مفهوم الاستقرار
الإستقرار في الرياضيات هي حالة من حالات الأنظمة أوبتعبير آخر هي خاصية رياضية عادة ما تذكر إقترانا بحل معادلة تفاضلية حيث ينطق حل المعادلة التفاضلية كذا وكذا مستقر أوغير مستقر
الأنظمة الخطية والإستقرار
بالنسبة للأنظمة الخطية أوالمعادلات التفاضلية الخطية يجب على القيمة الذاتية حتى تكون سالبة أوبالأحرى إذا سلمنا بأن القيمة الذاتية هي عدد مركب فإنه يجب حتىقد يكون جزئه الحقيقي سالبا. إذا كان الجزء الحقيقي صفرا فإن النظام يسمى شبه مستقر أي أنه لا يعود إلى حالته السابقة إذا قمنا بتغييرها تغييرا طفيفا بل يبقى في الحالة التي وضعناه فيها. أما النظام المستقر فيعود إلى حالته الأولى إذا أبعدناه عنها إبعادا طفيفا. النظام الغير مستقر يبتعد أكثر فأكثر من حالته الأولية إذا أبعدناه عنها. الصورة أسفله مثلا ترمز لكرة متحركة على أسطح مختلفة وتبين إختلاف خاصية إستقرار الوضعية حسب الأرضية. رياضيا يفهم هذا المثال باشتقاق نموذج هوتعبير عن معادلة تمثل حركة الكرة ثم تتم دراسة إستقراره حسب الطرائق المبينة أسفله.
الأنظمة الغير خطية والإستقرار
بالنسبة للأنظمة الغير خطية من نوع:
حيث f دالة غير خطية وx ، u شعاعان, يصعب حساب القيمة الذاتية أوحتى مفهوم القيمة الذاتية غير متعارف عليه في هذه الأنظمة. في هذه الحالة تكون أحد الطرق التي يمكن من خلالها فهم إذا كان نظام ما مستقر أم لا هوالإستعانة بمبرهنة ليابونوف. وقبل تبيين طريقة ليابونوف لدراسة الإستقرار فإنه يجدر بالذكر أنه يمكن تخطيط النظام (linearisation) أوالمعادلة في نقطة معينة وحساب القيمة الذاتية لهذا النظام الخطي فيها وعلى أساس القيمة الذاتية المتحصل عليها نقول حتى النظام مستقر أم لا. المشكل الوحيد هوحتى تصنيفنا هذا للنظام ليس سليما إلا في دائرة ضيقة حول نقطة التخطيط, أي أنه مثلا إذا قلنا حتى النظام مستقر فهذا يعني أنه مستقر في النقطة وبعض النقاط حولها ولكن لا نعهد حجم المجال الذي يضم هذه النقاط
مبرهنة ليابونوف
تقول مبرهنة ليابونوف الآتي:
إذا كان لدينا نظام نعبر عنه كالآتي
وإذا كانت لهذا النظام نقطة سكون (stady state) نسميها مثلا
في حالة تمكنا من العثور على مثل هذه الدالة فإن النظام مستقر. ولنلاحظ هنا حتى إستعمال هذه الطريقة لا يقتصر على الأنظمة الخطية بل يمكن أيضا إستعمالها في الأنظمة الغير الخطية. كما يجدر بالذكر أنه في حالة عدم عثورنا على هذه الدالة فإنه لا يمكننا حتى نجزم بأن النظام غير مستقر بل ما نستنتجه هوحتى الدالة التي إخترناها لبرهنة الإستقرار لا تصلح لذلك ويجب علينا إختيار أخرى لهذا الغرض. أي أنه لا يمكننا بطريقة ليابونوف حتى نبرهن على عدم إستقرار نظام ما ولكن يمكننا حتى نبرهن على إستقراره
الإستقرار المحلي
الإستقرار المحلي هوعندما تكون خاصية الإستقرار مرتبطة بمدى أومجال رياضي معين تكون خارجه منتفية. لاجظ الصورة: الكرة وسط الهضبتين.
الإستقرار الكامل
أن تكون خاصية الإستقرار غير مرتبطة بمجال رياضي معين.
شبه إستقرار
شبه الإستقرار هي الحالة المبينة في الصورة والتي تعني حتى نظاما ما لا يعود إلا نقطة إنطلاقه إذا أبعدته منها بل يظل في النقطة التي دفعته إليها. يمكن تبسيطا إعتبار هذه الحالة مستقرة لكن في الحقيقة هذه الحالة يمكن حتى تكون مستقرة أوغير مستقرة ( أنظر نظرية الفضاء المحوري Center manifold Theory)
مواضيع متصلة
- إستقرار رقمي numerical stability
- إستقرار بنيوي structural stability
