في الفيزياء الذرية نموذج بور يصور الذرة كنواة صغيرة موجبة الشحنة محاطة بالإلكترونات الموجودة في مدارات - وذلك مثل النظام الشمسي . ونظرا لسهولة هذا النموذج فإنه لا يزال يستخدم كمقدمة لدارسي ميكانيكا الكم .

التطور التاريخي

في أوائل القرن العشرين، أثبتت التجارب التى أجراها إرنست رذرفورد وأخرون حتى الذرة تتكون من إلكترونات سالبة الشحنة تدور في مدارات حول نواة كثيفة وصغيرة وموجبة الشحنة .

وأبسط أواع الذرات هى ذرة الهيدروجين، والتى تتكون من بروتون وإلكترون مرتبطان معا القوى الكهرستاتيكية . وهذا مخالف لنظام الأرض-الشمس ، والذى يتم الإرتباط فيه عن طريق قوى الجاذبية .

في نموذج بور يمكن للإلكترونات حتى تكون فقط على مسافة محددة من البروتون المرتبطة به . وعند تواجدها في أى مكان أخر فإنه يستلزم فقد طاقة ( بالإشعاع الضوئي ) وأخيرا يقل نصف قطر دوران الإلكترون حول البروتون حتى تسقط فيه مما يؤدى لتدمير الذرة . وقد كان هناك دعم لهذه النظرية بخطوط الطيف ، والتى وضحت حتى الإلكترونات التى تدور في مدارات ينبعث منها ضوء في ترددات وطاقات معينة .

وعلى هذا فقد إقترح بور في عام 1913 الآتي:

• (1) الإلكترونات التى تدور في مدارات توجد في مدارات لها طاقات (كوانتمية) كم (فيزياء) منفصلة . أى أنه هناك مدارات معينة ممكنة فقط لدوران

الإلكترون .

• (2) قوانين الميكانيكا التقليدية لا يمكن تطبيقها عندما يقوم الإلكترون بعمل القفزات بين المدارات المسمحوح له التواجد فيها.
• (3) عندما يقوم إلكترون بعمل قفزة من مدار لأخر فإن فرق الطاقة إما يكتسب أويفقد بوحدة واحدة كمية من الطاقة ( تسمى فوتون )، والذى له طاقة تساوى الفرق بين طاقتى المدارين .
• (4) المدارات المسموحة تعتمد على قيم الكمات المنفصلة للمدار العزم الزاوي L طبقا للمعادلة

${\displaystyle \mathbf {L =n\cdot \hbar =n\cdot {h \over 2\pi$

حيث n=1,2,3,...etc وتسمى عدد العزم الزاوي الكمي

الإفتراض رقم (4) ينص على حتى أقل مستوى n=1 . ينطبق على أقل نصف قطر 0.0529 نانومتر ، والذى يعهد بنصف قطر بور . وعندما يتواجد إلكترون في أقل مدار ، لا يمكن حتى يقترب من البروتون لأقل من هذه القيمة .

ولوصف أكثر دقة للذرة راجع ميكانيكا الكم . المعالجة الكاملة من ناحية ميكانيكا الكم للذرة أكثر دقة - ولكنها حسابيا أكثر تعقيدا ، وإستخدام نموذج بور يمكن حتى يعطى نتائج مفيدة بمجهودات أقل . والشيء الذى يجب تذكره ومثل النماذج الأخرى ، فإن هذا النموذج يساعد في فهم هجريب الذرة ، والتى ليست مجرد نظام شمسي مصغر .

وفي 29 فبراير 1936، نشرت مجلة تخصصر نموذج "وعاء الكريات" لنيلز بور لشرح تأثير قصف الجسيمات على نواة (Vol. 137, p. 344). فقد علـَّق على منطقة في ساينس (20 أغسطس 1937، p. 161) شارحاً أنه “لفهم السمات النمطية للتحورات النووية التي يبدأها ارتطام جسيمات المادة... فالنموذج الميكانيكي البسيط الذي يمثل تلك السمات للتصادمات النووية هو... وعاء سهل ضحل بعدد من كرات البلياردوفيه. إذا كان الوعاء خالياً، فإن الكرة المرسلة فيه ستغوص فيه حتى القاع وستعبر إلى الطرف اللقاء بطاقتها الأصلية. إلا أنه حينقد يكون هناك كرات أخرى في الوعاء، ففي ذلك الوقت فإن الكرة الآتية أخيراً لن تتمكن من المرور بحـُرية بل ستـُقـَسـِّم طاقتها، أولاً مع أحد الكرات الأخرى، ثم ستتقاسم تلكما الكرتين طاقتيهما ... مقسمة بين جميع الكرات.

إستنتاج مستويات الطاقة الإلكترونية للهيدروجين

نموذج بور دقيق فقط لنظام يحتوى على إلكترون واحد فقط مثل ذرة الهيدروجين أوالأيون الأحادى للهيليوم . وسيتم إستخدام نموذج بور لإستنتاج مستويات الطاقة للهيدروجين .

وسنقوم بالبدء بالثلاث فروض السهلة:

• 1- جميع الجسيمات لها طبيعة موجية ، والطول الموجي للإلكترون ${\displaystyle \lambda$ ، يتناسب مع سرعته v كالتالي :

${\displaystyle \lambda ={\frac {h {m_{e v$

حيث ، h هى ثابت بلانك ، ${\displaystyle m_e}$

• 2- محيط المدار الذى يدور فيه الإلكترون لابد حتىقد يكون ناتج من ضرب رقم سليم في قيمة الطول الموجي للإلكترون :

${\displaystyle 2\pi r=n\lambda \,$

حيث ، r نصف قطر المدار الذى يدور فيه الإلكترون ، n هى رقم سليم .

• 3- يظل الإلكترون في المدار عن طريق قوى كولوم ، وهذه القوى تساوى قوة الجذب المركزية :

${\displaystyle {\frac {ke^{2 {r^{2 ={\frac {m_{e v^{2 {r \,$

حيث ${\displaystyle k=1/{4\pi \epsilon _{0$, وe هى شحنة الإلكترون.

وهذه ثلاث معادلات مع ثلاث معطيات غير معلومة : ${\displaystyle \lambda$ وr ، v . وبعد حل معادلات هذا النظام نجد معادلة واحدة خاصة بالمجهول v نضعها في المعادلة الخاصة بالطاقى الإجمالية للإلكترون :

${\displaystyle E\,$	${\displaystyle =E_{kinetic +E_{potential \,$
	${\displaystyle ={\begin{matrix {\frac {1 {2 \end{matrix m_{e v^{2 -{\frac {ke^{2 {r$

وبسبب مبرهنة ڤيريال يتم تبسيط الطاقة الكلية لتصبح :

${\displaystyle E=-{\begin{matrix {\frac {1 {2 \end{matrix m_{e v^{2$

وأخيراً نجد معادلة تعطينا الطاقة للمستويات المتنوعة للهيدروجين :

${\displaystyle E_{n \,$	${\displaystyle =-2\pi ^{2 k^{2 \left({\frac {m_{e e^{4 {h^{2 \right){\frac {1 {n^{2 \,$
	${\displaystyle ={\frac {-m_{e e^{4 {8h^{2 \epsilon _{0 ^{2 {\frac {1 {n^{2 \,$
	${\displaystyle ={\frac {-13.6\ \mathbf {eV {n^{2 \,$

وعلى هذا،قد يكون أقل مستويات الطاقة للهيدروجين n=1 يساوى -13.6 eV. ومستوى الطاقة التالى 'n=2 يساوى -3.4 eV ، والثالث 'n=3 يساوى -1.51 eV ، إلى غير ذلك.

لاحظ حتى جميع هذه الطاقات أقل من الصفر، وهذا يعنى حتى الإلكترون في حالة إرتباط مع البروتون.

الإنتنطق بين مستويات الطاقة (صيغة رايدبرگ)

عندما ينتقل الإلكترون من مستوى طاقة لمستوى اخر ، فإن هناك فوتون يفقد. وبإستخدام المعادلة الخاصة بمستويات الطاقة للهيدروجين يمكن تحديد الأطول الموجية للضوء الذى يمكن حتى ينبعث من الهيدروجين.

أولا يتم حساب الطاقة التى تنبعث من الهيدروجين بحساب الفرق بين مستويين من مستويات طاقة الهيدروجين :

${\displaystyle E=E_{i -E_{f ={\frac {m_{e e^{4 {8h^{2 \epsilon _{0 ^{2 \left({\frac {1 {n_{f ^{2 -{\frac {1 {n_{i ^{2 \right)\,$

حيث ${\displaystyle n_{f$ تعنى مستوى الطاقة الأخير، و${\displaystyle n_{i$ تعنى مستوى الطاقة المبدئي ( بإفتراض ان مستوى الطاقة الأخير أقل من المستوى المبدئي ).

وحيث ان طاقة الفوتون تساوي :

${\displaystyle E={\frac {hc {\lambda \,$

يكون الطول الموجي للفوتون المنبعث يساوي :

${\displaystyle {\frac {1 {\lambda ={\frac {m_{e e^{4 {8ch^{3 \epsilon _{0 ^{2 \left({\frac {1 {n_{f ^{2 -{\frac {1 {n_{i ^{2 \right)\,$

والذى يعهد بصيغة رايدبرگ.

وهذه المعادلة كانت معروفة للفهماء الذين قاموا بعمل دراسة للطيف في القرن التاسع عشر، ولكن لم يكن لديهم إثبات نظري للمعادلة حتى قام بور بفرض نظريته.

القصور في نموذج بور

فشل نموذج بور في تفسير الآتي:

1. تفسير أطياف العناصر الأثقل من الهيدروجين، فهي بالكاد تفسر الذرات التي لها إلكترون وحيد.
2. الفروق النسبية لخطوط الطيف.
3. تواجد خطوط طيف فائقة الدقة.
4. ظاهرة زيمان - والتي تنص على وجود تغير في خطوط الطيف عند وجود مجال مغناطيسي خارجي.

شاهد أيضا

• تجربة فرانك-هرتس
• ذرة الهيدروجين
• نيلز بور
• سلسلة ليمان
• ميكانيكا الكم
• صيغة رايدبرگ
• معادلة شرودنگر

المصادر

المصادر التاريخية

• بور ، نيلز (1913). هجريب الذرات والجزيئات ( الجزء 1 من ثلاثة )
• بور ، نيلز (1913) . هجريب الذرات والجزيئات ( الجزء 2 ) الأنظمة التى تحتوى على نواة وحيدة الإلكترون. Philosophical Magazine 26: 476-502
• بور ، نيلز (1913). هجريب الذرات والجزيئات ( الجزء ثلاثة ) Philosophical Magazine 26: 857-875.
• بور ، نيلز (1914). طيف الهيليوم والهيدروجين. Nature 92: 231-232

المصادر الحديثة

• Tipler, Paul; Llewellyn, Ralph 2002 ، الفيزياء الحديثة ( الطبعة الرابعة ) W. H. Freeman رقم ID=ISBN 0716743450
• ويكيبيديا الإنجليزية.

قراءات اضافية

• Linus Pauling (1970). General Chemistry, Chapter 5-1(3rd ed). San Francisco: W.H. Freeman & Co.A great explainer of Chemistry describes the Bohr model, appropriate for High School and College students.

• Reprint: Linus Pauling (1988). General Chemistry, Chapter 5-1 (3rd ed). New York: Dover Publications. ISBN .

• George Gamow (1985). Thirty years that shook Physics, Chapter 2. Dover Publications. A popularizer of physics explains the Bohr model in the context of the development of quantum mechanics, appropriate for High School and College students
• Walter J. Lehmann (1972). Atomic and Molecular Structure: the development of our concepts, chapter 18. John Wiley and Sons. Great explanations, appropriate for High School and College students
• Paul Tipler and Ralph Llewellyn (2002). Modern Physics (4th ed.). W. H. Freeman. ISBN .