Diagram illustrating the Legendre transformation of the function ${\displaystyle \scriptstyle f(x)\!$, shown in red. ${\displaystyle \scriptstyle f^{\star$ is the value of the Legendre transform ${\displaystyle \scriptstyle f^{\star (p_{0 )$, where ${\displaystyle \scriptstyle p_{0 ={\dot {f (x_{0 )$, and is found by the intersection of the tangent line at point ${\displaystyle \scriptstyle (x_{0 ,\ f(x_{0 ))$ (shown in blue) with the vertical axis at ${\displaystyle \scriptstyle (0,\ -f^{\star )$. Note that for any other point on the red curve, a line drawn through that point with the same slope as the blue line will have a y-intercept above the point ${\displaystyle \scriptstyle (0,\ -f^{\star )$, showing that ${\displaystyle \scriptstyle f^{\star$ is indeed a maximum. Alternatively, ${\displaystyle \scriptstyle f^{\star$ is the vertical distance at ${\displaystyle \scriptstyle x_{0$ between the red line and the blue line shifted up to pass through the origin, i.e. the maximum value of ${\displaystyle \scriptstyle px-f(x)$.

في الرياضيات والفيزياء، تحويل ليجاندر Legendre transformation، هوتحويل رياضي ينتسب إلى عالم الرياضيات أدريان ليجاندر يختص بتحويل التماس ويشكل طريقة حسابية هامة لتحويل المتغيرات في الدوال الرياضية . فهويحول دالة من نوع ${\displaystyle f(x)$ إلى دالة ${\displaystyle g(u)$

حيث ينشأ المتغير ${\displaystyle g$ من مشتقة الدالة ${\displaystyle f$.

أي أن:

${\displaystyle u={\tfrac {\partial f {\partial x$

وبالعكس:

${\displaystyle x=\pm {\tfrac {\partial g {\partial u$.

ويمكن كتابة معادلات قبل وبعد التحويل كالآتي:

${\displaystyle g(u)=\pm \left[u\,x(u)-f(x(u))\right]\ ,\quad f(x)=x\,u(x)\mp g(u(x))$

استنباطه

الغرض من تحويل ليجاندر هوتغيير اعتماد دالة ${\displaystyle f(x)$ على المتغير ${\displaystyle x$ إلى اعتمادها على متغير آخر ${\displaystyle u$ حيث:

${\displaystyle u={\frac {\partial f {\partial x$

فعندما نصيغ الدالة ${\displaystyle f(x)$ المعتمدة على ${\displaystyle x$

${\displaystyle \mathrm {d f={\frac {\partial f {\partial x \,\mathrm {d x=u\,\mathrm {d x$,

يصبح الدالة ${\displaystyle g(u)$ أيضا معتمدة على المتغير ${\displaystyle u$ .

${\displaystyle \mathrm {d g=\pm x\,\mathrm {d u$

وعندما نقوم بمعلية التفاضل الكلي ل ${\displaystyle (\pm ux)$ نحصل على:

${\displaystyle \mathrm {d (\pm ux)=\pm (x\,\mathrm {d u+u\,\mathrm {d x)$.

وبالمقارنة ب ${\displaystyle \mathrm {d f$ و${\displaystyle \mathrm {d g$

نحصل على:

${\displaystyle \mathrm {d (\pm ux)=\mathrm {d g\pm u\,\mathrm {d x=\mathrm {d g\pm \mathrm {d f$.

أي أن:

${\displaystyle \mathrm {d g=\mathrm {d (\mp f\pm ux)$,

وبعد إجراء التكامل نحصل على:

${\displaystyle g(u)=\pm (-f(x(u))+ux(u))$.

وتسمى الدالة ${\displaystyle g(u)$ دالة ليجاندر المحولة من الدالة ${\displaystyle f$ . ولا أهمية لإشارة الدالة ${\displaystyle g$

لذلك يمكننا كتابة

${\displaystyle g=ux-f$ oder ${\displaystyle g=f-ux$

ويعتمد اختيار الإشارة على المعني الفيزيائي للدالة ${\displaystyle g$ .

معناه الهندسي

سنوضح تحويل ليجاندر بواسطة الرسم المرسوم أعلاه : يمكن رسم المنحنى الأحمر عن طريق استبدال جميع نقاطه بتحويلات ليجاندر التي تعطينا عددا كبيرا من المماسات التي تحيط وتمس المنحنى الأحمر. وهذا ما تقوم به تحيلات ليجاندر . فالدالة الناتجة ${\displaystyle g(u)$ ترتب ميل الممسات ${\displaystyle u$ لكل نقطة بحسب تقاطع خط التماس مع المحور Y . إذاّ فتلك الممسات تصف المنحني وصفا كاملا - ولكن باستخدام إحداثية أخرى ، وهي ${\displaystyle u$ بدلا من ${\displaystyle x$.

في حالة عدة متغيرات

يتغير اعتماد دالة ${\displaystyle f(x,y)$ تعتمد على المتغير ${\displaystyle x$ إلى متغير آخر ${\displaystyle u$ عن طريق التفاضل الجزئي للدالة ${\displaystyle f$ بالنسبة إلى ${\displaystyle x$ كالآتي:

${\displaystyle u={\frac {\partial f {\partial x$.

ويمثل فيها ${\displaystyle u(x,y)$ الميل الهندسي في الاتجاه x من الدالة ${\displaystyle f(x,y)$ .

ذلك نتحدث عن تحويل ليجااندر بأنه "تحويل مماسات " . وتسمى الدالة ${\displaystyle F(u,y)$

"دالة ليجراند المحولة" .

ويمكننا استنباط دالة ليجراند المحولة كالآتي: يمكن كتابة الدالة ${\displaystyle f(x,y)$ على الصورة :

${\displaystyle f(x,y)\approx f(x_{0 ,y)+{\frac {\partial f {\partial x \Delta x,\;\Delta x=x-x_{0$

وإذا عرّفنا ${\displaystyle f(x_{0 ,y)\equiv F(u,y)$, حصلنا على دالة ليجراند المحولة :

${\displaystyle F(u,y)=f(x,y)-{\frac {\partial f {\partial x \Delta x$.

في أغلب أحوال توضع ${\displaystyle x_{0 =0$ ونحصل على :

${\displaystyle F(u,y)=f(x,y)-{\frac {\partial f {\partial x x$.

بالنسبة إلى التعريف الأخيرقد يكون الجزء ${\displaystyle y$ لنقطة المماس على ${\displaystyle f(x,y)$ مع اتخاذ المستوي ${\displaystyle x=0$ هي دالة ليجراند المحولة . وتوصف الدالات في ذلك المستوي بأنها "مبتر المحور" .

أي ينشأ تبديل المتغيرات من خلال طرح حاصل ضرب الإحداثيات الأولية والجديدة < math>u x</math> من الدالة الأصلية :

${\displaystyle F(u,y)=f(x,y)-ux$.

ويبدوذلك واضحا عند مشاهدة إلى التفاضل الكلي لدالة ليجاندر المحولة :

${\displaystyle \mathrm {d (f(x,y)-ux)=\mathrm {d f(x,y)-x\,\mathrm {d u-u\,\mathrm {d x={\frac {\partial f {\partial x \mathrm {d x+{\frac {\partial f {\partial y \mathrm {d y-x\mathrm {d u-u\mathrm {d x={\frac {\partial f {\partial y \mathrm {d y-x\,\mathrm {d u=\mathrm {d F(u,y)$.

تطبيقاته

يطبق تحويل ليجاندر في الفيزياء في مسائل الترموديناميكا الإحصائية ، مثل تحويل معادلات الانتنطق بين الجهود الترموديناميكية تحت طروف معينة وكذلك عند الانتنطق من دالة ليجاندر إلى ميكانيك هاميلتون أوإلى ميكانيك لاغرانج .

وفي فهم الحركة الحرارية نستخدمها مع اختيار الإشارة السفلى ، أي بوضع (${\displaystyle g=f-ux$).

ويقوم تحويل ليجاندر - وكذلك تحويل نقاط الممسات بصفة عامة - بوظية هامة ي الميكانيكا وحساب التغيرات وفي نظرية المعادلات التفاضلية من الدرجة الأولى . وعند استخدام دالة ليجراندر المحولة في الميكانيكا نستخدم الإشارة العليا في المعادلة (${\displaystyle g=ux-f$) طبقا للمتفق عليه.

مثـال دالة هاميلتون

في الميكانيكا نستنبط معادلة هاميلتون من معادلة لاغرانج عن طريق استخدام تحويل ليجاندر:

${\displaystyle H(q,p)=p\,{\dot {q (q,p)-L(q,{\dot {q (q,p))\quad {\text{with \quad p={\frac {\partial L {\partial {\dot {q$

وفي الترموديناميكا يمكننا عن طريق تحويل ليجاندر استنباط الجهد الترمويناميكي من المعادلات الأساسية للترموديناميكا. عندئذ يمكن الانتنطق من الطاقة الداخلية U (وهي تعتمد على الإنتروبيا) S إلى طاقة هيلمهولتز F التي تعتمد على درجة الحرارة T:

${\displaystyle F(T,V,N)=U(S,V,N)-\left({\frac {\partial U {\partial S \right)_{V,N \cdot S=U-TS$

وهنا يختص تفاضل المعادلة (U(S,V,N بانسبة لإنتروبيا S, حيث نضع كلا من V وN كثوابت .

بالمثل نستخدمها عند دراسة جهد ترموديناميكي وتحوله إلى جهد آخر ، مثلما يحدث عند الانتنطق من الإنثالبي H إلى طاقة جيبس G:

${\displaystyle G(T,p,N)=H(S,p,N)-\left({\frac {\partial H {\partial S \right)_{p,N \cdot S=(U+pV)-TS$

وبالمثل نستطيع الحصول على جهود ترموديناميكية أخرى أننا عن طريق تحويل ليجاندر نستطيع الانتنطق إلى إحداثيات معممة والتي عن طريقها يمكننا استبدالها بالقوة الترموديناميكية المقترنة.

أمثلة الدالة الأسية

الدالة الأسية e^x

لها دالة تحويل ليجاندر  x ln x − x&nbsp حيث حتى مشتقاتها الأولى e^x و ln x معكوسة بالنسبة لبعضها . وهذا يبين حتى ليس من الضروري حتى يتفق الحيزين الرياضييين للدالتين مع بعضهما .

كذلك بالنسبة إلى الدالة التربيعية :

${\displaystyle f(x)={\begin{matrix {\frac {1 {2 \end{matrix \,x^{T \,A\,x$

حيث A مصفوف متناظر غير متغير (مصفوف n-في-n) ودالة تحويل ليجاندر له هي:

${\displaystyle f^{\star (y)={\begin{matrix {\frac {1 {2 \end{matrix \,y^{T \,A^{-1 \,y$

انظر أيضاً

• Dual curve
• Projective duality
• Young's inequality
• Convex conjugate
• Moreau's theorem

المصادر

• Arnol'd, Vladimir Igorevich (1989). Mathematical Methods of Classical Mechanics (second edition). Springer. ISBN .
• Rockafellar, R. Tyrrell (1996). Convex Analysis (paperback republication of 1970 ed.). Princeton University Press. ISBN .
• Zia, R. K. P.; et al. (2009). "Making Sense of the Legendre Transform". arXiv:0806.1147. Explicit use of et al. in: |author= (help);

وصلات خارجية

• Touchette, Hugo (2005-07-27). "Legendre-Fenchel transforms in a nutshell" (PDF). Retrieved 2007-07-24.

• Touchette, Hugo (2006-11-21). "Elements of convex analysis" (PDF). Retrieved 2008-03-26.

• "Legendre transform with figures". Retrieved 2012-09-26.