نقطة متقابلة
في فهم الرياضيات، مصطلح النقطة المتقابلة Antipodal point، يشير إلى أية نقطة موجودة على سطح الكرة إلى النقطة اللقاءة لمثيلاتها في الجهة الأخرى من الكرة المارة عبر القطر - بحيث إذا تم رسم خط من هذه النقطة إلى النقطة اللقاءة لها يمر الخط عبر مركز الكرة ويتكوّن قطر حقيقي.
ويتم تطبيق هذا المصطلح على النقاط اللقاءة الموجودة على سطح الدائرة أوأي n-كرة.
في بعض الأحيان، يُطلق على النقطة المتقابلة لفظ النقيض، وهوقياس خاطئ على اللفظ الدخيل اليوناني antipodes، والذي يعني في الأصل "عكس القدمين".
النظرية
في فهم الرياضيات, يتوسع مفهوم النقاط المتقابلة ليضم الكرات ذات أي بعد: فيُطلق على نقطتين موجودتين على سطح الكرة بأنهما نقطتان متقاطرتان إذا كانت إحداهما لقاءة للأخرى عبر مركز الكرة; عملى سبيل المثال، فلنعتبر حتى النقطة التي تتوسط الكرة هي المركز, بالتالي تشير النقاط المتقابلة إلى النقاط التي تمر عبرها المتجهات ذات الصلة v وv-. على سطح الدائرة, يُطلق على مثل هذه النقاط كذلك النقاط المتواجدة على الجهة اللقاءة من القطر. وبعبارة أخرى، جميع خط يمر عبر المركز يبتر الكرة إلى نقطتين، تمثل جميع نقطة من النقطتين شعاع يخرج من المركز، وبهذا يُطلق على هاتين النقطتين نقطتان متقابلتان.
تعتبر مبرهنة بورسوك - أولام إحدى نتائج الطوبولوجيا الجبرية التي تتناول مثل هذه الأزواج من النقاط. وتنص هذه المبرهنة على أنه في أي دالة مستمرة من الكرة Sn إلى الكرة Rn يتم رسم بعض الأزواج من النقاط المتقابلة في الكرة Sn إلى نفس مسقط النقطة في الكرة Rn. وهنا يشير, Sn إلى كرة ذات بعد n-موجودة في الفضاء ذي البعد (n+1)-(وبالتالي يتم الرمز إلى الكرة "العادية" بـ S2 ويتم الرمز إلى الدائرة بـ S1).
وترسل الخريطة المتقابلة A : Sn → Sn, التي يتم تحديدها بواسطة A(x) = -x, جميع نقطة موجودة على الكرة إلى النقطة المتقابلة التي تمثلها. يتم إطلاق صفة مثلية التوضع على الخريطة المحايدة إذا كانت n رقمًا فرديًا، وكانت الدرجة تساوي (-1)n+1.
إذا أراد إنسان ما دراسة النقاط المتقابلة على النحوالمحدد، فيلزم حتى يتعرض كذلك للفضاء الإسقاطي (انظر أيضًا فضاء هيلبرت الإسقاطي, حيث ستجد هذه الفكرة مطبقة في ميكانيكا الكم).
زوج النقاط المتقابلة على المضلع المحدب
يرمز زوج النقاط المتقابلة لمضلع محدب إلى زوج يتكون من نقطتين يمر من خلالهما خطان متوازيان لا نهائيان ويعمل هذان الخطان كممسات لكلتا النقطتين المتقابلتين دون بتر أي خط آخر للمضلع المحدب.
المصادر
- تحوي هذه الموضوعة معلومات مترجمة من الطبعة الحادية عشرة لدائرة المعارف البريطانية لسنة 1911 وهي الآن من ضمن الملكية العامة.
وصلات خارجية
- Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), "Antipodes", Encyclopaedia of Mathematics, Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1556080104
- antipodal على بلانيت ماث
