التكامل بالتعويض أوالتكامل بتغيير المتغير بالإنجليزية: Integration by substitution أحد الطرق المستعملة في فهم التفاضل والتكامل لحساب الاشتقاق العكسي.

لتكن الفترة ${\displaystyle I\subseteq {\mathbb {R$ و${\displaystyle g:[a,b]\to I\,$ دالة قابلة للتفاضل. ولنفرض حتى ${\displaystyle f:I\to \mathbb {R$. حينئذ

${\displaystyle \int _{a ^{b f(g(t))g'(t)\,dt=\int _{g(a) ^{g(b) f(x)\,dx.$

باستخدام التعويض ${\displaystyle x=g(t)\,$ ينتج ${\displaystyle dx/dt=g'(t)\,$ وبالتالي ${\displaystyle dx=g'(t)\,dt$, وهوالتعويض المطلوب لـ${\displaystyle dx\,$.

تستخدم هذه الصيغة لنقل التكامل إلى شكل اخر بحيثقد يكون سهل الحساب ويمكن ان تستخدم من اليمين لليسار والعكس.

علاقته بالنظرية الأساسية للتكامل

يمكن اشتقاق التكامل بالتعويض من النظرية الأساسية للتكامل. لتكن ƒ وg دالتين تحققان الفرض السابق hypothesis that ƒ متصلة على الفترة I و${\displaystyle g'\,$ متصلة على الفترة المغلقة [a,b]. وبالتالي تكون الدالة ${\displaystyle f(g(t))g'(t)$ متصلة أيضا على [a,b]. وعليه فإن التكاملات

${\displaystyle \int _{g(a) ^{g(b) f(x)\,dx$

و

${\displaystyle \int _{a ^{b f(g(t))g'(t)\,dt$

موجودان بالعمل, وبقي حتى نثبت أنهما متساويان.

بما حتى ƒ متصلة, فإن لها مشتق عكسي F. الدالة ${\displaystyle F\circ <!--\; \circ \; -->g}$

${\displaystyle (F\circ g)'(t)=F'(g(t))g'(t)=f(g(t))g'(t).$

وبتطبيق النظرية الاساسية للتكامل مرتين تحصل على

${\displaystyle {\begin{aligned \int _{a ^{b f(g(t))g'(t)\,dt&{ =(F\circ g)(b)-(F\circ g)(a)\\&{ =F(g(b))-F(g(a))\\&{ =\int _{g(a) ^{g(b) f(x)\,dx,\end{aligned$

وهي قاعدة التعويض.

أمثلة

لنعتبر التكامل

${\displaystyle \int _{0 ^{2 x\cos(x^{2 +1)\,dx$

باستخدام التعويض u = x² + 1, نحصل على du = 2x dx و

${\displaystyle {\begin{aligned \int _{x=0 ^{x=2 x\cos(x^{2 +1)\,dx&{ ={\frac {1 {2 \int _{u=1 ^{u=5 \cos(u)\,du\\&{ ={\frac {1 {2 (\sin(5)-\sin(1)).\end{aligned$

تم التعويض هنا من اليمين لليسار. من المهم التنويه أنه لما كانت النهاية الأسفل x = 0 تم ابدالها بـ u = 0² + 1 = 1, والنهاية الأعلى x = 2 ابدلت بـ u = 2² + 1 = 5, وبإعادة التعويض إلى اصله x لم يكن ضروريا.

لإبجاد التكامل

${\displaystyle \int _{0 ^{1 {\sqrt {1-x^{2 \;dx$

يتوجب استعمال الصيغة من اليسار إلى اليمين: التعويض x = sin(u), dx = cos(u) du مفيد لأن ${\displaystyle {\sqrt {1-\sin ^{2 (u) =cos(u)$ :

${\displaystyle \int _{0 ^{1 {\sqrt {1-x^{2 \;dx=\int _{0 ^{\frac {\pi {2 {\sqrt {1-\sin ^{2 (u) \cos(u)\;du=\int _{0 ^{\frac {\pi {2 \cos ^{2 (u)\;du$

التكامل الناتج يمكن حسابه بواسطة التكامل بالتجزئة أوصيغة مضاعفات الزاوية متبوعة بتعويض مناسب أوأكثر.

لاحظ أيضا حتى التكامل السابق ماهوإلا حساب لمساحة ربع الدائرة والذي كان بالإمكان إيجادة بقسمة مساحة الدائرة على أربعة (وباعتبار نصف قطرها= 1 يصبح الناتج باي\4).

الاشتقاقات العكسية

يمكن ايجاد المشتق العكسي بواسطة التكامل بالتعويض وذلك بدراسة العلاقة بين x وu, dx وdu وبالمفاضلة والتعويض.

يمكن استعمال الكيفية التالية لحل المثال السابق:

${\displaystyle {\begin{aligned &{ \quad \int x\cos(x^{2 +1)\,dx={\frac {1 {2 \int 2x\cos(x^{2 +1)\,dx\\&{ ={\frac {1 {2 \int \cos u\,du={\frac {1 {2 \sin u+C={\frac {1 {2 \sin(x^{2 +1)+C\end{aligned$

حيث C ثابت اختياري ثابت التكامل.

تعويض المتغيرات المتعددة

يمكن استعمال التعويض مع الدوال ذات المتغيرات المتعددة. هنا التعويض (v₁,...,v_n) = φ(u₁, ..., u_n ) متداخلة وقابلة للتفاضل باستمرار, وتحويل التفاضلات

${\displaystyle dv_{1 \cdots dv_{n =|\det(\operatorname {D \varphi )(u_{1 ,\ldots ,u_{n )|\,du_{1 \cdots du_{n$

حيث det(Dφ)(u₁, ..., u_n ) يرمز إلى محدد مصفوفة جاكوبي محتويا على التفاضلات الجزئيةلـ φ . تعبر هذه الصيغة عن الحقيقة القائلة حتى القيمة المطلقةلمحدد متجهات معطاة يساوي حجم متوازي السطوحالممدود.

وبتعبير أدق, تغيير صيغة المتغيرات تنص علية النظرية التالية:

نظرية. لتكن U, V  مجموعات مفتوحة في Rⁿ and φ : U → V  an متداخلة دالة قابلة للتفاضل ولها مشتقات جزئية مستمرة, الجاكوبيان الذي لايحوي صفر لكلx في U. حينئذ لأي قيمة حقيقية, تدعم دمج تابع مستمر f, مع دعم مرتبط في φ(U),

${\displaystyle \int _{\varphi (U) f(\mathbf {v )\,d\mathbf {v =\int _{U f(\varphi (\mathbf {u ))\left|\det(\operatorname {D \varphi )(\mathbf {u )\right|\,d\mathbf {u .$

يمكن اضعاف شروط النظرية بعدة طرق. أولا شرط استمرارية اشتقاق φ يمكن ابداله بالافتراض الاضعف φ تكون قابلة للاشتقاق فقط ولها انعكاس مستمر هذا مضمون إذا كانت φ قابلة للاشتقاق باستمرار نظرية دالة المعكوس. بالمثل, الشرط Det(Dφ)≠0 يمكن عزله بتطبيق نظرية سارد. الكثير من الاصدارات العامة لهذه النتيجة لا زالت.

تطبيقات في الاحتمالات

يمكن استعمال التعويض للاجابة على السؤال المهم في الاحتمالات: إذا فهم حتى متغير عشوائي ${\displaystyle X$ له كثافة احتمالية ${\displaystyle p_{x \,$ ومتغير عشوائي اخر ${\displaystyle Y\,$ له صلة بـ ${\displaystyle X\,$ بالمعادلة ${\displaystyle y=\Phi (x)\,$, فماهي كثافة الاحتمالية ${\displaystyle Y\,$?

من السهولة بمكان الاجابة على السؤال السابق بالاجابة أولا بشكل طفيف على سؤال اخر: ماهواحتمال ان تأخذ ${\displaystyle Y\,$ قيمة في مجموعة فرعية معينة ${\displaystyle S\,$? لنرمز لهذه الاحتمالية بـ ${\displaystyle P(Y\in S)\,$. بالطلع, إذا كانت ${\displaystyle Y\,$ لها كثافة احتمالية${\displaystyle p_{y \,$ فستصبح الاجابة

${\displaystyle P(Y\in S)=\int _{S p_{y (y)\,dy,$

ولكن هذا لا يفيد لاننا لا نفهم p_y; فهي ما نبحث عنه من الوهلة الأولى. يمكننا التقدم خطوة بالنظر للمسألة في المتغير ${\displaystyle X\,$. ${\displaystyle Y\,$ تأخذ قيمة في S حدثا أخذت X قيمة في ${\displaystyle \Phi ^{-1 (S)\,$, وعليه

${\displaystyle P(Y\in S)=\int _{\Phi ^{-1 (S) p_{x (x)\,dx.$

وبالتغيير من x إلى y نحصل على

${\displaystyle P(Y\in S)=\int _{\Phi ^{-1 (S) p_{x (x)~dx=\int _{S p_{x (\Phi ^{-1 (y))~\left|{\frac {d\Phi ^{-1 {dy \right|~dy.$

وبدمج هذه مع المعادلة الأولى تصبح

${\displaystyle \int _{S p_{y (y)~dy=\int _{S p_{x (\Phi ^{-1 (y))~\left|{\frac {d\Phi ^{-1 {dy \right|~dy$

وبالتالي

${\displaystyle p_{y (y)=p_{x (\Phi ^{-1 (y))~\left|{\frac {d\Phi ^{-1 {dy \right|.$

في الحالة التيقد يكون ${\displaystyle X\,$ و${\displaystyle Y\,$ معتمدا على متغيرات غير مترابطة, أي ${\displaystyle p_{x =p_{x (x_{1 \ldots x_{n )\,$, و${\displaystyle y=\Phi (x)\,$, ${\displaystyle p_{y \,$ يمكن ايجادها بالتعويض في متغيرات متعددة تجاوز نقاشها. وتكون النتيجة

${\displaystyle p_{y (y)=p_{x (\Phi ^{-1 (y))~\left|\det \left[D\Phi ^{-1 (y)\right]\right|.$

انظر أيضا

• تكامل بالأجزاء

المراجع

• ترجمة من المسقط الإنكليزي