قيمة متسقطة

القيمة المتسقطة : القيمة المتسقطة لمتغير عشوائي ${\displaystyle x$ هي القيمة التي تظهر نتيجة لإعادة تجارب معينة كمعدل لنتاج هذة التجارب. فالقيمة المتسقطة هي قيمة عددية تساوي درجة المساواة في لعبة حظ. وهي تساوي مجموع الارباح (أوالخسائر) موزونة بإحتمال الربح (أوالخسارة).

مثال لعبة العجلة : يختار اللاعب عددا من 0 إلى 36 (37 عدداً) على العجلة (متكونة من 37 خانة جميع خانة تمثل عددا). ثم يراهن على هذا العدد. توضع كرة صغيرة في العجلة وتدار العجلة بسرعة ثم تقف الكرة في خانة عدد ما . إذا كان عدد الخانة يساوي العدد الذي اختاره اللاعب في البداية فإن رهانه سيضاعف 36 مرّة أما في الحالة الثانية فإنه يخسر رهانه.

لنفترض أنه يراهن على هذه الخانة بـعشرة دولارات .

القيمة المتسقطة للربح هي إذا:

{\displaystyle -10+{\frac {10\times 36 {37 =-0,27

(حذفناعشرة دولارات لأنّه سقط صرفها باحتمال يساوي 1)

هذا العدد يمثل، معدلاّ، حتى اللاعب يخسر 0.27 دولارا بعد جميع لعبة (لحساب صاحب العجلة).

عندما تكون القيمة المتسقطة تساوي 0، نعتبر اللعبة عادلة.

القيمة المتسقطة والإختيار المعقول

في بعض الحالات، إشارات القيمة المتسقطة لا تتطابق مع الإختيار المعقول.

لنتخيل مثلا حتى نفوم بالاقتراح التالي : لوتم رمي زهري نرد، وظهر العددستة على كلاهما، فإن اللاعب يربح مليون دولار وإذا لم يقع ذلك يخسر اللاعب 10000 دولار. من المحتمل، حتى يرفض اللاعب اللعب (قد يتبين لنا أنّه سيخسر الكثير).

ولكن القيمة المتسقطة لهذه اللعبة ملائمة للربح : احتمال الحصول علىستة على كلا الزهرين هو1/36، فلنا إذا:

{\displaystyle {\frac {1\,000\,000 {36 -{\frac {10\,000\times 35 {36 =18\,055

بعد كلّ شوط، يربح الاعب 18055 دولار معادلا.

تكمن المشكلة في الحقيقة على لفظة "معدلا" : إذ مع حتى الأرباح قد تكون عالية، فإن وقوعها نادر نسبيا، وليضمن اللاعب حتىقد يكون رابحا فإنه يجب حتىقد يكون لديه كمية كافية من المال ليلعب عددا كبيرا من المرّات. وإذا كانت الرهانات كبيرة (بإفراط) فإن اللاعب يستطيع اللعب عددا كبيرا من المرّات وعندها تكون حجة القيمة المتوسطة ليست كافية.

أهمية العلاوة على المجازفة

إنّ اعتبارات المجازفة بالخسارة هذه هي التي جعلت الرياضي دانيال برنولي يجد فكرة "النفور من المجازفة" في كتابه "تناقض متسرل سانت بتارسبورغ". هذ الفكرة أدّت إلى مصاحبة القيمة المتسقطة بعلاوة على المجازفة (ميدان اقتصادي) عند تطبيقها في مسائل الاختيار.

تطبيقات خاصّة (اقتصاد، تأمينات وأموال)

في الرياضيات

القيمة المتسقطة لمتغير عشوائي تعادل احتمال معدل متسلسلة إحصائية في الإحصاء. يرمز إليها ب ( E( X وتقرأ القيمة المتسقطة لـ X.

تحسب القيمة المتسقطة كالتباين أي باستعمال قوى المتغير العشوائي.

معادلات

تحسب القيمة المتسقطة لمتغيرات عشوائية (حقيقية أومركبة) بالشكل التالي:

إذا كان المتغير العشوائي X متغير منفصل:

- إذا كانت قيمة X تنتمي إلى مجموعة منتهية { x₁, x₂, ..., x_n وكل عنصر x_i احتماله p_i إذن : ${\displaystyle E(X)=\sum _{i=1 ^{n p_{i \,x_{i$
- إذا كانت قيمة X تنتمي إلى مجموعة عدودة { ...,x₁, x₂, ..., x_i فإنّ ${\displaystyle E(X)=\sum _{i\in \mathbb {N p_{i \,x_{i$ (إذا كانت المتسلسلة تنتهي مطلقا : النهاية المطلقة للمتسلسلة تضمن استقلال مجوعها عن كيفية ترقيم أطرافها)

إذا كان المتغير العشوائي X متغير متصل:

- إذا كانت لـ X الدالة الكثافة الاحتمالية f إذن ${\displaystyle E(X)=\int _{\mathbb {R x\,f(x)\,dx$ بشرط حتى تكون الدالة قابلة للتكامل.

- إذا كانت X دالة قابلة للقياس في (Ω, B, p) في مجموعة الأعداد الحقيقية، موجبة وP-قابلة للقياس : ${\displaystyle E(X)=\int _{\Omega X\,dP=\int _{\mathbb {R x\,dP_{X$ (حيث ${\displaystyle \ P_{X$ الاحتمال الصورة)

التقييم

يقول قانون الأعداد الكبيرة حتى المعدل التجريبي لـ N (مع ملاحظة حتى N كبير) للمتغير العشوائي X تقدير جيّد للقيمة المتسقطة لـ X.

طابع التوسط

غالبا، نعتبر القيمة المتسقطة حتى تكون مثل "وسط المتغير العشوائي"، أي القيمة التي تتوزع حولها القيم الأخرى. مثلا إذا كان لـX و2a - X نفس التوزيع الإحتمالي أي أنّ التوزيع هذا متناظر بالنسبة إلى a، إذن E ( X ).

ولكن هذه الفكرة تفقد صحتها إذا لم يكن التوزيع متناظرا. لندرس كمثال التوزيع الهندسي، وهوتوزيع غير متناظر. إذا X يمثل عدد رميات زهر نرد، يمكن حتى نبرهن أنّستة =( E( X يعني حتى لنحصل على "1" يكفي، معدلا، حتى نرمي الزهرستة مرّات. ولكن احتمال أنّخمسة رميات أوأقل تكفي للحصول على "1" تساوي 0.6 والاحتمال حتىسبعة رميات أوأكثر تساوي 0.33. قيمات X تتوزع بطريقة غير متساوية حول القيمة المتسقطة.