B-spline

منحنيات B في المجال الرياضي للتحليل العددي منحني B –Spline or basis –Spline تعبير عن داله تعبر عن اقل قيمة ممكنه للدعم مع الاخذ بعين الاعتبار بعض المعطيات التي تتمثل في الدرجة والنعومة وتقسيم المجال. ويمكن التعبير عن أي دالة منحني من درجة معينة كداله خطيه عباره عن مجموعة من المنحنيات B من نفس الدرجة الدالة. Cardinal B-Spline تحتوي علي مجموعة من العقد علي بعد مسافات ثابتة. منحنيات B يمكن حتى تستخدام في curve – fitting والتمييز العددي للبيانات التجريبيه في التصميم بواسطة الكمبيوتر. والكمبيوتر جرافكيس يتم تشيد داله المنحني كمجموعة خطيه في المنحنيات B عن طريق من النقاط

مقدمه

المنحنيات B ثم التوصل إليها في وقت مبكر من القرن ال19 من قبل نيكولاي لوباتشيفسكي، المصطلح B- spline تم صياغته من قبل اسحاق يعقوب شوينبرج وهي اختصار ل Basis –spline داله المنحني هي داله كثيره الحدود من الدرجة k> في متغير x . في المناطق التي تلتقي فيها المنحنيات تسمي بالعقد. عدد العقد يجب حتىقد يكون متساوي أوأكبر من k – 1 . وبالتالي داله المنحني لها دعم محدود. داله المنحني لها عده خواص منها انها متصله عند العقد. بعض المشتقات هذه الدوال ممكن ان تكون متصله وهذا يعتمد علي العقد إذا كانت مختلفه ام لا. النظرية الأساسية تنص علي ان جميع داله من درجه معينه ودقه ومجال يمكن وصفها علي ان تكون مجموعه خطيه من الدوال ذات نفس الدرجة والدقة والتقسيم.

التعريف

B-spline هي دالة كثيرة الحدود من الدرجة n في متغير x. يتم التعهد عليها من فترة t 0 ≤ x ≤ tm حيث n = m . النفط التي عندها x = t j تسمي بالعقد أونقطة التوقف. عدد العقد الداخليه تساوي درجة الدالة كثيره الحدود. العقد يجب حتى تكون في ترتيب تصاعدي عدد العقد يجب حتىقد يكون تمثيل الحد الأدنى من درجة لل b –spline حيث أنهم يُمثلوا قيمة لا تساوي الصفر في نطاق بين العقدة الأولى والأخيرة. جميع جُزء من الدالة كثير الحدود من الدرجة n> . B –Spline دالة متصلة عند العقد. ملاحظة عندما تختلف العقد الداخلية. مشتقاتها أيضاً تكون متصله عائده علي المشتقه من درجة n-1 . إذا تزامنت العقد الداخليه عن قيمه معينه x، فإن الاتصال المشتقه يقل بقيمه -1 لكل عقده. لاي مجموعه من العقد b –spline فريدة من نوعها لذلك b اختصار لل basis. أي دالة منحني b من درجة n لمجموعة معينة من العقد يمكن التعبير عنها علي حتى تكون مجموعة خطية من الـ b –splines

{\displaystyle S_{n,t (x)=\sum _{i \alpha _{i B_{i,n (x)

وهذا نتيجة حقيقية حتى جميع الأجزاء لها نفس خصائص الاتصال. يمكن التعبير عن بتر كثيرة الحدود عن طريق المعادلة التالية: ${\displaystyle B_{i,1 (x):=\left\{{\begin{matrix 1&\mathrm {if \quad t_{i \leq x<t_{i+1 \\0&\mathrm {otherwise \end{matrix \right.$

{\displaystyle B_{i,k (x):={\frac {x-t_{i {t_{i+k-1 -t_{i B_{i,k-1 (x)+{\frac {t_{i+k -x {t_{i+k -t_{i+1 B_{i+1,k-1 (x).

<de>

حيث تعبر عن ثابت بقيمه 1 أوzero إلى غير ذلك تكون المعادلة الاعاده كالتالي: ${\displaystyle {\frac {x-t_{i {t_{i+k-1 -t_{i$

تتغيير من صفر حتي 1 حيث x تقع من فترة ${\displaystyle t_{i$ حتي ${\displaystyle t_{i+k-1$ و: ${\displaystyle {\frac {t_{i+k -x {t_{i+k -t_{i+1$

وتغيير مجددا من 1 حتيخمسة حيث x تتغير من ${\displaystyle t_{i+1$ to ${\displaystyle t_{i+k$ . في خلاف هذه الفترتين , Bs اللقاءة تساوي zero . على سبيل المثال ${\displaystyle B_{i,2 (x)$ داله ثلاثيه تساوي صفر في حاله ${\displaystyle x=t_{i$ وتتغيير حتي تصل الي 1 عند ${\displaystyle x=t_{i+1$ وتعود الي الصفر في حالة ${\displaystyle x=t_{i+2$ مع ذلك، لان داله المنحني لها دعم محلي، فان الدالة يتم حسابها بواسطه خوارزميات معينه لا بحاجة لحساب الدوال الأساسية التي تساوي صفر مثل خوارزميه بور.

هذه العلاقة تقود الي خوارزميه fortran - BSPLV حيث أنها تقوم بإنشاء قيم لل B- Spline من الدرجة n عند x , المخطط التالي يوحي كيف من الممكن أن جميع جزء في الدالة في الدرجة n هومزيج خطي في B- spline في الدرجة n-1

{\displaystyle {\begin{matrix &&0\\&0&\\0&&B_{i-2,3 \\&B_{i-1,2 &\\B_{i,1 &&B_{i-1,3 \\&B_{i,2 &\\0&&B_{i,3 \\&0&\\&&0\\\end{matrix

أجزاء B-spline من الدرجة الثانية: ${\displaystyle B_{1 =x^{2 /2\qquad 0\leq x\leq 1$

{\displaystyle B_{2 =(-2x^{2 +6x-3)/2\qquad 1\leq x\leq 2

{\displaystyle B_{3 =(3-x)^{2 /2\qquad 2\leq x\leq 3

هذه الأجزاء مشروحة في الشكل، خاصية الاتصال في الدالة التربيعية حيث حتى المشتقة الأولى لها كالاتي:

{\displaystyle {\mbox{At x=1 ,B_{1 =B_{2 =0.5;{\frac {dB_{1 {dx ={\frac {dB_{2 {dx =1

{\displaystyle {\mbox{At x=2 ,B_{2 =B_{3 =0.5;{\frac {dB_{2 {dx ={\frac {dB_{3 {dx =-1

حيث حتى المشتقة الثانية من الدرجة الثانية في العقد المتصلة: ${\displaystyle {\frac {d^{2 B_{1 {dx^{2 =1,{\frac {d^{2 B_{2 {dx^{2 =-2,{\frac {d^{2 B_{3 {dx^{2 =1,$

كاردينال B-spline

هي لها ثابت انفصال h بين العقد، ويمكن استنتاجها من المعادلة التالية: ${\displaystyle B_{i,n,t (x)={\frac {x-t_{i {h n[0,\dots ,n](.-t_{i )_{+ ^{n-1$

( place holder notation ) يستخدم للاشاره الي ان ال nth مختلفه التقسيم للداله ${\displaystyle (t-x)_{+ ^{n-1$ في المتغييرين x وt يتم حسابهم عن طريق فرض x والاخذ في عين الاعتبار ${\displaystyle (t-x)_{+ ^{n-1$ كداله في t . cardinal b –spline لديه عقد علي مسافات متباعده وبالتالي التداخل بين النقاط مساوي للالتفاف حول الحافة. وعلى سبيل المثال إذا اردت تداخل ثلاثة قيم معا بين النقاط b يمكن كتابتها كالتالي

${\displaystyle {\textbf {x =[{\textbf {b _{1 ,0,0,{\textbf {b _{2 ,0,0,{\textbf {b _{3 ,0,0,....,{\textbf {b _{n ,0,0]$

التفاف الاشاره x مع الدالة الثلاثيه ${\displaystyle {\textbf {h =[1/3,1/3,1/3]$ يعطينا تداخل من درجة الأولي لقيم b- spline . تداخل الدرجة الثانية لل b- spline يعتبر الالتفاف مع الدالة مرتين ${\displaystyle {\textbf {y ={\textbf {x *{\textbf {h *{\textbf {h$

تصفح في اروين هال للحالات الخاصة من أجل المصطلحات الجبريه لل cardinal b –spline من الدرجة 1 حتي 4

P-spline

هويعبر عن "penalized B-spline" ويشير الي استخدام b –spline حيث يتم تحديد معاملات البيانات التي يتم استخدمها جزئيا من المعلومات التي يتم ادخالها. وتكون داله اضافه تهدف الي فرض الدقة لتجنب المعلومات الزائده

المصطلحات المشتقه

مشتقه b- spline من الدرجة k وهي داله في الb-spline في الدرجة k-1

{\displaystyle {\frac {dB_{i,k (x) {dx =(k-1)\left({\frac {-B_{i+1,k-1 (x) {t_{i+k -t_{i+1 +{\frac {B_{i.k-1 (x) {t_{i+k-1 -t_{i \right)

وهذا يعني ان: ${\displaystyle {\frac {d {dx \sum _{i \alpha _{i B_{i,k =\sum _{i=r-k+2 ^{s-1 (k-1){\frac {\alpha _{i -\alpha _{i-1 {t_{i+k-1 -t_{i B_{i,k-1 \ on[t_{r .t_{s ]$

مما يشير علي ان هناك علاقة بسيطه بين المشتقه للداله ودرجة ال b –spline

العلاقة piecewise / composite Bezier

هوعباره عن سلسله من منحنيات بيذير تضم ما لا يقل عن استمراريه co (النقطة الأخيرة من المنحني يتزامن مع نقطة البداية للمنحني التالي ). اعتمادا علي التطبيق يمكن اضافه متطلبات الدقة مثل ( خواص الاتصال ل c1, c2 ) . المنحنيات المتصله c1 لها مماس عند نقط التوقف ( عندما يلتقي المنحنيات ) . منحنيات الاتصال c2 لها انحناءات متطابقه عند نقط التوقف.

ملائمه المنحني

عاده عند ملائمه المنحني يتم هجريب مجموعة في نقاط بيانات مع منحني يتم تعريفها ببعض الدوال الرياضيه. على سبيل المثال الأنواع الشائعة في ملائمه المنحني يستخدم دوال كثير الحدود أوالمجموعة من الدوال الاسيه عندما لاقد يكون هناك أساس نظري لاختيار الدالة الملائمه يمكن هجريبها علي منحني مع داله spline تكون من مجموعه من ال b –spline باستخدام اقل مربع وهكذا فان داله الهدف تكون: ${\displaystyle U=\sum _{allx \left\{W(x)\left[y(x)-\sum _{i \alpha _{i B_{i,k,t (x)\right]\right\ ^{2$

حيث (W(x هوالوزن والـ (y(x هوقيمه معطاه عند X. المعامل هوالمطلوب معهدته. قيم النقاط ممكن حتى تكون ثانية أويمكن افتراضها ان تكون مثل فتكمن صعوبه الرئيسيه في تطبيق هذه العملية في تحديد عدد العقد التي تم استخدامها ومكانها. لقد اقترح بور استراتيجيان متعدده لمعالجه هذه المشكله على سبيل المثال. يتم تقليل التباعد بين النقط بما يتناسب مع الانحناءات ( المشتقه الثانية ) للبيانات. لقد تم نشر بعض التطبيقات. على سبيل المثال استخدامات ال B-SPLINE من أجل ملائمه منحنيات Lorentzian وGaussian. داله ال SPLINE الامثل من درجة ثلاثة حتي 7، قائمه علي ترتيبات منخمسة ,ستة ,7 نقط تم حسابها وتم تطبيق هذه الطريقة للوصول لدقه المنحني. وفي دراسه مماثله، فان النسخة ثنائية الابعاد من Savitzky-Golay filtering وspline انتجت نتائج أفضل من طريقه ال moving average .

NURBS

في التصميم بمساعدة الحاسوب، التصنيع بمساعدة الحاسوب، ورسومات الحاسوب، تمديد قوية من B-المفاتيح وغير موحدة عقلانية B-المفاتيح (NURBS). NURBS هي أساسا المفاتيح-B في الإحداثيات المتجانسة. مثل B-المفاتيح، تعهد من قبل ترتيبها، وناقلات عقدة، ومجموعة من نقاط المراقبة، ولكن خلافا بسيطة B-المفاتيح، ونقاط المراقبة لكل من وزنها. عندماقد يكون الوزن يساوي 1، NURBS هومجرد B-سين وعلى هذا النحوNURBS يعمم على حد سواء B-المفاتيح ومنحنيات بيزيير والسطوح، والفرق الأساسي هوترجيح من نقاط المراقبة مما يجعل منحنيات NURBS "عقلانية".

من خلال تقييم لNURBS في قيم مختلفة من المفهمة، ويمكن تتبع منحنى عبر الفضاء. وبالمثل، من خلال تقييم سطح NURBS في قيم مختلفة من المفهمتين، والسطح يمكن حتى تكون ممثلة في الفضاء الديكارتي.

مثل B-المفاتيح ونقاط مراقبة NURBS تحدد شكل المنحنى. يتم احتساب جميع نقطة من المنحنى أخذ مبلغ المرجح لعدد من نقاط المراقبة. وزن جميع نقطة يختلف وفقا لمفهمة الحاكم. لمنحنى درجة د، وتأثير أي نقطة مراقبة غير صفرية إلا في فترات د +1 (يمتد عقدة) من مساحة المفهمة. داخل تلك الفترات، يتغير الوزن وفقا لوظيفة متعددة الحدود (وظائف الأساس) من درجة د. في حدود الفترات، وظائف أساس بسلاسة إلى الصفر، ونعومة يتم تحديدها من قبل على درجة من متعدد الحدود.

ناقلات عقدة هوسلسلة من القيم المفهمة التي تحدد أين وكيف نقاط التحكم تؤثر على منحنى NURBS. عدد عقدة دائما مساويا لعدد من نقاط المراقبة بالإضافة إلى درجة منحنى زائد واحد. في جميع مرة قيمة المفهمة يدخل عقدة فترة جديدة، تصبح نقطة مراقبة جديدة نشطة، في حين يتم تجاهل نقطة التحكم القديمة.

منحنى NURBS يأخذ الشكل التالي: ${\displaystyle C(u)={\frac {\sum _{i=1 ^{k {N_{i,n w_{i P _{i {\sum _{i=1 ^{k {N_{i,n w_{i$

هنا التدوين الرقمي هوكما يلي. يوهوالمتغير المستقل (بدلا من خ)، ك هوعدد نقاط المراقبة، N هوB-سين (تستخدم بدلا من B)، n هودرجة متعدد الحدود، P هي نقطة مراقبة وث هوالوزن. القاسم هوعامل تطبيع يتم تقييمها إلى واحد إذا كان جميع الأوزان واحدة.

ومن المعتاد حتى أخط هذا النحو: ${\displaystyle C(u)=\sum _{i=1 ^{k R_{i,n (u)P_{i$