لوغاريتم طبيعي

	جزء من سلسلة منطقات عن; الثابت الرياضي، e
	لوغاريتم طبيعي
	التطبيقات في: الفائدة المركبة • متطابقة اويلر وصيغة اويلر • نصف العمر والنمو/الانحلال الأسي
	تعريف e: إثبات حتى e غير كسرية • تمثيلات e • مبرهنة ليندمان–ڤايرشتراس
	شخصيات جون ناپييه • ليونهارد اويلر;
	حدسية شانويل;

Graph of the natural logarithm function. The function slowly grows to positive infinity as x increases and rapidly goes to negative infinity as x approaches 0 ("slowly" and "rapidly" as compared to any power law of x); the y-axis is an asymptote.

دالة اللوغاريتم الطبيعي أوالنبيري هي دالة اللوغاريتم للأساس e. وهي الدالة الاصلية للدالة ${\displaystyle x\mapsto 1/x$ على ${\displaystyle ]0;+\infty [$ وتنعدم في 1 . نرمز لهذه الدالة ب Log (عدم الخلط مع log والتي ترمز لدالة اللوغاريتم العشري) أوln بصفة عامة:

${\displaystyle \forall x\in \mathbb {R _{+ ^{* ,\ \ln(x)=\int _{1 ^{x {\frac {1 {t \mathrm {d t$

التاريخ

لاحظ جون ناپيير أنه بحاجة إلى أساس r لمتتالية هندسية لا يؤدي حمله إلى قوة إلى اختلاف كبير بين حدين متتالين، لأن العثور على عدد يقع بين حدين متتاليين (وهذا ما يقع في أكثر الأحوال) يؤدي التقريب إلى ما قبله أوإلى ما بعده إلى ارتكاب خطأ كبير إذا كان الأساس كبيراً. إلى غير ذلك عثر حتى الأساس اللازم اختياره يجب حتىقد يكون قريباً من الواحد السليم، وطبعاً لا يمكن اختيار الواحد. فاختار نابيير عدداً قريباً من الواحد يساوي 1-1/710، واختار الحد الأول للمتتالية الهندسية العدد 710 لكي يتجنب الكسور، وهذا أمر متبع منذ أيام بطلميوس، فيكون الحد الثاني 710(1- 1/710) = 9999999. وإذا كان N حداً ما من المتتالية الهندسية

N = 107 (1 - 1/107)L

يكون لوغاريتمه حسب تعريف نابيير هوL. فيكون الحد الأول في المتوالية الهندسية هولوغاريتم 710 هوالمبدأ عند نابيير، وهذا يختلف عما هومتبع حالياً. ثم إذا أساس اللوغاريتم الذي أخذه نابيير هو:710(1- 1/710) القريب من limn → ∞(1-1/n)n =1/e وليس e.

عبّر نابيير عن أفكاره الرئيسية بالكيفية التي كانت مألوفة عند اليونانيين والمسلمين أي التي تعتمد الشكل الهندسي، فشرح فكرته في تعريف اللوغاريتم بأطوال ولكنها تتفق مع التعريف العددي الذي تقدم. فقد أخذ بترة مستقيمة AB ونصف مستقيم SR وفرض حتى نقطة P تبدأ من A بسرعة 710 وتتحرك على طول البترة المستقيمة AB التي طولها أيضاً 710 بسرعة متغيِّرة تتناقص متناسبة مع المسافة PB=x. وفرض أيضاً حتى النقطة Q تتحرك في الوقت نفسه على نصف المستقيم SR بسرعة ثابتة هي أيضاً 710 التي انطلقت بها النقطة P من A. وغني عن القول حتى نابيير نظم جداوله عددياً لا هندسياً. ولكن التمثيل الهندسي كان كافياً في ذلك الزمان لشرح مضمون فكرته

وقد أطلق نابيير على المسافة SQ اسماً نحته من حدثتين يونانيتين هما Logos وarithmus فكانت حدثة logarithm (التي أصبحت بالعربية لوغاريتم) ونطق إذا طول SQ هولوغاريتم المسافة PB.

[لتكن....... AC, CD, DE, EF, هي المسافات التي بترها المتحرك P في أزمنة متتالية متساوية. فقد عهد نابيير ببصيرته حتى النسب CB/DB وAB/CB تتوقف فقط على المدة من A إلى C ومن C إلى D إلخ. فهذه النسب متساوية لأن المدد متساوية. وقد بُرهن فيما بعد على صحة ذلك وأن المسافات… AB, CB, DB, EB, FB تشكل متوالية هندسية. أما المسافات التي يبترها Q على SR في الوقت نفسه فتشكل متوالية عددية].

وقد استخدم نابيير في جداوله اللوغاريتمية - التي نشرها عام 1614 - الكسور العشرية التي كان قد رَوَّج لها الهولندي ستيفن، فأدخل استعمالها إلى كثير من أنحاء أوربا نتيجة لذيوع استعمال جداوله.

والأمر الذي يدعوإلى العجب هوحتى نابيير اختار الأساس القريب جداً من ذاك الذي تأخذ به الطبيعة، إذ يُصادف العدد e حالياً في كثير من قوانين الفيزياء. فكيف ساير تفكير الإنسان دون قصد قوانين الطبيعة،يا ترى؟ هذا يشير على مزايا الفكر الرياضي في وصف قوانين الطبيعة.

لا بد حتى يُلاحظ هنا حتى الجداول اللوغاريتمية التي كانت أكثر تداولاً تعتمد الأساسعشرة بدلاً من الأساس e، إلا حتى انتشار الحواسيب المحمولة اليوم أبطل تقريباً استعمال هذه الجداول.

خصائص أساسية

اتصال ورتابة دالة اللوغاريتم الطبيعي

نستنتج مما تجاوز ان الدالة ln فهم على ${\displaystyle ]0;+\infty [$ و قابلة للاشتقاق على هذا المجال و :

${\displaystyle \forall x\in \mathbb {R _{+ ^{* ,\ \ln '(x)={\frac {1 {x$

ومنه الدالة ln متصلة على ${\displaystyle ]0;+\infty [$ وبما ان مشتقتها موجبة بترا فانها تزايدية بترا على ${\displaystyle ]0;+\infty [$

عمليات على دالة اللوغاريتم الطبيعي

لتكن f دالة فهم ب ${\displaystyle \ f(x)=\ln(ax)$ حيث a وx عددان موجبان بترا. مشتقة هي نفس مشتقة دالة اللوغاريتم الطبيعي اي ان :

${\displaystyle \ f(x)=\ln(x)+k\ /\ k\in \ R$

وبما أن : f(1) =k فان : ln(a)=k اذن وبصفة عامة :

${\displaystyle \forall (a;b)\in ]0:+\infty [^{2 ,\ \ln(ab)=\ln(a)+\ln(b)$

من تلك الخاصية نستنتج الخاصيات التالية :

${\displaystyle \forall (a;b)\in ]0:+\infty [^{2 ,\ \ln \left({\frac {a {b \right)=\ln(a)-\ln(b)$
${\displaystyle \forall a\in ]0;+\infty [,\ \forall n\in \mathbb {Z ,\ \ln(a^{n )=n\ln(a)\quad$
${\displaystyle \forall a\in ]0;+\infty [,\ \forall r\in \mathbb {Q ,\ \ln(a^{r )=r\ln(a)$ *
${\displaystyle \forall (a_{1 ,a_{2 ,....,a_{k )\in ]0:+\infty [^{k ,\ \sum _{n=1 ^{k ln(a_{n )=ln(\prod _{n=1 ^{k a_{n )$