في مفهومها الواسع يمكن فهم نظرية الألعاب على أنها أي معالجة فهمية أي نظرية للعب ( المقصود باللعب هنا ليس اللهوفحسب بل هي تتعدى ذلك).
أما في مفهومها الأصلي فإن نظرية الألعاب هومجال من مجالات إهتمام الرياضيات ولها أهمية كبيرة فيما يسمى بالبحوث العملياتية (Operation Research) وفي العلوم الإقتصادية. وتهتم نظرية الألعاب بدراسة إستراتجيات التصرف أوالعمل في ظل نظام أومنظومة ذات قواعد معينة ( هذه القواعد تسمى اللعبة).

مقدمة عامة

• هناك عدة دراسات (في الإعلامية مثلا) تهتم بنظرية الألعاب حيث يسعى الدارسون للبرهنة أنه في لعبة الشطرنج أوغيرها مثلا حتى الذي يقوم بأول حركة يربح اللعبة دائما إذا إتبع الإستراتيجية السليمة.

أوحتى الذي يقوم بالحركة الثانية يستطيع دائما حتى يحقق تعادلا.

• إلى جانب دراسة الألعاب الذهنية تهتم نظرية الألعاب أيضا بالعلوم اللإقتصادية حيث ينظر للمعاملات التجارية على أساس أنها لعبة يحاول جميع لاعب فيها تحقيق أكبر كسب ممكن.
• كما تهتم نظرية الألعاب بالعلوم الإنسانية كالسياسة والعلوم العسكرية كالإستراتيجية العسكرية ولكن في هذه المجالات تقابل النظرية بعض الصعوبات ذلك لأنها تسلم بأن اللاعبين يتصرفون بعقلانية كما حتى جميع جوانب الوضعية السياسية أوالعسكرية يجب حتى تؤخذ بعين الإعتبار عند وضع قواعد اللعبة.

البدايات

إن النطقب العام لنظرية الألعاب تم وضعه على يد عالم الرياضيات الفرنسي Emile Borel إيمل بورل، الذي خط أكثر من منطقة عن ألعاب الصدفة, ووضع منهجيات للعب, هذا ويعد أبونظرية الألعاب الحقيقي هوعالم الرياضيات الهنغاري-الأمريكي John von Neuman جون فون نيومان, الذي أسس عبر سلسلة من الموضوعات أمتدت على مدى عشر سنوات (1920-1930)، الإطار الرياضي لأي تطوير على النظريات الفرعية. خلال الحرب العالمية الثانية, كانت معظم الخطط العسكرية ضمن مجال نقل الجنود وإيوائهم الدعم اللوجيستي ومجال الغواصات, والدفاع الجوي, مرتبطة بشكل مباشر مع نظرية الألعاب. بعد ذلك تطورت نظرية الألعاب كثيراً في بيئة فهم الاجتماع, ومع ذلك تعتبر نظرية الألعاب نتاج جوهري من فهم الرياضيات.

تاريخ نظرية الألعاب

أسس فهم نظرية الألعاب سنة 1944 على يد جون فون نيومان وأوسكار مورغن شتيرن وأشتهر عن طريق تأليفهما كتاب The Theory of Games and Economic Behavior. سنة 1994 تحصل جميع من جون فوربوس ناش ورينارد سيلتين وجون هارسانيي على جائزة نوبل للإقتصاد وذلك لأعمالهم في مجال تظرية الألعاب.

الخط الزمني

• قبل 1944: بعض الأعمال لكورنوبوريل وزيرميلو
• 1944:جون فون نيومان وأوسكار مورغن شتيرن يؤلفان كتاب The Theory of Games and Economic Behavior
• 1950 حتى 1960 تقريبا: إستعمال أول نماذج إقتصادية قائمة على نظرية الألعاب والقيام ببعض الدراسات في العلوم الإقتصادية التجريبية للتؤكد من صحة نتائج نظرية الألعاب.
• 1972:إقحام نظرية الألعاب في البيولوجيا التطورية (evolution biology) حيث ألف جون مينارد سميث كتاب Game Theory and the Evolution of Fighting
• 1994:جائزة نوبل لناش وزملائه لعملهم بعنوان: analysis of equilibria in the theory of non-games cooperative

مفاهيم وتقسيمات

• اللعبة: اللعبة موقف يجب على اللاعبين (على الأقل إثنين) فيه إتخاذ قرار.

مسلمات

• اللاعبون يتصرفون بعقلانية أي أنهم يحاولون جعل إحتمال وقوع عملية دفع ( أي تفوق أوربح) أكثر إحتمالا.
• اللاعبون يتصرفون إستراتجيا: أي أنهم يحسبون أويتكهنون حركة المنافس أواللاعب الآخر ويدخلونها في حساباتهم.

تقسيم 1

يمكن تقسين الألعاب إلى:

• ألعاب ساكنة(static): حيث يجب على اللاعبين حتى يقوموبإختيار إستراتجياتهم كلهم في نفس الوقت أي حتى كلا منهم يتخذ قراره في نفس اللحظة ولا يستطيع حتى يرى أولا ماذا عمل المنافس ثم يقرر.
• ألعاب دينامكية: يمكن للاعبين فيها حتى يتخذوقراراتهم الواحد بعد الآخر.

تقسيم 2

• ألعاب بمعلومات كاملة: جميع اللاعبين يعهدون نوايا (أي ما هي النتيجة التي يريد المنافس حتى يصل إليها) منافسيهم ومنافسوهم يعهدون ذلك وهم يعهدون حتى منافسيهم يفهمون ذلك ...
• ألعاب بمعلومات منقوصة: واحد على الأقل من اللاعبين ليس له فهم تام بنوايا منافسيه. ،

تقسيم 3

• الألعاب التعاونية
• الألعاب غير التعاونية

أمثلة مشهورة

• معضلة السجينين

الحركة

في مفهوم نظرية الألعاب فإن الحركة هي التي تنقل اللعبة من فترة إلى أخرى, بدءاً من الفترة الأولى وانتهاء بالفترة الأخيرة، والحركة قد تنتقل من لاعب إلى آخر بشكل محدد ومتتابع أومعاً، وإن قرار اتخاذ الحركة من الممكن حتىقد يكون ناتجًا عن قرار شخصي أوبالصدفة, وفي الحالة الأخيرة يوجد غرض مثل حجر النرد أودولاب الحظ، يحدد الحركة المعطاة وفقاً لآلية الاحتمالات.

الخرج/النصيب

الخرج, النصيب, النتيجة هومصطلح لنظرية الألعاب يشير إلى ماذا وقع في نهاية اللعبة, في بعض الألعاب مثل الشطرنج أوالداما تكون النتيجة واضحة وبسيطة وذلك بتحديد الخاسر والرابح, في بعض ألعاب الرهان كالبوكرقد يكون النصيب هوالنقود, وكمية النقود تحدد بعدد الرهانات التي وضعت أثناء اللعب.

الصيغة الكاملة والصيغة الطبيعية

يعتبر البحث في الفرق بين الصيغ الكاملة والصيغ الطبيعية من أبرز دراسات نظرية الألعاب. نقول عن اللعبة بأنها في صيغتها الكاملة إذا تم تأليفها وفقاً لقواعد تحدد الحركات الممكنة في جميع فترة, حيث تحدد على أي من اللاعبين عليه اللعب (الدور)، كما تحدد الاحتمالات الممكنة التي تنتج عن أي حركة للاعب أسندت إليه بالصدفة, كما تحدد هذه القواعد حجم النصيب-الخرج الممكن الناتج عن خوض اللعبة. كما حتى الافتراض يقول حتى جميع لاعب لديه مجموعة من التفضيلات عند جميع حركة بشكل تسقط للخرج الممكن الذي إما سيضاعف نصيب اللاعب من النصيب أويخسر. اللعبة في صيغتها الكاملة لا تحتوي فقط على لائحة من القوانين والقواعد التي تحكم تحرك جميع لاعب, بل تحتوي أيضاً على مخطط من التفضيلات لكل لاعب، حيث الألعاب الجماعية الشائعة مثل (إكس أو) أوألعاب الورق. إن أبسط الألعاب بصيغتها الكاملة تتضمن كمًّا هائلاً من المنهجيات والتخطيط لذلك طوّر الباحثون نمطًا جديدًا من الألعاب دعيت بالألعاب بصيغتها الطبيعية، حيث يمكن حساب النتائج بشكل كامل. وتكون اللعبة بصيغتها الطبيعية إذا أمكن وضع جميع النتائج أوالخرج لكل لاعب طالما اتخاذه أي قرار نابع عن استراتيجية ممكنة اتبعها، وهذا الشكل من الألعاب النظرية يمكن لعبه عن طريق أي مراقب حيادي لا يتأثر بقرارت يتخذها اللاعبون.

كمالية المعطيات

نقول عن اللعبة بأنها كاملة المعطيات إذا كانت جميع الحركات الممكنة معروفة لكل لاعب, الداما, والشطرنج هما مثالان جيدان للعبة بمعطيات كاملة, البوكر تعتبر لعبة لا يمتلك فيها اللاعبون إلا قدراً محدودًا من المعطيات في بداية اللعبة.

المنهج

المنهج أوالخطة هوقائمة اللاعب بالخيارات المثلى الممكنة في جميع فترة من مراحل اللعبة, ويعتبر المنهج الذي يأخذ في الحسبان جميع الحركات الممكنة قبل اتخاذ القرار هومنهج لا يخيب, حيث لا مكان للأحداث المفاجئة بهكذا مناهج .

أنواع الألعاب

إن نظرية الألعاب تميز بين عدة أشكال من الألعاب ،وفقاً لعدد اللاعبين ولظروف اللعب نفسها.

لعبة الشخص الواحد/اللعب الفردية

السوليتير هي لعبة فردية, حيث لا وجود لتضارب مصالح حقيقية, لأن المصلحة الوحيدة هنا هي مصلحة اللاعب الفردي نفسه, وفي هذه اللعبة فإن الحظ أوالصدفة هوبنية اللعبة الأساسية وذلك اعتماداً على خلط الأوراق وعلى ما أمتلكه اللاعب من أوراق جيدة وزعت عليه عشوائياً. بالرغم من اهتمام نظرية الاحتمالات بالألعاب الفردية, إلا أنها لا تعتبر من المواضيع المحببة لدى نظرية الألعاب, حيث لا وجود لخصم يقوم باعتماد منهج مستقل ينافس به خيارات اللاعب الآخر.

لعبة الشخصين/الثنائية

يعتبر نمط الألعاب الثنائية من أكثر الأنماط انتشاراً، ويتضمن الكثير من الألعاب المألوفة مثل الشطرنج, الداما, أوأي لعبة تعتمد على فريقين اثنين, والمعضلات الأكثر صعوبة هي التي تتضمن ن لاعب, كالألعاب الجماعية مثل: المونوبولي, البوكر, أوأي لعبة تتضمن لاعبين متعددين. إن الألعاب الثنائية قد تم تحليلها بشكل موسع في نظريات الألعاب ،والصعوبة الحقيقية في تمديد النتائج التي تم التوصل إليها لتضم الألعاب بـ ن لاعب تكمن في تسقط التفاعلات الممكنة بين مختلف اللاعبين, لأن في الألعاب الثنائية تكون جميع الخيارات والحركات الممكنة بالإضافة للنتائج تكون متسقطة, لكن عندماقد يكون هناك ثلاثة لاعبين أوأكثر, فإن احتمالات عشوائية معقدة من الخيارات والفرص تنشأ في ظل الظروف لتشكل تعاونا, اوالتحاما, أواصطداما بين اللاعبين.

ألعاب صفرية المجموع ZeroSum

ذا كان مجموع الأرباح-الخرج في نهاية اللعبة هوصفر, فإن اللعبة صفرية المجموع, ويكون في هذه الألعاب كمية الربح أواحتماله مساوي تماماً لكمية الخسارة أواحتمالها, وهي المرادف لمصطلح تحليل التعادل الاقتصادي الذي يعبر عن الوصول إلى نقطة اللاربح ولا خسارة أولا إنتاج ولا اهتلاك. سنة 1944 أظهر جميع من فون نيومان, وأوسكار مورغنسنن Oskar Morgensten حتى أي ن إنسان لعبة صفرية المجموع من الممكن توسيعها إلى ن+1 إنسان لعبة صفرية المجموع, إلى غير ذلك فإن ألعاب ن+1 إنسان من الممكن تعميمها من الحالة الخاصة للألعاب الثنائية الصفرية المجموع. وإحدى أبرز المسائل التي أثيرت في هذا المجال هي حتى مبادىء التعظيم والتخفيض تطبق على جميع الألعاب الثنائية الصفرية المجموع, ويعهد هذا المصطلح بـ معضلة تخفيض-تعظيم, وقد تم اثباتها عن طريق نيومان سنة 1928, ونجح آخرون بالاثبات استناداً لطرق متعددة

نظرية المباراة

المباراة لعبة تقوم بين خصمين متنافسين (أ) و(ب) يفترض في رغبات أحدهما واهتماماته حتى تعاكس رغبات الثاني واهتماماته، كما يفترض في كسب الأول حتى يساوي خسارة الثاني، وينطق عن ذلك بإيجاز إنها لعبة ذات مجموع معدوم. ولقد اصطلح على حتى تمثل هذه اللعبة بمصفوفة تدعى «مصفوفة اللعبة»، أومصفوفة كسب اللاعب أ. (أومصفوفة خسارة اللاعب ب). إذا عدد أسطر هذه المصفوفة يساوي عدد خطط أحد اللاعبين، الذي يمكن حتى يُدعى لاعب الأسطر، وعدد أعمدتها يساوي عدد خطط اللاعب الآخر الذي يدعى لاعب الأعمدة. أما عناصر هذه المصفوفة فهي أعداد حقيقية يمثل جميع منها ص س ع ما يربحه اللاعب الأول أوما يخسره (حسب إشارة العدد ص س ع) إذا قام باختيار الخطة الموافقة للسطر س ثم قام الآخر باختيار الخطة الموافقة للعمود «ع» أوالعكس. فإذا كانت مجموعة خطط اللاعب أ هي: خ(أ)={أ1،أ2،...،أن ومجموعة خطط خصمه ب هي: خ(ب)= {ب1،ب2،...بم وكان أ هولاعب الأعمدة وكان ب هولاعب الأسطر أمكن كتابة مصفوفة اللعبة على النحو:

إلى غير ذلك فإن جميع لعبة تمثل بمصفوفة، ويمكن النظر إلى أي مصفوفة على أنها تمثل لعبة من هذا النمط. وعلى سبيل المثال فان المصفوفة:

تمثل لعبة فيها ن=4، م=3. ولفهم كيف من الممكن أن تجري اللعبة، يفترض حتى أ هوالذي بدأ باللعب ساعياً إلى الحصول على أعلى كسب ممكن، تجدر ملاحظة ما يلي: لواختار أ العمود الأول لاختار ب السطر الأول ولربح أ خمس ليرات (مثلاً) ولواختار أ العمود الثاني لاختار ب السطر الثالث ولخسر أ 12 ليرة، أما لواختار أ العمود الثالث لاختار ب السطر الثاني ولخسر أ ست ليرات، وأخيراً لواختار أ العمود الرابع لاختار ب السطر الثاني ولربح أ ليرة واحدة. ومن هذا يتضح حتى أفضل ما يعمله أ هوحتى يلعب وفق الخطة الموافقة للعمود الأول، أوكما ينطق عادة: إذا أحسن ما يعمله أ هواختيار العمود الأول، وعندئذ يضمن ربحا حقيقياً قدره خمس ليرات على الأقل مهما كانت الخطة التي سيجابهه بها خصمه. وما على أ كي يصل إلى هذا القرار سوى حتى يستبدل بكل عمود أصغر عدد فيه فيحصل على الأعداد 5،-12،-6، 1، ثم يختار أكبرها ص س1 ع1 وهوالعددخمسة ثم يختار العمود الذي يبلغه هذا الهدف ع1=1. أما لواضطر ب إلى بدء اللعب فهوسيسعى إلى الوصول إلى أقل خسارة ممكنة، وعليه في سبيل ذلك حتى يستبدل بكل سطر أكبر عدد فيه فيحصل على الأعداد 12،11،9 ثم يختار أصغرها ص س2 ع2 وهوالعددتسعة ثم يختار السطر الذي يبلغه هذا الهدف س2=3. مما تجاوز ينتج أنه إذا بدأ أ اللعبة فان أعلى كسب يحصل عليه في جولة اللعب هذه هو: 5=صس1ع1=نع1 ³ ع ³ ن (نص1 ³ س ³ م(صس ع)) أما إذا بدأ ب اللعبة فإن أقل خسارة تصيبه في هذه الجولة هي:

9=صس2ع2=نص1 ³ س ³ م (نع1 ³ ع ³ ن(صس ع))

ويبرهن في المصفوفة (1) حتى ص س1ع1 ³ ص س2ع2 دائماً وهنا يلاحظ حتى ص س1ع1< ص س2ع2 في المصفوفة (2)، أما في المصفوفة

فإن ص س1ع1= ص س2ع2=7، وقد وضعت هذه القيمة ضمن مربع صغير. تدعى القيمةسبعة قيمة اللعبة ويدعى المربع الذي تشغله هذه القيمة في مصفوفة اللعبة نقطة استقرار اللعبة أونقطة توازنها. وهنا يتضح أنه لوبدأ أي من اللاعبين اللعب فسيختار السطر (العمود) الذي يوصله إلى نقطة التوازن. وينطق هنا إذا اللاعبين كليهما يسعيان إلى الاستقرار فيها، ويحاول جميع خصم إخراج خصمه منها مستخدماً الحيلة والحزر. وتبرز صعوبة الاختيار لدى الخصمين عندما تكون المعلومات المتوافرة لدى جميع منهما عن الآخر ناسيرة. ويلاحظ أنه إذا كان لمصفوفة اللعبة نقطة توازن وحيدة فإن شوطاً واحداً (فترة واحدة) يمكن حتى ينهيها. وتكرار الشوط (إعادته) يقود إلى النتيجة نفسها، وهي كسب لـِ أ قيمته تساوي قيمة اللعبة، وخسارة لـ ِ ب تساوي نظير قيمة اللعبة. أما إذا لم يكن لمصفوفة اللعب نقطة توازن وحيدة (أي ليس لها أي نقطة توازن أولها أكثر من نقطة)، وإذا فُرض حتى أ يريد حتى يزيد ربحه الذي تضمنه له طريقة اللعب السابق ذكرها، وأن ب يريد كذلك حتى يخفف من خسارته، وأن اللعبة تتضمن أشواطاً عدة وأن جميع لاعب يتصرف كما يحلوله معتمداً على الحظ والمصادفة إلى جانب الحيلة والحيطة والحزر فيختار أ مثلاً العمود د باحتمال قيمته ق د ويختار ب السطر ر باحتمال قيمته ك ر، عندئذ يدعى

استراتيجية لـِ أ ويدعى ك=[ك1،...كم] إستراتيجية لـِ ب، ويكون احتمال حتى يربح أ المقدار صرد هوك ر× ق د (بحسب قواعد الاحتمال). تدعى الدالة (التابع):

معدل كسب اللاعب أ، أومعدل خسارة اللاعب ب. وتؤكد نظرية فون نيومان Von Neuman حتى ثمة إستراتيجية ق* لـِ أ، وأخرى ك* لـ ِ ب، تدعى جميع منها إستراتيجية مثلى، بحيث يتحقق ما يلي: ت(ق،ك*) ³ ت(ق*،ك*) ³ ت(ق*،ك)

أياً كانت الاستراتيجيتان ق، ك وتدعى القيمة ت(ق*، ك*)=هـ قيمة اللعبة. وينطق عن استراتيجية ق للاعب أ إنها "رائية" صرفة إذا كان

ق=[\، \ ،...،1،...، \]=[ق1، ق2،...،قر،...،قن]

أي إذا كان ق ر=1، وكان ق رَ=\ عندماقد يكون ر¹ رَ. كذلك ينطق عن إستراتيجية ك للاعب ب إنها «دالية» صرفة إذا كان ك د=1، ك دَ=\ عندماقد يكون دَ¹ د. أما إذا كان\ >ق> 1 فإنه ينطق: إذا ق استراتيجية غير صرفة أوأنها استراتيجية مزيجة. ويبرهن أنه إذا كانت مصفوفة اللعبة هي

وإذا لم يكن لهذه المصفوفة أي نقطة توازن فإن الإستراتيجية المثلى ق* للاعب أ هي:

وإن الإستراتيجية المثلى ك* للاعب ب هي:

وتكون قيمة اللعبة هي:

فإذا أرادت وزارة الصحة، مثلاً، حتى تقوم بتلقيح مواطنيها لوقايتهم من فيروس معين، وإذا فرض حتى لهذا الفيروس سلالتين، وأنه لا يُعهد شيء عن النسب التي تظهر فيها هاتان السلالتان في الفيروس. وإذا فُرض أنه تم الوصول إلى تلقيحين بتأثيرين مختلفين على السلالتين، وأن التلقيح الأول فعّال بنسبة 85% للوقاية من السلالة الأولى و70% للوقاية من السلالة الثانية، وأن التلقيح الثاني فعّال بنسبة 60% للوقاية من السلالة الأولى و90% للوقاية من السلالة الثانية، فما هي سياسة التلقيح المثلى التي ينبغي على وزارة الصحة الأخذ بها. تمثل هذه المسألة مباراة، اللاعب أ فيها هووزارة الصحة واللاعب ب هوالفيروس. يرغب اللاعب أ في الحصول على أفضل كسب (أعلى نسبة من المواطنين الممنعين للوقاية من الفيروس) ويرغب اللاعب ب حتى يخفف من هذا الربح إلى أقل ما يمكن. إذا مصفوفة اللعب هي:

وليس لهذه المصفوفة أي نقطة توازن. لذا فإن الاستراتيجية المثلى ق* للاعب أ هي:

وأن الاستراتيجية المثلى للاعب ب هي:

وتكون قمة اللعبة هي

وهنا نلاحظ حتى الاستراتيجية المثلى لوزارة الصحة هي حتى تلقح ثلثي المواطنين باللقاح الأول وأن تلقح الثلث الباقي باللقاح الثاني. عندئذ يحصل 76.7% من المواطنين على مناعة للوقاية من الفيروس بغض النظر عن توزع السلالتين فيه. ومن جهة أخرى فإن الفيروس بنسبة من السلالة الأولى ومن السلالة الثانية بجعل نسبة المواطنين المقاومين له لا تتجاوز 76.7% بغض النظر عن استراتيجية التلقيح التي تبنتها وزارة الصحة.

نظرية الحيل

يستخدم جميع لاعب في المباراة الحيلة والحذر عندما لا تكون لديه معلومات كافية عن خطط خصمه، ويسعى للتستر على نواياه، ولكشف نوايا خصمه آملاً بالفوز. وهنا يشار إلى أنه يجب حتى لا تستخدم الحيلة نفسها عدة مرات إذ تصبح خطته مكشوفة للخصم، ويعود ضررها على من استخدمها. كذلك يتعين على اللاعب حتى يغير خطته أوخطط لعبه تبعاً لردود عمل الخصم، وعليه حتى يراوغ في اختيار خطته وفق ما يراه مناسباً. ومع ذلك قد يصعب عليه الفوز. وقد أورد أوسكار مورغنشترن Oscar Morgenstern مثالاً لاختبارات عشوائية لمواقف عشوائية وذلك باستخدامه مغامرة شرلوك هولمز Sherlock Holmes التالية: يهرب هولمز من إنسان يتعقبه ليقتله هوموريارتي Moriarty، فيأخذ الأول قطاراً من لندن إلى مدينة "دوفر" على الساحل اللقاء لفرنسة، ويمر القطار، في طريقه بمدينة كانتربري، ويلمح هولمز، لسوء حظه، حين صعوده إلى القطار حتى متعقبه يسافر معه في الرحلة ذاتها فلونزلا من القطار معاً لعرض نفسه للهلاك. أما لوهبط هولمز في دوفر ونزل الآخر في كانتربري، فإن هولمز ينجو، ويستقل بعدئذ باخرة إلى فرنسة. لكن إذا وقع حتى هبط هوفي كانتربري ونزل خصمه في دوفر فإن هولمز سيخفق في الهرب. وينتج من هذا صعوبة الاختيار لدى الخصمين لنقص المعلومات المتوافرة لدى جميع منهما، ولذا فإن خطة جميع منهما دفاعية ويرتبط حلها بالمصادفة والحظ وواضح كذلك حتى كلاً منهما يترقب صدور أقل هفوة من صاحبه ليفاجئه بخطة هجومية قد تحقق له ما يريد. ويمكن حتى تعطى هذه اللعبة الصيغة الرياضية التالية، وذلك بإدخال احتمال الخيارات الممكنة لكل خصم. فلوفرضنا حتى احتمال نزول هولمز في دوفر هو ق واحتمال نزول خصمه في كانتربري هوك فيكون، وفقاً لقواعد الاحتمال، احتمال نجاح هولمز في الهرب يساوي ق×ك واحتمال إخفاقه في الهرب دون حتى يتعرض للقتل هو(1- ق) (1- ك) واحتمال تعرضه للقتل هو

(1- ق) ك+ ق (1- ك) = ق + ك -2ق ك.

ولكن هذه الاحتمالات غير معروفة بدقة، بل هي ظنّية. فلوعهد هولمز نفسه احتمال نزول خصمه في كانتربري لما كان اختياره عشوائياً. وهنا يتصرف جميع لاعب تبعاً لأفكاره التي يحملها عن خصمه ويلجأ إلى التخمين والتقدير. فلوقدر هولمز حتى ك صغيرة من الممكن اختار النزول في كانتربري وآثر الاخفاق مع السلامة على ما سوى ذلك، أما لوقدر هولمز استناداً إلى معلومات وصلت إليه بطريقة ما أنه إذا هبط في كانتربري، فالإخفاق محقق ومؤكد له. وإذا هبط في دوفر فقد ينجح باحتمال قدره 90%، أويفضل (وهذا راجع لتقديراته) حتى يعرض نفسه للموت بنسبة 10% لقاء تسع مرات نجاح في العشرة.

تطبيقات نظرية الألعاب في الاقتصاد

ظهرت أولى التطبيقات الاقتصادية لنظرية الألعاب عام 1944 في كتاب عنوانه: نظرية الألعاب والسلوك الاقتصادي ألّفه مورغنشترن O.Horgenstern، وفون نيومان J.Von Neuman. وفي الواقع فإن مبدأ تطبيق نظرية الألعاب في الاقتصاد سهل نسبياً. فإذا أخذنا بالنظرية التقليدية في الاقتصاد فإن جميع اقتصادي يسعى إلى بلوغ النهاية العظمى أوالنهاية الصغرى لتابع يدعى تابعاً اقتصادياً أوتابع الربح أوتابع الكلفة أوما ماثل ذلك. فمدير أي مشروع مثلاً يسعى للوصول إلى أكبر كسب لمشروعه. فينظر في تابع الربح ويسعى إلى بلوغ نهايته العظمى، في حين يسعى أي مستهلك لبلوغ النهاية الصغرى لتابع الكلفة. وتظهر أهمية نظرية الألعاب عند دراسة المنافسات بين المؤسسات الاقتصادية التي يحاول جميع منها اختيار القرار الأمثل. ويمكن لتوضيح الفكرة إيراد المثال التالي: تتنافس مؤسستان اقتصاديتان على اقتسام جمهور المستهلكين في سوق محلية فتقوم جميع منهما بين الحين والآخر بحملة نادىية عن طريق الصحف أوبالملصقات الجدارية. فإذا افترض حتى مدير أولى المؤسستين توصل إلى ما يلي: إذا قام بحملة النادىية في الصحف (الاختيار أ1) فإنه يحقق ربحا حقيقياً لمؤسسته قدره مئة ألف ليرة فيما لواختار منافسه النادىية في الصحف (الاختيار ب1)، ولكن ربحه سيكون صفراً لواختار منافسه النادىية بالملصقات الجدارية (الاختيار أ2).أما إذا قام بحملة النادىية بالملصقات الجدارية (الاختيار ) فانه يخسر مئة ألف ليرة سورية فيما لواختار منافسه النادىية في الصحف (الاختيار ب1)، ولكن ربحه سيكون مئتي ألف ليرة لواختار منافسه النادىية بالملصقات الجدارية (الاختيار ب2). فما هوالقرار الأمثل لكل منهما:

يمكن تمثيل هذه المنافسة بمصفوفة كسب المؤسسة الأولى (اللاعب الأول أ)

واستناداً إلى ما تجاوز تكون قيمة اللعبة هـ =50 ألفاً، وتكون الاستراتيجية المثلى لـِ أ هي

وتعني هذه النتيجة حتى القرار الأمثل للمؤسسة الأولى هوحتى تصرف ثلاثة أرباع المبلغ المخصص لحملة النادىية للنادىية بالصحف والربع الباقي للنادىية بالملصقات. عندئذ تضمن ربحا حقيقياً لا يقل عن خمسين ألفاً مهما كانت الخطة التي ستتبناها المؤسسة الثانية (اللاعب ب). أما الاستراتيجية المثلى لـِ ب

فهي والقرار الأمثل لها هوحتى تصرف نصف المبلغ للنادىية في الصحف، والنصف الآخر للنادىية بالملصقات الجدارية. عندئذ لن تتجاوز خسارة هذه المؤسسة خمسين ألفاً مهما كانت الخطة التي ستنتهجها المؤسسة الأولى والدالة الاقتصادية التي تمثل كسب أ هي:

ت(ق،ك)=ت(ق1،ق2، ك1،ك2)=تا(س،ع)=400س ع -300 ع-200س+200

بفرض حتى ق1=س، ق2=1-س، ك1=ع، ك2=1-ع.

والنقطة الحرجة لهذا التابع هي

مصادر وقراءات إضافية

• الألعاب (نظرية ـ(، الموسوعة العربية

مواقع إلكترونية

• [1]
• [2]
• Paul Walker: History of Game Theory Page.
• Game Theory 101: Introductory game theory video lectures.
• David Levine: Game Theory. Papers, Lecture Notes and much more stuff.
• Alvin Roth: Game Theory and Experimental Economics page - Comprehensive list of links to game theory information on the Web
• Adam Kalai: Game Theory and Computer Science - Lecture notes on Game Theory and Computer Science
• Mike Shor: Game Theory .net - Lecture notes, interactive illustrations and other information.
• Jim Ratliff's Graduate Course in Game Theory (lecture notes).
• Valentin Robu's software tool for simulation of bilateral negotiation (bargaining)
• Don Ross: Review Of Game Theory in the Stanford Encyclopedia of Philosophy.
• Bruno Verbeek and Christopher Morris: Game Theory and Ethics
• Chris Yiu's Game Theory Lounge
• Elmer G. Wiens: Game Theory - Introduction, worked examples, play online two-person zero-sum games.
• Marek M. Kaminski: Game Theory and Politics - syllabuses and lecture notes for game theory and political science.
• Web sites on game theory and social interactions
• Kesten Green's Conflict Forecasting - See Papers for evidence on the accuracy of forecasts from game theory and other methods.
• McKelvey, Richard D., McLennan, Andrew M., and Turocy, Theodore L. (2007) Gambit: Software Tools for Game Theory.
• Benjamin Polak: Open Course on Game Theory at Yale videos of the course
• Benjamin Moritz, Bernhard Könsgen, Danny Bures, Ronni Wiersch, (2007) Spieltheorie-Software.de: An application for Game Theory implemented in JAVA.