التحليل المركب أوالتحليل العقدي والذي يعهد تقليدياً بنظرية التوابع ذات المتحولات المركبة أحد فروع الرياضيات التي تبحث في توابع (دوال) الأعداد المركبة (العقدية)، للتحليل المركب استخدامات واسعة في الرياضيات بما في ذلك نظرية الأعداد والرياضيات التطبيقية بالإضافة إلى الفيزياء، بما في ذلك الديناميكا الحرارية والهندسة الكهربائية وجريان الموائع fluid dynamics.

وصف موراي سبيغيل Murray Spiegel التحليل المركب بأنه "واحد من أجمل وأنفع فروع الرياضيات".

الاهتمام الأساسي للتحليل المركب هوالدوال التحليلية ذات المتغيرات المركبة ، أوما يعهد بالدوال تامة الشكل Holomorphic function .

تطوّرت دراسة خواص الدوال لمتغير عقدي واحد بأسلوب متميِّز في النصف الثاني من القرن التاسع عشر نتيجة للأبحاث اللامعة التي أجراها ريمان، وتبعه بوانكاريه Poincaré، وشوتكي Shottky، وشفارتز Schwarz، وفايرشتراس Weierstrass ونويمانNeumann وغيرهم.

وفي أواخر القرن التاسع عشر وبدايات القرن العشرين ظهرت نظريّة الدوال لعدّة متغيرات عقديّة وأُسِّست نظريّة السطوح الجبريّة وبدأت دراسة الخواص الكاملة للدوال التحليليّة لعدّة متغيرات. كان الاعتقاد السائد حتّى بدايات القرن التاسع عشر هوأنّ معظم الدوال لمتحول حقيقي الفهم على مجال، تقبل الاشتقاق عدداً لا نهائيّاً من المرّات إلا عدداً منتهياً من نقاطه، وأنّه يمكننا في حالة مثل هذه الدوال حتى نعبر عنها على هيئة مجموعة متسلسلة من الدوال كثيرات الحدود تسمى متسلسلة تايلور [ التفاضل]. ولمّا لم تكن الأفكار المتعلّقة بتقارب المتسلسلات قد نضجتْ بعدُ، كان الرياضيّون يقبلون أنّ الدالة تساوي مجموع متسلسلة تايلور المتعلّقة بها. تميّزت بدايات القرن التاسع عشر بالتزام الدّقة، وصار واضحاً بتأثير غاوس Gauss وآبل Abel وكوشي Cauchy، حتى لا معنى لمتسلسلة ما لم يُثْبَت تقاربها، وأنّه توجد دوال تقبل الاشتقاق عدداً لا نهائيّاً من المرّات في جوار نقطة دون حتى تتقارب متسلسلة تايلور المتعلّقة بها في جوار تلك النقطة.

كان كوشي هوأوّل مَنْ أنشأ النظريّة العامة للدوال التحليليّة، إذ راودته فكرة الانتنطق الكامل إلى الساحة العقديّة، وخطا في عدة سنوات خطوات جبّارة، وذلك بإدخاله أداة رياضيّة فعّالة تتمثّل بالتكاملات المنحنية في المستوي العقدي.

نقول عن دالة عقدية فهم على مجموعة جزئيّة من مجموعة الأعداد العقدية إنّها دالة تحليلية أوهولومورفية عليها إذا حققت المعادلة المعروفة باسم معادلة كوشي ـ ريمان. تُعبِّر النتيجة الأساسيّة التي توصّل إليها كوشي عن تعاضد مهمّ بين القيم التي تأخذها دالة تحليلية. إذ يمكن التعبير عن القيم التي تأخذها دالة تحليلية داخل قرص بدلالة قيمه على محيط هذا القرص وذلك بالاستفادة من صيغة مهمة تسمى علاقة كوشي التكاملية. فأثبت انطلاقاً منها حتى التابع التحليلي يساوي مجموعة متسلسلة تايلور المتعلقة به. ومن جهة أخرى، تمثّل نظرية ريمان عن التحويلات المُطابقة مَعْلَماً آخر من معالم التحليل العقدي. نشأت فكرةُ الحويلات المُطابقة تاريخياً من الحاجة إلى رسم الخرائط الجغرافية، إذ لمّا كان سطح الأرض كروياً تقريباً بدا من الواضح أنه من الصعب تمثيله على سطح مستوٍ مع المحافظة على نسب الأبعاد. ولكن من الممكن المحافظة على الأشكال النسبية للتضاريس في جوار كلّ نقطة، ويمكن صوغ هذه الخاصَة رياضياً بتغير دقيق بقولنا: المحافظة على قيم الزوايا وجهتها في جوار جميع نقطة. فنقول عن تقابل بين مجموعتين مفتوحتين من المستوي إنه تحويل مطابق إذا حافظ على الزوايا قيمةً وجهةً، أي كانت الزوايا الحاصلة عند تقاطع منحنيين مساوية جبريّاً للزاوية الحاصلة عند تقاطع صورتيهما وفق هذا التقابل. ونتحقق بسهولة أنّ جميع تحويل مُطابققد يكون في الحقيقة تحليلياً، وكذلكقد يكون أيضاً تحويله العكسي. أثبت ريمان أنه إذا عثر تقابل مستمرٌ، هووتقابله العكسي، بين مجموعة مفتوحة جزئية من مجموعة الأعداد العقدية ومختلفة عنها وبين القرص الواحدي المفتوح، فعندئذ يوجد تحويل مطابق ينقل القرص الواحدي إلى تلك المجموعة.

لم يتوقّف التحليل العقدي عن التطوّر والتوسع منذ ذلك الحين، وظهرت نتائج عديدة ومتشعّبة مهمّة جدّاً نذكر منها مبرهنات Picard، ومبدأ الانتظام العام للعالِم كويب Koebe الذي تُعدُّ مبرهنة ريمان عن التحويلات المُطابِقة حالةً خاصّة منه.

النظرية المحلية

• دالة تامة الشكل Holomorphic function
• دالة عكس-تامة Antiholomorphic function
• معادلات كوشي-ريمان Cauchy-Riemann equations
• إسقاط تشكيلي Conformal mapping
• سلاسل القوى Power series
• قطر التقارب Radius of convergence
• سلاسل لوران Laurent series
• Meromorphic function
• دالة شاملة Entire function
• قطب (تحليل مركب)
• صفر (تحليل مركب)
• بقية (تحليل مركب)
• متفرد معزول Isolated singularity
• متفرد قابل للإزالة Removable singularity
• متفرد أساسي Essential singularity
• نقطة برانش Branch point
• فرع رئيسي Principal branch
• مبرهنة فايرشتراس-كاسوراتي Weierstrass-Casorati theorem
• ثوابت لانداوLandau's constants
• الدوال التامة دوال تحليلية Holomorphic functions are analytic
• مشتق شفارتز Schwarzian derivative
• سعة تحليلية Analytic capacity
• جبر القرص Disk algebra

النمو

• Maximum modulus principle
• مبرهنة الدوائر الثلاث لهادامارد Hadamard three-circle theorem
• حدسية بيبرباخ Bieberbach conjecture
• مبرهنة بوريل-كاراثيودوريل Borel-Carathéodory theorem
• مبرهنة بيكارد
• نظرية توزيع القيمة للدوال التامة
• مبرهنة بالي-فينر Paley-Wiener theorem
• فضاء هاردي Hardy space
  • مبرهنة هاردي Hardy's theorem
  • دالة متقدمة Progressive function
  • مبرهنة كورونا Corona theorem

تكاملات كونتور

• تكامل الطرق Path integral
• مبرهنة كوشي التكاملية Cauchy integral theorem
• صيغة كوشي التكاملية Cauchy's integral formula
• مبرهنة البقية Residue theorem
• مبرهنة ليوفيل (تحليل مركب)
• أمثلة عن تكاملية كونتور
• المبرهنة الأساسية في الجبر
• متصل ببساطة Simply connected
• عدد فيندينغ Winding number
  • Principle of the argument
  • مبرهنة روش Rouché's theorem
• تكامل برومويش Bromwich integral
• مبرهنة موريرا Morera's theorem
• تحويل ميلين Mellin transform
• علاقات كرامر-كرونيغ Kramers-Kronig relations

دوال خاصة

• دالة أسية Exponential function
• دالة بيتا Beta function
• دالة غاما Gamma function
• دالة زيتا لريمان Riemann zeta function
  • فرضية ريمان Riemann hypothesis
  • فرضية ريمان المعممة Generalized Riemann hypothesis
• دالة بيضاوية Elliptic function
  • معدل نصف-دوري Half-period ratio
  • دالات جاكوبي البيضاوية Jacobi's elliptic functions
  • دالات فايرشتراس البيضاوية Weierstrass's elliptic functions
  • دالة ثيتا Theta function
• دالة أحادية بيضوية Elliptic modular function
• دالة جي
• دالة أحادية Modular function
• شكل أحادي Modular form

سطوح ريمان

• استمرار تحليلي Analytic continuation
• كرة ريمان Riemann sphere
• سطح ريمان Riemann surface
• مبرهنة إسقاط ريمان Riemann mapping theorem
• مبرهنة كاراثيودوري (إسقاط تشكيلي) Carathéodory's theorem (conformal mapping
• مبرهنة ريمان-روخ Riemann-Roch theorem

مواضيع أخرى

• تحويل كايلي Cayley transform
• مترافق تناغمي Harmonic conjugate
• مصفوفة بيك Pick matrix
• طريقة المنحدر الأكثر ميلانا Method of steepest descent
• النقاط الدورية لللإسقاطات التربيعية المركبة Periodic points of complex quadratic mappings
• مبرهنة التحليل العاملي لفايرشتراس Weierstrass factorization theorem

متغيرات مركبة متعددة

• مبرهنات كارتان أ وب Cartan's theorems A and B
• مسائل التجيب (جيب التمام) Cousin problems
• حيل التحليليات Analytization trick
• مبرهنة حافة Edge-of-the-wedge theorem

المصادر

• الموسوعة العربية