في الرياضيات '''التقطيع''' هي معنية بكيفية تحويل الدوال المتصلة والنماذج والمعادلات الي اجزاء منفصلة متساوية. وهذة العملية هي غالبا ما تحدث كأول خطوة لتحويلهم لشكل مناسب للتقييم العددى والتطبيق الرقمي علي أجهزة الحاسوب. معالجة البيانات علي الحاسوب يحتاج عمليات وطرق اخري تسمي التكميم . ان '''التفرع الثنائي''' هوحالة خاصة من التقطيع حيث ان عدد الفصول التي يتم التقطيع علي اساسها هو2 , التي يمكنها تقريب متغير متصل ل''' متغير ثنائي''' وجعلها مناسبة لأغراض النمذجة.

ان التقطيع أيضا لها علاقة بالرياضيات التقطيع، وهي أيضا عنصر مهم في الحوسبة الحبيبية .وفي هذا السياق ان التقيطع قد يشير أيضا الي تعديل متغير في فئة التفاصيل، فمثلا عند تجميع المتغيرات المنفصلة المتعددة أوعند دمج الفئات المنفصلة المبترة.

أينما يتم تقطيع وتفصيل البيانات المتصلة، فهناك دائما بعض الأخطاء الناتجة عن التقطيع .والهدف هناقد يكون في تقليل كمية تلك الأخطاء الي مستوي يمكن أهماله لأغراض النمذجة التي بين يدينا. 

تقطيع النماذج الخطية حالية المحاور 

ان عملية التقطيع أيضا متعلقة بتحويل المعادلات التفاضلية المتصلة الي معادلات فريقة مقسمة ومبترة مناسبة للعمليات العددية.

 المعادلات الاتية هي لنموذج المحاور الحالية متصل الزمن  

${\displaystyle {\dot {\mathbf {x (t)=\mathbf {A \mathbf {x (t)+\mathbf {B \mathbf {u (t)+\mathbf {w (t)$

${\displaystyle \mathbf {y (t)=\mathbf {C \mathbf {x (t)+\mathbf {D \mathbf {u (t)+\mathbf {v (t)$

حيث حتى الv والw هما مصدران ضوضاء بيضاء ذات المتوسط صفر متصلة

${\displaystyle \mathbf {w (t)\sim N(0,\mathbf {Q )$

${\displaystyle \mathbf {v (t)\sim N(0,\mathbf {R )$

وهنا يمكن تقطيعها بفرض ان الدرجة الصفرية للداخل u والتكامل المتصل للضوضاء إلى v

${\displaystyle \mathbf {x [k+1]=\mathbf {A _{d \mathbf {x [k]+\mathbf {B _{d \mathbf {u [k]+\mathbf {w [k]$

${\displaystyle \mathbf {y [k]=\mathbf {C _{d \mathbf {x [k]+\mathbf {D _{d \mathbf {u [k]+\mathbf {v [k]$

مع التغايرات

${\displaystyle \mathbf {w [k]\sim N(0,\mathbf {Q _{d )$

${\displaystyle \mathbf {v [k]\sim N(0,\mathbf {R _{d )$

حيث أن

${\displaystyle \mathbf {A _{d =e^{\mathbf {A T ={\mathcal {L ^{-1 \{(s\mathbf {I -\mathbf {A )^{-1 \ _{t=T$

${\displaystyle {\mathbf{B}}_d=\left({\int <!--\; \int \; -->}_{\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}=0}^T{e}^{\mathbf{A}\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}}d\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}\right)\mathbf{B}={\mathbf{A}}^{-<!--\; -\; -->1}({\mathbf{A}}_d-<!--\; -\; -->I)\mathbf{B}}$

${\displaystyle \mathbf {C _{d =\mathbf {C$

${\displaystyle \mathbf {D _{d =\mathbf {D$

${\displaystyle \mathbf {Q _{d =\int _{\tau =0 ^{T e^{\mathbf {A \tau \mathbf {Q e^{\mathbf {A ^{T \tau d\tau$

${\displaystyle \mathbf {R _{d ={\frac {1 {T \mathbf {R$

والT هنا هي عينة تقطيع زمن الزمن حيث أن ${\displaystyle \mathbf {A ^{T$ هي مقلوب المصفوفة ${\displaystyle \mathbf {A$

وبخدعة ذكية لحساب ال A_d والB_d في خطوة واحدة باستخدام الخاصية الاتية

${\displaystyle e^{{\begin{bmatrix \mathbf {A &\mathbf {B \\\mathbf {0 &\mathbf {0 \end{bmatrix T ={\begin{bmatrix \mathbf {M_{11 &\mathbf {M_{12 \\\mathbf {0 &\mathbf {I \end{bmatrix$

وبالتالي نحصل علي

${\displaystyle \mathbf {A _{d =\mathbf {M _{11$

${\displaystyle \mathbf {B _{d =\mathbf {M _{12$

تقطيع عملية الضوضاء

ان التقييم العددي لل  ${\displaystyle \mathbf {Q _{d$  هوقليلا أكثر خداعا بسبب التكامل الأسي للمصفوفة. ولكن على الرغم من ذلك يمكن حسابها أولا بإنشاء المصفوفة ثم الحساب الأسي لها بعد ذلك . (فان لون، 1978).  

${\displaystyle \mathbf {F  ={\begin{bmatrix -\mathbf {A  &\mathbf {Q  \\\mathbf {0  &\mathbf {A  ^{T \end{bmatrix  T$

${\displaystyle \mathbf {G =e^{\mathbf {F ={\begin{bmatrix \dots &\mathbf {A _{d ^{-1 \mathbf {Q _{d \\\mathbf {0 &\mathbf {A _{d ^{T \end{bmatrix .$

بعد ذلك عملية تقطيع الضوضاء يمكن تقييمها بضرب مقلوب الجزء السفلي الأيمن من المصفوفة G في الجزء العلوي الأيمن من المصفوفة G

${\displaystyle \mathbf {Q _{d =(\mathbf {A _{d ^{T )^{T (\mathbf {A _{d ^{-1 \mathbf {Q _{d ).$

الاستنتاج

بداية بالنموذج المتصل 

${\displaystyle \mathbf {\dot {x (t)=\mathbf {A \mathbf {x (t)+\mathbf {B \mathbf {u (t)$

نعهد بأن المصفوفة الأسية هي :

${\displaystyle {\frac {d {dt e^{\mathbf {A t =\mathbf {A e^{\mathbf {A t =e^{\mathbf {A t \mathbf {A$

ومع ضرب النموذج مسبقا نجد :

${\displaystyle e^{-\mathbf {A t \mathbf {\dot {x (t)=e^{-\mathbf {A t \mathbf {A \mathbf {x (t)+e^{-\mathbf {A t \mathbf {B \mathbf {u (t)$

التي نعهدها بأنها

${\displaystyle {\frac {d {dt (e^{-\mathbf {A t \mathbf {x (t))=e^{-\mathbf {A t \mathbf {B \mathbf {u (t)$

ومع التكامل نجد..

${\displaystyle e^{-\mathbf {A t \mathbf {x (t)-e^{0 \mathbf {x (0)=\int _{0 ^{t e^{-\mathbf {A \tau \mathbf {B \mathbf {u (\tau )d\tau$

${\displaystyle \mathbf {x (t)=e^{\mathbf {A t \mathbf {x (0)+\int _{0 ^{t e^{\mathbf {A (t-\tau ) \mathbf {B \mathbf {u (\tau )d\tau$

التي هي حل تحليلي للنموذج المتصل 

والان يمكننا تقطيع المصطلح الذي بالأعلي. فنفترض ان u هي ثابتة أثناء جميع خطوة زمنية.  :${\displaystyle \mathbf {x [k]\ {\stackrel {\mathrm {def {= \ \mathbf {x (kT)$

${\displaystyle \mathbf {x [k]=e^{\mathbf {A kT \mathbf {x (0)+\int _{0 ^{kT e^{\mathbf {A (kT-\tau ) \mathbf {B \mathbf {u (\tau )d\tau$

${\displaystyle \mathbf {x [k+1]=e^{\mathbf {A (k+1)T \mathbf {x (0)+\int _{0 ^{(k+1)T e^{\mathbf {A ((k+1)T-\tau ) \mathbf {B \mathbf {u (\tau )d\tau$

${\displaystyle \mathbf {x [k+1]=e^{\mathbf {A T \left[e^{\mathbf {A kT \mathbf {x (0)+\int _{0 ^{kT e^{\mathbf {A (kT-\tau ) \mathbf {B \mathbf {u (\tau )d\tau \right]+\int _{kT ^{(k+1)T e^{\mathbf {A (kT+T-\tau ) \mathbf {B \mathbf {u (\tau )d\tau$

يمكننا ان نلاحظ المصطلحات ذات الأقواس مثل ${\displaystyle \mathbf {x [k]$ ،  والمصطلح الآخر يمكننا تبسيطه بالتعويض ${\displaystyle v=kT+T-\tau$. ونفترض أيضا حتى u هوثابت طوال التكامل وبالتالي ينتج الاتي : ${\displaystyle {\begin{matrix \mathbf {x [k+1]&=&e^{\mathbf {A T \mathbf {x [k]+\left(\int _{0 ^{T e^{\mathbf {A v dv\right)\mathbf {B \mathbf {u [k]\\&=&e^{\mathbf {A T \mathbf {x [k]+\mathbf {A ^{-1 \left(e^{\mathbf {A T -\mathbf {I \right)\mathbf {B \mathbf {u [k]\end{matrix$. 

التي هي حل دقيق لمسألة التقطيع 

التقريبات 

ان عملية التقطيع الدقيقة أحيانا قد تصبح معقدة بسبب احتوائها علي المصفوفات الأسية وعمليات التكامل الثقيلة. وأن نقوم بحساب التقريبات للنموذج المبتر هوأكثر سهولة بناءا علي المراحل الزمنية الصغيرة ${\displaystyle e^{\mathbf {A T \approx \mathbf {I +\mathbf {A T$ . وبذلك يصبح الحل التقريبي :

${\displaystyle \mathbf {x [k+1]\approx (\mathbf {I +\mathbf {A T)\mathbf {x [k]+T\mathbf {B \mathbf {u [k]$

هناك بعض صور التقريبات الأخرى المحتملة ${\displaystyle e^{\mathbf {A T \approx \left(\mathbf {I -\mathbf {A T\right)^{-1$ and ${\displaystyle e^{\mathbf {A T \approx \left(\mathbf {I +{\frac {1 {2 \mathbf {A T\right)\left(\mathbf {I -{\frac {1 {2 \mathbf {A T\right)^{-1$ . كل منهما يحتوي على صفات استقرار مختلفة . والمصطلح الأخير معروف باسم التحويل الثنائي الخطي أوتحويل تستن وهويحتفظ بصفات الثبات لنظام.

تقطيع الصفات المتصلة 

في الاحصائيات وتعليم الآلة ان التقطيع يشير الي عملية تحويل الصفات المتصلة أوالمتغيرات الي صفات مبترة.وهذا يمكنه انهقد يكون مفيد عندما نعمل في دوال الاحتمالات الكبيرة.

مراجع