الاحتمال (Probability) لغة هوأحد الخيارات المتاحة أمام تجربة أوحادثة غير محسومة النتيجة، وفي الرياضيات تعبر حدثة الاحتمال عن قيمة عددية تدل على مدى تكرارية هذا الخيار عند تطبيق التجربة لمرات عديدة. وبهذا نعطي الخيار الأكثر حدوثا وتكرارا قيمة احتمال أكبر من الخيار الأقل حدوثا. تقوم الإحتمالات على عدد من الأسس أهمها:

• الإختبار: هوتجربة يمكن إجراؤها في جميع مكان وزمان بنفس الظروف الذاتية والموضوعية بشرط حتى نعهد جميع النتائج المتسقطة مسبقاً.

• فضاء العينة(كــ): هومجموعة جميع النتائج المتسقطة ظهورها.

• تجربة إلقاء حجر النرد مرة واحدة:

(كــ) = {6,5,4,3,2,1 ر(كـ) =ستة حيث حتى (ر) هي رئيسي المجوعة(عدد عناصر المجموعة)

• الحدث: هومجموعة جزئية من فضاء العينة. من هذه الأحداث نذكر :الحدث المحال والحدث الأكيد والحدث الإبتدائي الحدثان المتنافيان 0000000الخ.

• بعض القوانين المستخدمة في الإحتمالات:
• حت(سَ)= 1-حت(س)
• حت(س)= 1-حت(سَ)
• حت (س/ع)=حت(س)-حت(س ع)

التعريف الرياضي للاحتمال

تعريف التجربة بأنها قيام بعمل ما أوإجراء ملاحظة أوتسجيل ما يتم عن هذا العمل أوهذا الإجراء. لتكن ف مجموعة النتائج الممكنة لتجربة مفروضة، فإذا فرض حتى هذه المجموعة منتهية مثل ف = و1، و2، ...ون{ وكانت ق مجموعة أجزاء ف، فإنه يدعى جميع عنصر من ق حدثاً (أوحادثة) مرتبطاً بالتجربة المفروضة. يدعى f الحدث المحال وف الحدث الأكيد أوفضاء العينة، وتدعى جميع مجموعة جزئية من ف وحيدة العنصر حدثاً ابتدائياً، وينطق عن حدثين س، ع إنهما متنافيان إذا كانت س ∩ ع = f. ويعهد الاحتمال في هذه الحالة على أنه أية دالة حت منطلقها ق ومستقرها مجموعة الأعداد الحقيقية ح وتتمتع بالخواص التالية:

أ‌- حت(س) ≥ 0 أياً كان الحدث س

ب‌- حت (ف) = 1 (أي حتى احتمال الحدث الأكيد يساوي الواحد).

جـ- حت (س U ع) = حت (س) + حت (ع) فيما إذا كان الحدثان س،ع متنافيين.

يسمى حت دالة الاحتمال أوالاحتمال اختصاراً، وتنص الخاصة حـ على ما يلي: «احتمال اتحاد حدثين متنافيين يساوي مجموع احتماليهما» .

وينتج من تعريف الاحتمال حتى 0 ≤ حت (س) ≤ 1 مهما كان الحدث س. تدعى الثلاثية (ف، ق، حت) فضاء الاحتمال المنتهي الموافق للتجربة التي تكون مجموعة نتائجها ف منتهية.

أمثلة: آـ في تجربة إلقاء حجر النرد مرة واحدة وقراءة عدد النقط التي يحملها الوجه العلويقد يكون فضاء العينة (مجموعة النتائج الممكنة لهذه التجربة) هو: ف ={6،5،4،3،2،1 وتمثل المجموعة الجزئية ص، 5،3،1 الحدث الذي يعد محققاً عندما يظهر رقم فردي، فإذا كان لكل عنصر من عناصر ف الحظ نفسه في الظهور، فإن احتمال وقع س في مثل هذه الحالة يعهد عادة أنه عدد عناصر س مقسوماً على عدد عناصر ف:

حت (س) = عدد عناصر س = عدد الحالات المواتية (1) عدد عناصر ف عدد الحالات الممكنة

وهذه المساواة تعيّن على ق احتمالاً،بمعنى حتى حت الفهم بهذه المساواة تحقق الخواص آ، ب، جـ السابقة. واعتماداً على (1) ينتج حتى حت (ص) =3/6 وإذا كان ع = {5،4،2،1 فإن حت (ع) =4/6 وحت (ص ∩ ع) = حت {5،1 = 6/2 =3/1.

ب ـ إذا كانت ف1 مجموعة نتائج إلقاء حجري نرد متوازنين متمايزين (غير متماثلين)، فيمكن تمثيل هذه المجموعة وفق الجدول التالي:

11

21

31

41

51

61

12

22

32

42

52

62

حيث يشير الرقم الأول من هذه الأعداد إلى الرقم الذي يظهر على النرد الأول، ويشير الرقم الثاني إلى الرقم الذي يظهر على النرد الثاني، وحيث تتعين جميع نتيجة برقمين متساويين أومختلفين من المجموعة

ف = {6،5،4،3،2،1 . إذا الحدث الذي يعد محققاً عند ظهور وجهين مجموع رقميهما ثمانية أوتسعة، يمكن تمثيله بالمجموعة:

س= {{36،26،35،45،44،54،53،63،62 ويكون: حت س = عدد عناصر س = 9 =

25 عدد عناصر ف1 36

جـ- إذا ألقي حجرا نرد متماثلان فتتعين في هذه الحالة جميع نتيجة برقمين متساويين أومختلفين من المجموعة

ف = { {6،5،4،3،2،1 نفسها، ولكن لا مجال هنا كما هوواضح لترتيب هذين الرقمين. لقد جرت العادة حتى تمثل مجموعة النتائج ف2 في هذه الحالة بالجدول التالي:

     [11] [21] [31] [41] [51] [61]

  [22] [32] [42] [52] [62]

    [33] [43] [53] [63]

حيث تدل النتيجة [42] مثلاً على ظهور الرقم 2 على أحد النردين والرقم أربعة على النرد الآخر. ولا بد عند حساب الاحتمالات الموافقة لهذه النتائج (أي الموافقة للأحداث الابتدائية المتعلقة بهذه التجربة) من أخذ الفرص الموافقة لظهور هذه النتائج بالحسبان، ولا بد بالتالي من العودة إلى الحالة التيقد يكون فيها الحجران متمايزين، لأن أمام جميع نتيجة [س ع] فرصتان للوقوع إذا كان س ≠ ع وفرصة واحدة إذا كان س =ع، ويغدواحتمال وقع س مرتبط بهذه التجربة في مثل هذه الحالة: حت (س) = عدد الفرص التي تؤدي إلى وقوع الحدث س (2) عدد الفرص التي تؤدي إلى وقوع الحدث ف2

وينتج، إذا كان س = [21]، [66] {، أن: حت (س) = 2+1 = 1 36 12

وتحقق الدالة حت الفهم بـ (2) الخواص آ،ب، جـ السابقة.

د- مثال النرود الثلاثة: يعد البعض المثال التالي نقطة البدء لفهم الاحتمال.

يذكر حتى الفارس دوميري De Mere خط لباسكال يقول له: «إنه لدى إلقاء ثلاثة نرود متماثلة يظهر الحدث الذي يعد محققاً عندماقد يكون مجموع النقط التي تظهر مساوياً 12 بـ6طرائق مختلفة هي:

[651]، [642]، [633]، [552]، [543]، [444]

كذلك يظهر المجموع 11 بـ6 طرائق مختلفة هي:

[641]، [632]، [551]، [542]، [533]، [443]

في حين تدل التجربة على حتى فرصة ظهور المجموع 11 أفضل من فرصة ظهور المجموع 12، فما هوالسبب،يا ترى؟ وكان جواب باسكال: إنه لا بد عند حساب الاحتمال الموافق لكل نتيجة من حساب عدد الفرص المواتية لظهور هذه النتيجة،وإنه أمام جميع نتيجة من الشكل [س ع ص] ست فرص للحدوث إذا كانت الأعداد الثلاثة مختلفة مثنى، وثلاث فرص إذا تساوى اثنان منها فقط، وفرصة واحدة إذا تساوت جميعها. إلى غير ذلكقد يكون عدد الفرص الموافقة لظهور المجموع 12 هو6+6+3+3+6+1 =25، بينماقد يكون عدد الفرص الموافقة لظهور المجموع 11 هو6+6+3+6+3+3=27، ويكون احتمال عدد الفرص التي تؤدي إلى وقوع الحدث الأكيد وهوبالضبط عدد نتائج إلقاء ثلاثة أحجار متمايزة هو6×6×6=216، وهذا هوالذي جعل فرصة المجموع 11 أفضل من فرصة ظهور المجموع 12.

التواتر النسبي

التواتر النسبي هوتعبير آخر عن النسبة ، بل هوالقيمة المحسوبة بقسمة عدد مرات حدوث وقع على مجموع عدد المرات التي نفذت فيها التجربة.وإذا تتكررت التجربة عدد من المرات نون ، وسقط الحدث عدد من المرات صاد ،عندئذقد يكون التواتر النسبي للحدث معهد بالشكل:

تن = ص/ن

في سياق تطور الاحتمال مع مرور الزمن وتقدم الفهم فظهرت عدة تعاريف للاحتمال منها ماهوسهل ويعتمد على الإدراك الحسي ومنها ما يعتمد على التجربة وفكرة التكرار النسبي للحدث المراد اختباره في التجربة من خلال تكرار التجربة عدداً كبيراً من المرات تحت شروط ثابتة . وبالتالي تكون هذه التعاريف :

• التعريف التقليدي للاحتمال :إذا كنا نريد حساب احتمال وقع ما س في تجربة ما حيث مجموعة نتائج التجربة هي كـ ( مثل احتمال الحصول على وجه يحمل عدداً زوجياً في تجربة إلقاء حجر نرد )عندئذقد يكون احتمال الحدث هو :

حت (س) = |س| / |ك| حيث |س| هوعدد إمكانات وقوع الحدث س و|ك| هوعدد الإمكانات الكلية للتجربة .

• التعهد الإحصائي للحتمال :
• التعريف البديهي للاحتمال :