الوتر المهتز
ينشأ الاهتزاز vibration في وتر string مرن ومشدود ومثبت من إحدى نهايتيه أوكلتيهما نتيجة اضطراب طولاني أوعرضاني يَحدث فيه فيخرجه عن وضع توازنه. ينتشر هذا الاضطراب عبر الوتر مع الزمن على شكل موجة، وتخضع الجسيمات المكونة له لانزياحات مختلفة تحددها طبيعة الموجة.
تعطى سرعة انتشار موجة الاضطراب ـ وهي تتعلق بالخصائص الميكانيكية للوتر فقط ـ بالعلاقة:
حيث T هي التوتر (قوة الشد) المطبق على الوتر، وμ كتلة واحدة الطول منه. فإذا كانت كتلته m وطوله L فإن
μ = m/L.
إذا أُحدث اضطراب طولاني أوعرضاني عند إحدى نهايتي الوتر، لتكن النهاية الواقعة عند x = 0، وكان على شكل موجة جيبية سعتها A وتواترها الزاوي ω = 2π f حيث f التواتر معطاة بالعلاقة:
(2) y (x = 0, t) = A sin ωt
حيث t الزمن وy الانزياح فإن هذا الاضطراب ينتشر في الوتر ويصل إلى نقطة منه تبعد مسافة x عن المبدأ بعد زمن قدره ، وتعطى معادلة انزياح هذه النقطة في اللحظة t بالعلاقة:
(3) y (x, t) = A sin (ω t ± κ x)
حيث تدل إشارة (-) إلى انتنطق نحواليمين، وإشارة (+) إلى انتنطق نحواليسار. أما الثابتة k فهي العدد الموجي wave number وتساوي حيث λ طول موجة الاهتزاز. وتجدر الإشارة هنا إلى حتى الذي ينتقل بتلك السرعة هوالاضطراب أما جزيئات الوتر فتتحرك في مواضعها للأعلى وللأسفل أوذهاباً وإياباً. وتعطي المعادلة (3) تغير الانزياح y لنقطة معينة x من الوتر بدلالة الزمن، أوالتغير في لحظة معينة t لأي نقطة من الوتر.
الأمواج المستقرة في وتر مشدود مثبت من نهايتيه
عندما تصل الموجة إلى نقطة تثبيت الوتر في نهايته تنعكس هناك وترجع منتشرة على الوتر بالاتجاه المعاكس. ففي جميع نقطة من الوتر تبعد مسافة x عن المبدأ تؤثر موجتان، موجة منتقلة نحونقطة الربط وموجة منعكسة عندها، فتتراكب الموجتان وتتداخلان وتنشأ موجة مستقرة ويصبح الوتر على شكل المغزل (أوالمغازل).
توجد على الوتر نقاط تنعدم فيها الحركة تسمى العُقَد nodes كما توجد بين العُقَد نقاط تكون سعة الحركة فيها أعظمية تسمى البطون antinodes (الشكل 1).
ولاشتقاق صيغة دالة الموجة المستقرة تجمع الدالتان y1(x, t) وy2(x, t) للموجتين اللتين لهما سعة واحدة ودور واحد وطول موجي واحد وتنتشران في اتجاهين متعاكسين، وممثلتان بالمعادلة (3). فالمعادلة y1(x, t) = A sin (ωt + κx) تمثل موجة واردة تنتقل إلى اليسار على المحور x+، وعندما تصل إلى النقطة x تساوي الصفر تنعكس. والمعادلة y2(x, t) = -A sin (ωt – κx) تمثل موجة منعكسة تنتشر إلى يمين النقطة x = الصفر. والدالة y (t, x) هي حاصل جمع الدالتين:
(4) y (x, t) = y1(x, t) + y2(x, t) = (2A sin κx) cos ωt
وهي معادلة موجة مستقرة في وتر مثبت عند الطرف x = الصفر. تحدث العقد من أجل sin κx = 0، ويحدث هذا من أجل κx = 0, π, 2π, 3π,....
ولما كان فإن مواضع العقد الممكنة هي:
أوبدلالة λ:
ويُبَيّن الشكل (2) تشكل الموجات المستقرة من أجل قيم n المساوية 1 و2 وثلاثة و4.
التواتر الأساسي والتوافقيات والأنماط
عند نقر وتر طوله محدد L ومثبت من نهايتيه بإحكام ـ شأن الأوتار في معظم الآلات الموسيقية الوترية ـ تنتج موجة مستقرة. تولِّد هذه الموجةُ المستقرة موجةً صوتية في الهواء تواترها هوتواتر تجاوب الوتر، الذي يتعين بخواص الوتر. ينبغي حتىقد يكون للموجة المستقرة التي تنشأ في الوتر عقدتان في طرفيه المثبتين. وهذا ما يحدّ من الاهتزازات المحتملة. فطول الموجة يجب حتىقد يكون مساوياً ، وهذا يوافق من أجل n =1 صوتاً صادراً عن الوتر تواتره ، وهوما يعهد بالتواتر الأساسي fundamental frequency (الشكل 2) حيث تتشكل عقدة عند جميع من الطرفين وبطن في المنتصف. يمثل هذا واحداً من أنماط اهتزاز الوتر، وبالرجوع إلى المعادلة (1) يعطى التواتر الأساسي بالعلاقة:
يهتز الوتر المثالي بالتواتر الأساسي ومضاعفاته التي تدعى جميع التوافقيات التابعة لذلك التواتر. وتكون مواضع العقد والبطون معاكسة لمثيلاتها التي تحدث في عمود الهواء المفتوح [المزمار]. وتشير المعادلة (5) التي تعطي مواضع تشكل العقد في الوتر إلى أنه توجد أنماط أخرى مسموح بها.
الشكل (3) التواتر الأساسي وتواترات التوافقيات الست الأولى لوتر مثبت من طرفيه
ويبين الشكل (3) أمواجاً مستقرة عديدة تدعى التوافقيات harmonics (المدروجات) وهي الموافقة لقيم الأطوال الموجية التي يمكن الحصول عليها على الوتر المثبت من طرفيه، وهي:
ومنها تستنتج تواترات جميع التوافقيات الخاصة بالوتر وهي:
طبقة الصوت
تتحدد طبقة الصوت الذي يصدره وتر مهتز بتواتر تجاوبه الذي يتعين بطوله وكتلته وبقوة الشد. كما تشير إلى ذلك المعادلتان (6) و(8). تتغير الطبقة بطرق مختلفة مع هذه الوسطاء المتنوعة كما هومشروح في الأمثلة الآتية: إذا كان الوتر يبدأ بطبقة تواترها = 100 هرتز فمضاعفة الطول تخفِّض الطبقة إلى النصف، أي تجعلها 50 هرتز. وإذا تضاعفت قوة الشد أربع مرات فتصبح الطبقة 200 هرتز. أما إذا تضاعفت كتلته (مع بقاء طوله ثابتاً) فسيكون تواتره 50 هرتز. إلى غير ذلك فإن زيادة التواتر بمقدار ثُمانية واحدة (أي أوكتاف واحد) يحتاج مضاعفة قوة الشد أربع مرات. فمن أجل قوة شد To مطبقة على وتر معروف الطول والكتلة، يصدر صوتاً تواتره fo.
ويلخص الجدول (1) قوى الشد اللازمة لحمل طبقة الوتر بمقدار ثمانية واحدة (أوكتاف واحد) أوأكثر فوق f0.
قوة الشد الابتدائية To التواتر الابتدائي Fo
مقدار زيادة الطبقة قوة الشد اللازمة التواتر الناتج ثُمانية واحدة (أوكتاف واحد) x4To x2fo ثُمانيتان x10To X4fo ثلاث ثُمانيات x64To x8fo أربع ثُمانيات x256To x16fo خمس ثُمانيات x1024To x232fo الجدول (1)
هنا الجدول
المصادر
- محمد قعقع. "الوتر المهتز". الموسوعة العربية.
