عشوائية داخلية

معادلات ثرموديناميكية
	قوانين الديناميكا الحرارية
	متغيرات مترافقة ضغط / حجم (إجهاد Stress /انفعال Strain ) درجة الحرارة / إنتروبية الكمون الكيميائي / عدد الجسيمات
	كمائن ثرموديناميكية
	خواص المواد
	علاقات ماكسويل
	معادلة کلاوسیوس-کلاپیرون
	معادلات بريدجمان
	متفاضلة تامة
	تحرير

Ice melting is a common example of "entropy increasing" described in 1862 by Rudolf Clausius as an increase in the disgregation of the molecules of the body of ice.

الإنتروبية اوالاعتلاج S تمثل قياسا لمقدار الطاقة في النظام الفيزيائي التي لا يمكن استخدامها لإنتاج عمل ، وهذا يؤول بكلام آخر إلى أنها مقياس لمدى العشوائية أوانعدام النظام الفيزيائي ، ويمكن على هذا الأساس القول حتى الإعتلاج أيضا هومقياس لمدى قابلية قلب عملية ترموديناميكية ما. في الترموديناميك والميكانيك الإحصائي ، تشكل الإنتروبية متغيرا فيزيائيا أساسيا لوصف نظام ترمودينامي . حيث تمثل الإنتروبية قياسا لمقدار الطاقة الحرارية التي لا يمكن تحويلها إلى عمل[1] .

Rudolf Clausius, originator of the concept of entropy

جملة الواحدات الدولية تقدر الإنتروبية بالجول لكل كلفن (J·K⁻¹) ، وهي نفس واحدة السعة الحرارية، حيث تعتبر الإنتروبية مرافقة conjugate لدرجة الحرارة .

تعتمد الإنتروبية فقط على الحالة الراهنة للنظام الترمودينامي ، وليس على تاريخه التفصيلي ، أي أنه دالة حالة state function للمؤشرات الترمودينامية مثل الضغط ودرجة الحرارة ، .. الخ ، التي تصف الخواص المجهرية المقيسة للنظام .

يوجد ارتباط مهم بين الإنتروبية ومقدار الطاقة الداخلية في النظام التي لا يمكن تحويلها لعمل . ففي أي عملية عندما يعطي النظام طاقة بمقدار ΔE ، وتنخفض إنتروبيته بمقدار ΔS فإن مقدارا T_R ΔS من هذه الطاقة على الأقل يجب حتى يمضى لمحيط النظام بشكل حرارة غير قابلة للاستعمال ، وإلا فإن العملية لن تستمر . (T_R هي حرارة المحيط الخارجي للنظام، الذي لا يمكن انقد يكون بنفس درجة حرارة النظام T ).

وفق المبكانيك الإحصائي ، حسب بولتزمان تعتبر الإنتروبية مقياس لإحتمال حالة فزيائية معينة. وقد صاغ ذلك في القانون التالي:

${\displaystyle S=k.lnW$

حيث k هي ثابت بولتزمان وتساوي ${\displaystyle 1,380662.10^{-23 J/K$

وبالإضافة إلى ذلك يتمدد الغاز دائمًا لملء وعائه، حيث تزداد العشوائية الداخلية للغاز حدثا تمدد، وذلك لتوافر أماكن كثيرة للجزيئات. ولكل مادة عشوائية داخلية أكبر بوصفها غاز مقارنة بعشوائيتها الداخلية بوصفها سائل.

وربما تحدث بعض التغيرات انخفاضًا في العشوائية الداخلية في أحد الأنظمة، لكن هذا الانخفاض يمكن تعويضه من زيادة العشوائية الداخلية في الأنظمة المتصلة. عملى سبيل المثال تنخفض العشوائية الداخلية للماء حدثا تجمد السائل، لكن الحرارة المنطلقة في العملية تزيد العشوائية الداخلية للهواء المحيط.

وتزداد العشوائية الداخلية للمادة عندما تفقد المادة بعض قدرتها على العمل. فالهواء المدخل إلى بالون فارغ، على سبيل المثال له عشوائية داخلية منخفضة لأن جزيئات الهواء مضغوطة في حيّز صغير. ويبذل الهواء المضغوط شغلاً بالتمدد ونفخ البالون. وفي البالون المنفوخ تستطيع الجزيئات حتى تشغل عددا أكبر من الأماكن، وبالتاليقد يكون لها عشوائية داخلية أكبر. لكن هذه الجزيئات تكون قد فقدت القدرة على المزيد من العمل عند تضخيم البالون أكثر.

ولوأخذنا جميع العمليات التي تحدث الآن، فسوف ينتج عنها كون من الاختلال الكبير. ولأن العشوائية الداخلية للكون في ازدياد مستمر، فإن حالة العشوائية الداخلية الكبيرة هذه يجب حتى تحدث في وقت لاحق، ولهذا السبب يشار إلى العشوائية الداخلية أحيانًا بالسهم الزمني.

التحولات العكوسة

لقد لوحظ حتى الجملة الموجودة في شروط خارجية ثابتة تتحول مقتربةً من حالة نهائية بسيطة تسمى حالة التوازن. فمثلاً، إذا وُصِل جسمان مختلفان في درجتي حرارتيهما بسلك معدني، انتقلت الحرارة من الجسم الساخن إلى الجسم البارد حتى تتساوى درجتا الحرارة في الجسمين. كذلك إذا وُصِل وعاء يحوي غازاً عبر صنبور بوعاءٍ مُخلّى من الهواء، فإن الغاز يتمدد ويستمر تمدّده حتى يمتلئ كلا الوعاءين امتلاءً منتظماً. كما يمكن حتى يمتزج غازان امتزاجاً تاماً مع تساوي درجة الحرارة والضغط فيهما.

إن هذه التحولات وأمثالها مألوفة، إلا حتى التحولات المعاكسة غير مألوفة، ولا يمكن إجراؤها تجريبياً من دون تدخل الوسط الخارجي. فلم يُلاحظ قط انتنطق الحرارة من جسم بارد إلى جسم ساخن، ولا انضغاط غازٍ تلقائياً ليملأ أحد الوعاءيْن، ولا انفصال أحد الغازيْن الممتزجين عن الآخر تلقائياً. وقد صنّف ماكس پلانك Planck جميع التحولات الأولية في ثلاثة أصناف: طبيعية وغير طبيعية وعكوسة.

فالتحولات الطبيعية هي تحولات تلقائية تحدث في اتجاه التوازن. أما التحولات غير الطبيعية فهي التي لا تحدث مطلقاً لابتعادها عن حالة التوازن. فمثلاً، إذا كان التحول أ!ب طبيعياً، كان التحول ب!أ غير طبيعي. أما التحول العكوس فهوتحول طبيعي مثالي يمر بسلسلة متصلة من حالات التوازن، مثال ذلك تبخّر سائل بوجود بخاره في الضغط P، فإذا افتُرض حتى ضغط البخار التوازني للسائل يساوي p، فإن السائل يتبخر بتحول طبيعي إذا كان P < p؛ أما إذا كان P > p، فإن التحولقد يكون غير طبيعي ولا يحدث؛ وما يحدث عملاً حينئذ هوالتحول المعاكس، وهوتكاثف البخار condensation. وإذا كان p = P، فإن عمليتي التبخر والتكاثف تكونان عكوستين، ويمكن حتى تبدأ أيٌ منهما بزيادة بسيطة في الضغط الخارجي P، أوبنقصان طفيف فيه. فالتحول العكوس يمكن إذن عكسه عكساً تاماً بتغييرٍ في الشروط الخارجية لا متناه في الصغر. فإذا جُعل جسم في جوار جسم أبرد منه كثيراً، فإنه لا يمكن عكس اتجاه جريان الحرارة بإحداث تغيير طفيف في درجة حرارة أحد الجسمين. أما في التحول العكوس فيتم التحول بإحداث تغيرات طفيفة في فروق الضغط، ويتم انتنطق الحرارة بإحداث فروق ضئيلة في درجة الحرارة.

دالة الأنتروبية

عندما تقوم جملة ترموديناميكية بدورة تحولات قابلة للانعكاس وفق مبدأ كارنوCarnot فإن العلاقة التالية:

تصح من أجل دورة ثنائية درجة الحرارة ditherm، حيث T₁، T₂ درجتا الحرارة المطلقتان لمنبعي الحرارة اللذين هما على تماس مع الجملة التي تتبادل معهما كميتي الحرارة Q₁، Q₂ المحسوبتين جبرياً. وتتحقق العلاقة :

في حالة دورة عكوسة ما لجملةٍ هي على تماس متعاقب مع عددٍ كبير من المنابع الحرارية في درجات حرارة مختلفة، أي إن:

حيث dQ: كمية الحرارة التي تتلقاها الجملة من المنبع ذي الدرجة T. أما إذا كان التحول مفتوحاً، فإن الجملة تنتقل من حالة ابتدائية (1) إلى حالة نهائية (2) ، ويُبرهن بسهولة على حتى الكمية

مستقلة عن الطريق المسلوكة، ولا تتوقف إلا على الحالتين الابتدائية والنهائية. وعلى هذا يمكن، في حالة هذه الجملة، تعريف دالةٍ لمقادير تُميِّز حالة هذه الجملة، أويمكن بعبارة أخرى تعريف دالة حالةٍ بحيثقد يكون :

إن هذه الدالة S، التي لم تُعرَّف هنا إلا بتقريب ثابتةٍ اختيارية، هي بالتعريف أنتروبية الجملة المعتبرة.

وفي حالة تحولٍ عكوس لا متناهٍ في الصغرقد يكون:

وفي الحالة الخاصة لتحول متساوي الدرجة isotherm، في الدرجة T (كلفن)قد يكون:

حيث Q: كمية الحرارة التي تتلقاها الجملة. وتُعدّ هذه الكمية موجبة عندما تتلقاها الجملة عملياً. وينتج من هذا حتى الجملة تزداد أنتروبيتها عندما تمتص الحرارة. أما إذا لم تتبادل الجملة مع المحيط الخارجي حرارة خلال تحول عكوس فإن أنتروبيتها لا تتغير، وينطق حينئذ إذا التحول متساوي الأنتروبية isentropie.

إن حساب تغير الأنتروبية لجملة بين حالتين يعدّ حساباً سهلاً في حالة غاز كامل. فإذا أُخذ مول واحد من الغاز الكامل فإنه ينتج من تعريف المعاملات الترموديناميكية إمكان كتابة ما يلي في حالة تحول عكوس لا متناه في الصغر:

نظراً لكون الغاز كاملاً، وحيث CV السعة الحرارية المولية للغاز في حجم ثابت، وR ثابت الغازات الكاملة.

وعلى هذا تتغير درجة حرارة الغاز من T0 إلى T في حالة تحول محدَّد عكوس، ويتغير الحجم من V0 إلى V، ويكون:

فإذا افتُرض، بغية التبسيط، حتى CV ثابتة، فإنه ينتج أن:

وفي حالة تغير في الضغط تصبح العلاقة على النحوالتالي:

إن العلاقة (1) تصبح في حالة تحول قابل للانعكاس متساوي الحجم كما يلي:

وهذا الازدياد في أنتروبية الجسم يكافئه، بسبب عكوسية التحول النقصانُ الكلي في أنتروبية المنبعين، إذ إذا درجة حرارة الجسم في جميع لحظة تساوي درجة حرارة المنبع الذي قد يكون الجسم على تماس معه. أما في حالة التحول اللاعكوس فيكون ازدياد الأنتروبية هوأيضاً:

ولكن نقصان أنتروبية المنبع ذي الدرجة T₂، الذي يغذّي الجسم بكمية الحرارة المعطاة بـ:

Q = C_V(T₁-T₂)

يساوي:

ومن السهل تبيُّن أن:

فالجسم اكتسب أنتروبية أكثر من تلك التي خسرها المنبع. ولما لم يكن هناك أي تبادل حراري آخر، فإنه يُستنتج حتى كمية معينة من الأنتروبية قد تولَّدت في هذا التحول التلقائي. فعند النظر في جملةٍ تشتمل على الجسم السابق والمنبعين، تكون التبادلات السابقة تبادلات داخلية (أي في الجملة)، ولا يعدِّل التحولُ الداخلي العكوس الأنتروبية الكلية للجملة، في حين يولّد التحول التلقائي زيادة فيها. وقد أدت هذه النتيجة إلى قبول المسلَّمة التالية: «تزداد أنتروبية الجملة المعزولة في حالة جميع تحول تلقائي يطرأ عليها، في حين تظل ثابتة في جميع تحول عكوس؛ ولا يمكن لها حتى تنقص ما دامت الجملة معزولة». إذا التوازن المستقر لجملة معزولة يحدث عندما تصبح قيمة أنتروبيتها عظمى، ولا يمكن للأنتروبية بعد ذلك حتى تتطور. إذا هذا الافتراض السابق يكوِّن نص القانون الثاني في التحريك الحراري (الترموديناميك)، المنسوب إلى كلاوسيوس Clausius. يستحيل تحقيق تحولٍ تكون نتيجته الوحيدة أخذ كمية حرارة من خزان وحيد وتحويلها إلى عملٍ يكافئها.

مفهوم الأنتروبية الفيزيائي

وُصفت الأنتروبية بأنها مفهوم مجرد إلى حد بعيد، ووصف هذا المفهوم بأنه أقل وضوحاً من المفاهيم الميكانيكية كالقوة أوالتسارع أوالطاقة، بل إنه أقل وضوحاً من مفهوم درجة الحرارة أوكمية الحرارة. ويرجع السبب في ذلك إلى حتى مثل هذه المفاهيم الفيزيائية إما حتى تكون فيسيولوجية المنشأ أوحتى تكون على صلة وثيقة بالمفاهيم الفيزيولوجية المنشأ.

مفهوم الإنتروبيا باستخدام مفهوم الطاقة

ومع ذلك يمكن تقريب مفهوم الأنتروبية باستخدام مفهوم الطاقة: إذا جميع نوع من أنواع الطاقة يمكن التعبير عنه رياضياً بجداء عاملين مثل جداء القوة بالانتنطق F.dl أوجداء الثقل بالارتفاع W.dh في حالة الطاقة الميكانيكية؛ أوجداء الحقل الكهربائي بالشحنة E.dq في حالة الطاقة الكهربائية؛ أوجداء الضغط بالحجم P.dv في حالة طاقة الضغط؛ أوجداء درجة الحرارة بتغير الأنتروبية T.ds في حالة الطاقة الحرارية. ويتألف كلٌ من هذه الجداءات من عامليْن، أحدهما هومتغيُر توترٍ (شدة)، مثل: (القوة والوزن والحقل الكهربائي والضغط أودرجة الحرارة) وهويعبِّر عن حالة التوازن. أما العامل الثاني فهوعامل كمية ويتناسب مع كِبر الجملة مثل: extension التمدد والطول وكمية الكهرباء والحجم والأنتروبية. فمثلاً عندما يقاس متغير توتر كالضغط أودرجة الحرارة في جملة متوازنة، فإن مقدارهقد يكون ثابتاً ولا يتوقف على موضعه أوكِبَر الجملة. إذا للمقادير الامتدادية extension خواص جمعية، وتتصف جميعها تقريباً بأنها تخضع لمبدأ الانحفاظ conservation، فلا يمكن مثلا توليد كمية كهربائية أوإفناؤها، أما الأنتروبية فهي وحدها المستثناة، إذ إنها تشذ عن هذا المبدأ، فمع استحالة إفنائها فإن بالإمكان توليدها؛ وهذا الإمكان هوالسبب في شذوذ الأنتروبية عن مختلف المقادير الامتدادية الأخرى، وهوالسبب أيضاً في شذوذ الطاقة الحرارية عن مختلف الطاقات الأخرى.

انحطاط الطاقة degradation of energy

تبقى الطاقة محفوظة في أي تحوّل سواء أكان التحول قابلاً للانعكاس أم كان غير قابل له؛ ولكن شيئاً غير الطاقةقد يكون مفقوداً في التحول، فمثلاً في تجربة جول تتحول الطاقة الميكانيكية إلى طاقة حرارية يكتسبها الماء وتستقر فيه، وإذا أُريد استخدام هذه الطاقة الحرارية فإنها تتحول إلى عمل أقل كثيراً مما صُرف لتوليدها. فالطاقة الأولى انحطت إلى شكل أقل نفعاً ومردوداً. كذلك إذا امتزج ماء بارد بماء ساخن تكون الطاقة الداخلية للجملة واحدة قبل المزج وبعده وفقاً لمبدأ انحفاظ الطاقة. ولكنقد يكون هناك بعد المزج خزان واحد في درجة حرارة واحدة؛ في حين كان الماء قبل المزج في خزانين في درجتي حرارة مختلفتين. ومن المحال وفقا للمبدأ الثاني في التحريك الحراري تحويل الحرارة إلى عمل ميكانيكي من خزان وحيد، في حين كان من الممكن عمل ذلك باستخدام الخزان الساخن الأول مع خزانات أخرى باردة، وتحويل جزءٍ من الحرارة إلى عمل. فالطاقة الداخلية للجملة قبل المزج انحطت إلى شكل أقل نفعاً ومردوداً، ويحدث الأمر في أي تحول طبيعي لاعكوس. وعلى هذا يمكن حتى تعدَّ الأنتروبية مقياساً لمدى الاستفادة من الطاقة. وإذا كانت طاقة الكون محفوظة فإن أنتروبيته تسعى نحونهاية عظمى.

تعيين القيمة المطلقة للأنتروبية

إن فهم قيم أنتروبية الأجسام بدلالة درجة الحرارة والضغط مهمة جداً لتحديد إمكانات التفاعلات الكيمياوية، فهي لا تكون ممكنة إلا إذا أدى التفاعل إلى تزايد الأنتروبية في التحول اللاعكوس. ولكن أنتروبية جسم في حالة معينة لا تكون معروفة إلا بتقريب ثابتة اختيارية وفقاً للعلاقة:

ولتعيين القيمة المطلقة للأنتروبية وُضعت فرضية معروفة باسم فرضية نرسنت بلانك Nernst-Planck، اعتماداً على تجارب أُجريت في درجات حرارة منخفضة جداً حُدِّدت فيها قيم هذه الثابتة بالقول: إذا أنتروبية جميع الأجسام تؤول إلى الصفر عندما تؤول درجة الحرارة إلى درجة الصفر المطلق (التي لم تبلغها التجارب)، وتؤلف هذه الفرضية المبدأ الثالث في التحريك الحراري التقليدي. وقد أُدرجت في جداول الثوابت العددية قيمُ أنتروبية الأجسام المتنوعة، بدءاً من درجة الصفر المطلق؛ وقد تم الحصول عليها بقياسات حرارية في الشرطين T=298K، و1=P جووهذه القيم تفيد في تطبيقات كثيرة في التفاعلات الكيمياوية وفي الهندسة الميكانيكية.

الأنتروبية والاحتمال

يحتم المبدأ الثاني في التحريك الحراري استحالة انفصال ذرات الغاز السريعة عن الذرات البطيئة الموجودة في أسطوانة، لأن هذا الانفصال هوتحول مصحوب بنقصان أنتروبية الجملة. ولكن الحركة العشوائية الدائمة لذرات الغاز قد تؤدي إلى تصور احتمال تجمع الذرات السريعة في مكان ما من الأسطوانة، غير حتى احتمال وقوع هذه الحادثة ضعيف جداً لأنه لم يلاحظ حتى اليوم مثل هذا التحول. وهذا هوما تدل عليه نظرية الاحتمال التي تبين حتى احتمال انفصال الذرات السريعة عن الذرات البطيئة انفصالاً تاماً يساوي (1/2)ⁿ، حيث n: عدد ذرات الغاز. فإذا كان هناك ذرة غرامية واحدة من الغاز، كان N=n (عدد آفوغادرو) 6×²³10، فإن الاحتمال في هذه الحالة يساوي الصفر عملياً. إذا هذا الارتباط غير المباشر ما بين الأنتروبية والاحتمال يمكن تبيينه بتطبيق العلاقة (1) على تحول عكوس متساوي درجة الحرارة، فيكون تغير الأنتروبية مساوياً:

حيث V0: حجم الغاز الابتدائي، وV= حجمه في نهاية التحول. أما احتمال وجود ذرة ما من الغاز في جزءٍ ما V من الأسطوانة ذات الحجم V0 فيساوي نسبة مجموع الحالات المواتية favorable لوقوع ذلك إلى مجموع الحالات الممكنة، أي يساوي

وأما احتمال وجود ذرات الغاز كلها التي عددها N (في حالة ذرة غرامية) في الجزء V فقط فيساوي أيضاً

بتعويض هذه العلاقة في (3) يصبح تغير الأنتروبية:

أو:

حيث k: ثابت ستيفان-بولتزمان Boltzmann وتساوي 1.381× 10^-23 جول/كلفن وحيث C: ثابتة اختيارية هي كالثابتة الاختيارية التي تدخل في تعيين دالة الأنتروبية. وتدل العلاقة (4) على حتى أنتروبية جملة ما تبلغ قيمة عظمى في حالتها الأكثر احتمالاً، وهذا ما يتفق مع مبدأ تزايد الأنتروبية.

وتجدر الإشارة أخيراً إلى حتى تعبير الأنتروبية أُدخلت في نظرية المعلومات بصيغة شبيهة بالعلاقة (4) لتدل على قياس المعلومات المتاحة (المحتملة) في جملةٍ من الجمل.

انظر أيضا

سهم الزمن Arrow of time
ثقب أسود Black hole
قوة اعتلاجية Entropic force
إنتروبية المزج Entropy of mixing
إنتروبية المعلومات Information entropy
إنتروبية كولموغوروف-سيناي Kolmogorov-Sinai entropy (في الجمل الحركية)
وحدات لوغاريثمية Logarithmic units
عفريت ماكسويل Maxwell's demon
إنتروبية متبقية Residual entropy
كمون ترمودينامي Thermodynamic potential
Negentropy
Ectropy

المصادر

^ Note: In complex systems of molecules, such as at the critical point of water or when salt is added to an ice-water mixture, entropy can either increase or decrease depending on system parameters, such as temperature and pressure. For example, if the spontaneous crystallization of a supercooled liquid takes place under adiabatic conditions the entropy of the resulting crystal will be greater than that of the supercooled liquid (Denbigh, K. (1982). The Principles of Chemical Equilibrium, 4th Ed.). In general, however, when ice melts, the entropy of the two adjoined systems, i.e. the adjacent hot and cold bodies, when thought of as one "universe", increases. Here are some further tutorials: Ice-melting – JCE example; Ice-melting and Entropy Change – example; Ice-melting and Entropy Change – discussions
^ Clausius, Rudolf (1862). Communicated to the Naturforschende Gesellschaft of Zurich, January 27, 1862; published in the Vierteljahrschrift of this Society, vol. vii. P. 48; in Poggendorff’s Annalen, May 1862, vol. cxvi. p. 73; in the Philosophical Magazine, S. 4. vol. xxiv. pp. 81, 201; and in the Journal des Mathematiques of Paris, S. 2. vol. vii. P. 209.
^ طاهر تربدار. "الأنتروبية". الموسوعة العربية. Retrieved 2012-04-08.

الموسوعة المعهدية الكاملة

P. Pluch Quantum Probability Theory, PhD Thesis, University of Klagenfurt (2006)

قراءات أخرى

Ben-Naim, Arieh (2007). Entropy Demystified. World Scientific. ISBN .
Dugdale, J. S. (1996). Entropy and its Physical Meaning (2nd Ed. ed.). Taylor and Francis (UK); CRC (US). ISBN .CS1 maint: extra text (link)
Fermi, Enrico (1937). Thermodynamics. Prentice Hall. ISBN .
Kroemer, Herbert (1980). Thermal Physics (2nd Ed. ed.). W. H. Freeman Company. ISBN . Unknown parameter |coauthors= ignored (|author= suggested) (help)CS1 maint: extra text (link)
Penrose, Roger (2005). The Road to Reality: A Complete Guide to the Laws of the Universe. ISBN .
Reif, F. (1965). Fundamentals of statistical and thermal physics. McGraw-Hill. ISBN .
Goldstein, Martin; Inge, F (1993). The Refrigerator and the Universe. Harvard University Press. ISBN .CS1 maint: multiple names: authors list (link)
vonBaeyer; Hans Christian (1998). Maxwell's Demon: Why Warmth Disperses and Time Passes. Random House. ISBN .
Entropy for beginners

عبد الله واثق شهيد، الترموديناميك (جامعة دمشق 1968).
الفيزياء الإحصائية، ترجمة بغدادي ودرويش وعوض (مطبعة جامعة دمشق).
F.W.SEARS, Thermodynamics (1963).

وصلات خارجية

Entropy - A Basic Understanding A primer for entropy from a chemical perspective
Interactive Shockwave Animation on Entropy
Max Jammer (1973). : Entropy
Frank L. Lambert; entropysite.com – links to articles including simple introductions to entropy for chemistry students and for general readers.
Thermodynamics - a chapter from an online textbook
on Project PHYSNET
- an Open Access journal