بزاوية θ بالتقدير الدائري.

في الدائرة المثلثية يعتبر جيب تمام زاوية في الدائرة المثلثية هوالإسقاط العمودي على المحور السيني (المحور الأفقي).

هذه موجة كاملة تنتشر إلى اليمين وموجة كاملة تنتشر إلى اليسار، جميع منهما يعادل دورة واحدة في دائرة وحدة. ويمكن استخدامها في حسابات التيار المتردد.

وهي دالة زوجية حيث حتى (Cos(-x) = Cos(x.

حساب جيب تمام الزاوية

يمكن التعبير عن جيب تمام الزاوية لزاوية x -معبرا عنها بالتقدير الدائري- بواسطة سلسلة تايلور التالية:

{\displaystyle {\begin{aligned \cos x&=1-{\frac {x^{2 {2! +{\frac {x^{4 {4! -{\frac {x^{6 {6! +\cdots \\&=\sum _{n=0 ^{\infty {\frac {(-1)^{n x^{2n {(2n)! .\end{aligned

هوامش

ملاحظة 1: هناك بعض المصادر العربية تستخدم حدثة "السهم" للتعبير عن الدالة المثلثية Versin كـ [1]، من الحدثة نفسها ترجمت إلى اللغة اللاتينية "Sagitta" للإشارة إلى تلك الدالة، وهي حدثة لاتينية تعني في الأصل سهم القوس.

مراجع

^ محمد علي التهانوي. موسوعة كشاف اصطلاحات الفنون والعلوم. تحقيق علي دحروج، نقل النص الفارسي إلى العربية عبد الله الخالدي، الترجمة الأجنبية جورج زيناتي. الجزء الثاني. ص. 1912 نسخة محفوظة 25 أكتوبر 2014 على مسقط واي باك مشين.

في كومنز صور وملفات عن: جيب التمام