متحكم تربيعي خطي

أل كيوأر LQR إختصار لحدثة Linear Quadratic Regulator أي متحكم تربيعي خطي وهي طريقة من طرق تطويع وتسيير النظم ونوع من المتحكمات. وتعتبر هذه المتحكمات أوهذه الطريقة من نوع طرق التحكم المثالي Optimal Control. المتحكم التربيعي الخطي هومتحكم بإرجاع الحالة وذلك يعني أولا أننا بحاجة إلى ملاحظ ليعطينا حالات النظام. كما أننا بحاجة إلى المتحكم. هذا المتحكم يتم الحصول عليه بطرية سنوضحها في هذه الموضوعة. أما عن سبب حساب المتحكم على المتحكمات المثالية فذلك لأن المتحكم يصغر دلالة تربيعية معينة سنوضحها أسفله. بما حتى المتحكم خطي والدلالة التي يصغرها تربيعية فإن المتحكم يسمى تربيعي خطي أوأيضا أل كيوأر.

توضيح طريقة بناء المتحكم (مع نموذج خطي)

لنفترض أنه لدينا نظام على شاكلة:

{\displaystyle {\dot {x (t)=Ax(t)+Bu(t)

حيث

{\displaystyle x(t)\in R^{n

و

{\displaystyle u\in R^{q

مع الشروط البدئية ${\displaystyle x(0)=x_{0$ . نحن نريد الآن إيجاد متحكم خطي بإرجاع الحالة على شاكلة:

${\displaystyle u=K_{c x$

يجعل النظام مستقرا وفي نفس الوقت يقوم بتصغير (تحسين) الدلالة التالية:

${\displaystyle I(x_{0 ,u(.))=\int _{0 ^{\infty (x^{t (\tau )Qx(\tau )+u^{t (\tau )Ru(\tau ))d\tau$

وما يجدر ملاحظته هنا أننا عبرنا عن المعايير التي نريدها لمتحكمنا في مجال الزمن أي حتى الخاصيات التي نريدها للمتحكم عبرنا عنها في مجال الزمن time domain على عكس عدة طرق أخرى التي تعبر عن خاصيات المتحكمات في مجال الترددات frequency domain. حيث يمثل الجزء الأول من الدلالة ${\displaystyle x^{t Qx$ تقييمنا للإختلاف قيمة الحالة الحقيقية مقارنة بقيمة الحالة التي نريدها. ويمثل ${\displaystyle u^{T Ru$ تقييمنا لقيمة الطاقة التي نستعملها لجعل النظام مستقرا. حيث حتى مداخل u كبيرة تعني أننا نحصل على قيمة كبيرة للدلالة وهوما يتضارب وعملية التحسين. إذن المعايير التي عبرنا عنها رياضيا أعلاه في الدلالة هي أننا نريد جعل النظام مستقر بأقل جهد أومدخل u ممكن

مبرهنة

إذا كانت Q مصفوفة متوازية symmetric وذات تحدد شبه موجب Positiv semi definit أي ${\displaystyle Q\geq 0$
وR مصفوفة متوازية وذات تحدد موجب أي ${\displaystyle R>0$
والنظام (A,B) قابل للإستقرار
والنظام (A;M) قابل للإكتشاف حيث ${\displaystyle M={\sqrt {Q$

فإن المتخكم المثالي بإرجاع الحالة هوالآتي:

${\displaystyle u=-R^{-1 B^{T Px=K_{c x$

حيث P هي حل معادلة ريكاتي المصفوفية الجبرية algebraic riccatti equation أي المعادلة التالية:

${\displaystyle PA+A^{T P+Q-PBR^{-1 B{T P=0$

في حالة حتى النظام خطي وذومعاملات متغيرة زمنيا Time variant أوفي حالة حتى مجال التحسين ليس ${\displaystyle [0\ \infty [$ بل ${\displaystyle [0\ t_{f ]$ أي حتى مجال التحسين محدود فإن الفرق الوحيد مقارنة بما ذكر أعلاه هوحتى المتحكم ${\displaystyle K_{c$ سيكون ذومعاملات متغيرة زمنيا والمصفوفة P يجب حسابها من معادلة ريكاتي التفاضلية أي:

${\displaystyle {\dot {P(t) =-P(t)A-AP(t)-Q+P(t)BR^{-1 B{T P(t)$

${\displaystyle P(t_{f )=0$

خاصيات المتحكم التربيعي الخطي

يضمن المتحكم التربيعي الخطي مخزون طور مقداره 60 درجة أي أنه يمكن إعتباره من المتحكمات القابلة للتشويش Robust controller.
في الموضوع اعلاه إفترضنا حتى الحالة x معروفة لنا أويمكننا قياسها حيث أننا نستعملها في حساب المدخل المثالي u أي مخرج المتحكم (u=Kx). هذا الإفتراض ليس دائما واقعيا حيث أنه يجب علينا إستعمال ملاحظ لفهم الحالة. الملاحظ ذاته له ديناميكية. ف يحالة حتى الملاحظ والنظام خطي فإنه هناك مبرهنة تقول حتى أقطاب النظام المغلق أي الموصل داءريا closed loop هي إتحاد مجموعة أقطاب النظام المغلق بالمتحكم ${\displaystyle K_{c$ مع مجموعة أقطاب الملاحظ.