دالة رتيبة

رسم 1: دالة رتيبة تصاعدية (في بعض أجزائها، فإنّ الدالة مجرد دالة رتيبة غير تنازلية، وفي باقي الأجزاء فالدالة تصاعدية تمامًا).

رسم 2: دالة رتيبة تنازلية.

رسم 3: دالة غير رتيبة.

الدالة الرتيبة في الرياضيات هي دالة تحافظ على ترتيب ما. نشأ مصطلح الدالة الرتيبة من حساب التفاضل والتكامل وعمّم لاحقًا لما يطلق عليه أسم نظرية الترتيب.

الدوال الرتيبة في التحليل الرياضي وحساب التفاضل والتكامل

في سياق التحليل الرياضي وحساب التفاضل والتكامل، تدعى الدالة الحقيقيّة f الفهم على مجموعة جزئية من الأعداد الحقيقية دالة رتيبة تصاعدية (أحيانًا، دالة تصاعدية أوغير تنازليّة)، إذا كان لكل x ≤ y يتحقّق أيضًا ${\displaystyle f(x)\leq f(y)$ ، أي أنّها تحافظ على الترتيب (أنظر رسم 1). وبحسب نفس المنطق، فإنّ f رتيبة تنازلية (تنازلية أوغير تصاعدية) إذا كان لكل x ≤ y يتحقّق أيضًا ${\displaystyle f(x)\geq f(y)$ ، أي أنّ الدالة تعكس الترتيب (انظر رسم 2).

إذا ما استبدلت اشارات "الأكبر أويساوي" ≤ بإشارات "أكبر من" < نحصل على شرط أقوى. في هذه الحالة يطلق على الدوال اسم تصاعدية تمامًا أوتنازلية تمامًا بالتناظر. ومن خواص هذه الدوال أنّها دوال واحد لواحد (أي بالامكان تعريف دالة عكسية لها)، أذ أنّه إذا كان لـx ولـy قيمتين مختلفتين، فإمّا حتىقد يكون x < y أوx > y، وحسب نوع الدالة الرتيبة (تصاعدية أم تنازلية تمامًا)قد يكون ${\displaystyle f(x)<f\left(y\right)$ أو ${\displaystyle f(x)>f\left(y\right)$ ، وعلى جميع حال فإنّ ${\displaystyle f(x)\neq f(y)$ وهوما يجعلها دالة واحد لواحد.

الدوال البولية

العناقيد التوزيعية الحرة للدوال البولية الرتيبة على المتغيرات 0, 1, 2, وثلاثة .

في الجبر البولي، الدالة الرتيبة هي تلك التيقد يكون فيها لكل a_i وb_i في {0,1 بحيث a₁ ≤ b₁, a₂ ≤ b₂, ... , a_n ≤ b_n

فإنه سليم أن:

f(a₁, ... , a_n) ≤ f(b₁, ... , b_n).

الدوال البولية الرتيبة هم بالدقة اولئك اللائي يمكن تعريفهن كهجريب ل ands (conjunction) وors (disjunction)، ولكن بدون nots (نفي).

عدد تلك الدوال على n متغير يـُعهد بإسم عدد ددكيند Dedekind number لـ n.

بعض الخواص والنتائج الأساسية

الخواص التالية سليمة لأي دالة رتيبة ${\displaystyle f:\mathbb {R \to \mathbb {R$ :

للدالة f نهاية من اليمين ومن اليسار في جميع نقطة من نطاق الدالة؛
للدالة f نهاية في اللانهاية (في ${\displaystyle \infty$ و ${\displaystyle -\infty$ )، وقد تكون تلك إمّا عددًا حقيقيًا أو ${\displaystyle \infty$ أو ${\displaystyle -\infty$ ؛
أيّة نقاط نقاط عدم استمرار للدالة f تكون حتمًا من نوع قفزة؛