مرونة خطية ( Linear elasticity ) هي دراسة رياضية لكيفية تشويه ( Deform ) الأجسام الصلبة ليصبح الجسم متداخلا ( "مضغوطا للداخل" Internally Stressed ) بسبب الظروف التي تعرض لها. تعتمد المرونة الخطية على الفرضية الاستمرارية ( Continuum Hypothesis ) وتطبق عيانيا أومجهريا( بعض الأحيان ).والمرونة الخطية هي تبسيط للنظرية الأكثر عموما وهي نظرية المرونة الغير خطية ( Nonlinear Theory of Elasticity ) وهي فرع من الميكانيكا الإستمرارية ( Continuum Mechanics ).

الإفتراضات الأساسية "الخطية ( linearizing )" للمرونة الخطية هي:

• وجود سلاسل متناهية في الصغر .
• العلاقة الخطية في العناصر بين الضغط ( Stress ) والإجهاد.
• المرونة الخطية لا تستخدم إلا في حالة الضغوط.

وهذه الإفتراضات معقولة بالنسبة للعديد من الموارد الهندسية والتصميم الهندسي. لذلك أُستخدمت بشكل واسع في قواعد التحليل أوهيكليته والتصميم الهندسي ,وكثير من الأحيان تستخدم للمساعدة في تحليل العناصر المحدودة .

الصيغة الرياضية

• تينسور: هي تعبير تفاضلي لكمية متجهة.(سوف أذكرها تنسور)

المعادلات التي تقوم عليها المرونة الخطية أساس ثلاث معادلات تنسور تفاضلية جزئية لميزان الزخم الخطي وعلاقات إزاحة الإجهاد المتناهية الصغر الستّ.وإذا أنظمة المعادلات التفاضلية تكتمل عند وضع العلاقات الجبرية الخطية.

نموذج تنسور المباشر

في هذا النموذج نجد أنه مستقل عن عملية اختيار الإحداثيات,ومعادلاته هي:

• معادلة الحركة ,والتي تعبر عن قانون نيوتن الثاني:

${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla \cdot {\boldsymbol {\sigma +\mathbf {F =\rho ~{\ddot {\mathbf {u$

• معادلة إزاحة الاجهاد:

${\displaystyle {\boldsymbol {\varepsilon ={\tfrac {1 {2 \left[{\boldsymbol {\nabla \mathbf {u +({\boldsymbol {\nabla \mathbf {u )^{T \right]\,\!$

• المعادلات الأساسية.يمثل قانون هوك السلوك المادي ويربط بين الضغط المجهول والإجهاد. والمعادلة العامة لقانون هوك هي:

${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma ={\mathsf {C :{\boldsymbol {\varepsilon \,\!$

حيث:

• ${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma$ هوإجهاد كاوكهي تنسور( Cauchy stress tensor ),
• ${\displaystyle {\boldsymbol {\varepsilon$ هوإجهاد متناهي الصغر تنسور( infinitesimal strain tensor ),
• ${\displaystyle \mathbf{u}}$
• ${\displaystyle {\mathsf {C$ هوتنسور لتصلب المواد( tensor of material stiffness ),
• ${\displaystyle \mathbf {F$ هوقوة الجسم لكل وحدة حجم,
• ${\displaystyle \mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}}$
• ${\displaystyle \mathbf{\nabla <!--\; \nabla \; -->}\cdot <!--\; \cdot \; -->(\bullet <!--\; \bullet \; -->)}$
• ${\displaystyle \mathbf{\nabla <!--\; \nabla \; -->}(\bullet <!--\; \bullet \; -->)}$${\displaystyle (\bullet )^{T$ يمثل النقل,
• ${\displaystyle \stackrel{¨<!--\; ¨\; -->}{\bullet <!--\; \bullet \; -->}}$

نموذج الاحداثيات الديكارتي

المعادلات هي:

• معادلة الحركة:

${\displaystyle \sigma _{ji,j +F_{i =\rho \partial _{tt u_{i \,\!$

• معادلات إجهاد إزاحية:

${\displaystyle \varepsilon _{ij ={\frac {1 {2 (u_{j,i +u_{i,j )\,\!$

• المعادلات الأساسية.وهذه المعادلة من قانون هوك:

${\displaystyle \sigma _{ij =C_{ijkl \,\varepsilon _{kl \,\!$

حيث:

• ${\displaystyle \sigma _{ij =\sigma _{ji \,\!$ هي إجهاد كاوكهي تنسور( Cauchy stress tensor ),
• ${\displaystyle F_{i \,\!$ هي قوة الجسم ,
• ${\displaystyle \rho \,\!$ هي الكثافة الحجمية( mass density ),
• ${\displaystyle u_{i \,\!$ الازاحة ,
• ${\displaystyle C_{ijkl \,\!$ هي تنسور مرن ( elasticity tensor ) ,
• ${\displaystyle \lambda ,\mu ,\nu ,\,\!$ و${\displaystyle E\,\!$ هي ثابت المادة ,
• ${\displaystyle \varepsilon _{ij =\varepsilon _{ji \,\!$ هي الاجهاد ,
• ${\displaystyle \partial _{t \,\!$ هي ${\displaystyle \partial /\partial t\,\!$.

وسائل الخواص الموحدة المتجانسة

من وسائل الخواص الموحدة ان تنسور مرن يعطينا العلاقة بين الضغوط (الناتجة من الضغوط الداخلية) والسلاسل المتكونة (التشوهات).وفي الخواص الموحدة للوسط(اي هواء أوماء الوسيط المادي) فنجد ان التنسور المرن لاقد يكون اي علاقة مباشرة فمثلا عند اعطائها القوة يفترض أن لن تكون بنفس التوجه (بالنسبة لاتجاه القوة) .وفي حالة الخواص الموحدة فان التنسور المرن:

${\displaystyle C_{ijkl =K\,\delta _{ij \,\delta _{kl +\mu \,(\delta _{ik \delta _{jl +\delta _{il \delta _{jk -\textstyle {\frac {2 {3 \,\delta _{ij \,\delta _{kl )\,\!$

حيث K ( فقدان المقدرة) و${\displaystyle \mu \,\!$ (الجمود) وهما ثابتان ويطلق عليهما معاملا المرونة,إذا كان الوسط متجانس تام, فإن معاملات المرونة ( K و${\displaystyle \mu \,\!$) لن تكون مهمة للوسيط اي ان جميع منهما بمقدار وحدة واحدة.

المعادلة الأساسة هي:

${\displaystyle \sigma _{ij =K\delta _{ij \varepsilon _{kk +2\mu (\varepsilon _{ij -\textstyle {\frac {1 {3 \delta _{ij \varepsilon _{kk )\,\!$

ويقسم هذا التعبير الرياضي إلى قسمين الايسر الذي يرافق ضغط معين,والايمن المرافق لقوة شد معينة.وبعبارة ابسط:

${\displaystyle \sigma _{ij =\lambda \delta _{ij \varepsilon _{kk +2\mu \varepsilon _{ij \,\!$

حيث λ هي المعيار الأول أوالباروميتر الأول. لكن المعادلة التأسيسية هي معادلة خطية.ويمكن ان تكون بشكل أكثر عمومية كالتالي:

${\displaystyle \varepsilon _{ij ={\frac {1 {9K \delta _{ij \sigma _{kk +{\frac {1 {2\mu \left(\sigma _{ij -\textstyle {\frac {1 {3 \delta _{ij \sigma _{kk \right)\,\!$

وهوكما ذكرنا سابقا بأن الشق الايمن يعبر عن قوة الشد والايسر عن الضغط.وبمعادلة ابسط:

${\displaystyle \varepsilon _{ij ={\frac {1 {2\mu \sigma _{ij -{\frac {\nu {E \delta _{ij \sigma _{kk ={\frac {1 {E [(1+\nu )\sigma _{ij -\nu \delta _{ij \sigma _{\, \!$

حيث ν نسبة بواسون,وE  معامل يونج.

الالستوستاتيك

هي دراسة للمرونة الخطية في حالة التوازن, حيث ان محصلة القوى على جسم مرن تكون صفر, والازاحة هنا ليست دالة الوقت. ومعادلة التوازن هي:

${\displaystyle \sigma _{ij,j +F_{i =0\,\!$

صيغة الازاحة

ان الازاحات متواجدة في جميع مكان ولا يوجد فواصل لها. وفي هذا السياق فان الضغط والاجهاد يفترض أن لن تكون مجهولة حسب قانون هوك, كما هومبين في المعادلة التالية:

${\displaystyle {\begin{aligned \sigma _{ij &=\lambda \delta _{ij \varepsilon _{kk +2\mu \varepsilon _{ij \\&=\lambda \delta _{ij u_{k,k +\mu \left(u_{i,j +u_{j,i \right)\\\end{aligned \,\!$

• اختلاف التوسعات ( Differentiating yields ):

${\displaystyle \sigma _{ij,j =\lambda u_{k,ki +\mu \left(u_{i,jj +u_{j,ij \right)\,\!$

• استبدال معادلة التوازن بالتوسعات:

${\displaystyle \lambda u_{k,ki +\mu \left(u_{i,jj +u_{j,ij \right)+F_{i =0\,\!$

أو

${\displaystyle \mu u_{i,jj +(\mu +\lambda )u_{j,ij +F_{i =0\,\!$

حيث ${\displaystyle \lambda \,\!$ و${\displaystyle \mu \,\!$ معايير عواتى( Lamé parameter ).

المعادلة التوافقية الثنائية

يمكن كتابة معادلة التوازن بالشكل التالي:

${\displaystyle (\alpha ^{2 -\beta ^{2 )u_{j,ij +\beta ^{2 u_{i,mm =-F_{i \,\!$

واذا فرضنا ان القوة تساوي صفر (${\displaystyle F_{i,i =0\,\!$),فستتكون لنا المعادلة التالية:

${\displaystyle (\alpha ^{2 -\beta ^{2 )u_{j,iij +\beta ^{2 u_{i,imm =0\,\!$

واذا بسطنا المعادلة السابقة:

${\displaystyle \alpha ^{2 u_{j,iij =0\,\!$

حيث نستنتج ان:

${\displaystyle u_{j,iij =0\,\!$

صيغة الضغط

${\displaystyle \varepsilon _{ij,km +\varepsilon _{km,ij -\varepsilon _{ik,jm -\varepsilon _{jm,ik =0\,\!$

حلول للحالات المرنة

• نقطة القوة في الداخل لا نهائية في الخواص الموحدة.
• اتصال جسمين مرنين معاقد يكون تمغنط.