جذر نوني

رمز الجذر في الرياضيات

في الرياضيات، جذر العدد النوني (بالإنجليزية: nth root)‏ هوعدد ما (r) إذا حملناه لقوة معينة (n)، عادة ما تكون 2، أعطانا العدد الأصلي (العدد النوني، x)

{\displaystyle r^{n =x\!\,

مثلاً:

2 هوالجذر الرابع (n=4) للعدد 16، لأن ${\displaystyle 2^{4 =16$ ; (وهوالعدد الموجب الحقيقي الوحيد الذي يحقق هذه الصفة).
3 هوالجذر التربيعي (n=2) للعددتسعة لأن ${\displaystyle 3^{2 =9$ .

الحرف n يرمز هنا لما يسمى درجة الجذر. جذر من الدرجة الثانية يدعى الجذر التربيعي، وكذلك جذر من الدرجة الثالثة يدعى الجذر التكعيبي، وإلخ. ومن الجدير بالذكر أنه عندما لا تذكر درجة الجذر، المُراد هوالجذر التربيعي.

بشكل عام، الجذر من الدرجة n يُدعى الجذر النوني. عادة ما تُخط الجذور باستعمال رمز الجذر ${\displaystyle {\sqrt {\,\,$ ، فإن الرمز ${\displaystyle {\sqrt {x \!\,$ يرمز للجذر التربيعي للعدد، أما الرمز ${\displaystyle {\sqrt[{3 ]{x \!\,$ فيدل على الجذر التكعيبي للعدد، أما الرمز ${\displaystyle {\sqrt[{4 ]{x$ فيدل على الجذر الرابع، وإلخ.

في الحساب، تعتبر الجذور حالة خاصة من الحمل للقوة، حيثقد يكون بها الأس كسرًا:

{\displaystyle {\sqrt[{n ]{x \,=\,x^{1/n

أي عدد حقيقي موجب له جذران حقيقيان أحدهما موجب والآخر سالب، ويرمز للجذر الموجب للعدد ${\displaystyle x$ بالرمز ${\displaystyle {\sqrt {x$ وللجذر السالب بالرمز ${\displaystyle -{\sqrt {x$ .

تاريخ

هناك تضارب في المعلومات حول أصل الرمز ${\displaystyle {\sqrt {$

تعريف وتدوين

أربعة الجذور من الدرجة الرابعة للعدد 1- لا أحد منها عدد حقيقي

ثلاثة الجذور التكعيبية للعدد 1- واحد منها هوعدد حقيقي سالب

الجذر النوني لعدد ما x، حيث حتى n هوعدد سليم موجب، هوعدد r إذا حملناه للقوة n نحصل على x:

{\displaystyle r^{n =x\!\,

كل عدد حقيقي موجب x له جذر نوني موجب واحد، ويخط بالشكل التالي: ${\displaystyle {\sqrt[{n ]{x$ . إذا كان n مساويًا لـ 2 يسمى هذا الجذر جذرًا تربيعيًا، ولا يخط العدد 2 فوق علامة الجذر. يمكن أيضًا كتابة الجذر النوني بالطريقة الأسية بالشكل الآتي: ${\displaystyle x^{1/n$ .

لكل قيم n الزوجيةقد يكون هنالك جذر نوني سالب لأي عدد موجب، بينما الأعداد السالبة ليس لها جذر نوني حقيقي. أما لقيم n الفردية فهنالك جذر نوني سالب لأي عدد سالب. مثلاً، العدد 2- له جذر خامس حقيقي، ${\displaystyle {\sqrt[{5 ]{-2 \,=-1.148698354\ldots$ ، ولكن العدد 2- ليس له أي جذر سادس حقيقي.

كل عدد x ما عدا الصفر، إذا كان حقيقيًا أومركبًا، له عدد n من الجذور النونية المتنوعة في مجال الأعداد المركّبة، وقد يحدث من بين تلك الجذور جذور حقيقية موجبة أوسالبة، انظر الجذور المركبة في الأسفل. الجذر النوني للعدد 0 هوالـ 0.

بالنسبة لمعظم الأعداد، الجذر النوني هوعدد غير نسبي. على سبيل المثال،

{\displaystyle {\sqrt {2 =1.414213562\ldots

الجذور التربيعية

الجذر التربيعي لعدد ما x هوالعدد r الذي إذا ربّعناه نحصل على x.

{\displaystyle r^{2 =x\!\,

لكل عدد حقيقي موجب يوجد جذران تربيعيان، أحدهما موجب والآخر سالب. على سبيل المثال، الجذران التربيعيان للعدد 25 هماخمسة و5-.
ولما كان مربع أي عدد حقيقي هوعدد حقيقي موجب فإن الأعداد السالبة لا توجد لها جذور تربيعية حقيقية. ومع ذلك لكل عدد سالب جذران تربيعيان مركبان. فمثلاً الجذران التربيعيان للعدد 25- هما 5i و5i-، حيث حتى i هوالجذر التربيعي للعدد 1-.

الجذور التكعيبية

الجذر التكعيبي لعدد ما x هوالعدد r الذي إذا كعّبناه نحصل على x.

{\displaystyle r^{3 =x\!\,

لكل عدد حقيقي x يوجد جذر تكعيبي واحد، ويخط بالكيفية التالية: ${\displaystyle {\sqrt[{3 ]{x$ . على سبيل المثال،

{\displaystyle {\sqrt[{3 ]{8 \,=\,2\quad {\text{and \quad {\sqrt[{3 ]{-8 \,=-2

كل عدد حقيقي له جذرين تكعيبيين إضافيين مركبين (انظر الجذور المركبة في الأسفل).

مطابقات وخواص

لكل عدد موجب حقيقي يوجد جذر نوني موجب، وتنطبق عليه الخواص التالية:

{\displaystyle {\sqrt[{n ]{ab ={\sqrt[{n ]{a {\sqrt[{n ]{b \,,

{\displaystyle {\sqrt[{n ]{\frac {a {b ={\frac {\sqrt[{n ]{a {\sqrt[{n ]{b \,.

وعندما ننظر إلى الصيغة الأسية للجذور، يمكن حتى نفهم الخواص التالية أيضًا:

{\displaystyle {\sqrt[{n ]{a^{m =\left({\sqrt[{n ]{a \right)^{m =\left(a^{\frac {1 {n \right)^{m =a^{\frac {m {n .

الجذور من درجات أعلى

بالمثل ينطق حتى y هوجذر تكعيبي للعدد ${\displaystyle x$ إذا كان ${\displaystyle y^{3 =x$ ويرمز للجذر التكعيبي بالرمز ${\displaystyle ^{3 {\sqrt {x$ من السهل ملاحظة حتى ${\displaystyle 2$ هي الجذر التكعيبي ل ${\displaystyle 8$ وأن ${\displaystyle 3$ هي الجذر التكعيبي ل ${\displaystyle 27$ و ${\displaystyle -3$ هي الجذر التكعيبي ل ${\displaystyle -27$ .

الجذور المركبة

ثلاثة الجذور للعدد 1

كل عدد معرّف فوق حقل الأعداد المركبة له n جذور نونية مختلفة.

جذور تربيعية

الجذران التربيعيان لعدد مركب هما دائمًا مضادان. مثلاً، الجذران التربيعيان للعدد 4- هما 2i و2i-، والجذران التربيعيان للعدد i هما

{\displaystyle {\frac {1+i {\sqrt {2 \quad {\text{and \quad {\frac {-1-i {\sqrt {2

من الممكن أيضا التعامل مع الجذور المركبة للأعداد الحقيقية، فيرمز للجذر التربيعي للعدد ${\displaystyle -1$ بالرمز ${\displaystyle i$ ، ويصبح ${\displaystyle 3i$ هوالجذر التربيعي للعدد ${\displaystyle -9$ ، إلى غير ذلك، اصطلح على تسمية الكميات التي على الصورة ${\displaystyle ai$ حيث ${\displaystyle a$ عدد حقيقي بالكميات التخيلية، وهي جذور الأعداد الحقيقية السالبة.

تقابلنا الكميات التخيلية مرة أخرى عندما نبحث عن أكثر من جذر تكعيبي (أومن درجة أعلى) لعدد حقيقي موجب، فالعدد الحقيقي ${\displaystyle 1$ له جذر تكعيبي واحد في الأعداد الحقيقية (هو1 نفسه) لكن العددان المركبان ${\displaystyle -{\sqrt {3 /2-i/2,-{\sqrt {3 /2+i/2$ هما أيضا جذران تكعيبيان للواحد، بوجه عام الأعداد ${\displaystyle \cos(k\pi /n)+i\sin(k\pi /n),k=0,1,\dots ,n$ هي جميعا جذور للواحد السليم من الدرجة ${\displaystyle n$

انظر أيضاً

عدد جبري.
عدد لا كسري.
جذر أصم.

مراجع

^ Leonhard Euler (1755). Institutiones calculi differentialis (باللغة اللاتينية).
^ خالد (2016-05-17). . دار العنقاء. ISBN . مؤرشف من الأصل في 26 يناير 2020.
^ خالد (2016-05-17). . دار العنقاء. ISBN . مؤرشف من الأصل في 26 يناير 2020.