جبر

مفهوم رياضي
المسمى العربي	فهم الجبر
المسمى اللاتيني	Algebra
الرمز العربي	غير معهد
الرمز اللاتيني	محمد بن موسى الخوارزمي - إيفاريست جالويس
رياضيون	نظرية الزمر - نظرية المجال - نظرية الحلقة
نظريات ومسلمات
خط ومراجع	{{{7

العالم المسلم الخوارزمي مؤسس فهم الجبر

الجَبْر هوفرع من فهم الرياضيات واتى اسم الجبر من كتاب عالم الرياضيات والفلكي والرحالة محمد بن موسى الخورازمي (الكتاب المختصر في حساب الجبر واللقاءة) الذي قدم العمليات الجبرية التي تنظم إيجاد حلول للمعادلات الخطية والتربيعية. والحدثة (الجبر) مأخوذة من اللغة العربية، ومعنى فهم الجبر في قاموس المعاني: (فَرْعٌ مِنَ الرِّيَاضِيَّاتِ يَقُومُ عَلَى إِحْلاَلِ الرُّمُوزِ مَحَلَّ الأَعْدَادِ المجْهُولَةِ أَوِ الْمَعْلُومَةِ ).[1]

ويشكل فهم الجبر أحد الفروع الثلاثة الأساسية في الرياضيات إضافة إلى الهندسة الرياضية والتحليل الرياضي ونظرية الأعداد والتباديل والتوافيق. ويهتم هذا الفهم بدراسة البنى الجبرية والتماثلات بينها، والعلاقات والكميات.

والجبر هومفهوم أوسع وأضم من الحساب أوالجبر الابتدائي. فهولا يتعامل مع الأرقام فحسب، بل يصوغ التعاملات مع الرموز والمتغيرات والفئات كذلك. ويصوغ الجبر البدهيات والعلاقات التي بواسطتها يمكن تمثيل أي ظاهرة في الكون. ولذا يعتبر من الأساسيات المنظمة لطرق البرهان.

الفرق بين معاني الجبر

يوجد لذالك الوصف نفس الاختلاف:

بدون المادة. تعني جزء من فهم الجبر، مثل الجبر الخطي، الجبر الابتدائي (قواعد معالجة-الرموز التي تدرس في مناهج الرياضيات كجزء من التعليم الأساسي والتعليم الثانوي) أوالجبر المجرد (دراسة الهياكل الجبرية مع المادة).
فهذا يعني إنه مثيل لبعض التراكيب المجردة، مثل جبر تبادلي أوالجبر الترابطي.
كما هوالحال في الجملة: الجبر التبادلي هودراسة الحلقات، الحلقات التبادلية، التي تعهد كلها بالجبر التبادلي على الأعداد السليمة.

مصطلح فهم الجبر أحياناً يستخدم للدلالة على عمليات وأساليب جبرية بينما الهيكل أوالبنية الأساسية لها لا تتعلق بفهم الجبر. على سبيل المثال، الجبر هوسلسلة لا نهائية من الممكن حتى تدل على سلسلة من الأساليب الحاسوبية دون استخدام مفاهيم لا نهائية من الجمع، الحدود والتقارب. الصفة "جبري" عادة تعني ما يتعلق بالجبر، كما في الهيكل الجبري . ولأسباب تاريخية، قد تعني أيضاً العلاقة بجذور معادلات متعددة الحدود، كما في العدد جبري، والإمتداد جبري أوالتعبير جبري

فهم الجبر كأحد فروع فهم الرياضيات

إن أبرز ما يُعهد به فهم الجبر هوتشابه عملياته الحسابية بالعمليات الحسابية البسيطة، إلا حتى الفرق أنه يتضمن متغيرات رياضية غير معروفة القيمة. هذه المتغيرات تمثّل أرقامًا لم تُعهد بعد (مجهولة) أوأرقامًا غير محددة (متغير أومُعامل)، مما يسمح للفرد حتى يُثبت صحة هذه الخصائص بغض النظر عن الأرقام محل النظر. مثلًا في هذه المعادلة التربيعية التالية:

أ س ² + ب س + ج = 0

أ وَ ب وَ ج مجاهيل وَ س مُعامل. وحل هذه المعادلة يحتاج حساب المجاهيل والتعبير عن قيمة المُعامل حساب علاقته بالمجاهيل، وبهذا يتم إعطاء حل للمعادلة المعينة بعد القيام بعمليةٍ حسابية بسيطة.

كما تطور فهم الجبر فقد توسع إلى اشياء أخرى غير عددية، مثل المتجهات والمصفوفات أومتعددة الحدود. ثم تم تلخيص الخصائص الهيكلية لهذه الاشياء غير العددية لتحديد الهياكل الجبرية مثل المجموعات، ودوائر والحقول والجبر. قبل القرن السادس عشر، تم تقسيم الرياضيات إلى قسمين فرعيين فقط هما الحساب والهندسة. على الرغم من بعض الأساليب التي وضعت في وقت قبل ذلك بكثير، ويمكن النظر لها في الوقت الحاضر كالجبر فان ظهور الجبر بعد ذلك بوقت قصير، وحساب التفاضل والتكامل كحقول فرعية صغيرة للرياضيات يعود فقط للقرن 16 أو17. أومن النصف الثاني من القرن 19 على الأقل، ظهرت الكثير من المجالات الجديدة للرياضيات، وبعضها ضمت فهم الجبر، إما كليا أوجزئيا.

ويتبع ذلك حتى الجبر بدلا من حتىقد يكون فرعا من فروع الرياضيات، أصبح هذه الأيام مجموعة من فروع طرق المشاركة الشائعة. وهذا يُرى بشكل واضح في تصنيف مواضيع الرياضيات حيث ولا واحد من مناطق المستويات الأولى (مدخلات الأعداد الثنائية) تسمى الجبر. في الحقيقة الجبر على وجه التقريب، هواتحاد أقسام 08-أنظمة الجبر العامة و12- نظرية الحقول ومتعددات الحدود و13- الجبر التبادلي و15-الجبر الخطي والمتعدد الخطي ؛نظرية المصفوفات و16-الحلقات الترابطية والجبر و17-الحلقات الغير ترابطية والجبر و18- نظرية التصنيف الجبر التماثلي و19-نظرية كاي و20- نظرية المجموعة. بعض مناطق المستوى الأول من الممكن تعتبر أنها تنتمي إلى الجبر بشكل جزئي مثل 11-نظرية الأعداد (بشكل عام لنظرية العدد الجبري) و14-الهندسة الجبرية.

الجبر الابتدائي هوجزء من الجبر الذي عادة يفهم في الصفوف الأولية للرياضيات.الجبر المجرد هواسم يعطى عادة لدراسة مؤسسي الجبر أنفسهم.

تاريخ

بداية الجبر كمجال من الرياضيات قد تكون بدايتها في نهاية القرن السادس عشر، مع عمل فرانسوا فييت . ومع ذلك يمكن اعتبار بعض الأعمال في وقت سابق بانها الجبر وتعتبر عهد ما قبل التاريخ من فهم الجبر.

عصور ما قبل التاريخ من الجبر

الصفحة الأولى من الكتاب المختصر في حساب الجبر واللقاءة للخوارزمي

يمكن تتبع جذور فهم الجبر إلى قدماء البابليين ، الذين طوروا نظاماً حسابياً متقدماً كان قادراً على القيام بعمليات حسابية بطريقة خوارزمية. فطور البابليون الصيغ لحساب الحلول لمسائل تُحل عادةً اليوم باستخدام المعادلات الخطية والمعادلات التربيعية والمعادلات الخطية غير المحددة. وعلى النقيض من ذلك، فإن معظم المصريين في ذلك العصر، وكذلك بالرياضيات اليونانية والصينية في الألفية الأولى قبل الميلاد، تحل عادةً مثل هذه المعادلات بالطرق الهندسية، مثل تلك التي وصفت في بردية ريند الرياضية وأصول أقليدس والفصول التسعة في الفن الرياضي. وفر العمل الهندسي لليونانيين، متميزاً بالعناصر، إطاراً لتعميم الصيغ ما وراء حل مسائل معينة إلى أنظمة أكثر عمومية من صياغة وحل المعادلات، وعلى الرغم من حتى هذا لم يلاحظ حتى تطورت الرياضيات في العصور الوسطى من الإسلام.

خضعت الرياضيات الإغريقية لتغير جذري في عصر أفلاطون. أنشأ الإغريق الجبر الهندسي حيث مثلت المصطلحات من جوانب الأشكال الهندسية، وكما جرت العادة بالخطوط التي كانت تحتوي على حروف مرتبطة بها.ديوفانتوس الإسكندري(القرن الثالث ميلادي)، يسمى أحيانا "والد الجبر" ، كان عالم رياضيات إغريقيا إسكندريا ومؤلف سلسلة من الخط تسمى ارثميتكا .تبحث خطه في حل المعادلات الجبرية. تأتي حدثة الجبر من اللغة العربية (الجبر بمعنى الترميم أوالاستعادة) وكما تأتي الكثير من أساليبها من الرياضيات العربية/ الإسلامية. أثرت التنطقيد التي نوقشت في أعلاه بشكل مباشر على محمد بن موسى الخوارزمي (عام 780-850). لاحقا، ألف كتاب المختصر في حساب الجبر واللقاءة، الذي أنشأ فهم الجبر كتخصص رياضيات مستقل عن الهندسة وفهم الحساب.

أكمل عالما الرياضيات الهيلينستيان هيروالسكندري وديوفانتس مثلهم مثل الفهماء الهنود في الرياضيات كبراهماغوبتا تعاليم المصريين والبابليين على الرغم من اعتبار كتابي أرثمتكا لديفانتوس والسيدهانتالبراهماغوبتا بمستوى أعلى . عملى سبيل المثال، تم وصف حل أول مسألة حسابية كاملة (مشتملة الصفر والقيمة السالبة) إلى المعادلات التربيعية من قبل براهماغوبتا في كتابه سيندهانتا. لاحقاً, طور الرياضيون العرب والمسلمون طرق جبر تصل مستويات عليا من الدقة والإتقان. وعلى الرغم من حتى ديفانتوس والبابليون استخدموا معظم الطرق الخاصة في حل المعادلات، كان لمساهمة الخوارزمي السبق الأساسي بذلك. فلقد حل الخوارزمي المعادلات الخطية والتربيعية بدون الحاجة لرمزية الجبر والأعداد السالبة أوالصفر، ومن ثم قام بتمييز الكثير من المعادلات التربيعية. عُرف عالم الرياضيات الاغريقي ديوفانتوس تاريخياً بلقب " والد الجبر"، ولكن برزت في الآونة الأخيرة نقاشات كثيرة حول ما إذا كان الخوارزمي (مؤسس فهم الجبر) يستحق هذا اللقب بدلا عن ديوفانتوس. حيث يشير مؤيدي ديوفانتوس إلى حقيقة حتى فهم الجبر المبتكر من قبل الخوارزمي أكثر بدائية مقارنة بالموجود في "أريثميتيكا"، وأن "أريثميتيكا" يتبع منهجية الاختصار بينما الجبر بلاغي تماماً. في حين يشير مؤيدي الخوارزمي إلى حقيقة أنه أدخل منهجية "التبسيط" و"الموازنة" (نقل التعابير السالبة إلى الجانب الآخر من المعادلة، أوبعبارة أخرى، حذف التعابير المتشابهة من كلا أطراف المعادلة) وهي المنهجية المعبر عنها في الأصل بحدثة "الجبر"، كما أنه منح شرحاً مفصلاً عن حل المعادلات التربيعية، مدعماً بالبراهين الهندسية، بينما عامل فهم الجبر كفهم مستقل بذاته. كما حتى "جبر" الخوارزمي ليس معني "بسلسلة من المسائل الرياضية التي يجب حلها، بل بعرضٍ يبدأ بتعابير بدائية، تعطي هجريباتهم جميع النماذج المحتملة للمعادلات، التي، من الان فصاعداً، ستشكل بوضوح موضوع الدراسة الحقيقي". تفهم الخوارزمي أيضاً المعادلة لذاتها و"بشكل عام، لم يكتف ببساطة وجود المعادلة في سياق حل المسألة، بل باستخدامها خصيصاً لتعريف فئة من المسائل اللانهائية.

نسب الفضل لعالم الرياضيات الفارسي عمر الخيام في تحديد أسس الهندسة الجبرية وإيجاد الحل الهندسي العام للمعادلة التكعيبية. كما أوجد عالم رياضيات فارسي آخر يدعى شرف الدين الطوسي مجموعة من الحلول الجبرية والعددية لحالات مختلفة من المعادلات التكعيبية، بالإضافة إلى أنه طور مفهوم الدوال. فهماء الرياضايات الهنديان مهافيرا وبهاسكارا الثاني، والفارسي الكرخي

، والصيني تشوشي جيه، قاموا بإيجاد حلول لحالات مختلفة من معادلات التكعيب ومعادلات الدرجة الرابعة والخامسة، والمعادلات كثيرة الحدود باستخدام الطرق العددية. في القرن الثالث عشر، اعتبر حل المعادلة التكعيبية من قبل ليوناردوفيبوناتشي بداية النهضة في فهم الجبر في أوروبا، في حين أخذ العالم الإسلامي في التراجع لصالح العالم الاوربي الذي نهض في مجال تطوير فهم الجبر.

تاريخ الجبر

يمثل عمل فرانسوا فييت في نهايات القرن السادس عشر بداية القواعد الكلاسيكية لفهم الجبر. في عام 1637م نشر رينيه ديكارت كتاب فهم الهندسة مخترعا بذلك الهندسة التحليلية وقدم المناهج الجبرية الحديثة. كان الحل الجبري العام لمعادلات التكعيب ومعادلات الدرجة الرابعة الذي تم وضعها في منتصف القرن السادس عشر، وقع رئيسي آخر في تطور فهم الجبر. وُضِعت فكرة المحددات من قبل عالم الرياضيات الياباني كوا سيكي في القرن السابع عشر الميلادي، تبع ذلك بشكل مستقل عالم الرياضيات غوتفريد لايبنتس بعد عشر سنوات، وذلك بهدف حل أنظمة المعادلات الخطية المتزامنة باستخدام المصفوفات. عمل غابرييل كرامرخلال القرن الثامن عشر على المصفوفات والمحددات. قام العالم جوزيف لوي لاغرانج بدراسة التباديل في منشورته المكونة من 1770 صفحة باسم "تأملات حول الحلول الجبرية للمعادلات" المكرسة لحلول المعادلات الجبرية، والتي قدم من خلالها معادلات لاجرانج . كان باولوروفيني أول إنسان يضع نظرية زمر التباديل، ومثل اسلافه كانت نظريته أيضا في سياق حل المعادلات الجبرية.

تم تطوير فهم الجبر المجرد في القرن التاسع عشر الميلادي، مستمداً من الرغبة في حل المعادلات، مركزاً في البداية على مايسمى حالياً بنظرية غالوا وعلى المسائل الإنشائية. [19]للجبر الحديث جذور عميقة من العمل والدراسة تصل للقرن التاسع عشر الميلادي، مثل أعمال ريتشارد ديدكايند Richard Dedekind وليوبلد كرونكر. كما يرتبط بفروع الرياضيات الأخرى مثل نظرية الأعداد الجبرية والهندسة الجبرية. كان جورج بيكوك هومن أسس التفكير البديهي في فهم الحساب والجبر. اكتشف أوغست دومورغان جبر العلاقات في كتابه منهج النظام المقترح للمنطق، ووضع جوزيه غيبس جبر المتجهات في وسط ثلاثي الأبعاد، كما طور آرثر كيلي جبر المصفوفات (وهوجبر غير تبادلي).

المجالات التي تحتوي على حدثة الجبر

مجالات الرياضيات:

الجبر الابتدائي، جزء من الجبر الذي عادة ما يتم تدريسه في مقررات الرياضيات الابتدائية.
الجبر المجرد، فيه بنية الهياكل الجبرية مثل الزمر، والحلقات والحقول التي تم تعريفها والتحقق منها بديهياً .
الجبر الخطي، والذي يتم دراسة خصائص محددة من المعادلات الخطية، وفضاء المتجهات والمصفوفات.
الجبر التبادلي ، دراسة الحلقات التبادلية
الجبر الكمبيوتر، تطبيق أساليب جبرية كالخوارزميات وبرامج الكمبيوتر.
الجبر التماثلي، دراسة الهياكل الجبرية التي تعتبر أساسية لدراسة الفضاء الطوبولوجي.
الجبر الكامل، الذي يتم فيها دراسة الخصائص المشهجرة بين جميع الهياكل الجبرية.
النظرية الجبرية للأعداد، حيث يتم دراسة خصائص الأعداد من وجهة نظر جبرية.
الهندسة الجبرية، وهي فرع من الهندسة، في شكل بدائي لتحديد المنحنيات والسطوح من قبل حلول المعادلات عديدة الحدود.
التوافيق الجبرية، تستخدم أساليب جبرية لدراسة مسائل التوافيق

الكثير من البنى الرياضية تسمى بالجبر :

الجبر المجرد أوبشكل أعم الجبر على حقل

يضم الجبر التجريدي أوالجبر على حقل الكثير من الأنواع:

الجبر التجميعي
الجبر غير التجميعي
جبر لاي
جبر هوبف
جبر النجمي سي
جبر التناظر
الجبر الخارجي
جبرالموترات
في نظرية القياس:
جبر سيجما
الجبر على مجموعة
في نظرية الفئات
في المنطق:
جبر العلاقات، حيث تكون المجموعة محدودة العلاقة مغلقة تحت عمليات معينة.
جبر بولياني, بناء يلخص الحساب مع القيم الحقيقية الخاطئة والسليمة
جبر هيتنج

الجبر الابتدائي

الموضوع الرئيسي: الجبر الابتدائي

مجموعة عبارات جبرية: 1- القوة (الأس). 2- معامل. 3- المدى. 4- المشغل. 5- الحد الثابت. x y c - المتغيرات / الثوابت.

الجبر الابتدائي هوأبسط شكل من الجبر. يتم تدريسها للطلاب الذين يفترض ألاقد يكون لديهم فهم بالرياضيات أكثر من المبادئ الأساسية لفهم الحساب. تحدث في فهم الحساب والأرقام فقط وعملياتهم الحسابية (: مثل +، -، ×، ÷). في الجبر، وغالبا ما تدل الأرقام عن طريق الرموز (: مثل A، N، X، Y أوZ). وهذا مفيد للأسباب التالية:

يتيح للصياغة عامة للقوانين الحسابية (: مثل أ + ب = ب + أ لجميع أ وب)، وهوالمستوى الأولى لاستكشاف منهجي للخصائص نظام العدد الحقيقي.
يتيح للإشارة إلى أرقام "غير معروف"، وصياغة المعادلات ودراسة كيفية حل هذه. (على سبيل المثال، "العثور على عدد x بحيث 3X + 1 = 10" أوالذهاب أبعد قليلا "العثور على عدد x مثل الفأس + ب = ج." هذه المستوى تؤدي إلى الاستنتاج أنه ليس من هذا النوع من أرقام محددة تسمح لنا لحلها، هذا الهدف من العمليات المعنية.)
يتيح الفرصة لصياغة العلاقات الوظيفية. (على سبيل المثال، "إذا كنت تبيع تذاكر X، ثم الربح الخاص بك سيكون 3X -عشرة دولار، أوF (X) = 3X - 10، حيث f هي وظيفة، وx هورقم لجميع والتي يتم تطبيقه على وظيفة". )

كثيرات الحدود

الرسم البياني لوظبفة متعددة الحدود من الدرجة الثالثة..

الموضوع الرئيسي: كثيرات الحدود

كثيرات الحدود هي هجريب جبري (عبارة رياضية) يتكون من مجموع عدد نهائي من الحدود الجبرية (الأطراف) الغير صفرية، جميع من هذه الحدود يتألف من حاصل ضرب عدد ثابت وعدد نهائي من المتغيرات المرفوعة لأس عدد سليم. على سبيل المثال س² + 2س - ثلاثة هي متعدد- الحدود في المتغير الوحيد س. يمكن اعادة كتابة كثيرات الحدود باستخدام الخواص التبادلية والترابطية والتوزيعية لعمليتي الجمع والضرب. على سبيل المثال، (س -1 ) (س + 3) تعبر عن كثيرة حدود، ولكن إذا تحدثنا بشكل دقيق فهي ليست كثيرة الحدود. دالة كثيرات الحدود هي دالة يتم تعريفها بواسطة كثيرة الحدود، أوعلى نحومكافئ، من خلال الهجريب الجبري لكثيرة الحدود. المثالان السابقان يعبران عن نفس دالة كثيرة الحدود.

هنالك اثنان من المشاكل المهمة والمتعلقة بالجبر، وهي: 1) تحليل كثيرة الحدود إلى عوامل اولية، أي التعبير عن كثيرة حدود معينة كناتج ضرب كثيرات حدود أخرى لا يمكن تحليلها إلى عوامل أولية أبسط, 2) حساب القاسم المشهجر الأكبر لكثيرة الحدود. المثال المذكور أعلاه لكثيرة الحدود يمكن تحليلها إلى عوامل أولية كالتالي: (س - 1) (س + 3). فئة من المشاكل ذات الصلة هي العثور على عبارات جبرية لجذور كثيرات الحدود في متغير واحد.

تعليم الجبر

انظر أيضا: تعليم الرياضيات

اقترح تدريس الجبر الابتدائي للطلاب ابتداء من عمر الحادية عشر، على الرغم من أنه في السنوات الأخيرة من الشائع حتى تبدأ الدروس العامة للجبر في الولايات المتحدة في مستوى الصف الثامن (≈ 13 عاما ±).

منذ عام 1997 بدأت جامعة فيرجينيا للتقنية وبعض الجامعات الأخرى في استخدام نموذج مخصص في تدريس الجبر والذي يجمع بين النتائج وردود العمل الفورية من برامج الحاسوب المتخصصة مع تعليم (واحد لواحد) ومجموعات دراسية مصغرة، الأمر الذي خفض التكاليف وزاد معدل إنجازات الطلاب.

الجبر المجرد

الموضوعات الرئيسية: الحبر المجرد والهيكلة الجبرية

الجبر المجرد يستمد المبادئ المشابهة في الجبر الابتدائي والجبر الحسابي للارقام لمفاهيم أكثر عموماً. هنا قائمة من المفاهيم الاساسية المدرجة في الجبر المجرد.

المجموعات: بدلاً من مجرد التعامل مع انواع مختلفة من الأرقام، الجبر المجرد يتعامل مع مفاهيم أكثر عموميةً من المجموعات: مجموعة من جميع المكونات (تسمى العناصر) المحددة بخاصية معينة للمجموعة. كافة المجموعات من الانواع المتشابهة من ارقام هي مجموعة. أمثلة أخرى على مجموعات كمجموعة المصفوفات المعكوسة (2*2)، كافة المجموعات متعددة الحدود من الدرجة الثانية ( ax²+bx+c), المجموعة المكونة من عوامل ثنائية الأبعاد في المستوى، ومختلف المجموعات المحدودة مثل المجموعات الدورية، وهي من مجموعة الاعداد السليمة النمطية ن . نظرية المجموعات هي فرع من المنطق وليست فرعا من الجبر عمليا.

العمليات الثنائية: يستخرج مفهوم الجمع (+) لإعطاء عملية ثنائية، ينطق عنها ∗. لا معنى لمفهوم العملية الثنائية دون المجموعة التي يتم بها تعريف العملية للعنصرين أ وب في المجموعة س. أ ∗ ب تعتبر عنصر آخر في المجموعة: تدعى هذه الحالة الإغلاق. يمكن حتى تكون كلا من عملية الجمع (+) والطرح (-) والضرب (×) والقسمة (÷) عمليات ثنائية عندما تعهد في مجموعات مختلفة كما في جمع وضرب المصفوفات، المتجهات ومتعددة الحدود.

العناصر المحايدة: تستخرج الأرقام صفر وواحد لإعطاء مفهوم العنصر المحايد للعملية. الصفر هوالعنصر المحايد لعملية الجمع والواحد هوالعنصر المحايد لعملية الضرب. لعملية ثنائية عامة ∗ العنصر المحايد يجب حتى يحقق المعادلة التالية: أ ∗ ي = أ . وي ∗ أ = أ. وهذا ينطبق أيضا على الجمع كما في المثال التالي: أ + 0 و0 + أ = أ وفي حالة الضرب أ × 1 = أ، و1 × أ = أ. لا يناسبكل المجموعات وهجريبات العملية عنصر محايد: على سبيل المثال، مجموعة الأعداد الطبيعية الموجبة (3,2,1، ...) ليس لها عنصر محايد للجمع.

العناصر العكسية: الأرقام السالبة تنشأ التزاماً لمفهوم العناصر العكسية. ففي حالة الجمع،قد يكون معكوس العدد (أ)، (-أ). أما في حالة الضرب فيُخط المعكوس (أ⁻¹). العنصر المعكوس على الناحيتين العامة أ⁻¹ يحقق الخاصية التالية: أ×أ⁻¹ = 1 وأ⁻¹×أ = 1.

العملية التجميعية: يحتوي جمع الأعداد السليمة على خاصية تسمى الخاصية التجميعية. بمعنى تجميع الأرقام داخل اقواس لتجمع لا تؤثر على حاصل الجمع. على سبيل المثال: (2+3)+4 = 2+(3+4) . بشكل عام يصبح القانون (أ × ب)×ج = أ×(ب×ج). يشهجر في هذه الخاصية معظم العمليات الثنائية، ماعدا الطرح اوالقسمة أوضرب الأوكتونيون.

العملية التبديلية: كلا من جمع وضرب الأعداد الحقيقة يعتبر عملية تبديلية. بمعنى ترتيب الأرقام في العملية لايؤثر على النتيجة. على سبيل المثال، 2+3 = 3+2 . بشكل عام هذا يصبح القانون: أ×ب = ب× أ. هذه الخاصية لاتنطبق لجميع العمليات الثنائية. على سبيل المثال، ضرب المصفوفات والضرب المركب المتعدد كلهما عمليات غير تبادلية.

مجموعات

الموضوع الرئيسي: زمرة (رياضيات)

انظر أيضا: نظرية الزمر

تجميع المفاهيم العلوية تعطي واحدة من أبرز القواعد في الرياضيات وهي:المجموعة. وتعهد المجموعة بأنها مجموعة ( ع ) مزودة بعملية ثنائية واحدة (أ)، يمكن تعريفها بأي طريقة مختارة، ولكن مع الخصائص والشروط التالية:

وجود هوية العنصر، حيث حتى جميع عضو(أ) ينتمي إلى المجموعة (س) فان حاصل ضرب العضو(أ) في أي عنصر في E وحاصل ضرب E في Aقد يكونان متطابقة
كل عنصر لديه معكوس: لكل عضوأ ينتمي إلى المجموعة (س) وجود عضوأ⁻¹ بحيث حاصل الضرب العضوبمعكوسه أ × أ⁻¹ أوأ⁻¹ × أ فالنتيجة مطابقة للعنصر . ==
خاصية العملية الترابطية: إذا أ وب وج هي أعضاء للمجموعة S، فإن العمليتين التاليتين مطابقتين لبعضهما البعض: (أ×ب)×ج = أ×(ب×ج).

وإذا هي مجموعة تبادلية تطبيق عملية على عضوين أ وب ينتمون للمجموعة س فإن أ×ب = ب×أ ويطلق على المجموعة في هذه الحالة بأنها زمرة أبيلية .

على سبيل المثال، مجموعة الأعداد السليمة في إطار عملية الجمع هي مجموعة. في هذه المجموعة، العنصر المحايد هوالصفر ومعكوس أي عنصر أ لهونقيض العنصر -أ. إذاً، تم استيفاء شرط الترابطيات، وذلك لأن لأي أعداد سليمة أ، ب، ج، (أ+ب)+ج = أ+(ب + ج)

الأرقام غير صفرية النسبية تشيل مجموعة تحت عملية الضرب. العنصر المحايد هو1، حيث حتى 1×أ = أ×1 لأي عدد نسبي. القيمة العكسية للعدد النسبي 1/أ هي حيث حتى أ×1/أ = 1

لا تشكل الأعداد السليمة تحت عملية الضرب مجموعة. لان مقلوب العدد السليم لايكون عدد سليم. على سبيل المثال، العدد السليم هوأربعة لكن مقلوب العدد أربعةقد يكون 1\4 وهوليس عدد سليم.

تدرس نظرية المجموعات في نظرية الزمر. يعد تصنيف الزمر المنتهية البسيطة النتيجة الرئيسية في هذه النظرية، نشر معظمها بين عامي 1955 و1983، والتي بدورها تقسم المجموعات المنتهية البسيطة إلى ما يقارب من 30 نوع أساسي.

تعد انصاف المجموعات المجموعات واشباه المجموعات والمونويد هياكل جبرية مماثلة للمجموعات، ولكنهم أكثر عمومية. ويشتملون على مجموعة وعملية ثنائية مغلقة، ولكنهم لا يحققون الشروط الأخرى بالضرورة. تحتوي نصف المجموعة على عملية ثنائية ترابطية. ولكن قد لايكون لها عنصر محايد. تعد المونويد نصف مجموعة تحتوي على عنصر محايد ولكن قد لايكون لها معكوس لكل عنصر. تحقق شبه المجموعة المتطلب الدال على امكانية أي عنصر للتحول إلى أي عنصر آخر إما من خلال ضرب اليسار أوضرب اليمين، ولكن في أي حالة العملية الثنائية قد لاتكون ترابطية.

تعد جميع المجموعات مونويد ، وتعد جميع المونويد انصاف مجموعات.

أمثلة
مجموعة:	عددطبيعي N		عدد سليم Z		عدد كسريQ (أيضاًعدد حقيقيR وعددمركب C))				الأعداد السليمة:نمطية 3: Z3 = {0, 1, 2
عملية	+	× (دون الصفر)	+	× (دون الصفر)	+	-	× (دون الصفر)	÷ (دون الصفر)	+	× (دون الصفر)
مُغلقة	نعم	نعم	نعم	نعم	نعم	نعم	نعم	نعم	نعم	نعم
مُطابقة	0	1	0	1	0	غ/م	1	غ/م	0	1
مُعاكس	غ/م	غ/م	-أ	غ/م	-أ	غ/م	1/أ	غ/م	0, 2, 1, على التوالي	غ/م, 1, 2, على التوالي
تجميعية	نعم	نعم	نعم	نعم	نعم	لا	نعم	لا	نعم	نعم
تبديلية	نعم	نعم	نعم	نعم	نعم	لا	نعم	لا	نعم	نعم
هيكلة	مونويد	مونويد	زمرة أبيلية	مونويد	زمرة أبيلية	شبه زمرة	زمرة أبيلية	شبه زمرة	زمرة أبيلية	زمرة أبيلية (Z₂)

الحلقات والحقول

الموضوعات الرئيسية: حلقة (رياضيات) وحقل رياضي

راجع أيضا: نظرية الحلقات وحقل رياضي

تمتلك المجموعات عملية ثنائية واحدة فقط. لشرح تام عن سلوك الأنواع المتنوعة من الأرقام والهياكل الرياضية بعاملين التي بحاجة إلى دراسة. وتعد اهمها الحلقات والحقول الرياضية.

تملكالحلقة الرياضية عاملين ثنائين (+) و(×)، مع الاخذ بالإعتبار بان × توزيعي أكثر من +. وفقا للعامل الأول (+) يشكل مجموعة تبادلية. ووفقا للعامل الثاني (×)قد يكون تجميعي، ولكنه لا يحتاج إلى عنصر محايد أومعكوس، لذالك القسمة غير مطلوبة. يخط العنصر المحايد الجمعي (+) 0 والمعكوس الجمعي من أ يخط -أ.

التوزيع ( يعمم قانون توزيع الأرقام، ويحدد الترتيب الذي ينبغي ان يُطبق على العوامل (تسمى الأولية). للأعداد السليمة (أ + ب) × جـ =أ × جـ + ب × جـ أيضا جـ × ( أ + ب) = جـ × أ + جـ × ب، ويسمى ذلك بتوزيع عملية الضرب × على الجمع +.

الاعداد السليمة تعبير مثال لحلقة . للأعداد السليمة خصائص اضافية تجعلها من مجال لا يتجزأ.

الحقل تعبير عن حلقة مع خاصية اضافية حيث جميع العناصر - عدا الصفر - تشكل الزمرة التبادلية -أوالابيلية- تحت ×. يتم كتابة المضاعف (×) كـ 1 ومعكوس المضاعف يخط ⁻¹أ .

الاعداد المنطقية، الاعداد الحقيقية والاعداد المركبة هي امثلة لحقول.

معادلات كثيرة الحدود ومعادلات جبرية

ولا تزال كثيرات الحدود تلعب دور في الجبر عندما تــُــناقــَـش المساواة ${\displaystyle {\mathcal { p(x)=0$ أي المعادلات كثيرة الحدود، وهي صنف من المعادلات الجبرية . ومعظم المشاكل التي تـُـناقـَـش من المعادلات الجبرية في الحاضر ما بقت تكون بسيطة ؛ بل تـُـناقش بأسلوب الجبر التجريدي ؛ ومن ضمنها معادلات ديوفانطس وغير تلك .

الجبر الكامل

من وجهة نظر الجبر الكامل، الجبر أوالجبر التجريدي هومجموعة ${\displaystyle n\,$

لذلك فإن العملية اللاشيئية حيث ${\displaystyle n=0\,$ يمكن حتى تمثل عنصرا وحيدا من ${\displaystyle A\,$ أوما يدعى بالثابت غالبا يرمز له بحرف مثل ${\displaystyle a\,$ .

باللقاء العملية الأحادية (حيث ${\displaystyle n=1\,$ ) ببساطة تعبير عن دالة من ${\displaystyle A\,$ إلى ${\displaystyle A\,$ يمثل غالبا برمز يوضع أمام مدخل العملية كأن نقول ${\displaystyle ~a\,$ . أما العملية الثنائية تمثل برمز يخط بين مدخلي العملية: ${\displaystyle a*b\,$ .

العمليات من رتب أعلى غالبا ما تمثل بشكل رمز دالة والمدخلات توجد ضمن قوسين: ${\displaystyle f(x,y,z)\,$ أو ${\displaystyle f(x_{1 ,...,x_{n )$ .

يعمد بعض الرياضيين أيضا إلى تعريف عمليات لامنتهية (حيث ${\displaystyle n=\infty \,$

يمكن حتى ننظر للجبر الكامل على أنه فرع خاص من نظرية النموذج نتعامل فيها مع البنى التي تملك عمليات فقط (أي دون علاقات)،يتم فيها الحديث عن بنى تستخدم معادلات فقط.

كائنات جبرية

تستخدم حدثة الجبر مع أنواع عديدة من البنى الجبرية :

دالة جبرية
جبر على حقل
جبر على مجموعة
جبر بولياني
جبر إف جبر إف المرافقفي نظرية التصنيف.
جبر سيغما.

مصادر

^ معنى فهم الجبر في قاموس المعاني http://www.almaany.com/ar/dict/ar-ar/جبر/
^ صبحا, د سليمان ابو(2014-03-01). . دار الأكاديميون للنشر والتوزيع. ISBN . مؤرشف من الأصل في 26 يناير 2020.
^ أديب, عادل نسيم (2009-01-01). . Al Manhal. ISBN . مؤرشف من الأصل في 26 يناير 2020.
↑ (Boyer 1991, "Europe in the Middle Ages" p. 258) "In the arithmetical theorems in Euclid's Elements VII-IX, numbers had been represented by line segments to which letters had been attached, and the geometric proofs in al-Khwarizmi's Algebramade use of lettered diagrams; but all coefficients in the equations used in the Algebra are specific numbers, whether represented by numerals or written out in words. The idea of generality is implied in al-Khwarizmi's exposition, but he had no scheme for expressing algebraically the general propositions that are so readily available in geometry."
^ 2010 Mathematics Subject Classification نسخة محفوظة 17 أكتوبر 2017 على مسقط واي باك مشين.
^ [[Struik, Dirk J. (1987). A Concise History of Mathematics. New York: Dover Publications. رقم دولي معياري للكتاب [[0-486-60255-
^ Boyer, Carl B. (1991), A History of Mathematics (Second Edition ed.), John Wiley & Sons, Inc., ISBN 0-471-54397-7
^ فلوريان كاجوري (2010).[ A History of Elementary Mathematics – With Hints on Methods of Teachinghttp://books.google.com.sa/books?id=gZ2Us3F7dSwC&pg=PA34&dq=&hl=ar#v=onepage&q=&f=false]. p. 34. رقم دولي معياري للكتاب 1-4460-2221-8
^ [[Roshdi Rashed (November 2009). Al Khwarizmi: The Beginnings of Algebra. Saqi Books. رقم دولي معياري للكتاب [[0-86356-430-5
^ Diophantus, Father of Algebra نسخة محفوظة 09 ديسمبر 2017 على مسقط واي باك مشين.
^ History of Algebra نسخة محفوظة 03 أكتوبر 2018 على مسقط واي باك مشين.
^ Josef W. Meri (2004).Medieval Islamic Civilisation . Psychology Press. p. 31. ISBN 978-0-415-96690-0. Retrieved 25 November 2012. نسخة محفوظة 13 سبتمبر 2014 على مسقط واي باك مشين.
^ [[Boyer, Carl B. (1991). A History of Mathematics (Second ed.). Wiley. pp. 178, 181. رقم دولي معياري للكتاب [[0-471-54397-7.
^ [[Boyer, Carl B. (1991). A History of Mathematics (Second ed.). Wiley. p. 228. رقم دولي معياري للكتاب [[0-471-54397-7.
^ (Boyer 1991, "The Arabic Hegemony" p. 229) "It is not certain just what the terms al-jabr and muqabalah mean, but the usual interpretation is similar to that implied in the translation above. The word al-jabr presumably meant something like "restoration" or "completion" and seems to refer to the transposition of subtracted terms to the other side of an equation; the wordmuqabalah is said to refer to "reduction" or "balancing" – that is, the cancellation of like terms on opposite sides of the equation."
^ (Boyer 1991, "The Arabic Hegemony" p. 230) "The six cases of equations given above exhaust all possibilities for linear and quadratic equations having positive root. So systematic and exhaustive was al-Khwarizmi's exposition that his readers must have had little difficulty in mastering the solutions."
^ Gandz and Saloman (1936), The sources of al-Khwarizmi's algebra, Osiris i, p. 263–277: "In a sense, Khwarizmi is more entitled to be called "the father of algebra" than Diophantus because Khwarizmi is the first to teach algebra in an elementary form and for its own sake, Diophantus is primarily concerned with the theory of numbers".
^ [[Rashed, R.; Armstrong, Angela (1994). The Development of Arabic Mathematics. Springer. pp. 11–2. رقم دولي معياري للكتاب 0-7923-2565-6.مركز المخطة الرقمية على الإنترنت [[29181926
^ [[O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F., Sharaf al-Din al-Muzaffar al-Tusi, تاريخ ماكتوتور لأرشيف الرياضيات ,[[University of St Andrews. نسخة محفوظة 23 يونيو2018 على مسقط واي باك مشين.
^ Victor J. Katz, Bill Barton; Barton, Bill (October 2007). "Stages in the History of Algebra with Implications for Teaching". Educational Studies in Mathematics (Springer Netherlands) 66 (2): 185–201 [192]. doi:10.1007/s10649-006-9023-7
^ (Boyer 1991, "The Arabic Hegemony" p. 239) "Abu'l Wefa was a capable algebraist as well as a trigonometer. ... His successor al-Karkhi evidently used this translation to become an Arabic disciple of Diophantus – but without Diophantine analysis! ... In particular, to al-Karkhi is attributed the first numerical solution of equations of the form ax2n + bxn = c (only equations with positive roots were considered),"
^ "The Origins of Abstract Algebra". University of Hawaii Mathematics Department. نسخة محفوظة 24 ديسمبر 2017 على مسقط واي باك مشين.
^ "The Collected Mathematical Papers".Cambridge University Press. نسخة محفوظة 06 مارس 2016 على مسقط واي باك مشين.
^ "Hull's Algebra https://query.nytimes.com/mem/archive-free/pdf?res=9E0DE5DA123AE733A25755C1A9619C946597D6CF]" (pdf). New York Times. July 16, 1904. Retrieved September 21, 2012]. نسخة محفوظة 27 أغسطس 2017 على مسقط واي باك مشين.
^ Quaid, Libby (September 22, 2008). "[Kids misplaced in algebra https://usatoday30.usatoday.com/news/nation/2008-09-22-357650952_x.htm]" (Report). أسوشيتد برس. Retrieved September 23, 2012. نسخة محفوظة 15 سبتمبر 2016 على مسقط واي باك مشين.
^ Hamilton, Reeve (7 September 2012). "[THE TEXAS TRIBUNE; U.T.-Arlington Adopts New Way to Tackle Algebra https://www.nytimes.com/2012/09/07/us/ut-arlington-adopts-new-way-to-tackle-algebra.html?_r=0]". The New York Times. Retrievedعشرة September 2012. نسخة محفوظة 26 سبتمبر 2017 على مسقط واي باك مشين.

خط على النت حول الجبر.
حلول لمسائل الجبر على النت.
دروس جبر على النت.
الجبر- أفكار أساسية ست فصول تغطي أساسيات الجبر.
أضواء على تاريخ الجبر
شرح المواضيع الأساسية في الجبر
I.N. Herstein: Topics in Algebra. ISBN 0-471-02371-X
R.B.J.T. Allenby: Rings, Fields and Groups. ISBN 0-340-54440-6

وصلات خارجية

مراجعات سباركنوت في الجبر I وII
ExampleProblems.com : أمثلة مسائل وحلولها حول أساسيات الجبر وجبر خطي.
Purplemath.com "مصادرك لدراسة الجبر"
(بالعربية) Forum non officiel :C.E.M Les frères Mezaache منتدى متوسطة الإخوة مزعاش تاجنانت ميلة الجزائر

ابحث عن جبر في ويكاموس.

[1] معنى فهم الجبر في قاموس المعاني http://www.almaany.com/ar/dict/ar-ar/جبر/

[2] صبحا, د سليمان ابو(2014-03-01). . دار الأكاديميون للنشر والتوزيع. ISBN . مؤرشف من الأصل في 26 يناير 2020.

[3] أديب, عادل نسيم (2009-01-01). . Al Manhal. ISBN . مؤرشف من الأصل في 26 يناير 2020.

[ReferenceA-4] (Boyer 1991, "Europe in the Middle Ages" p. 258) "In the arithmetical theorems in Euclid's Elements VII-IX, numbers had been represented by line segments to which letters had been attached, and the geometric proofs in al-Khwarizmi's Algebramade use of lettered diagrams; but all coefficients in the equations used in the Algebra are specific numbers, whether represented by numerals or written out in words. The idea of generality is implied in al-Khwarizmi's exposition, but he had no scheme for expressing algebraically the general propositions that are so readily available in geometry."

[5] 2010 Mathematics Subject Classification نسخة محفوظة 17 أكتوبر 2017 على مسقط واي باك مشين.

[6] [[Struik, Dirk J. (1987). A Concise History of Mathematics. New York: Dover Publications. رقم دولي معياري للكتاب [[0-486-60255-

[7] Boyer, Carl B. (1991), A History of Mathematics (Second Edition ed.), John Wiley & Sons, Inc., ISBN 0-471-54397-7

[8] فلوريان كاجوري (2010).[ A History of Elementary Mathematics – With Hints on Methods of Teachinghttp://books.google.com.sa/books?id=gZ2Us3F7dSwC&pg=PA34&dq=&hl=ar#v=onepage&q=&f=false]. p. 34. رقم دولي معياري للكتاب 1-4460-2221-8

[9] [[Roshdi Rashed (November 2009). Al Khwarizmi: The Beginnings of Algebra. Saqi Books. رقم دولي معياري للكتاب [[0-86356-430-5

[10] Diophantus, Father of Algebra نسخة محفوظة 09 ديسمبر 2017 على مسقط واي باك مشين.

[11] History of Algebra نسخة محفوظة 03 أكتوبر 2018 على مسقط واي باك مشين.

[12] Josef W. Meri (2004).Medieval Islamic Civilisation . Psychology Press. p. 31. ISBN 978-0-415-96690-0. Retrieved 25 November 2012. نسخة محفوظة 13 سبتمبر 2014 على مسقط واي باك مشين.

[13] [[Boyer, Carl B. (1991). A History of Mathematics (Second ed.). Wiley. pp. 178, 181. رقم دولي معياري للكتاب [[0-471-54397-7.

[14] [[Boyer, Carl B. (1991). A History of Mathematics (Second ed.). Wiley. p. 228. رقم دولي معياري للكتاب [[0-471-54397-7.

[15] (Boyer 1991, "The Arabic Hegemony" p. 229) "It is not certain just what the terms al-jabr and muqabalah mean, but the usual interpretation is similar to that implied in the translation above. The word al-jabr presumably meant something like "restoration" or "completion" and seems to refer to the transposition of subtracted terms to the other side of an equation; the wordmuqabalah is said to refer to "reduction" or "balancing" – that is, the cancellation of like terms on opposite sides of the equation."

[16] (Boyer 1991, "The Arabic Hegemony" p. 230) "The six cases of equations given above exhaust all possibilities for linear and quadratic equations having positive root. So systematic and exhaustive was al-Khwarizmi's exposition that his readers must have had little difficulty in mastering the solutions."

[17] Gandz and Saloman (1936), The sources of al-Khwarizmi's algebra, Osiris i, p. 263–277: "In a sense, Khwarizmi is more entitled to be called "the father of algebra" than Diophantus because Khwarizmi is the first to teach algebra in an elementary form and for its own sake, Diophantus is primarily concerned with the theory of numbers".

[18] [[Rashed, R.; Armstrong, Angela (1994). The Development of Arabic Mathematics. Springer. pp. 11–2. رقم دولي معياري للكتاب 0-7923-2565-6.مركز المخطة الرقمية على الإنترنت [[29181926

[19] [[O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F., Sharaf al-Din al-Muzaffar al-Tusi, تاريخ ماكتوتور لأرشيف الرياضيات ,[[University of St Andrews. نسخة محفوظة 23 يونيو2018 على مسقط واي باك مشين.

[20] Victor J. Katz, Bill Barton; Barton, Bill (October 2007). "Stages in the History of Algebra with Implications for Teaching". Educational Studies in Mathematics (Springer Netherlands) 66 (2): 185–201 [192]. doi:10.1007/s10649-006-9023-7

[21] (Boyer 1991, "The Arabic Hegemony" p. 239) "Abu'l Wefa was a capable algebraist as well as a trigonometer. ... His successor al-Karkhi evidently used this translation to become an Arabic disciple of Diophantus – but without Diophantine analysis! ... In particular, to al-Karkhi is attributed the first numerical solution of equations of the form ax2n + bxn = c (only equations with positive roots were considered),"

[22] "The Origins of Abstract Algebra". University of Hawaii Mathematics Department. نسخة محفوظة 24 ديسمبر 2017 على مسقط واي باك مشين.

[23] "The Collected Mathematical Papers".Cambridge University Press. نسخة محفوظة 06 مارس 2016 على مسقط واي باك مشين.

[24] "Hull's Algebra https://query.nytimes.com/mem/archive-free/pdf?res=9E0DE5DA123AE733A25755C1A9619C946597D6CF]" (pdf). New York Times. July 16, 1904. Retrieved September 21, 2012]. نسخة محفوظة 27 أغسطس 2017 على مسقط واي باك مشين.

[25] Quaid, Libby (September 22, 2008). "[Kids misplaced in algebra https://usatoday30.usatoday.com/news/nation/2008-09-22-357650952_x.htm]" (Report). أسوشيتد برس. Retrieved September 23, 2012. نسخة محفوظة 15 سبتمبر 2016 على مسقط واي باك مشين.

[26] Hamilton, Reeve (7 September 2012). "[THE TEXAS TRIBUNE; U.T.-Arlington Adopts New Way to Tackle Algebra https://www.nytimes.com/2012/09/07/us/ut-arlington-adopts-new-way-to-tackle-algebra.html?_r=0]". The New York Times. Retrievedعشرة September 2012. نسخة محفوظة 26 سبتمبر 2017 على مسقط واي باك مشين.

مفهوم رياضي
المسمى العربي	فهم الجبر
المسمى اللاتيني	Algebra
الرمز العربي	غير معهد
الرمز اللاتيني	محمد بن موسى الخوارزمي - إيفاريست جالويس
رياضيون	نظرية الزمر - نظرية المجال - نظرية الحلقة
نظريات ومسلمات
خط ومراجع	{{{7

جبر