طريقة العناصر المنتهية (FEM) أويطلق عليها أيضاً تحليل العناصر المنتهية هي كيفية تحليل عددي لإيجاد الحلول التقريبية للمعادلات التفاضلية الجزئية بالإضافة إلى الحلول التكاملية. يعتمد الحل إما على إلغاء المعادلات التفاضلية الجزئية نهائياً (في الحالات الساكنة) أوتقريب المعادلات التفاضلية الجزئية إلى معادلات تفاضلية نظامية والتيقد يكون من الممكن حلها باستخدام عدة طرق كطريقة أويلر أورونگه-كوتا.

تطبيقات

هناك الكثير من التطبيقات لطريقة العناصر المنتهية وأغلبها تتعلق بالهندسة الميكانيكية بشكل أوبآخر، حيث تستخدم هذه الطريقة ضمن عملية تصميم وتطوير المنتجات المتنوعة. بعض برامج حساب العناصر المنتهية الحديثة تقوم بدراسة الحرارة، المغناطيسية الكهربائية، تدفق السوائل...الخ.

في دراسة تصميم المنشآت، تفيد طريقة العناصر المنتهية بشكل كبير في الحصول على متانة عالية للمنشآة بالإضافة إلى تخفيف وزنها وتقليص المواد اللازمة وبالتالي الكلفة اللازمة للإنشاء.

شرح طريقة العناصر المنتهية

سوف نستخدم مثالين بسيطين لشرح طريقة العناصر المنتهية، والتي من خلالها من الممكن استخلاص الطريقة العامة. في النقاش التالي، يجب على القارئ حتىقد يكون متفهما لمبادئ فهم الحسبان والجبر الخطي.

P1 هي مسألة أحادية البعد، معطاة على الشكل التالي:

${\displaystyle {\mbox{P1 :{\begin{cases u''=f{\mbox{ in (0,1),\\u(0)=u(1)=0,\end{cases$

حيث ${\displaystyle f$ معلوم و${\displaystyle u$ هوتابع مجهول للمتحول ${\displaystyle x$، و${\displaystyle u''$ هوالمشتق الثاني للتابع ${\displaystyle u$ بالنسبة للمتحول ${\displaystyle x$.

المسألة ثنائية البعد البسيطة هي مسألة ديركلت وتعطى على الشكل التالي:

${\displaystyle {\mbox{P2 :{\begin{cases u_{xx +u_{yy =f&{\mbox{ in \Omega ,\\u=0&{\mbox{ on \partial \Omega ,\end{cases$

حيث ${\displaystyle \mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->}}$${\displaystyle u_{xx$ و${\displaystyle u_{yy$ هي المشتقات الثانية للمتحولين ${\displaystyle x$ و${\displaystyle y$ على الترتيب.

من الممكن حل المسألة أحادية البعد بحساب المشتق العكسي. لكن هذه الطريقة في حل مسألة القيمة الحدية BVP تصلح لحل المسائل أحادية البعد ولا يمكن تعميمها إلى مسائل ذات أبعاد أعلى أومثال لها الشكل ${\displaystyle u+u''=f$ ولهذا السبب كان من الضروري تطوير طريقة العناصر المنتهية، بدءاً من البعد الأحادي وتعميمها على الأبعاد الأعلى.

الشرح هنا يفترض أن يتم على مرحلتين والتي تعكس المرحلتين الأساسيتين الواجب تطبيقهما لحل مسألة القيمة الحدية BVP باستخدام طريقة العناصر المنتهية:

• المستوى الأولى: تبسيط مسألة القيمة الحدية BVP إلى شكل سهل تنتفي معه الحاجة إلى استخدام الحاسب للحل، بلقد يكون من الممكن حلها يدوياً باستخدام الورقة والقلم.
• المستوى الثانية: هي التقطيع، حيث يتم تجزئة الشكل إلى عناصر منتهية وحل جميع عنصر على حدة.

بعد هذه المستوى سيكون لدينا صيغة متكاملة لحل مسائل ذات درجات عالية لكن يجب حتى تكون خطية والتي حلولها ستكون حلاً تقريبياً لمسألة القيمة الحدية. ومن ثم يتم برمجة هذه الطريقة على الحاسوب.

الصيغة المتحولية

المستوى الأولى هوتحويل P1 وP2 إلى مكافئاتها المتحولية. إذا كان ${\displaystyle u$ هوحل لـ P1، عندها من أجل أي دالة متصلة ${\displaystyle v$ يحقق شروط الانتنطق الحدي، مثلاً: ${\displaystyle v=0$ عند ${\displaystyle x=0$ و${\displaystyle x=1$،قد يكون لدينا

(1) ${\displaystyle \int _{0 ^{1 f(x)v(x)\,dx=\int _{0 ^{1 u''(x)v(x)\,dx.$

وبشكل معاكس، من أجل قيمة معطاة لـ ${\displaystyle u}$

وباستخدام التكامل بالأجزاء على يمين المعادلة (1) سنحصل على مايلي:

(2)${\displaystyle {\begin{aligned \int _{0 ^{1 f(x)v(x)\,dx&=\int _{0 ^{1 u''(x)v(x)\,dx\\&=u'(x)v(x)|_{0 ^{1 -\int _{0 ^{1 u'(x)v'(x)\,dx\\&=-\int _{0 ^{1 u'(x)v'(x)\,dx=-\phi (u,v).\end{aligned$

حيث تم افتراض حتى ${\displaystyle v(0)=v(1)=0$.

برهان يظهر وجود حل وحيد

من الممكن اعتبار حتى ${\displaystyle H_0^1(0,1)}$${\displaystyle \mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}}$${\displaystyle H_0^1(0,1)}$${\displaystyle {\int <!--\; \int \; -->}_0^{1}f(x)v(x)dx}$${\displaystyle L^2(0,1)}$${\displaystyle u$ يحل (2) وبالتالي يحل المسألة P1.

الصيغة المتحولية لـ P2

إذا تم التكامل بالأجزاء باستخدام مبرهنة غرين حيث نجد أنه إذا كان ${\displaystyle u$ هوحل لـ P2، فإنه من أجل أي ${\displaystyle v$قد يكون

${\displaystyle \int _{\Omega fv\,ds=-\int _{\Omega \nabla u\cdot \nabla v\,ds=-\phi (u,v),$

حيث ${\displaystyle \mathrm{\nabla <!--\; \nabla \; -->}}$

التقطيع

الفكرة الأساسية في طريقة العناصر المنتهية هواستبدال المسألة الخطية ذات الأبعاد اللانهائية: أوجد قيمة ${\displaystyle u\in H_{0 ^{1$ بحيث حتى

${\displaystyle \forall v\in H_{0 ^{1 ,\;-\phi (u,v)=\int fv$

بصيغة بعدية منتهية:

(3) أوجد ${\displaystyle u\in V$ such that

${\displaystyle \forall v\in V,\;-\phi (u,v)=\int fv$

حيث ${\displaystyle V}$${\displaystyle H_{0 ^{1$. هناك الكثير من الخيارات لـ ${\displaystyle V$. لكن في طريقة العناصر المنتهية نعتبر ${\displaystyle V$ على أنها فضاء للأجزاء الخطية للتابع.

في المسألة P1، نأخذ المبتر ${\displaystyle (0,1)$ باختيار ${\displaystyle n$ ${\displaystyle x$ قيم من ${\displaystyle 0=x_{0 <x_{1 <...<x_{n <x_{n+1 =1$ ونعهد ${\displaystyle V$ على الشكل:

${\displaystyle {\begin{matrix V=\{v:[0,1]\rightarrow {\mathbb {R \;:v{\mbox{ is continuous, v|_{[x_{k ,x_{k+1 ] {\mbox{ is linear for \\k=0,...,n{\mbox{, and v(0)=v(1)=0\ \end{matrix$

حيث نعهد ${\displaystyle x_{0 =0$ و ${\displaystyle x_{n+1}=1}$

من أجل المسألة P2 نحتاج حتى تكون ${\displaystyle V}$${\displaystyle \Omega$ في المستوي (في الأسفل)، والتابع الخطى المجزأ (ملوناً، في الأعلى) لهذا المضلع الذيقد يكون خطياً على جميع مثلث من التثليث. حيث حتى الفضاء ${\displaystyle V$ سيحتوي على توابع تكون خطية على جميع مثلث من التثليث المختار.

تظهر ${\displaystyle V$ مكتوبة على الشكل ${\displaystyle V_{h$ في بعض المراجع، وذلك بسبب أنه يوجد هدف في الحصول على حلول أدق وأدق للمسألة المتبترة (3) الذي سيكون إلى حد ما سيؤدي إلى حد المسألة الأصلية في إيجاد القيم الحدية للمسألة P2. يتم عنونة التثليث باستخدام معامل ذوقيمة حقيقية ${\displaystyle h>0$ والذيقد يكون ذوقيمة صغيرة. يفترض أن يتم ربط هذا المعامل بحجم أكبر مثلث وسطي الحجم في التثليث. وعندما نزيد تجزئة التثليث فإن فضاء التقطيع الخطي ${\displaystyle V$ يجب حتى يتغير مع ${\displaystyle h$ كما يوضح الترميز ${\displaystyle V_{h$.

انظر أيضاً

• Applied element method
• Boundary element method
• Computer experiment
• Direct stiffness method
• Discontinuity layout optimization
• Discrete element method
• Finite element machine
• Finite element method in structural mechanics
• Finite volume method for unsteady flow
• Interval finite element
• Isogeometric analysis
• Lattice Boltzmann methods
• List of finite element software packages
• Movable cellular automaton
• Multidisciplinary design optimization
• Multiphysics
• Patch test
• Rayleigh–Ritz method
• Weakened weak form
• الدخاخني

الهامش

للاستزادة

• G. Allaire and A. Craig: Numerical Analysis and Optimization:An Introduction to Mathematical Modelling and Numerical Simulation
• K. J. Bathe : Numerical methods in finite element analysis, Prentice-Hall (1976).
• J. Chaskalovic, Finite Elements Methods for Engineering Sciences, Springer Verlag, (2008).
• O. C. Zienkiewicz, R. L. Taylor, J. Z. Zhu : The Finite Element Method: Its Basis and Fundamentals, Butterworth-Heinemann, (2005).

وصلات خارجية

• IFER Internet Finite Element Resources - Describes and provides access to finite element analysis software via the Internet.
• MIT Open Course-ware on Linear finite element method (With video lectures)
• NAFEMS—The International Association for the Engineering Analysis Community
• Finite Element Analysis Resources- Finite Element news, articles and tips
• Finite-element Methods for Electromagnetics - free 320-page text
• Finite Element Books- books bibliography
• Mathematics of the Finite Element Method
• Finite Element Methods for Partial Differential Equations - Lecture notes by Endre Süli
• Electromagnetic Modeling web site at Clemson University (includes list of currently available software)

نطقب:Numerical PDE