الرياضيات البابلية (وتُعهد أيضاً بإسم الرياضيات البابلية-الآشورية تطلَّب العمل في الزراعة وقياس الأراضي وبناء قنوات الري والقصور والمعابد وسواها ومزاولة التجارة فهم الحساب والهندسة والجبر. وكان النظام السائد في بلاد الرافدين كلها هوالنظام الستيني سواء في الحساب أوفي أنظمة قياس الزمن أوالمكاييل والموازين. فقسمت السنة إلى اثني عشر شهراً واليوم إلى أربع وعشرين ساعة، وهوالنظام المعمول به حتى اليوم. وعهد البابليون فكرة المربع والمكعب وتمكنوا من حساب مساحة الدائرة ومحيطها. واهتموا برصد الكواكب لاعتقادهم بتأثيرها في حياة الناس بوصفها آلهة، وربطوا بين حركاتها ومظاهر الطبيعة المتنوعة، وهذا ما أدى إلى نشأة فهم التنجيم عندهم، فقسموا دائرة البروج إلى اثني عشر برجاً. وكان هناك أشخاص يراقبون النجوم في الليل والنهار ويتتبعون مساراتها ويقومون بتدوين مراقباتهم وأرصادهم، وقد مكنهم هذا من التنبؤ بحدوث الخسوف والكسوف، إلى غير ذلك صار لهم شهرة كبيرة في هذا المجال استفاد منها الإغريق كثيراً فيما بعد.

أما فيما يتعلق بالفترة الزمنية فيمكن تقسيمها إلى قِسمين: الأولى هي في أيام حكم الأسرة البابلية الأولى (1830-1531 ق.م.)، أما الأخرى فهي في أيام حكم السلوقيين في القرن الثالث أوالرابع قبل الميلاد. أما المحتوى بالكاد يوجد به أي اختلاف في نصوص المجموعتين السابقتين. إلى غير ذلك ظلت الرياضيات البابلية ثابتة، في الشكل والمضمون، ما يقارب ألفيتين من الزمان. وعلى عكس قلة المصادر الرياضيات المصرية، فإن معهدتنا بالرياضيات البابلية أتت من ألواح طينية اكتشف منها حتى الآن 400 لوح منذ 1850م. وقد كُتبت بالكتابة المسمارية، وتم تدوينها على الألواح الطينية بينما كانت رطبة، ثم تم تحميصها بشدة في فرن أوبحرارة الشمس. معظم الألواح التي تم ترميمها يحدد تاريخها من 1600 ق.م. إلى 1800 ق.م.، وغطت مواضيع تتناول الكسور والجبر والمعادلات التربيعية والدوال التكعيبية ومبرهنة فيثاغورث. واللوح البابلي YBC 7289 خير مثال للرياضيات في بابل؛ حيث يعطي قيمة مقربة لـ${\displaystyle {\sqrt {2$ تقترب لخمس منازل عشرية.

أصول الرياضيات البابلية

الأرقام البابلية

كان نظام العد في الرياضيات البابلية نظام عد ستيني. ومن هذا النظام أخذنا اليوم استعمال 60 ثانية للدقيقة، و60 دقيقة للساعة، و360 (6×60) درجة في الدائرة. وقد حقق البابليون تقدما عظيما في الرياضيات لسببين. أولا، العدد 60 هوعدد مركب للغاية، ولديه المقسومات 1، 2، 3، 4، 5، 6، 10، 12، 15، 20، 30 و60، التي تيسر عملية التعامل مع الكسور. بالإضافة إلى ذلك، على عكس المصريين والرومان، فلقد كان لدى الهنود والبابليون شكل حقيقية لأنظمة العد الموضعية، حيث حتى الأرقام على اليسار تمثل أكبر قيمة (مشابه للنظام العشري المستعمل حاليا 734 = 7×100 + 3×10 + 4×1). وقد كان السومريون والبابليون الرواد في هذا الصدد.

الرياضيات السومرية (2000-2300 ق.م.)

طور السومريون القدماء في بلاد الرافدين نظام معقد للقياس منذ 3000 قبل الميلاد. ابتداءً من 2600 قبل الميلاد، خط السومريون جدول الضرب على الألواح الطينية وتعاملوا مع تمارين الهندسة ومسائل القسمة، وأقرب أثر لبداية الأرقام البابلية ترجع أيضا لنفس التاريخ.

الرياضيات البابلية القديمة (2000-1600 ق.م.)

الفترة البابلية القديمة هي الفترة التي ترجع إليها معظم الألواح الطينية في حقل الرياضيات في بابل، ولهذا تُعهد الرياضيات في بلاد الرافدين بالرياضيات البابلية. بعض هذه الألواح تحتوي على قوائم وجداول رياضية، وبعضها يحتوي على مسائل وحلول مفصلة.

الحساب

قام البابليون باستعمال واسع لجداول عد قبل-حسابية لمساعدتهم في علوم الحساب. على سبيل المثال، عثر لوحان في تل السنكرة على الفرات في عام 1854، يرجع تاريخهما إلى 2000 ق.م، يوجد بهما قائمة بالأعداد المربعة متدرجة إلى الرقم 59 وتكعيب الأرقام تدريجيا إلى الرقم 32. وقد استخدم البابليون قوائمة الأعداد المربعة مع هذه الصيغ

${\displaystyle ab={\frac {(a+b)^{2 -a^{2 -b^{2 {2$

${\displaystyle ab={\frac {(a+b)^{2 -(a-b)^{2 {4$

وذلك لتسهيل الضرب. ولم يكن لدى البابليون خوارزميات لحساب القسمة المطولة. بدل ذلك قاموا بوضع طرق تتناسب مع فهمهم على الحقيقة

${\displaystyle {\frac {a {b =a\times {\frac {1 {b$

وبجانب جدول الأعداد المقلوبة، والأعداد الوحيد التي تشكل عوامل أولية هي فقط 2 و3 أوخمسة لديها عدد محدود من مقلوبات الأعداد في النظام الستيني المدون آنذاك، وبهذا تم إنشاء جدول الأعداد المقلوبة.

المعكوسات مثل 1/7 و1/11 و1/13 وغيرها، لا يوجد لديها تمثيلا محدودا في النظام الستيني. لحساب الرقم 1/13 أوأي عدد مقسوم على 13 كان البابليون يستخدمون التقريب

${\displaystyle {\frac {1 {13 ={\frac {7 {91 =7\times {\frac {1 {91 \approx 7\times {\frac {1 {90 =7\times {\frac {40 {3600 .$

الجبر

طور البابليون صيغ جبرية لحل المعادلات الرياضيات، وقد كانت، أيضاً، مبنية على الجداول قبل-الحسابية. مثلها مثل مجال العلوم الحسابية.

لحل المعادلات التربيعية، استخدم البابليون الصيغة القياسية للمعادلات التربيعية. ودرسوا هذه الصيغة للمعادلات التربيعية

${\displaystyle \ x^{2 +bx=c$

حيث جميع من b وc لم تَكونا بالضرورة أعداداً سليمة، لكن كانت c دائما موجبة. وقد فهموا الحل لصيغة للمعادلات التربيعية هذه وهوكالآتي

${\displaystyle x=-{\frac {b {2 +{\sqrt {\left({\frac {b {2 \right)^{2 +c$

وممن الممكن أنهم قد استخدموا جداول التربيع بشكل عكسي لإيجاد الجذور التربيعية. ودائما ما استخدم البابليون الجذر الموجب لأن استخدامه كان منطقيا في حل المسائل "الحقيقة" (حيث حتى جذر المقدار السالب عدد مركب تخيلي وليس حقيقياً). هذا النوع من المسائل يتضمن أبعاد المستطيل مساحته ومقداره معطى عن طريق مقدار الطول الذي يتجاوز العرض.

جدول قيم n³ + n² استخدم لحل أنواع محددة من الدوال التكعيبية. مثلا، حل المعادلة

${\displaystyle \ ax^{3 +bx^{2 =c.$

بضرب المقدار في a² وبقسمته على b³ يعطينا

${\displaystyle \left({\frac {ax {b \right)^{3 +\left({\frac {ax {b \right)^{2 ={\frac {ca^{2 {b^{3 .$

باستبدال y = ax/b يعطينا

${\displaystyle y^{3 +y^{2 ={\frac {ca^{2 {b^{3$

وبعد هذه العملية يمكن للمسألة حتى تحل بجرد إيجاد قيم n³ + n² على جدول القيم بحيث تكون القيم الموجودة على الجدول هي الأقرب للجانب الأيمن. وقد حقق البابليون ذلك بدون اللجوء إلى التدوين الرقمي الجبري، وهذا يشير إلى الفهم العميق لمثل هذه العمليات. وعلى الرغم من ذلك، لم يكن لديهم أي حل للصيغة التكعيبية العامة.

النمو

شكّل البابليون ما يعهد اليوم باسم النموالأسي، والنموالتقييدي، ومضاعفات الزمن. والأخير استخدم في الفوائد العائدة من الديون.

ألواح طينية يرجع تاريخها إلى حوالي 2000ق.م تضمنت المسألة "مقدار الفائدة معطىً وهو1/60 لكل شهر، أحسب مضاعفات الزمن." هذه الغلة هي مقدار الفائدة السنوية لـ12/60 = 20%، ومن هنا تضاعف مرة إلى نمو100% ويجزأ النموإلى 20% لكل سنة =خمسة سنين.

بليمبتن 322

اللوح المعروف باسم بليمبتن 322 يوضح طريقة لحل ما يعهد اليوم باسم معادلة من الدرجة الثانية من النموذج،

${\displaystyle x-{\tfrac {1 {x =c$,

بالمراحل (الموصوفة بالشروط الهندسية) التي تحسب سلسلة من القيم المتوسطة v₁ = c/2, v₂ = v₁², v₃ = 1 + v₂, and v₄ = v₃^1/2, من التي يمكن للمرء حسابها هكذا x = v₄ + v₁ و1/x = v₄ - v₁.

ويذكر في درس روبسون، الذي قامت بنشره الجمعية الرياضية الأمريكية عام (2001-2002)، بأن بليمبتن 322 يمكن حتى تفسر بالقيم التالية، وهي قيم الأعداد العادية x و1/x' في ترتيب عددي:

v₃ في العمود الأول,

v₁ = (x - 1/x)/2 في العمود الثاني

v₄ = (x + 1/x)/2 في العمود الثالث.

في هذا التفسير، كانت x و1/x لتظهرا في الجزء المكسور في يسار العمود الأول للوح. كاقتراح لهذا الحل، يمكن حتى تكون قيمة x في الصف 11 للوح هي x = 2.

وقد أشار روبسون بأن ألّوح بليمبتون 322 يكشف عن "صيغ-— أزواح مقلوبات الأعداد،إكمال المربع، التقسيم عن طريق العوامل الأولية للرقم العادي-— وقد كانت جميعها تقنيات سهلة كانت تدرس في مدارس الكُتّاب" في تلك الفترة الزمنية.

الهندسة

من الممكن حتىقد يكون الباليون قد فهموا بالقواعد العامة لقياس المساحة والحجم. لقد قاموا بحساب محيط الدائرة كثلاثة أضعاف القطر والحجم كواحد على إثني عشر من مربع المحيط، وهوما قد يحدث سليماً في π إذا قدرت بالعدد 3. وقد حسبوا حجم الأسطوانة كناتج من الحجم في الارتفاع، وعلى كل، فإن حجم جميع من المخروط الناقص والهرم المربع الناقص لم تؤخذ بشكل سليم كناتج الارتفاع ونصف مجمع القواعد. وقد عهد البابليون مبرهنة فيثاغورس. أيضا، هناك اكتشاف يثبت حتى البابليون عن لوح استُعمل فيه الرقم π على هيئة ثلاثة أوعلى هيئة 1/8. ويعهد البابليون باكتشافهم الميل البابلي، وهي وحدة قياس مسافة تعادل سبعة أميال اليوم. وحدات قياس المسافات استخدمت في قياس حركة الشمس، وذلك بتحويلها الميل إلى ميل زمني، وبالتالي يمثل بها الوقت.

فهم البابليون القدماء نظريات النسب للمثلثات متساوية الساقين لقرون عدة، لكن افتقروا لمفهوم قياس الزوايا إلى غير ذلك، قاموا بدراسة أضلاع المثلث بدلا عن ذلك.

أبقى فهماء الفلك البابليون تسجيلات مفصلة عن ظهور واختفاء النجوم، والكسوف والخسوف الشمسي والقمري، وكل هذا يحتاج إلماما بالمسافات الزاوية التي تقاس على الكرة السماوية.

وقد استخدم البابليون نوعا من تحويل فورييه لحساب التقويم الفلكي (جدول الأوضاع الفلكية)، والذي تم اكتشافه عام 1950م على يد أوتونوغبور.

التأثير

انظر أيضاً

• بلاد بابل
• الفلك البابلي
• تاريخ الرياضيات

الهوامش

المصادر

• Berriman, A. E., The Babylonian quadratic equation (1956).
• Boyer, C. B., A History of Mathematics, 2nd ed. rev. by Uta C. Merzbach. New York: Wiley, (1989) ISBN 0-471-09763-2 (1991 pbk ed. ISBN 0-471-54397-7).
• Joseph, G. G., The Crest of the Peacock, Princeton University Press (October 15, 2000), ISBN 0-691-00659-8.
• Joyce, David E. (1995). "Plimpton 322".
• Neugebauer, Otto (1969) [1957]. (2 ed.). Dover Publications. ISBN .
• O'Connor, J. J. and Robertson, E. F., "An overview of Babylonian mathematics", MacTutor History of Mathematics, (December 2000).
• Robson, Eleanor (2001). "Neither Sherlock Holmes nor Babylon: a reassessment of Plimpton 322". Historia Math. 28 (3): 167–206. doi:10.1006/hmat.2001.2317. MR 1849797.
• Robson, E., Words and pictures: New light on Plimpton 322, The American Mathematical Monthly. Washington: Feb 2002. Vol. 109, Iss. 2; pg. 105
• Robson, E. Mathematics in Ancient Iraq: A Social History. Princeton University Press (2008)
• Toomer, G. J., Hipparchus and Babylonian Astronomy, (1981).

وصلات خارجية