النموذج الرياضيهونموذج مجرّد يستعمل اللغة الرياضية لوصف سلوك نظام ما، وهوتعبير عن العلاقات الرياضية التي تتضمن جميع متغيرات المشكلة، ولبناء نموذج رياضي لمسألة ما يجب أولاً تحليل المشكلة إلى عدد من الدوال الأولية المعروفة بفعاليات المشكلة Activity، وهي متحولات القرار Dicision Variables.

وكل فعالية تشكل صندوق أسود، ما يحدث بداخله غير أساسي من وجهة نظر الباحثين بهذا الحقل، لكن ما يهم هومفردات الدخل والخرج اللقاءة لهذه الفعالية.

شروط النموذج الرياضي السليم

لكيقد يكون النموذج الرياضي -المبني لمشكلة ما- نموذج برمجة خطية، يحب حتى يحقق الافتراضات التالية :

اللاسلبية non negativity

معنى ذلك حتى جميع الفعاليات ${\displaystyle X_{j$ يجب حتى تأخذ قيم غير سالبة ${\displaystyle X_{j \leq 0$ من أجل جميع قيم ${\displaystyle j$ من ${\displaystyle \mathbb {R$ ، و${\displaystyle X_{j \in \mathbb {R$

فإذا عثر متحول حقيقي حر Free Variable، أي مرة يأخذ قيمة موجبة مغايرة للصفر${\displaystyle X_{j \!>0$،ومرة يأخذ قيمة سالبة مغايرة للصفر ايضاً ${\displaystyle X_{j \!<0$، يمكن استبدال هذا المتحول بالفرق: ${\displaystyle X_{j ^{+ -X_{j ^{-$

حيث ${\displaystyle X_{j ^{+ ,X_{j ^{- >0$

التناسبية

العلاقات بين الفعاليات هي علاقات تناسبية، أي مستوى التناسبية يجب حتىقد يكون متناسب مع قيمة الدخل والخرج اللقاءة لهذه الفعالية. (أي حتى مضاعفة قيمة الدخل يعني مضاعفة قيمة الخرج أيضاً).

فإذا كان إنتاج آلتين من نفس النوع يساوي ضعف إنتاج آلة من نفس النوع، فإن انتاج أربع آلات يساوي ضعف إنتاج الآلتين.

الإضافة

بالنسبة لكل نظام فإن كمية الدخل الناتجة من جزيئة معينة مساوٍ لكمية الخرج الإجمالية مضافاً لها الكمية المستهلكة من قبل النظام.

خطيّة دوال الهدف Linearity of Objective Function

لكل معضلة تتم معالجتها بواسطة بحوث العمليات تملك دالة مترافقة معها تعهد بدالة الهدف، وهي تعبير عن هجريب خطي لمتحولات المسألة، وهذه الدالة يجري لها عملية أمثلية تكون أعظمية أوتكون أصغرية بحسب المسألة.

بعض أنواع النماذج

توجد عدة نماذج ومن أبرز هذه النماذج :

نماذج التحصيص Allocation models

وهذا النموذج خاص بتوزيع الموارد على أماكن الطلب بكيفية تعطي أفضل النتائج أي بكيفية تجعل المنفعة أكبر مايمكن والتكاليف أصغر مايمكن ويتم معالجة هذه المشكلة بالبرمجة الرياضية

البرمجة الرياضية Mathematical Programming

وأمثلة على ذلك:

• مثال (1)

اذا كان هناك مخزن للبضائع وله منافذ للتوزيع وكل منفذ له متطلبات تختلف عن الآخر فمن الواجب توزيع البضائع من المخزن بكيفية تحقق أكبر ولج وأقل تكاليف.

• مثال(2)

الموارد المتوفرة لأي شركة مثل المال والمواد الخام والأجهزة والأيدي العاملة .... الخ موارد محدودة فاذا كان على الشركة ان تقوم بانتاج أربع أنواع من المنتجات فأن عليها حتى تقوم بتوزيع مواردها بين المنتجات الأربع بحيث تكون أرباح الشركة أكبر مايمكن.

نماذج التخصيص Assignment Models

تبحث هذه النماذج في كيفية توزيع عدد معين من الموارد ( مدرسين، عمال، آلات ، ....) لعدد من الأنشطة (مدارس، أعمال، وظائف،....) كتوزيع عدد من الموظفين على عدد من الوظائف وكانجاز عدد معين من الشركات لعدد معين من الأعمال ويدخل في هذه النماذج أيضاً حالات يمكن فيها استخدام عدة موارد لعمل أولعدة اعمال ومثال ذلك وسائل النقل التي تبحث في ايجاد طريقة الأقل تكلفة في نقل الموارد (كمنتجات المصانع) الى غايات معينة ( كالمخازن التي تقوم بدورها بتوزيعها على مراكز الترويج) ففي هذه الحالة يمكن حتى تنقل المنتجات من أكثر من مصنع معين لعدة مخازن والسياسة المتبعة لذلك تعتمد بالدرجة الأولى على تكاليف نقل الوحدة من مصنع معين لكل مخزن من المخازن وعلى احتياجات هذا المخزن من المنتجات.

نماذج التتابع Sequencing Models

نحتاج في حياتنا العملية لانجاز كثير من الأعمال في أقل وقت ممكن وبأقل تكلفة ممكنة أيضاً. ونماذج التتابع تحدد لنا التسلسل والأمثل للأعمال الفرعية لعمل معين أوالتسلسل الأمثل للحوادث أوالتسلسل الأمثل لخدمة الزبائن التي تجعل جميع من الوقت الكلي والعائد الكلي للانجاز أفضل مايمكن فاذا اعتبرنا على سبيل المثال مصنعاً يقوم بصناعة عدد من المنتجات المتنوعة واذا افترضنا حتى زمن وتكلفة صناعة أي منتج تتوقفان على ما خلق قبله من منتجات عندئذ تكون المشكلة ايجاد التسلسل الأمثل الذيقد يكون من أجله جميع من الوقت الكلي والتكلفة الكلية لصناعة هذه المنتجات أصغر مايمكن .

نماذج الصفوف (الطوابير) Queuing Models

تسمى هذه النماذج أحيانا بنماذج خطوط الانتظار ومن أمثلة ذلك صفوف السقمى لدى غرفة الاسعاف في مستشفى لتلقي العلاج وصفوف الأجهزة المعطوبة بانتظار إصلاحها .... الخ . والفرضيات التي تقوم عليها نماذج الصفوف تتخلص في حتى زمن وصول الزبائن (سقمى، أجهزة معطوبة ، ......)قد يكون عشوائياً ( أومنتظماً) وان الخدمة تقدم للزبائن وفقا لمقياس معين كترتيب وصولهم مثلا وتسمح هه النماذج بتحديد العدد الأمثل للزبائن الذين يمكن خدمتهم ضمن الطاقة المتوفرة ( عدد الذين يقدمون الخدمات والوقت الممكن لتقديمها والأجهزة التي تساعد في تقديم الخدمة وغيرها تكون محدودة في العادة) .

أساليب المحاكاة Simulation Techniques

نقابل في كثير من الأحيان بعض الأنظمة ذات مشاكل معقدة يصعب ايجاد نموذج لحلها كما هي الحال في النماذج الأربعة المذكورة اعلاه واجراء التجارب على النظام نفسهقد يكون في معظم الأحيان صعبا وباهظ التكاليف ويحتوي على شيء من المخاطر في أحيان أخرى وتقوم في هذه الحالة بمحاكة النظام وتقوم بعدها باجراء التجارب والاقتراحات على هذا النموذج دون المساس بالنظام ثم تستفيد من النتائج التي نحصل عليها لتطبيقها على ذلك النظام.

فاذا افترضنا مثلا حتى مصنعا ما يقوم بتصنيع عدد من المنتجات باستخدام مواد خام متنوعة وان الدراسات التقليدية قد أظهرت حتى هناك زيادة في الطلب على السلعة وبالتالي فان التوسع في الانتاج سيعود على أصحاب المصنع بفوائد كبيرة. ولذلك فقد قررت ادارة المصنع زيادة عدد ساعات عمل جميع من الأجهزة والعاملين في المصنع بالاضافة الى شراء مزيد من المواد الخام. ان القيام بتطبيق هذا القرار قد ينطوي على كثير من المخاطر. فقد يحدث سبب زيادة الطلب على السلعة قد تنتج عن خلل أوظاهرة مؤقتة، مما قد ينتج عنه خسائر مادية عند زوالها. واذا سلمنا ان هذه الظاهرة ليست مؤقتة فقد تظهر مشاكل التخزين أوالنقل ، أوالتكاليف أوفي توفير المواد الخام أوفي استخدام أسلوب المحاكة في مثل هذه المشكلة يمكننا من دراستها واتخاذ قرار بصددها دون تعريض المصنع لأي خسارة أوضرر.

نماذج المنافسة: Competition Model

تقوم هذه النماذج بمعالجة مشاكل تتضمن التنافس بين نظامين أوأكثر ( شركات، أشخاص، .....) هدفه تكبير المنفعة لبعضها دون الأخرى ومن الواضح ترابط القرارات في مثل هذه الحالة بمعنى حتى القرارات التي يتخذها طرف أوأكثر من المتنافسين تؤثر بطريقة مباشرة على القرارات التي تتخذها بقية الأطراف ومن أمثلة ذلك المنافسة بين لاعبي الشطرنج على الفوز في مباراة للشطرنج والتنافس بين الشركات ( صناعية ، بناء وتشييد،....) بغرض الاحتفاظ بنصيب أكبر في السوق المحلية أوالعالمية وتستخدم عمليات ماركوف كأداة للتنبؤ بسلوك المستهلكين وفقاً للزمن الحاضر والمستقبل إذا ما عهد ولائهم في الوقت الحاضر بصنف معين من المنتجات وعهدت كذلك الأنصبة الحالية في السوق لمختلف المتنافسين.

النماذج الديناميكية Dynamic Models

تستخدم نماذج البرمجة الديناميكية لمعالجة مشاكل ذات طبيعة متغيرة مع الزمن وتعتمد نماذج البرمجة الديناميكية على مبدأ رسمي مبدأ الأمثلية والذي ينص على حتى الحل الأمثل يتكوب من سلسلة من الحلول المثلى المتتابعة بمعنى حتى أي حل يؤثر على الحلول التالية والطريقة المتبعة في لك هي تقسيم المشكلة قيد الدراسة الى مشاكل جزئية بسيطة ومتتابعة وايجاد حل أمثل لكل من هذه المشاكل الجزئية ثم ربط الحلول المثلى بعضها مع البعض الآخر بطريقة مناسبة تعطي حلاً أمثل للمشكلة ككل ولتوضيح ذلك لنعتبر حتى المسألة هي ايجاد خطة الأقل تكلفة انتاج في منشأة (مصنع، مغرسة ،..... ) خلال عام عندئذقد يكون مستوى المخزون الحالي هوأحد العوامل التي تؤثر على مايجب انتاجه في المستقبل ويمكن تبسيط هذه المسألة بتقسيمها الة مراحل بحسب أشهر السنة وايجاد أقل تكلفة انتاج لكل فترة ( شهر) ومن الواضح هنا حتى مستوى المخزون في أحد الأشهر يؤثر على مايجب انتاجه في الشهر التالي وبالتالي على تكلفة الانتاج في ذلك الشهر.

نماذج التعادل Breakeven Models

من الطبيعي جداً حتى يتسقط أصحاب المنشآت بأن مجموع فوائد المنشأة سيتجاوز مجموع التكاليف بمرور الزمن. وتسمى الفترة الزمنية من العمل التي يتساوى فيها مجموع العوائد ومجموع التكاليف بفترة أونقطة التعادل فعندماقد يكون مستوى العمل في المنشأة أعلى منه عند نقطة التعادل فأن مكاسب المنشأة تكون في طور النمووإلا فأنها في طور التراجع ونماذج التعادل تعتمد على أسلوب سهل من أساليب التحليل الكمي التي تمكن القائمين على إدارة منشأة من إيجاد أوحساب نقطة التعادل وتستخدم هذه النماذج أيضاً في تخطيط الإنتاج وفي سياسات وقف الشراء .

نماذج التخزين: Inventory Models

تعتبر معضلة تحديد مستوى ملائم من المخزون من المشاكل الهامة للمنشآت بشكل عام، ذلك حتى الزيادة أوالنقص في مستوى مخزون منتجات منشأة يعرض هذه المنشأة لمصاعب كثيرة فمع حتى زيادة الإنتاج تقلل من تكاليفه بشكل عام إلا أنها تكون بمثابة رأس مال عاطل إذا لم يتم استهلاكها.

النماذج المسلكية Behavioral Models

وتهتم هذه النماذج بإجراء ثلاثة أنواع من التحليل الأول حول سلوك الفرد والثاني حول سلوك الجماعة ويتناول الثالث سلوك التنظيم ككل وقد ظهرت الحاجة لإدراج هذه النماذج في بحوث العمليات وذلك لأننا نجد مثلا حتى هناك علاقة قوية بين قناعات ومشجعات العاملين في منشأة وبين مردود تلك المنشأة كما أنه لا يمكننا إهمال سلوك المستهلكين لسلعة ما عند التخطيط لإنتاج تلك السلعة.

مجالات الاستخدام

النماذج الرياضية مستعملة بشكل خاص في علوم الطبيعة وهندسة المجالات (مثل الفيزياء، فهم الأحياء، والهندسة الكهربائية) وأيضاً في العلوم الإجتماعية (مثل الإقتصاد وفهم الإجتماع وفهم السياسة)؛ الفيزيائيون، المهندسون، فهماء الحاسوب، والإقتصاديون يستعملون النماذج الرياضية على نطاق واسع جدا.