ميكانيكا لاگرانج أوميكانيكا لاجرانج Lagrangian mechanics تعبير عن إعادة صياغة للمكيانيك الكلاسيكي قدمه جوزيف لويس لاغرانج عام 1788. في ميكانيك لاغرانج ، مسار الجسم يشتق بإيجاد المسلك الذي يقلل العمل action ، وهومقدار يعتبر تكامل لكمية ندعوها لاغرانجي Lagrangian على الزمن . اللاغرانجي بالنسبة للميكانيك الكلاسيكي يعتبر الفرق بين الطاقة الحركية والطاقة الكامنة .

هذا الموضوع يبسط بصورة كبيرة الكثير من المسائل الفيزيائية . مثلا كرة صغيرة في حلقة . إذا قمنا بالحساب على أساس الميكانيك النيوتني ، سيحصل المرء على مجموعة معقدة من المعادلات التي ستأخذ بعين الاعتبار القوى التي تؤثر بها الدوامة على الكرية في جميع لحظة .

نفس هذه المسألة تصبح أسها باستخدام ميكانيك لاغرانج . حيث ينظر المرء إلى جميع الحركات الممكنة التي تقوم بها الكرية على الدوامة ويجد رياضيا الحركة التي تقلل العمل إلى ادنى حد . بالتاليقد يكون لدينا عدد أقل من المعادلات لأنها لا تمثل حسابا مباشرا لتأثير الدوامة على الكرية عند جميع لحظة .

معادلات لاگرانج

لنعتبر جسيما مفردا ذوكتلة m وشعاع موضع r . تطبق عليه قوة F ، يمكن عندئذ حتى نعبر عن هذه القوة على أنها تدرج تابع الطاقة الكامنة القياسي (V(r, t:

${\displaystyle \mathbf {F =-\nabla V.$

مثل هذه القوة تكون مستقلة عن المشتق الثالث أوالمشتقات الأعلى رتبة لشعاع الموضع r ، لذا فإن هذه قانون نيوتن الثاني يشكل مجموعة من ثلاث معادلات تفاضلية نظامية من الرتبة الثانية .

لذا فإن حركة هذا الجسيم يمكن وصفها بدلالة متغيرات مستقلة أوما يدعى " درجات حرية " . درجات الحرية هذه هي مجموعمة من ستة متغيرات :

{ r_j, r′_j | j = 1, 2, 3 ,

المركبات الديكارتية لشعاع الموضع r ومشتقاته الزمنية ( مشتقاته بالنسبة للزمن ), في لحظة زمنية معينة أي حتى الموضع (x,y,z) والسرعة بمكوناتها الديكارتية الثلاثة :

((v_x,v_y,v_z ) ).

بشكل أعم ، يمكننا العمل ضمن جملة إحداثيات معممة

, q_j, مع مشتقاتها الزمنية ، أوما يدعى بالسرع معممة ، q′_j.

يرتبط شعاع الموضع r مع الإحداثيات المعممة عن طريق جملة معادلات تحويل

${\displaystyle \mathbf {r =\mathbf {r (q_{i ,q_{j ,q_{k ,t).$

فمثلا من أجل نواس سهل ذوطول l ،قد يكون الخيار المنطقي للإحداثيات المعممة هوزاوية النواس التي يصنعها مع خطه الشاقولي ( العمودي ) ، θ,

وتكون معادلات التحويل :

${\displaystyle \mathbf {r (\theta ,\theta ',t)=(l\sin \theta ,l\cos \theta )$.

مصطلح إحداثيات معممة أحد بقايا فترة استخدام الإحداثيات الديكارتية كنظام إحداثيات افتراضي .

لنعتبر الإزاحة الإعتبارية للجسم δr فيكون العمل المنجز من قبل القوة F هو :

δW = F · δr.

باستخدام قانون نيوتن الثاني يمكننا حتى نخط :

${\displaystyle {\begin{matrix \mathbf {F \cdot \delta \mathbf {r &=&m\mathbf {r ''\cdot \delta \mathbf {r .\end{matrix$

بما حتى العمل كمية فيزيائية قياسية ( كمية وليست شعاعية ) يمكننا إعادة كتابة هذه المعادلات بدلالة الإحداثيات المعممة والسرع على الجانب الأيسر .

${\displaystyle {\begin{matrix \mathbf {F \cdot \delta \mathbf {r &=&-\nabla V\cdot \sum _{i {\partial \mathbf {r \over \partial q_{i \delta q_{i \\\\&=&-\sum _{i,j {\partial V \over \partial r_{j {\partial r_{j \over \partial q_{i \delta q_{i \\\\&=&-\sum _{i {\partial V \over \partial q_{i \delta q_{i .\\\end{matrix$

عملية تنسيق الجانب الأيمن أكثر صعوبة لكن بعد الترتيب والتبديل :

${\displaystyle m\mathbf {r'' \cdot \delta \mathbf {r =\sum _{i \left[{d \over dt {\partial T \over \partial q'_{i -{\partial T \over \partial q_{i \right]\delta q_{i$

حيث هي الطاقة الحركية للجسيم T = 1/2 m r′ ² . ومعادلة العمل المنجز ستصبح بالشكل :

${\displaystyle \sum _{i \left[{d \over dt {\partial {T \over \partial {q'_{i -{\partial {(T-V) \over \partial q_{i \right]\delta q_{i =0.$

على أي حال ، فإن هذا يجب حتىقد يكون سليما بالنسبة لأي مجموعة من الإزاحات المعممة δq_i, لذاقد يكون لدينا :

${\displaystyle \left[{d \over dt {\partial {T \over \partial {q'_{i -{\partial {(T-V) \over \partial q_{i \right]=0$

من أجل أي من الإحداثيات المعممة δq_i.

يمكننا حتى نبسط هذه المعادلة بملاحظة V حتى هوتابع ل r وt, وشعاع الموضع r تابع أيضا للإحداثيات المعممة والزمن t لذا فإن السرعة V تكون مستقلة عن السرع المعممة

${\displaystyle {d \over dt {\partial {V \over \partial {q'_{i =0.$

بإدخال هذا في المعادلة السابقة واستبدال L = T - V نحصل على معادلات لاگرانج :

${\displaystyle {\partial {L \over \partial q_{i ={d \over dt {\partial {L \over \partial {q'_{i .$

هناك دوما معادلة لاگرانج وحيدة لكل إحداثي معمم q_i. وعندماقد يكون q_i = r_i (أي حتى الإحداثيات المعممة هي ببساطة إحداثيات ديكارتية ), عندئذ نستطيع بسهولة اختزال معادلة لاغرانج إلى قانون نيوتن الثاني.

الاشتقاق أعلاه يمكن تعميمه على نظام (جملة) مؤلفة من N جسيم. عندئذقد يكون هناك 6N إحداثي معمم يرتبطان بإحداثيات الموضع عن طريق معادلات التحويل الثلاثية 3N . في معادلات لاغرانج 3Nقد يكون دوما T هوالطاقة الحركية الكلية للجملة ، وV الطاقة الكامنة الكلية .

عمليا من الأسهل حل المسألة ياستخدام معادلة اويلر-لاگرانج بدلا من قوانين نيوتن . ذلك لأن الإحداثيات المعممة q_i يمكن اختيارها لتلائم تناظرات النظام .

كتلة ساقطة

${\displaystyle {\mathcal {L =T-V={\frac {1 {2 m{\dot {x ^{2 +mgx$.

بندول على نادىمة قابلة للحركة

${\displaystyle T={\frac {1 {2 M{\dot {x ^{2 +{\frac {1 {2 m\left({\dot {x _{\mathrm {pend ^{2 +{\dot {y _{\mathrm {pend ^{2 \right)={\frac {1 {2 M{\dot {x ^{2 +{\frac {1 {2 m\left[\left({\dot {x +l{\dot {\theta \cos \theta \right)^{2 +\left(l{\dot {\theta \sin \theta \right)^{2 \right],$

and the potential energy of the system is

${\displaystyle V=mg\operatorname {y _{\mathrm {pend =-mgl\cos \theta .$

اللاگرانجي يصبح:

${\displaystyle {\mathcal {L =T-V={\frac {1 {2 M{\dot {x ^{2 +{\frac {1 {2 m\left[\left({\dot {x +l{\dot {\theta \cos \theta \right)^{2 +\left(l{\dot {\theta \sin \theta \right)^{2 \right]+mgl\cos \theta ={\frac {1 {2 \left(M+m\right){\dot {x ^{2 +m{\dot {x l{\dot {\theta \cos \theta +{\frac {1 {2 ml^{2 {\dot {\theta ^{2 +mgl\cos \theta$

Now carrying out the differentiations gives for the support coordinate x

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d {\mathrm {d t \left[(M+m){\dot {x +ml{\dot {\theta \cos \theta \right]=0,$

therefore:

${\displaystyle (M+m){\ddot {x +ml{\ddot {\theta \cos \theta -ml{\dot {\theta ^{2 \sin \theta =0$

indicating the presence of a constant of motion. The other variable yields

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d {\mathrm {d t \left[m({\dot {x l\cos \theta +l^{2 {\dot {\theta )\right]+m({\dot {x l{\dot {\theta +gl)\sin \theta =0$;

therefore

${\displaystyle {\ddot {\theta +{\frac {\ddot {x {l \cos \theta +{\frac {g {l \sin \theta =0$.

مبدأ هاملتون

العمل، ذوالرمز ${\displaystyle {\mathcal {S$، هوالتكامل الزمني للاگرانجي:

${\displaystyle {\mathcal {S =\int {\mathcal {L \,\mathrm {d t.$

Let q₀ and q₁ be the coordinates at respective initial and final times t₀ and t₁. Using the calculus of variations, it can be shown the Lagrange's equations are equivalent to Hamilton's principle:

The system undergoes the trajectory between t₀ and t₁ whose action has a stationary value.

By stationary, we mean that the action does not vary to first-order for infinitesimal deformations of the trajectory, with the end-points (q₀, t₀) and (q₁,t₁) fixed. Hamilton's principle can be written as:

${\displaystyle \delta {\mathcal {S =0.\,\!$

Thus, instead of thinking about particles accelerating in response to applied forces, one might think of them picking out the path with a stationary action.

في عام 1948، اخترع ريتشارد فاينمان صياغة تكامل المسار ممدداً مبدأ أقل عمل إلى ميكانيكا الكم للإلكترونات والفوتونات. In this formulation, particles travel every possible path between the initial and final states; the probability of a specific final state is obtained by summing over all possible trajectories leading to it. In the classical regime, the path integral formulation cleanly reproduces Hamilton's principle, and Fermat's principle in optics.

انظر أيضاً

• Canonical coordinates
• Functional derivative
• Generalized coordinates
• ميكانيكا هاملتونية
• Lagrangian analysis (applications of Lagrangian mechanics)
• Nielsen form
• Restricted three-body problem

المصادر

• Goldstein, H. Classical Mechanics, second edition, pp.16 (Addison-Wesley, 1980)
• Moon, F. C. Applied Dynamics With Applications to Multibody and Mechatronic Systems, pp. 103-168 (Wiley, 1998).

قراءات اضافية

• Landau, L.D. and Lifshitz, E.M. Mechanics, Pergamon Press.
• Gupta, Kiran Chandra, Classical mechanics of particles and rigid bodies (Wiley, 1988).

وصلات خارجية

• Tong, David, Classical Dynamics Cambridge lecture notes
• Principle of least action interactive Excellent interactive explanation/webpage
• Aerospace dynamics lecture notes on Lagrangian mechanics
• Aerospace dynamics lecture notes on Rayleigh dissipation function
• Introduction to Lagrangian Mechanics [1]
• [2] Sydney Grammar School Academic Extension notes