تطبيقات دالة بسل

• موجات كهرومغنطيسية في مرشد الموجة الاسطواني.
• قانون توصيل الحرارة في جسم اسطواني.
• أنماط التذبذب في جسم دائري (حلقي) غشاء صناعي (مثلا طبلة أوأي ممبرانوفون).
• مسائل الانتشار على شكل شبكي.
• حلول معادلة شرودنجر (في الاحداثيات الكروية) لجسيم طليق.

تعاريف

دوال بسل من النوع الأول : J_α

${\displaystyle J_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}(x)=\underset{m=0}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\sum <!--\; \sum \; -->}}\frac{(-<!--\; -\; -->1{)}^m}{m!\mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->}(m+\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}+1)}{\left(\frac{x}{2}\right)}^{2m+\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}}$${\displaystyle 1/{\sqrt {( x)$ مع حتى جذورها ليست دورية عموما، سوى لقيم x التي يمكن مقاربتها. تشير متسلسلة تايلور إلى حتى ${\displaystyle -J_{1 (x)\,$ تمثل مشتقة ${\displaystyle J_{0 (x)\,$, تماما مثل ${\displaystyle -\sin(x)\,$ التي هي مشتقة ${\displaystyle \cos(x)\,$; وبشكل عام يمكن التعبير عن المشتقة ${\displaystyle J_{n (x)\,$ بدلالة ${\displaystyle J_{n\pm 1 (x)\,$ من مطابقات دوال بسل كما هومبين في الأسفل.

مخطط دالة بسل من النوع الأول, J_α(x), لرتب سليمة α=0,1,2.

للقيم الغير سليمة α, تكون الدوال ${\displaystyle J_{\alpha (x)\,$ و${\displaystyle J_{-\alpha (x)\,$ مستقلة خطيا, وتكون بالتالي الحلين العامين للمعادلة التفاضلية. من جهة أخرى، للأعداد السليمة ${\displaystyle \alpha \,$, تكون العلاقة التالية سليمة (لاحظ حتى دالة غاما تصبح لانهائية لحجج الأعداد السليمة السالبة):

${\displaystyle J_{-n (x)=(-1)^{n J_{n (x).\,$

هذا يعني حتى الحلين لم يعودا مستقلين خطيا. في هذه الحالةقد يكون الحل الاخر المستقل خطياقد يكون دوال بسل من النوع الثاني كما هومناقش في الأسفل.

تكاملات بسل

يمكن الحصول على تعريف اخر لدالة بسل، للقيم السليمة n، باستعمال الصورة التكاملية:

${\displaystyle J_{n (x)={\frac {1 {\pi \int _{0 ^{\pi \cos(n\tau -x\sin \tau )\,\mathrm {d \tau .$

لقد كانت هذه هي الكيفية التي استخدمها بسل، ومن هذا التعريف اشتق بعض الخصائص. يمكن تعميم التعريف إلى الرتب الغير سليمة بإضافة حد اخر

${\displaystyle J_{\alpha (x)={\frac {1 {\pi \int _{0 ^{\pi \cos(\alpha \tau -x\sin \tau )d\tau -{\frac {\sin(\alpha \pi ) {\pi \int _{0 ^{\infty e^{-x\sinh(t)-\alpha t dt.$

هنا صورة تكاملية أخرى:

${\displaystyle J_{n (x)={\frac {1 {2\pi \int _{-\pi ^{\pi e^{-\mathrm {i \,(n\tau -x\sin \tau ) \,\mathrm {d \tau .$

صلتها بالدوال الزائدية الهندسية

صلتها بمتعددات حدود لاغيري

دوال بسل من النوع الثاني : Y_α

دوال هانكل: H_α

دوال بسل المعدلة : I_α, K_α

دوال بسل الكروية : j _n, y _n

Spherical Bessel functions of 1st kind, j_n(x), for n = 0, 1, 2

Spherical Bessel functions of 2nd kind, y_n(x), for n = 0, 1, 2

عند حل معادلة هلمهولتس في إحداثيات كروية بفصل المتغيرات، فإن المعادلة القطرية تأخذ الشكل التالي:

${\displaystyle x^{2 {\frac {d^{2 y {dx^{2 +2x{\frac {dy {dx +[x^{2 -n(n+1)]y=0.$

The two linearly independent solutions to this equation are called the دوال بسل الكروية j_n and y_n, and are related to the ordinary Bessel functions J_n and Y_n by:

${\displaystyle j_n(x)=\sqrt{\frac{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{2x}}{J}_{n+1/2}(x),}$_n; بعض المؤلفين يسمون تلك الدوال دوال نويمان الكروية.

الدالة المولـِّدة

The spherical Bessel functions have the generating functions

${\displaystyle {\frac {1 {z \cos {\sqrt {z^{2 -2zt =\sum _{n=0 ^{\infty {\frac {t^{n {n! j_{n-1 (z),$

${\displaystyle {\frac {1 {z \sin {\sqrt {z^{2 +2zt =\sum _{n=0 ^{\infty {\frac {(-t)^{n {n! y_{n-1 (z).$

علاقات تفاضلية

في المعادلة التالية، فإن ${\displaystyle f_{n$ التالية هي أي من ${\displaystyle j_{n ,y_{n ,h_{n ^{(1) ,h_{n ^{(2)$ حيث ${\displaystyle n=0,\pm 1,\pm 2,\dots$

${\displaystyle \left({\frac {1 {z {\frac {d {dz \right)^{m \left(z^{n+1 f_{n (z)\right)=z^{(n-m)+1 f_{(n-m) (z).$

دوال هانكل الكروية : h _n

دوال بسل-ريكاتي : ${\displaystyle S_{n ,C_{n ,\zeta _{n

أشكال مقاربة

خواص دوال بسل

صلتها بتحويل فورييه

مبرهنة الضرب

فرضية بورجيه

مطابقات مختارة

• ${\displaystyle I_{-{\frac {1 {2 \left({\frac {z {2 \right)+I_{\frac {1 {2 \left({\frac {z {2 \right)={\frac {2e^{\frac {z {2 {\sqrt {\pi z ;$
• ${\displaystyle I_{\nu (z)=\sum _{k=0 {\frac {z^{k {k! J_{\nu +k (z);$
• ${\displaystyle J_{\nu (z)=\sum _{k=0 (-1)^{k {\frac {z^{k {k! I_{\nu +k (z);$
• ${\displaystyle I_{\nu (\lambda z)=\lambda ^{\nu \sum _{k=0 {\frac {\left((\lambda ^{2 -1){\frac {z {2 \right)^{k {k! I_{\nu +k (z);$
• ${\displaystyle I_{\nu (z_{1 +z_{2 )=\sum _{k=-\infty ^{\infty I_{\nu -k (z_{1 )I_{k (z_{2 );$
• ${\displaystyle J_{\nu (z)={\frac {z {2\nu (J_{\nu -1 (z)+J_{\nu +1 (z)),\quad I_{\nu (z)={\frac {z {2\nu (I_{\nu -1 (z)-I_{\nu +1 (z));$
• ${\displaystyle J_{\nu '(z)={\frac {1 {2 (J_{\nu -1 (z)-J_{\nu +1 (z)),\quad I_{\nu '(z)={\frac {1 {2 (I_{\nu -1 (z)+I_{\nu +1 (z));$
• ${\displaystyle \left({\frac {x {2 \right)^{\nu =\sum _{k=0 (-1)^{k {\frac {\Gamma (k+\nu ) {k! (2k+\nu )I_{2k+\nu (x).$

انظر أيضاً

• Bessel–Clifford function
• عديدة حدود بسل
• Propagator
• Fourier–Bessel series
• Hahn–Exton q-Bessel function
• Jackson q-Bessel function
• Struve function
• دوال كلڤن
• Lommel functions
• Lommel polynomial
• Neumann polynomial
• Vibrations of a circular drum
• Wright generalized Bessel function

الهامش

1. ^ Abramowitz and Stegun, p. 437, 10.1.1.
2. ^ Abramowitz and Stegun, p. 439, 10.1.39.

المصادر

• نطقب:Abramowitz Stegun ref2
• Arfken, George B. and Hans J. Weber, Mathematical Methods for Physicists, 6th edition (Harcourt: San Diego, 2005). ISBN 0-12-059876-0.
• Bayin, S.S. Mathematical Methods in Science and Engineering, Wiley, 2006, Chapter 6.
• Bayin, S.S., Essentials of Mathematical Methods in Science and Engineering, Wiley, 2008, Chapter 11.
• Bowman, Frank Introduction to Bessel Functions (Dover: New York, 1958). ISBN 0-486-60462-4.
• G. Mie, "Beiträge zur Optik trüber Medien, speziell kolloidaler Metallösungen", Ann. Phys. Leipzig 25 (1908), p. 377.
• B Spain, M.G. Smith, Functions of mathematical physics, Van Nostrand Reinhold Company, London, 1970. Chapterتسعة deals with Bessel functions.
• Watson, G.N., A Treatise on the Theory of Bessel Functions, Second Edition, (1995) Cambridge University Press. ISBN 0-521-48391-3.