دوال مثلثية

هذه الموضوعة مرشحة حالياً لتكون منطقة مختارة، شارك في تقييمها وفق الشروط المحددة في معايير الموضوعة المختارة وساهم برأيك في صفحة ترشيحها.
تاريخ الترشيح 17 أبريل 2020

في الرياضيات، الدوال المثلثيَّة أوالتوابع المُثلثية أوالاقترانات المثلثية (بالإنجليزية: Trigonometric Functions)‏، وتُسمَّى أيضاً الدوال الزاويَّة أوالدوال الدائريَّة هي مجموعة من الدوال الحقيقيةٌ التي تربط زاوية مثلث قائم مع نسبة ضلعين من أضلاعه. من الدوال المثلثيةِ الشهيرة والأساسيّة، دالة الجيب، ويرمزُ إليها بالكتابة اللاتينية ${\displaystyle 180^{\circ$

هناك عدة تعاريف أخرى للدوال المثلثية، بما في ذلك التعريف بواسطة التكاملات ومتسلسلات القوى والمعادلات التفاضلية، لكل منها تطبيقه الخاص. على سبيل المثال، في التعريف بواسطة متسلسلة القوى، تُستخدم متسلسلة تايلور أوماكلورين على نطاق واسع في حساب القيم التقريبية للدوال. تسمح بعض التعريفات بتمديد مجال الدوال المثلثية الست إلى المستوى العقدي.

يكون متغير الدوال المثلثية عموما زاويةً وقد يحدث أيضا عددًا حقيقيًا. جميع دالة لديها خصائصها، بما في ذلك الزوجية والفردية، والدورية والاستمرارية والتعامد. التطبيق الرئيسي لهذه الدوال هوحساب أطوال الأضلاع وزوايا المثلث والعوامل الأخرى ذات الصلة. يستخدم هذا التطبيق على مدىً واسعٍ في علوم مختلفة مثل فهم المساحة والملاحة ومجالات الفيزياء المتنوعة. في فهم المساحة، تتمثل في عملية التثليث التي تستخدم لحساب إحداثيات نقطة معينة والتي تُستخدم حاليًا في القياس البصري ثلاثي الأبعاد ؛ وفي الملاحة، في حساب إحداثيات السفن ورسم المسارات وحساب المسافات أثناء الملاحة؛ وفي البصريات، تستخدم أساسا في دراسة ظاهرة انكسار الضوء. الدوال المثلثية دوال دوريَّةٌ، أي أنها تُكرر قيمتها بعد فترة محددة؛ ولهذا فإنها تُستعمل لتمثيل الظواهرِ المتكررة كالموجات وهي الأساس الذي يرتكز عليه تحويل فورييه. عملية فورييه هي عمليةٌ رياضيةٌ تُستخدمُ لتحويل دالّةٍ رياضيةٍ بمتغير حقيقي وذات قيم مركّبة إلى دالّة أخرى من نفس الطراز. تضم الاستخدامات الأخرى للدوال المثلثية في صناعة الطاقة الكهربائية والاتصالات، ويضم هذا تطبيق دراسة التيارات المتناوبة والتضمين التي تعتمد على موجات جيبية.

تعريف الدوال

يوضح الجدول التالي تسميات مختلفة للدوال الست، بالإضافة إلى التسميات الإنجليزية والفرنسية ومجال تعريفهن ومستقراتهن (المجال اللقاء).

التسمية العربية	التسمية الإنجليزية	التسمية الفرنسية	الترميز بالحروف العربية	الترميز بالحروف اللاتينية	مجال التعريف	مستقر
الجَيْب	Sine	Sinus	جا	sin	جميع الأعداد الحقيقية	${\displaystyle [-1,1]$
جَيْب التَمَام	Cosine	Cosinus	جتا	cos	جميع الأعداد الحقيقية	${\displaystyle [-1,1]$
الظِل، الظل الأول، الظل القائم أوالمنتصب أوالمعكوس	Tangent	Tangente	ظا	tan	جميع أ.ح. ما عدا ${\displaystyle {\frac {\pi {2 +k\pi$	جميع الأعداد الحقيقية
ظِل التمام، الظل الثاني أوالمبسوط أوالمستوي	Cotangent	Cotangente	ظتا	cot	جميع أ.ح. ما عدا ${\displaystyle k\pi$	جميع الأعداد الحقيقية
القاطع، قطر الظل الأول	Secant	Sécante	قا	sec	جميع أ.ح. ما عدا ${\displaystyle {\frac {\pi {2 +k\pi$	${\displaystyle ]-\infty ,1]\cup [1,+\infty [$
قاطع التمام، قطر الظل الثاني، قطر الظل	Cosecant	Cosécante	قتا	csc	جميع أ.ح. ما عدا ${\displaystyle k\pi$	${\displaystyle ]-\infty ,1]\cup [1,+\infty [$

أصل تسمية الدوال

رسم توضيحي لسبب تسمية دالة الجيب بهذا الإسم

رسمٌ توضيحيٌّ لسبب تسمية الدوال

استُمِدّت الحدثة الإنجليزية "Sine" ^{(ملاحظة 1)} من الحدثة اللاتينية "Sinus" التي تعني "انحناء، خليج"، وبشكل أكثر تحديداً "الطية المعلقة للجزء العلوي للّباس الروماني تُوجة"، "طوق الثوب"، التي تم اختيارها على أنها ترجمة لِمَا تم تفسيره على أنه ترجمة الحدثة العربية الفصيحة "جَيْب" في ترجمات القرن الثاني عشر لأعمال البتاني والخوارزمي إلى اللغة اللاتينية للقرون الوسطى. كان الاختيار مبنيًا على القراءة الخاطئة للحدثة العربية "جيب" التي هي تحريف للحدثة جِيبا التي نشأت في حد ذاتها كنقحرة للحدثة السنسكريتية जीवा / jīvā التي تُترجَم جنبًا إلى جنب برفقة مرادفها jyā / ज्या (المصطلح السنسكريتي لدالة الجيب) إلى "وتر قوس المحارب". في القرن الحادي عشر، شرح أبوالريحان البيروني ذلك في كتابه القانون المسعودي:

«إن هذه الصناعة إذا أريد إخراجها إلى العمل بمزاولة الحساب فيها فالأعداد مفتقرة إلى فهم أوتار قسي الدوائر، فلذلك سمى أهلها خطها الفهمية زيجات من الزيق الذي هوبالفارسية زه، أعني الوتر، وسموا أنصاف الأوتار جيوبا، وإن كان اسم الوتر بالهندية جيبا ونصفه جيبارد، ولكن الهند إذا لم يستعملوا غير أنصاف الأوتار أسقطوا اسم الكل على النصف تخفيفا في اللفظ»

أما عن حدثة "Tangent"، فقد أتت من اللاتينية "tangens" التي تعني "يمُس"، لأن المستقيم يمس دائرة الوحدة، أما عن الاسم العربي للدالة "ظل"، فقد استخدم لوصف مقدار ما يصنعه المقياس من ظله أثناء سقوط الضوء عليه بزاوية معينة، فسميت مجازًا بالظل.

بينما استمدت حدثة secant من اللاتينية "secans" التي تعني "يبتر" لأن المستقيم يبتر الدائرة، من المحتمل هذه التسمية كانت ترجمة للتسمية العربية "قاطع".

أما عن بادئة " $co-$ " (Cosine، Cotangent)، فقد عُثر عليها في كتاب العالم إدموند غونتر الذي يحمل عنوان "Triangulorum Canon" (صدر في عام 1620)، والذي يُعَرِّف Cosinus بأنها اختصار لـ sinus complementi التي استخدمت للإشارة إلى "جيب الزاوية المتممة لزاوية"؛ أما عن التسمية العربية "جيب التمام"، فهي استخدمت للإشارة إلى نفس الشيء، حيث حتى حدثة "التمام" باللغة العربية تعني شيء متمم، مثلاً ينطق في الهندسة حتى الزاوية المتممة للزاوية 30 في المثلث قائم الزاوية هي 60 وذلك لأن مجموعهما يعطي 90، التسمية العربية واللاتينية أتيا من السنسكريتية कोटिज्या "كوتي-جيا" بمعنى "جيب القوس المتمم لقوس"، حيث يعني الجذر الأول للمصطلح "نهاية قوس المحارب" أو"نهاية" بشكل عام، ولكنها تعني في حساب المثلثات "متممة القوس" أوبمعنى آخر "القوس اللقاء للزاوية المتممة لزاوية"، لأن عند نشأة دوال الجيب وجيب التمام، كانت تعتبر أنذاك دوالاً لأقواس وليست دوالاً لزوايا هندسية.

التاريخ

العصر القديم

أبرخش، أطلق عليه اسم "أبوحساب المثلثات"

عُثر على مرشد على استخدام الدوال المثلثية في مختلف المجالات، وخاصة في فهم الفلك، في الكثير من النصوص التي تعود إلى ما قبل التاريخ، بما في ذلك تلك الموجودة في اليونان ومصر. تعد مبرهنة طاليس من أقدم الأعمال المتعلقة بحساب المثلثات، درس طاليس في مصر في القرن السادس قبل الميلاد، وتوصل إلى طريقة جديدة لحل معضلة حساب ازدياد الهرم خوفو، والتي عهدت فيما بعد باسم مبرهنة طاليس. يمكن اعتبار مبرهنة فيثاغورس أيضا أنها حجر الأساس لحساب المثلثات. أنشأ الفلكي والرياضياتي اليوناني أبرخش (180-125 قبل الميلاد) أول جدول مثلثي، وهوجدول خاص بدالة الوتر، لهذا السبب أطلق عليه اسم "أبي حساب المثلثات". وضع منيلاوس الإسكندري أساسا للمثلثات الكروية. أنشأ عالم الفلك اليوناني بطليموس الإسكندري جدولا مثلثيا مفصلا للأوتار في الكتاب 1، الفصل 11 من المجسطي.

الرياضيات الهندية

كانت دراسة الدوال المثلثية شائعة أيضًا في الهند. على سبيل المثال، في القرن الرابع والخامس الميلادي، في كتاب "سوريا سيدهانتا"، استُخدِم جدول لأنصاف الأوتار بدلاً من جدول الأوتار في فهم الفلك التي تعادل حاليا دالة الجيب. عرّفت مجموعة من الخط الفهمية "سيدهانتا" أولاً الجيب علاقةً حديثة بين نصف زاوية ونصف وتر، وعهدت أيضًا جيب التمام، وسهم الزاوية (1 - جيب تمامها)، ودالة الجيب العكسية. يمكن إسناد دالة الجيب مع جيب التمام وسهم الزاوية إلى جميع الدوال "جيا" و"كوتي جيا" و"أوتكراما جيا" المستخدمة في فهم الفلك الهندي للحقبة الجوبتية، عن طريق الترجمة من السنسكريتية إلى العربية ومن العربية إلى اللاتينية.

كان بهاسكارا الثاني واحد من الأوائل الذين اكتشفوا النتائج المثلثية لـ ${\displaystyle \sin \left(a+b\right)$ و ${\displaystyle \sin \left(a-b\right)$ ، مثل: ${\displaystyle \sin \left(a+b\right)=\sin a\cos b+\cos a\sin b$ ، كان ذلك في القرن الثاني عشر.

قام مادهافا السانغماغرامي في حوال عام 1400 بتطويرات مبكرة ومهمة في تحليل الدوال المثلثية بدلالة المتسلسلات غير المنتهية (طالع متسلسلات مادهافا).

العصر المضىي للحضارة الإسلامية

خلال القرن التاسع الميلادي، كانت الدوال المثلثية الست المستعملة في العصر الحديث جزءاً من الرياضيات المستعملة في الحضارة الإسلامية، كما كان قانون الجيب معروفاً، وكان يستعمل في معضلة حل المثلثات. باستثناء دالتي الجيب وجيب التمام التي اعتمدت من الرياضيات الهندية، اكتُشِفَت الدوال المثلثية الأربع الأخرى من قبل فهماء الرياضيات المسلمين، بما في ذلك الظل وظل التمام والقاطع وقاطع التمام.

في أوائل القرن التاسع الميلادي، ابتكر محمد بن موسى الخوارزمي جداول دقيقة لدوال الجيب والجيب التمام وينطق أنه ابتكر أول جدول للظلال، كما أنه ابتكر نسخة معدلة من زيج السند هند (الحاوية لجدول الجيوب) التي استخدمت لحل المعضلات الفلكية. في حوالي عام 830، اكتشف أحمد بن عبد الله المروزي ظل التمام، وأنتج جداول الظل وظل التمام. استخدم محمد بن جابر البتاني (853–929) لأول مرة مصطلحي "الجيب" و"جيب التمام" معهداً إياهما بوصفهما أطوالاً بدلاً من نسب كما نعهدهما اليوم، أما الظل فقد أشار إليه بعبارة "الظل الممدود"؛ كما أنه اكتشف الدوال المقلوبة: القاطع وقاطع التمام، وأنتج الجدول الأول لقواطع التمام لكل درجة من $1°$ إلى $90°$ ، واكتشف أيضًا قانون جيب التمام للمثلثات الكروية. في القرن العاشر، اكتشف أبوالوفاء البوزجاني قانون الجيب للمثلثات الكروية، واكتشف أيضا تلك المتطابقات المثلثية، حيث عبر الرياضياتيون اليونانيون عن تلك المتطابقات بدلالة الأوتار:

{\displaystyle \sin(a+b)=\sin(a)\cos(b)+\cos(a)\sin(b)

{\displaystyle \cos(2a)=1-2\sin ^{2 (a)

{\displaystyle \sin(2a)=2\sin(a)\cos(a)

طُوِّرت كيفية التثليث لأول مرة من قبل فهماء الرياضيات المسلمين، الذين طبقوها على الاستخدامات العملية مثل مسح الأراضي والجغرافيا الإسلامية، كما وصفها أبوريحان البيروني في أوائل القرن الحادي عشر. أدخل البيروني نفسه تقنيات التثليث لقياس حجم الأرض والمسافات بين الأماكن المتنوعة، كما أنه استخدم الرموز التالية للإشارة إلى الدوال: جا وجتا وظا وظتا وقا وقتا. في نهاية القرن الحادي عشر، حل عمر الخيام معادلات من الدرجة الثالثة عن طريق الحلول العددية التقريبية التي تم الحصول عليها عن طريق استيفاء الجداول المثلثية. في القرن الثالث عشر، صاغ نصير الدين الطوسي قانون الجيب للمثلثات المسطحة، كما أنه اكتشف قانون الظل. قام غياث الدين الكاشي بتوحيد الأعمال الموجودة حول قانون جيب التمام، لذلك، أطلق الفرنسيين على هذا القانون اسم "مبرهنة الكاشي" (بالفرنسية: Théorème d'Al-Kashi)‏ تكريما له، وكان الكاشي أول من قدم بياناً صريحاً لهذا القانون في شكل مناسب للتثليث؛ قام أيضًا بحساب جيب الزاوية 1° عن طريق حل معادلة من الدرجة الثالثة التالية: ${\displaystyle \sin 3\phi =3\sin \phi -4\sin ^{3 \phi \,\!$

الرياضيات الصينية

لم يفهم الفهماء الصينيون حساب المثلثات كثيرًا. درس العالمان الصينيان شين كيووغوشوجينغ الدوال المثلثية. على سبيل المثال، في القرن الحادي عشر، عثر شين كيوعلاقة تقريبية لحساب طول القوس s بدلالة قطر الدائرة d وعمق القوس v وطول الوتر c:

{\displaystyle s=c+{\frac {2v^{2 {d

النهضة الأوروبية وما بعدها

صفحة من كتاب يعود تاريخه إلى عام 1619 تحتوي على جدول للدوال التالية: الجيب، والظل والقاطع.

كانت أطروحات العالم الألماني ريغيومونتانوس (خاصةً De triangulis omnimodis في 1464) وتعليقاته على المجسطي لبطليموس، هي أصل نهضة حساب المثلثات في أوروبا.

استخدم عالم الرياضيات الفرنسي ألبرت جيرارد في القرن السادس عشر لأول مرة الاختصارات sin، وcos، وtan في كتابه "Trigonométrie".

ربما كان الكتاب Opus palatinum de triangulis لجورج يواخيم ريتيكيوس، طالب كوبرنيكوس، الأول في أوروبا الذي عهد الدوال المثلثية مباشرة بدلالة المثلثات القائمة بدلاً من الدوائر، مع جداول لجميع الدوال المثلثية الست؛ أُنهي هذا العمل من قبل طالب ريتيكيوس فالنتينوس أوتوفي عام 1596.

أُدخِلت المصطلحات "Tangent" و"Secant" لأول مرة من قبل عالم الرياضيات الدنماركي توماس فينك في كتابه "Geometria rotundi".

في منطق نُشر عام 1682، برهن غوتفريد لايبنتس على حتى دالة الجيب $sin x$ ليست بدالة جبرية ل $x$ ، أي أنها دالة متسامية.

كانت معظم مقدمة ليونهارت أويلر في كتاب analysin infinitorum (صدرت في عام 1748) عن تأسيس المعالجة التحليلية للدوال المثلثية في أوروبا، كما عهدها متسلسلاتٍ لانهائية ووضع صيغة أويلر، وعهدها كذلك اختصاراتٍ شبه حديثة (sin, cos, tang, cot, sec, cosec).

الدوال المثلثية التاريخية

هناك بعض الدوال الشائعة من الناحية التاريخية، ولكن نادراً ما تستخدم الآن، مثل دالة الوتر والسهم (يطلق عليها أيضا اسم "الجيب المنكوس") وسهم التمام ونصف السهم، القاطع الخارجي وقاطع التمام الخارجي.

{\displaystyle \operatorname {crd (\theta )=2\sin({\tfrac {\theta {2 )

{\displaystyle \operatorname {versin (\theta )=1-\cos(\theta )=2\sin ^{2 ({\tfrac {\theta {2 )

{\displaystyle \operatorname {coversin (\theta )=1-\sin(\theta )=\operatorname {versin \left({\frac {\pi {2 -\theta \right)

{\displaystyle \operatorname {haversin (\theta )={1 \over 2 \operatorname {versin (\theta )=\sin ^{2 ({\tfrac {\theta {2 )

{\displaystyle \operatorname {exsec (\theta )=\sec(\theta )-1

{\displaystyle \operatorname {excsc (\theta )=\operatorname {exsec \left({\frac {\pi {2 -\theta \right)=\csc(\theta )-1

وحدات قياس الزوايا

الدرجة: يعود استخدامها إلى عصور قديمة. تُحسبُ هذه القيمة عن طريق تقسيم دائرة إلى 360 جزءا متساويا.

الراديان أوالزاوية نصف القطرية أوالتقدير الدائري: يساوي الزاوية اللقاءة لقوس طوله مطابق لطول نصف قطر الدائرة، دورة كاملة هي زاوية مقدارها $2 π$ راديان.

الغراد: تعادل 1/400 من قياس الدائرة الكاملة، أو100 جزء من الزاوية القائمة.

الدورة: تعادل 360° أو $2π$ راديان.

: هي وحدات فرعية للدرجة، تستخدم على مدًى واسع في نظام الاحداثيات الجغرافية.

دقيقة القوس: تساوي 1/60 درجة أي 0.016°.
ثانية القوس: تساوي 1/3600 درجة أي 0.00027°.

وحدة	مقدار
درجة	0°	30°	45°	60°	90°	180°	270°	360°
راديان	0	$π$ /6	$π$ /4	$π$ /3	$π$ /2	$π$	3 $π$ /2	2 $π$
غراد	0^g	100/3^g	50^g	200/3^g	100^g	200^g	300^g	400^g
دورة	0	1/12	1/8	1/6	1/4	1/2	3/4	1

راديان لقاء درجات

في التطبيقات الهندسية،قد يكون متغير دالة مثلثية عمومًا هومقياس الزاوية. لهذا الغرض، جميع الوحدات الزاوية مناسبة، ويتم قياس الزوايا في أغلب الحالات بالدرجات.

عند استخدام دالة مثلثية في حساب التفاضل والتكامل، فإن متغيرهم ليست عمومًا زاوية، لكنه بالأحرى عدد حقيقي. في هذه الحالة، من الملائم أكثر التعبير عن المتغير المثلثي طولَ قوس دائرة الوحدة المحددة بزاوية مع مركز الدائرة كرأس. لذلك، يُستخدم الراديان وحدةً للزاوية.

ميزة كبيرة للراديان هي حتى الكثير من الصيغ تكون أبسط بكثير عند استخدامها، عادة جميع الصيغ المتعلقة بالمشتقات والتكاملات.

هذا هوبالتالي اصطلاح عام، عندما تكون وحدة الزاوية غير محددة بوضوح، يتم التعبير دائمًا عن متغيرات الدوال المثلثية بالراديان.

التعريف باستعمال المثلث قائم الزاوية

يوضح الشكل اللقاء مثلثًا قائما يتكون من ثلاثة أضلاع a وb وc وزوايا A وB وC. الزاوية C قياسها ${\displaystyle 90^{\circ$

جيب الزاوية: هوالنسبة بين الضلع اللقاء والوتر. أي حاصل قسمة الضلع اللقاء للزاوية على وتر المثلث القائم الزاوية، بمعنى آخر: ${\displaystyle \sin A={\frac {a {\,c\,$
جيب تمام الزاوية: هوالنسبة بين الضلع المحادي للزاوية ووتر المثلث، بتعبير آخر: ${\displaystyle \cos A={\frac {b {\,c\,$
ظل الزاوية: يساوي النسبة بين الضلع اللقاء للزاوية والضلع المجاور لها، أي:

{\displaystyle \tan A={\frac {a {\,b\, ={\frac {a {\,c\, \times {\frac {c {\,b\, ={\frac {a {\,c\, \div {\frac {b {\,c\, ={\frac {\sin A {\cos A

وفقًا للتشابه الهندسي، إذا كان لمثلثين زوايا متساوية، فإن نسبة أضلاعهما متساوية. ونتيجة لذلك، تعتمد الدوال المثلثية التي تمثل النسبة بين طولي ضلعين على مقدار الزاوية فقط، يعني حتى الدوال لا تتغير قيمتها مع التغير في طول الأضلاع.

بالنسبة للزاوية B، يمكننا أيضًا حساب الدوال المثلثية. الضلع المجاور للزاوية B (الضلع a) هوالضلع اللقاء للزاوية A والضلع اللقاء B (الضلع b) هوأيضًا الضلع المجاور لـ A، لذلك يمكن القول حتى جيب الزاوية B هي جيب التمام الزاوية A والعكس سليم. علاقة الجيب وجيب التمام بالزوايا المتتامة رياضيا هي كما يلي:

{\displaystyle \sin A=\cos B=\cos \left({\frac {\pi {2 -A\right)=\cos \left(90^{\circ -A\right)

{\displaystyle \cos A=\sin B=\sin \left({\frac {\pi {2 -A\right)=\sin \left(90^{\circ -A\right)

حدثا ازدادت قيمة الزاوية A من صفر إلى 90 درجة، تناقص طول الضلع المجاور تدريجياً ويزداد طول الضلع اللقاء. عندما تقترب هذه القيمة من 90 درجة، فإن طول الضلع المجاور يقترب من الصفر. نتيجة لذلك، يؤول جيب تمام الزاوية A إلى الصفر. من ناحية أخرى، فإن طول الضلع اللقاءقد يكون مطابقا للوتر (وفقًا لمبرهنة فيثاغورس، فإن الوتر دائمًا أكبر من الضلعين الآخرين). ونتيجة لذلك، جيب الزاوية A يساوي واحدا. بشكل عام، تتراوح قيمة الجيب وجيب التمام في المثلث القائم، بين الصفر والواحد. يمكن تتبع تغيرات ظل الزاوية بنفس الطريقة. عند حوالي 90 درجة، يؤول ظل الزاوية A إلى اللانهاية، وعندما تقترب من الصفر، تقترب قيمته من الصفر، وبالتالي فإن قيمة ظل الزاوية هي عدد موجب (من الصفر إلى اللانهاية).

يمكن تعريف الدوال المثلثية الثلاث الأخرى بأنها منطقيب الدوال الثلاث المذكورة أعلاه:

ظل تمام الزاوية: هوالنسبة بين الضلع المجاور على الضلع اللقاء، أي: ${\displaystyle \cot A={\frac {b {\,a\, ={\frac {\cos A {\sin A ={\frac {1 {\tan A$
قاطع الزاوية: هوالنسبة بين الوتر على الضلع المجاور، أي: ${\displaystyle \sec A={\frac {c {\,b\, ={\frac {1 {\cos A$
قاطع تمام الزاوية: هوالنسبة بين الوتر على الضلع اللقاء، أي: ${\displaystyle \csc A={\frac {c {\,a\, ={\frac {1 {\sin A$

نطبق العلاقة بين الزوايا المتتامة، كما هومذكور أعلاه في حالة الجيب وجيب التمام، أيضًا على الدوال المثلثية الأخرى:

{\displaystyle \tan A=\cot B=\cot \left({\frac {\pi {2 -A\right)=\cot \left(90^{\circ -A\right)

{\displaystyle \cot A=\tan B=\tan \left({\frac {\pi {2 -A\right)=\tan \left(90^{\circ -A\right)

{\displaystyle \sec A=\csc B=\csc \left({\frac {\pi {2 -A\right)=\csc \left(90^{\circ -A\right)

{\displaystyle \csc A=\sec B=\sec \left({\frac {\pi {2 -A\right)=\sec \left(90^{\circ -A\right)

ملخص العلاقات

تُلخص العلاقة بين الدوال المثلثية وأضلاع المثلث القائم بالعلاقات التالية:

$sin A = اللقاء / الوتر$ ، $cos A = المجاور / الوتر$ ، $tan A = اللقاء / المجاور$ ، $cot A = المجاور / اللقاء$ ، $sec A = الوتر / المجاور$ ، $csc A = الوتر / اللقاء$

التعريف باستعمال دائرة الوحدة

(1) في هذا الرسم، الدوال المثلثية الستة لزاوية اختيارية θ ممثلة إحداثياتٍ ديكارتية للنقاط المتعلقة بدائرة الوحدة. الإحداثيات الصادية لكل من

A

و

B

و

D

هن

sin θ

و

tan θ

و

csc θ

على التوالي. في حين حتى الإحداثيات السينية لكل من

A

و

C

E

هن

cos θ

و

cot θ

و

sec θ

على التوالي.

(2) رسمٌ توضيحيٌّ للإنشاءات الهندسية لمختلف الدوال المثلثية من الوتر

{\displaystyle AD

الذي يصنع زاوية

{\displaystyle \theta

مع محور السينات في دائرة الوحدة. بالإضافة إلى استعمال الدوال المثلثية الشائعة الحالية:

{\displaystyle \sin ,\cos ,\tan ,\csc ,\sec ,\cot

فإنَّ الشكل يظهرُ بعضَ الدوالِ المثلثيّةِ التي هُجِرَ استعمالُها مثل:

{\displaystyle {\text{cvs, excsc, crd, exsec, versin

.

(3) يسرد مساعد الذاكرة "All science teachers (are) crazy" إشارات الدوال المثلثية من الربع الأول إلى الربع الرابع.

يمكنُ تعريفِ الدوالِ المثلثيةِ: الجيب وجيب التمام والظل ومقلوباتها، بقيمِ إحداثياتِ النقاطِ على المستوى الإقليدي المرتبطةِ . دائرة الوحدة هي دائرة نصف قطرها وحدةٌ واحدةٌ ومركزها نقطة الأصل. رغم حتى تعريفات المثلثِ قائمِ الزاوية تسمحُ بتعريفِ الدوالِ المثلثيةِ للزوايا بينَ $0$ و ${\displaystyle \theta$

يتطابقُ هذا التعريفُ مع تعريفِ المثلث قائم الزاوية في الفترة ${\displaystyle \cos ^{2 \theta +\sin ^{2 \theta =1$

{\displaystyle \tan \theta ={\frac {\sin \theta {\cos \theta ,\quad \cot \theta ={\frac {\cos \theta {\sin \theta ,\quad \sec \theta ={\frac {1 {\cos \theta ,\quad \csc \theta ={\frac {1 {\sin \theta .

بما أنَّ دوراناً بزاوية ${\displaystyle 2\pi$

تشير ملاحظة إشارة ورتابة دوال الجيب وجيب التمام والقاطع وقاطع التمام في الأرباع الأربعة إلى حتى $2π$ هي أصغر قيمة تكون دورية لها، أي $2π$ هي الدورة الأساسية لتلك الدوال. إلا حتى بعد الدوران بزاوية $π$ ، تعود النقطتان B وC إلى موضعهما الأصلي (الصورة (1))، بحيث تكون دالتا الظل وظل التمام لها دورة أساسية $π$ .

الدوران

يمكن الحصول على الدوال المثلثية للزوايا الأكبر من 90° باستخدام علاقات الدوران حول مركز الدائرة. أيضًا، يمكن حساب الزوايا الأصغر من الصفر بالانعكاس حول المحور الأفقي. يوضح الجدول التالي جميع العلاقات المثلثية:

انعكاس حول المحور الأفقي	دوران بزاوية π/2	دوران بزاوية π	دوران بزاوية 2kπ (مع k عدد سليم)	انعكاس حول المحور العمودي
${\displaystyle \sin(-\theta )=-\sin \theta$	${\displaystyle \sin(\theta +{\tfrac {\pi {2 )=+\cos \theta$	${\displaystyle \sin(\theta +\pi )=-\sin \theta$	${\displaystyle \sin(\theta +2k\pi )=+\sin \theta$	${\displaystyle \sin(\pi -\theta )=\sin \theta$
${\displaystyle \cos(-\theta )=+\cos \theta$	${\displaystyle \cos(\theta +{\tfrac {\pi {2 )=-\sin \theta$	${\displaystyle \cos(\theta +\pi )=-\cos \theta$	${\displaystyle \cos(\theta +2k\pi )=+\cos \theta$	${\displaystyle \cos(\pi -\theta )=-\cos \theta$
${\displaystyle \tan(-\theta )=-\tan \theta$	${\displaystyle \tan(\theta +{\tfrac {\pi {2 )=-\cot \theta$	${\displaystyle \tan(\theta +\pi )=+\tan \theta$	${\displaystyle \tan(\theta +2k\pi )=+\tan \theta$	${\displaystyle \tan(\pi -\theta )=-\tan \theta$
${\displaystyle \cot(-\theta )=-\cot \theta$	${\displaystyle \cot(\theta +{\tfrac {\pi {2 )=-\tan \theta$	${\displaystyle \cot(\theta +\pi )=+\cot \theta$	${\displaystyle \cot(\theta +2k\pi )=+\cot \theta$	${\displaystyle \cot(\pi -\theta )=-\cot \theta$
${\displaystyle \sec(-\theta )=+\sec \theta$	${\displaystyle \sec(\theta +{\tfrac {\pi {2 )=-\csc \theta$	${\displaystyle \sec(\theta +\pi )=-\sec \theta$	${\displaystyle \sec(\theta +2k\pi )=+\sec \theta$	${\displaystyle \sec(\pi -\theta )=-\sec \theta$
${\displaystyle \csc(-\theta )=-\csc \theta$	${\displaystyle \csc(\theta +{\tfrac {\pi {2 )=+\sec \theta$	${\displaystyle \csc(\theta +\pi )=-\csc \theta$	${\displaystyle \csc(\theta +2k\pi )=+\csc \theta$	${\displaystyle \csc(\pi -\theta )=\csc \theta$

رسم دالتي الجيب وجيب التمام باستخدام دائرة الوحدة
الدوال المثلثية: الجيب، جيب التمام، الظل، قاطع التمام (منقط)، القاطع (منقط)، ظل التمام (منقط).

القيم الجبرية

دائرة الوحدة

رسم توضيحي لكيفية حساب جيب زاوية مقدارها 30 درجة باستخدام مثلث متساوي الأضلاع.

بالنسبة لبعض الزوايا، يمكن الحصول على قيم الدوال المثلثية بسهولة، تدعى هذه الزوايا: الزوايا الخاصة أوالزوايا الشهيرة.

إذا كان مقدار الزاوية يساوي 0°، فإن جيبها يساوي 0 وجيب التمام يساوي 1. وإذا كان مقدار الزاوية يساوي 90°، يصبح جيب التمام يساوي 0 والجيب يساوي 1، بتعبير آخر:

{\displaystyle \sin 0^{\circ =\cos 90^{\circ =0

{\displaystyle \sin 90^{\circ =\cos 0^{\circ =1

المثلث القائم ذوزاوية $45°$ له زاوية حادة أخرى تبلغ $45°$ أيضا، يطلق على هذا المثلث اسم مثلث قائم ومتساوي الساقين. في هذا المثلث، بناءً على مبرهنة فيثاغورس، طول الوتر يساوي $\sqrt2$ مرة طول جميع من الساقين، إذن:

{\displaystyle \sin 45^{\circ =\cos 45^{\circ ={\frac {\sqrt {2 {2

{\displaystyle \tan 45^{\circ =\cot 45^{\circ =1

باستخدام خصائص مثلث متساوي الأضلاع (الشكل اللقاء)، يمكن إظهار حتى الضلع اللقاء للزاوية 30° هونصف طول الوتر، إذن:

{\displaystyle \sin 30^{\circ =\cos 60^{\circ ={\frac {1 {2

وبالمثل، يتم الحصول على طول الضلع الآخر باستخدام مبرهنة فيثاغورس، الذي يساوي $\sqrt3 / 2$ ، نتيجة لذلك:

{\displaystyle \sin 60^{\circ =\cos 30^{\circ ={\frac {\sqrt {3 {2

إن كتابة البسوط جذورا تربيعية للأعداد السليمة غير السالبة المتتالية، مع مقام يساوي 2، توفر طريقة بسيطة لتذكر القيم.

مثل هذه التعبيرات البسيطة غير موجودة عمومًا للزوايا الأخرى التي تعتبر مضاعفات نسبية لزاوية مستقيمة. بالنسبة للزاوية التي تقاس بالدرجات، وهي من مضاعفات العدد 3، قد يتم التعبير عن الجيب وجيب التمام بدلالة الجذور التربيعية، طالع قيم جبرية دقيقة لثوابت مثلثية. وبالتالي قد يتم انشاء هذه القيم للجيب وجيب التمام بواسطة المسطرة والفرجار.

بالنسبة لزاوية عدد سليم بالدرجات، يمكن التعبير عن الجيب وجيب التمام بدلالة الجذور التربيعية والجذر التكعيبي لعدد مركب غير حقيقي. تسمح نظرية غالوا بإثبات أنه إذا لم تكن الزاوية مضاعف $3°$ ، فإن الجذور التكعيبية غير الحقيقية لا يمكن تجنبها.

بالنسبة للزاوية التي تقاس بالدرجات وهي عدد نسبي، الجيب وجيب التمام هما عددان جبريان، يمكن التعبير عنهما بدلالة الجذور النونية.

بالنسبة للزاوية التي تقاس بالدرجات وهي عدد غير كسري، إما حتى تكون الزاوية أوالجيب وجيب التمام عددين متساميين. إنها لازمة مبرهنة باكر، ثُبتت في عام 1966.

القيم الجبرية البسيطة

يلخص الجدول التالي أبسط القيم الجبرية للدوال المثلثية. يمثل الرمز $\infty$ النقطة عند اللانهاية على الخط الحقيقي الممتد بشكل إسقاطي؛ إنها غير مؤشَّرة، لأنها عندما يظهر في الجدول، تؤول الدالة المثلثية اللقاءة إلى $+\infty$ في جهة، وإلى $-\infty$ في جهة أخرى، عندما يؤول المتغير إلى القيمة في الجدول.

راديان	${\displaystyle 0$	${\displaystyle {\frac {\pi {12$	${\displaystyle {\frac {\pi {8$	${\displaystyle {\frac {\pi {6$	${\displaystyle {\frac {\pi {4$	${\displaystyle {\frac {\pi {3$	${\displaystyle {\frac {3\pi {8$	${\displaystyle {\frac {5\pi {12$	${\displaystyle {\frac {\pi {2$
درجة	${\displaystyle 0^{\circ$	${\displaystyle 15^{\circ$	${\displaystyle 22.5^{\circ$	${\displaystyle 30^{\circ$	${\displaystyle 45^{\circ$	${\displaystyle 60^{\circ$	${\displaystyle 67.5^{\circ$	${\displaystyle 75^{\circ$	${\displaystyle 90^{\circ$
${\displaystyle \sin$	${\displaystyle 0$	${\displaystyle {\frac {{\sqrt {6 -{\sqrt {2 {4$	${\displaystyle {\frac {\sqrt {2-{\sqrt {2 {2$	${\displaystyle {\frac {1 {2$	${\displaystyle {\frac {\sqrt {2 {2$	${\displaystyle {\frac {\sqrt {3 {2$	${\displaystyle {\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2 {2$	${\displaystyle {\frac {{\sqrt {6 +{\sqrt {2 {4$	${\displaystyle 1$
${\displaystyle \cos$	${\displaystyle 1$	${\displaystyle {\frac {{\sqrt {6 +{\sqrt {2 {4$	${\displaystyle {\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2 {2$	${\displaystyle {\frac {\sqrt {3 {2$	${\displaystyle {\frac {\sqrt {2 {2$	${\displaystyle {\frac {1 {2$	${\displaystyle {\frac {\sqrt {2-{\sqrt {2 {2$	${\displaystyle {\frac {{\sqrt {6 -{\sqrt {2 {4$	${\displaystyle 0$
${\displaystyle \tan$	${\displaystyle 0$	${\displaystyle 2-{\sqrt {3$	${\displaystyle {\sqrt {2 -1$	${\displaystyle {\frac {\sqrt {3 {3$	${\displaystyle 1$	${\displaystyle {\sqrt {3$	${\displaystyle {\sqrt {2 +1$	${\displaystyle 2+{\sqrt {3$	${\displaystyle \infty$
${\displaystyle \cot$	${\displaystyle \infty$	${\displaystyle 2+{\sqrt {3$	${\displaystyle {\sqrt {2 +1$	${\displaystyle {\sqrt {3$	${\displaystyle 1$	${\displaystyle {\frac {\sqrt {3 {3$	${\displaystyle {\sqrt {2 -1$	${\displaystyle 2-{\sqrt {3$	${\displaystyle 0$
${\displaystyle \sec$	${\displaystyle 1$	${\displaystyle {\sqrt {6 -{\sqrt {2$	${\displaystyle {\sqrt {2 {\sqrt {2-{\sqrt {2$	${\displaystyle {\displaystyle {\frac {2{\sqrt {3 {3$	${\displaystyle {\sqrt {2$	${\displaystyle 2$	${\displaystyle {\sqrt {2 {\sqrt {2+{\sqrt {2$	${\displaystyle {\sqrt {6 +{\sqrt {2$	${\displaystyle \infty$
${\displaystyle \csc$	${\displaystyle \infty$	${\displaystyle {\sqrt {6 +{\sqrt {2$	${\displaystyle {\sqrt {2 {\sqrt {2+{\sqrt {2$	${\displaystyle 2$	${\displaystyle {\sqrt {2$	${\displaystyle {\displaystyle {\frac {2{\sqrt {3 {3$	${\displaystyle {\sqrt {2 {\sqrt {2-{\sqrt {2$	${\displaystyle {\sqrt {6 -{\sqrt {2$	${\displaystyle 1$

حساب التفاضل والتكامل

الدوال المثلثية هي دوال قابلة للتفاضل. هذا ليس واضحا على الفور من التعاريف الهندسية المذكورة أعلاه. علاوة على ذلك، فإن الاتجاه الحديث في الرياضيات هوبناء هندسة رياضية من حساب التفاضل والتكامل بدلاً من العكس. لذلك، باستثناء في المستوى الأساسي، يتم تعريف الدوال المثلثية باستخدام طرق حساب التفاضل والتكامل.

لتعريف الدوال المثلثية داخل حساب التفاضل والتكامل، هناك عدة امكانيات، منها التعريف باستخدام متسلسلة القوى أوالمعادلات التفاضلية. هذه التعريفات الأخيرة متكافئة لأن انطلاقا من واحد منهم، من السهل البدء في استرداد التعريفات الأخرى كخاصية. ومع ذلك، يعتبر التعريف من خلال المعادلات التفاضلية أكثر طبيعية إلى حد ما، لأنه على سبيل المثال، قد يظهر اختيار معاملات متسلسلة القوى كله اختياري، ومتطابقة فيثاغورس هي أسهل بكثير لاستنتاج من المعادلات التفاضلية.

الاشتقاق والمكاملة

المشتقات الأولى والثانية للدوال المثلثية مع مشتقاتها العكسية هي كما يلي:

دالة	مشتقها الأول	مشتقها الثاني	مشتقها من الرتبة n	تكامل
${\displaystyle \sin(x)$	${\displaystyle \cos(x)$	${\displaystyle -\sin(x)$	${\displaystyle \sin(x+{\frac {n\pi {2 )$	${\displaystyle -\cos(x)$
${\displaystyle \cos(x)$	${\displaystyle -\sin(x)$	${\displaystyle -\cos(x)$	${\displaystyle \cos(x+{\frac {n\pi {2 )$	${\displaystyle \sin(x)$
${\displaystyle \tan(x)$	${\displaystyle \sec ^{2 (x)$	${\displaystyle 2\sec ^{2 (x).\tan(x)$	معقد	${\displaystyle -\ln \|\cos(x)\|$
${\displaystyle \cot(x)$	${\displaystyle -\csc ^{2 (x)$	${\displaystyle 2\csc ^{2 (x).\cot(x)$	معقد	${\displaystyle \ln \|\sin(x)\|$
${\displaystyle \sec(x)$	${\displaystyle \sec(x).\tan(x)$	${\displaystyle \sec(x)(\sec ^{2 (x)+\tan ^{2 (x))$	معقد	${\displaystyle \ln \|\sec(x)+\tan(x)\|$
${\displaystyle \csc(x)$	${\displaystyle -\csc(x).\cot(x)$	${\displaystyle \csc(x)(\csc ^{2 (x)+\cot ^{2 (x))$	معقد	${\displaystyle -\ln \|\csc(x)+\cot(x)\|$

تعريف بواسطة التكامل

يمكن الحصول على تعريف آخر استنادا إلى الطول الدقيق لقوس الدائرة. باعتبار معادلة النصف العلوي للدائرة ${\displaystyle y={\sqrt {1-x^{2$ ، يمكننا إيجاد العلاقة بين الزاوية ${\displaystyle \theta$ و ${\displaystyle \sin \theta$ وفقًا للمعادلة التالية:

{\displaystyle \int _{0 ^{\sin \theta {\sqrt {1+\left({d \over dx {\sqrt {1-x^{2 \right)^{2 dx=\int _{0 ^{\sin \theta {\frac {dx {\sqrt {1-x^{2 =\theta

حيث تنتمي الزاوية θ إلى المجال ${\displaystyle 0\leq \theta \leq \pi /2$ .

التعريف بواسطة المعادلات التفاضلية

الجيب وجيب التمام هما من الدوال الفريدة من نوعها التي تقبل التفاضل، بحيث:

{\displaystyle {\begin{aligned {\frac {d {dx \sin x&=\cos x,\\{\frac {d {dx \cos x&=-\sin x,\\\sin 0&=0,\\\cos 0&=1.\end{aligned

كل من دالتي الجيب والجيب التمام تحققان المعادلة التفاضلية التالية:

{\displaystyle y''=-y

الجيب هوالحل الوحيد لهذه المعادلة التي تحقق الشروط التالية:

{\displaystyle {\begin{cases y(0)=0\\[2pt]y\,'(0)=1\end{cases

جيب التمام هوالحل الوحيد لهذه المعادلة التي تحقق الشروط التالية:

{\displaystyle {\begin{cases y(0)=1\\[2pt]y\,'(0)=0\end{cases

بتطبيق قاعدة ناتج القسمة على تعريف ظل الزاوية باعتباره نسبة بين الجيب وجيب التمام، يحصل الفرد على حتى دالة الظل تحقق:

{\displaystyle {\frac {d {dx \tan x=1+\tan ^{2 x.

إذن، دالة الظل هي حل للمعادلة التفاضلية التالية:

{\displaystyle y'=1+y^{2

نعتبر المعادلة التفاضلية من الدرجة الثانية التالية: ${\displaystyle ay''+by'+cy=0$

إن حل هذه المعادلة هي الدالة الأسية من الشكل

{\displaystyle am^{2 +bm+c=0

إذا كانت المعادلة المميزة لها جذور عقدية، فإن حل هذه المعادلة هي الدالة الأسية العقدية:

{\displaystyle y=A_{1 .e^{(\alpha +i\beta )x +A_{2 .e^{(\alpha -i\beta )x

حيث

{\displaystyle \alpha

هوالجزء الحقيقي و

{\displaystyle \beta

هوالجزء التخيلي لجذر المعادلة المميزة. استنادًا إلى صيغة أويلر، يمكننا تحويل الدالة الأسية العقدية إلى دالتي الجيب وجيب التمام، لذلك في حالة الجذور العقدية، ستتضمن حل المعادلة التفاضلية دوال مثلثية:

{\displaystyle y=A_{1 .e^{\alpha x \cos \beta x+A_{2 .e^{\alpha x \sin \beta x

باستعمال المتسلسلات

دالة الجيب (باللون الأزرق) تحسب بصفة تقريبية اقترابا كبيرا بواسطة متعددة الحدود لتايلور من الدرجة السابعة (باللون الوردي) بالنسبة لدورة كاملة متمركزة حول أصل المَفهم.

الرسوم المتحركة لتقريب جيب التمام بواسطة متعددة الحدود لتايلور.

{\displaystyle \cos(x)

إلى جانب متعددات الحدود الأولى لتايلور

{\displaystyle p_{n (x)=\sum _{k=0 ^{n (-1)^{k {\frac {x^{2k {(2k)!

دوال مثلثية هي دوال تحليلية. يمكن تمثيل جميع الدوال المثلثية بواسطة متسلسلات لانهائية.

باستخدام متسلسلة تايلور، يمكن كتابة جميع دالة مستمرة على شكل متسلسلة قوة بجوار النقطة $a$ على النحوالتالي:

{\displaystyle f(x)=f(a)+{\frac {f'(a) {1! (x-a)+{\frac {f''(a) {2! (x-a)^{2 +{\frac {f'''(a) {3! (x-a)^{3 +\cdots

حيث يرمز $n!$ إلى عاملي عدد.

عندماقد يكون $a =0$ ، تتحول هذه المتسلسلة إلى متسلسلة ماكلورين، رياضيا:

{\displaystyle f(x)=f(0)+{\frac {f'(0) {1! x+{\frac {f''(0) {2! x^{2 +{\frac {f^{(3) (0) {3! x^{3 +\cdots

ملاحظة: الزاوية x مقاسة بالتقدير الدائري في جميع السلاسل التالية.

متسلسلات تايلور لكل من الجيب وجيب التمام

جيب الزاوية:

يوضح الشكل اللقاء الرسم البياني لدالة الجيب إلى جانب متعدد الحدود السابع لماكلورين. قيمة دالة الجيب عند الصفر تساوي صفر، لذا فإن الحدود الزوجية لمتسلسلة القوة للجيب هي صفر. ونتيجة لذلك، فإن متسلسلة القوة للجيب ستحتوي فقط على حدود فردية.

{\displaystyle {\begin{aligned \sin x&=x-{\frac {x^{3 {3! +{\frac {x^{5 {5! -{\frac {x^{7 {7! +\cdots \\[8pt]&=\sum _{n=0 ^{\infty {\frac {(-1)^{n {(2n+1)! x^{2n+1 ,\\[8pt]\end{aligned

جيب تمام الزاوية

وبالمثل، فإن الحدود الفردية لمتسلسلة جيب التمام هي صفر ، وتحتوي المتسلسلة فقط على حدود زوجية.

{\displaystyle {\begin{aligned \cos x&=1-{\frac {x^{2 {2! +{\frac {x^{4 {4! -{\frac {x^{6 {6! +\cdots \\&=\sum _{n=0 ^{\infty {\frac {(-1)^{n x^{2n {(2n)! .\end{aligned

نصف قطر التقارب لتلك المتسلسلات غير منتهية. ولذلك، يمكن حتى تمدد دالتا الجيب وجيب التمام إلى دوال كاملة، والتي هي (بالتعريف) دوال ذات قيم عقدية (مركبة) وتامة الشكل على مجمل المستوي العقدي.

متسلسلات القوة لباقي الدوال

الدوال المثلثية الأخرى لها مجالات خاصة، لذلك لا يمكن تحديد متسلسلة تايلور لأي قيمة. بالنسبة لدالتي الظل والقاطع اللتان هي غير فهم عند π/2 (أو° 90)، فإن مجال تعريف متسلسلاتهم هي بين -π/2 وπ/2. أيضًا بالنسبة لدالتي ظل التمام وقاطع التمام اللتان هي غير فهم عند الصفر، فإن مجال تعريف متسلسلاتهم هي بين 0 و $π$ وبين $-π$ و0.

بتعبير أدق، نعهد:

$U n$ ، هوعدد Up/down من الرتبة n.

$B n$ ، هوعدد بيرنولي من الرتبة n.

و $E n$ ، هوعدد أويلر من الرتبة n.

ظل الزاوية:

{\displaystyle {\begin{aligned \tan x&{ =\sum _{n=0 ^{\infty {\frac {U_{2n+1 x^{2n+1 {(2n+1)! \\&{ =\sum _{n=1 ^{\infty {\frac {(-1)^{n-1 2^{2n (2^{2n -1)B_{2n x^{2n-1 {(2n)! \\&{ =x+{\frac {1 {3 x^{3 +{\frac {2 {15 x^{5 +{\frac {17 {315 x^{7 +\cdots ,\qquad {\text{for |x|<{\frac {\pi {2 .\end{aligned

قاطع التمام:

{\displaystyle {\begin{aligned \csc x&{ =\sum _{n=0 ^{\infty {\frac {(-1)^{n+1 2(2^{2n-1 -1)B_{2n x^{2n-1 {(2n)! \\&{ =x^{-1 +{\frac {1 {6 x+{\frac {7 {360 x^{3 +{\frac {31 {15120 x^{5 +\cdots ,\qquad {\text{for 0<|x|<\pi .\end{aligned

قاطع الزاوية:

{\displaystyle {\begin{aligned \sec x&{ =\sum _{n=0 ^{\infty {\frac {U_{2n x^{2n {(2n)! =\sum _{n=0 ^{\infty {\frac {(-1)^{n E_{2n x^{2n {(2n)! \\&{ =1+{\frac {1 {2 x^{2 +{\frac {5 {24 x^{4 +{\frac {61 {720 x^{6 +\cdots ,\qquad {\text{for |x|<{\frac {\pi {2 .\end{aligned

ظل التمام:

{\displaystyle {\begin{aligned \cot x&{ =\sum _{n=0 ^{\infty {\frac {(-1)^{n 2^{2n B_{2n x^{2n-1 {(2n)! \\&{ =x^{-1 -{\frac {1 {3 x-{\frac {1 {45 x^{3 -{\frac {2 {945 x^{5 -\cdots ,\qquad {\text{for 0<|x|<\pi .\end{aligned

تُعهد الدوال المثلثية الأربعة الأخيرة على أنها كسور من الدوال الكاملة. ولذلك، يمكن حتى تُمدّد إلى دوال جزئية الشكل، والتي هي دوال تامة الشكل في تام المستوي العقدي، باستثناء بعض النقاط المعزولة التي تسمى الأقطاب. هنا، الأقطاب هي أعداد من الشكل ${\textstyle (2k+1){\frac {\pi {2$ بالنسبة لدالتي الظل والقاطع، أو ${\displaystyle k\pi$ بالنسبة لدالتي ظل التمام وقاطع التمام، حيث $k$ هوعدد سليم كيفي.

يمكن أيضًا حساب علاقات الاستنادىء الذاتي لمعاملات متسلسلة تايلور لتلك الدوال. متسلسلاتهما لها نصف قطر التقارب منتهي. معاملاتهم لها تفسير توافقي: فهي تُعدّد التبديلات المتناوبة للمجموعات المنتهية.

عدد الحدود في متسلسلة القوة المستخدمة لتقريب الدوال غير منتهي، ولكن في الحسابات يتم استخدام عدد محدود من تلك الحدود. يطلق على الحدود الأخرى غير المحسوبة اسم الباقي. يُعرَّف الباقي من الرتبة n لمتسلسلة بواسطة:

{\displaystyle R_{n (x)={\frac {f^{(n+1) (c) {(n+1)! (x-a)^{n+1 ,a<c<x

مع زيادة قيمة x، ستكون هناك حاجة إلى المزيد من الحدود لتحقيق دقة معينة، ونتيجة لذلك، ستنخفض سرعة التقارب. بالإضافة إلى ذلك، فإن الدوال الأربعة الأخيرة لها نقاط عدم الاستمرار (نقاط عدم الإتصال)، ومتسلسلات القوى لهذه الدوال فهم على مجال معين.

لمنع التقارب من التباطؤ والتخلص من معضلة نقاط عدم الاستمرار، يجب علينا تقليص الزاوية قدر الإمكان قبل استخدام المتسلسلة. باستخدام متطابقات الزوايا المتتامة، يمكن تقليص الزاوية إلى ${\displaystyle \left(0,{\frac {\pi {4 \right)$ ، وباستخدام بعض المتطابقات المثلثية إلى ${\displaystyle \left(0,{\frac {\pi {2 \right)$ . بهذه الطريقة، تزداد سرعة تقارب المتسلسلة والكفاءة الحسابية.

متسلسلات أخرى

هناك تمثيل متسلسلات تحليلا كسريا جزئيا، حيث يتم تجميع دوال المقلوب المزاحة فقط، بحيث تتطابق أقطاب دالة ظل التمام ودوال المقلوب:

{\displaystyle \pi \cot \pi x=\lim _{N\to \infty \sum _{n=-N ^{N {\frac {1 {x+n

يمكن إثبات هذه المتطابقة بواسطة خدعة هرغلوتز (Herglotz).

الكسور المستمرة المعممة

كسر مستمر معمم هوتعميم للكسور المستمرة الاعتيادية حيث تأخذ مقاماته وبسوطه قِيَمًا حقيقية أوعقدية ما.

يمكننا كتابة الدوال الرياضية على هذا النحو:

{\displaystyle a_{0 +a_{0 a_{1 +a_{0 a_{1 a_{2 +\cdots +a_{0 a_{1 a_{2 \cdots a_{n ={\cfrac {a_{0 {1-{\cfrac {a_{1 {1+a_{1 -{\cfrac {a_{2 {1+a_{2 -{\cfrac {\ddots {\ddots {\cfrac {a_{n-1 {1+a_{n-1 -{\cfrac {a_{n {1+a_{n \,

فيما يلي الكسور المستمرة لبعض الدوال:

{\displaystyle \sin x={\cfrac {x {1+{\cfrac {x^{2 {2\cdot 3-x^{2 +{\cfrac {2\cdot 3x^{2 {4\cdot 5-x^{2 +{\cfrac {4\cdot 5x^{2 {6\cdot 7-x^{2 +\ddots .

{\displaystyle \cos x={\cfrac {1 {1+{\cfrac {x^{2 {2-x^{2 +{\cfrac {2x^{2 {3\cdot 4-x^{2 +{\cfrac {3\cdot 4x^{2 {5\cdot 6-x^{2 +\ddots .

{\displaystyle \tan x={\cfrac {x {1-{\cfrac {x^{2 {3-{\cfrac {x^{2 {5-{\cfrac {x^{2 {7-\dots ={\cfrac {1 {{\cfrac {1 {x -{\cfrac {1 {{\cfrac {3 {x -{\cfrac {1 {{\cfrac {5 {x -{\cfrac {1 {{\cfrac {7 {x -\dots ,

{\displaystyle \cot x={\cfrac {1 {x -{\cfrac {x {3-{\cfrac {x^{2 {5-{\cfrac {x^{2 {7-{\cfrac {x^{2 {9-\dots

متسلسلة الجداء اللانهائي

الجداء اللانهائي التالي لدالة الجيب له أهمية كبيرة في التحليل العقدي:

${\displaystyle \sin z=z\displaystyle \prod _{n=1 ^{\infty \left(1-{\frac {z^{2 {n^{2 \pi ^{2 \right),\quad z\in \mathbb {C .$

من هذه المتسلسلة، نستنتج أن:

${\displaystyle \cos z=\displaystyle \prod _{n=1 ^{\infty \left(1-{\frac {z^{2 {\left(n-{\frac {1 {2 \right)^{2 \pi ^{2 \right),\quad z\in \mathbb {C .$

باستخدام المعادلات الدالية

يمكننا أيضا تعريف الدوال المثلثية باستخدام المعادلات الدالية المتنوعة.

مثلا، الجيب وجيب التمام هما دالتان فريدتان من الدوال المستمرة التي تحقق صيغة الفرق:

{\displaystyle \cos(x-y)=\cos x\cos y+\sin x\sin y\,

بشرط حتى تكون ${\displaystyle 0<x\cos x<\sin x<x$ من أجل ${\displaystyle 0<x<1$ .

في المستوي المركب

يمكن التعبير عن الجيب وجيب التمام لعدد مركب بدلالة الدوال نفسها والدوال الزائدية:

${\displaystyle {\begin{aligned \sin(x+iy)&=\sin x\cosh y+i\cos x\sinh y\\[5pt]\cos(x+iy)&=\cos x\cosh y-i\sin x\sinh y\end{aligned$

من الممكن حتى نمثل بيانيا الدوال المثلثية دوالا ذات قيم عقدية (مركبة) عن طريق تمثيل بواسطة الألوان. يمكن مشاهدة الكثير من الميزات الفريدة للدوال العقدية من الرسم البياني؛ على سبيل المثال، يمكن اعتبار دالتي الجيب وجيب التمام أنهما غير منتهية عندما يصبح الجزء التخيلي لـ z أكبر (لأن اللون الأبيض يمثل اللانهاية)، وحقيقة حتى الدوال تحتوي على أصفار أوأقطاب بسيطة تتضح من حقيقة حتى الألوان تدور حول جميع صفر أوقطب مرة واحدة بالضبط. إذا مقارنة هذه التمثيلات البيانية (بواسطة الألوان) مع تلك التمثيلات الخاصة بالدوال الزائدية توضح العلاقات بينهما.

تمثيل الدوال على المستوى العقدي:


${\displaystyle \sin z\,$	${\displaystyle \cos z\,$	${\displaystyle \tan z\,$	${\displaystyle \cot z\,$	${\displaystyle \sec z\,$	${\displaystyle \csc z\,$	التمثيل البياني لـ $z = x + iy$ التي استخدمت في التمثيلات البيانية.

حيث تمثل عمدة عدد مركب بالألوان، ومعياره بوسائل أخرى، مثل السطوع أوالاشباع اللوني.

الخصائص

زوجية وفردية

الدوال الزوجية والدوال الفردية هي دوال تحقق شرطا معينا يتعلق بالتناظر.

جيب التمام والقاطع دالتان زوجيتان، أما الدوال الأخرى فهي دوال فردية، بتعبير آخر:

${\displaystyle {\begin{aligned \sin(-x)&=-\sin x\\\cos(-x)&=\cos x\\\tan(-x)&=-\tan x\\\cot(-x)&=-\cot x\\\csc(-x)&=-\csc x\\\sec(-x)&=\sec x.\end{aligned$

دورية

الدوال المثلثية كلها دوالٌ دوريةٌ أصغر دورة لها هي $2 π$ . باستثناء الظل وظل التمام، التي أصغر دورة لها هي $π$ ، بتعبير آخر، من أجل عدد سليم $k$ ، لدينا:

${\displaystyle {\begin{aligned \sin(x+2k\pi )&=\sin x\\\cos(x+2k\pi )&=\cos x\\\tan(x+k\pi )&=\tan x\\\cot(x+k\pi )&=\cot x\\\csc(x+2k\pi )&=\csc x\\\sec(x+2k\pi )&=\sec x.\end{aligned$

في تحويل فورييه والمعادلات الموجية، تستخدم خاصية دورية الدوال المثلثية لحل المعادلات التفاضلية.

استمرارية (اتصال)

إن الجيب وجيب التمام هما دالتان مستمرتان دومٌا وقابلة للإشتقاق ويتضح ذلك بوضوح من خلال التعريف بواسطة المثلث القائم والتعريف بواسطة دائرة الوحدة. إذا الدوال الأخرى، التي مقامهما هي دالة الجيب أوجيب التمام، ليست دائمًا مستمرة. لأن قيمة جميع من دالة الجيب وجيب التمام في بعض الأماكن تساوي الصفر. نقاط عدم الاستمرار للدوال المثلثية هي كالتالي (حيث k هوعدد سليم كيفي):

الظل والقاطع: ${\displaystyle {\pi \over 2 +k\pi$
ظل التمام وقاطع التمام: ${\displaystyle k\pi$

تعامد

تعتبر دالتا الجيب وجيب التمام دالتان متعامدتان (Orthogonals)، أي:

${\displaystyle \int _{0 ^{2\pi \cos n\theta \sin m\theta \,d\theta =0.$

${\displaystyle {\frac {1 {\pi \int _{0 ^{2\pi \cos n\theta \cos m\theta \,d\theta =\left\{{\begin{array {l l 0&\quad n\neq m\\1&\quad n=m\end{array \right.$

${\displaystyle \int _{0 ^{2\pi \sin m\theta \sin n\theta \,d\theta =0\quad (n\neq m).$

تستخدم هذه الخصائص لحساب معاملات متسلسلة فورييه.

تحويلا لابلاس وفورييه

تحويل لابلاس هوأحد طرق حل المعادلات التفاضلية. تحويلات لابلاس لدالتي الجيب وجيب التمام هي كما يلي:

تحويل الجيب:

{\displaystyle {\mathcal {L \{\sin(at)\ ={\frac {a {s^{2 +a^{2

تحويل جيب التمام:

{\displaystyle {\mathcal {L \{\cos(at)\ ={\frac {s {s^{2 +a^{2

تحويلات فورييه لدالتي الجيب وجيب التمام هي كما يلي:

الجيب:

{\displaystyle {\mathcal {F \{\sin(at)\ ={\frac {\displaystyle \delta \left(\omega -{\frac {a {2\pi \right)-\delta \left(\omega +{\frac {a {2\pi \right) {2i

جيب التمام:

{\displaystyle {\mathcal {F \{\cos(at)\ ={\frac {\delta \left(\omega -{\frac {a {2\pi \right)+\delta \left(\omega +{\frac {a {2\pi \right) {2

دالة ذاتية

إن دالتا الجيب وجيب التمام هما دالتان ذاتيتان (Eigenfunctions) لمؤثر لابلاس. على سبيل المثال، إذا كان : ${\displaystyle \Delta =\nabla ^{2$

حساب القيم

حساب القيم الدقيقة للدوال المثلثية يدوياً أمر قاسي ومعقد، لكن في العصرِ الحديثِ، زالَت تعقيداته بسبب توفر أجهزة الحاسوب والآلات الحاسبة، التي تمكن بسهولة الحصول على القيمة الدقيقة لأي زاوية. بالنسبةِ لبعضِ الزوايا، فيمكن الحصول على القيم الجبرية الدقيقة لدولِّها المثلثية دون اللجوء إلى حساباتٍ بالأجهزة، وتُسمّى هذه الزوايا: الزوايا الخاصة. على سبيل المثال، قيمُ الدوال المثلثية لجميع الزوايا من مضاعفات العدد ثلاثة دقيقة. تُحسَبُ النسب المثلثية للزاوية 3° بتطبيق الفرق بين زاويتين ذات القيم 18° و15° (3 = 15 - 18). وتُحسَبُ النسب المثلثية للزاوية 18° باستخدام خواص ونِسَب الخماسي المنتظم. لحساب قيمة دالة لأي زاوية، يجب على المرء أولاً تقليص مجال الزاوية (على سبيل المثال، من الصفر إلى

π / 2

). يتم ذلك باستخدام جميع من خاصية دورية وتناظر الدوال المثلثية. قبل الحواسيب، حصل الناس بشكل عام على قيمة الدوال المثلثية من خلال استيفاء الجداول المثلثية. هذه الجداول لها تاريخ طويل في فهم المثلثات. عادة ما يتم الحصول على القيم في الجداول عن طريق استخدام متطابقات نصف الزاوية وضعف الزاوية، على التوالي، بدءاً بقيمة معروفة (مثل

sin (π / 2) = 1

). تستخدم الحواسيب والحاسبات الحديثة مجموعةً متنوعةً من التقنياتِ لتوفير قيم الدوال المثلثية عند الطلب للزوايا الأخرى. تتمثل إحدى الطرق الشائعة، خاصةً في المعالِجات الراقية (Higher-end Processors) ذات وحدات الفاصلة العائمة، في جمع بين تقريب بواسطة كثير الحدود أوبواسطة الدوال الكسرية (مثل تقريب تشيبيشيف، تقريب بادي، وعادةً ما يتعلق بالدقة العليا أوالمتغيرة، متسلسلات تايلور ومتسلسلة لورنت) وتقليص المدى (Range reduction) والبحث في الجدول—تبحث (الخوارزميات) أولاً في جدول صغير عن أقرب زاوية، ثم تستخدم كثير الحدود لحساب التسليم. على الأجهزة الأكثر بساطة التي تفتقر إلى مضاعف العتاد، توجد خوارزمية تسمى CORDIC التي هي أكثر فعالية، لأنها تَستَخدِم الإزاحات والإضافة والطرح فقط. بالنسبة لحسابات عالية الدقة، عندما يصبح تقارب المتسلسلة بطيئًا للغاية، يمكن تقريب الدوال المثلثية بواسطة المتوسط الحسابي الهندسي، الذي يقارب في حد ذاته الدالة المثلثية بواسطة تكامل اهليلجي (المركب).

متطابقات أساسية ومبرهنات

هناك عدد من المتطابقات تربط الدوال المثلثية بعضها ببعض. يحتوي هذا القسم على المتطابقات الأساسية والمبرهنات، لمزيد من المتطابقات، طالع قائمة المطابقات المثلثية. يمكن إثبات هذه المتطابقات هندسيا من التعريف باستعمال دائرة الوحدة أوالتعريف باستعمال المثلث القائم (على الرغم من أنه بالنسبة للتعاريف الأخيرة، يجب توخي الحذر للزوايا التي لا تنتمي إلى هذا المجال

[0 , π/2]

). بالنسبة إلى البراهين غير الهندسية التي تستخدم فقط أدوات حساب التفاضل والتكامل، يمكننا استخدام المعادلات التفاضلية مباشرة. يمكننا أيضا استخدام متطابقة أويلر للتعبير عن جميع الدوال المثلثية بدلالة الدالة الأسية العقدية واستخدام خصائص الدالة الأسية.

متطابقة فيثاغورس

تنص هذه المتطابقة على حتى مجموع مربع جيب زاوية ما، لتكن

{\displaystyle x

، مع مربع الجيب التمام لنفس الزاوية يساوي الواحد، ويُعبر عنها رياضياً بالعلاقة التالية:

{\displaystyle \sin ^{2 x+\cos ^{2 x=1,\,

يجب الانتباه إلى حتى الترميز sin² x + cos² x يكافئ sin x)² + (cos x)²).

متطابقات مجموع وفرق الزوايا

تسمح صيغ الفرع والمجموع بتوسيع الجيب وجيب التمام والظل لمجموع أوفرق الزاويتين بدلالة الجيب وجيب التمام والظل الزوايا نفسها.

المجموع

ويُحسب كما يأتي:

${\displaystyle {\begin{aligned \sin \left(x+y\right)&=\sin x\cos y+\cos x\sin y,\\\cos \left(x+y\right)&=\cos x\cos y-\sin x\sin y,\\\tan(x+y)&={\frac {\tan x+\tan y {1-\tan x\tan y .\end{aligned$

الفرق

ويُحسب كما يأتي:

${\displaystyle {\begin{aligned \sin \left(x-y\right)&=\sin x\cos y-\cos x\sin y,\\\cos \left(x-y\right)&=\cos x\cos y+\sin x\sin y,\\\tan(x-y)&={\frac {\tan x-\tan y {1+\tan x\tan y .\end{aligned$

متطابقات ضعف الزاوية

عندما تكون الزاويتان متساويتان، فإن صيغ المجموع تقلص إلى معادلات أبسط تعهد باسم متطابقات ضعف الزاوية.

{\displaystyle {\begin{aligned \sin 2x&=2\sin x\cos x={\frac {2\tan x {1+\tan ^{2 x ,\\\cos 2x&=\cos ^{2 x-\sin ^{2 x=2\cos ^{2 x-1=1-2\sin ^{2 x={\frac {1-\tan ^{2 x {1+\tan ^{2 x ,\\\tan 2x&={\frac {2\tan x {1-\tan ^{2 x .\end{aligned

يمكن استعمال هذه المتطابقات لاشتقاق متطابقات التحويل من المجموع إلى الجداء.

بوضع ${\textstyle t=\tan {\frac {\theta {2$

${\displaystyle {\begin{aligned \sin \theta &={\frac {2t {1+t^{2 ,\\\cos \theta &={\frac {1-t^{2 {1+t^{2 ,\\\tan \theta &={\frac {2t {1-t^{2 .\end{aligned$

بالإضافة إلى ${\displaystyle d\theta ={\frac {2 {1+t^{2 \,dt$

هذا هوالتعويض بظل نصف الزاوية (ويسمى أيضا تعويض فايرشتراس)، الذي يسمح بتقليص حساب التكاملات والمشتقات العكسية للدوال المثلثية إلى دوال كسرية.

متطابقات ثلاثية الزاوية

ويُحسب كما يأتي:

{\displaystyle \sin(3\theta )=3\sin \theta -4\sin ^{3 \theta =4\sin \theta \sin({\frac {\pi {3 -\theta )\sin({\frac {\pi {3 +\theta )

{\displaystyle \cos(3\theta )=4\cos ^{3 \theta -3\cos \theta =4\cos \theta \cos({\frac {\pi {3 -\theta )\cos({\frac {\pi {3 +\theta )

{\displaystyle \tan(3\theta )={\frac {3\tan \theta -\tan ^{3 \theta {1-3\tan ^{2 \theta =\tan \theta \tan({\frac {\pi {3 -\theta )\tan({\frac {\pi {3 +\theta )

متطابقات نصف الزاوية

ويُحسب كما يأتي:

{\displaystyle \sin {\frac {\theta {2 =\pm {\sqrt {\frac {1-\cos \theta {2

{\displaystyle \cos {\frac {\theta {2 =\pm {\sqrt {\frac {1+\cos \theta {2

{\displaystyle \tan {\frac {\theta {2 =\pm {\sqrt {\frac {1-\cos \theta {1+\cos \theta ={\frac {\sin \theta {1+\cos \theta ={\frac {1-\cos \theta {\sin \theta =\csc \theta -\cot \theta

قانون الجيب

ليكن ABC مثلث، وa وb وc أضلاعه، ينص قانون الجيب على ما يلي:

{\displaystyle {\frac {\sin A {a ={\frac {\sin B {b ={\frac {\sin C {c ={\frac {2\Delta {abc

حيث تشير

Δ

إلى مساحة المثلث، أوبشكل مكافئ:

{\displaystyle {\frac {a {\sin A ={\frac {b {\sin B ={\frac {c {\sin C =2R,

حيث يشير

R

إلى نصف قطر الدائرة المحيطة بالمثلث.

يمكن إثبات ذلك بتقسيم المثلث إلى مثلثين قائمين وباستخدام التعريف الوارد أعلاه للجيب. قانون الجيب مفيد في حساب أطوال الأضلاع المجهولة في مثلث إذا كانت هناك زاويتان وضلع واحد معلومتان. هذا هوالموقف الشائع الذي يحدث في التثليث، وهي تقنية لتحديد مسافات غير معروفة عن طريق قياس زاويتين ومسافة مغلقة يمكن الوصول إليها.

تمثيل المثلث الكروي ABC

في حالة المثلثات الكروية، ينص القانون على ما يلي:

{\displaystyle {\frac {\sin A {\sin a ={\frac {\sin B {\sin b ={\frac {\sin C {\sin c

حيث a وb وc هن أضلاع المثلث الواقع في سطح الكرة؛ وA وB وC هن الزوايا اللقاءة.

قانون جيب التمام

البرهنة قانون جيب التمام بالنسبة للزوايا الحادة باستخدام "كيفية التقسيم". توضح هذه الصورة سباعيًّا مقطّعًا إلى بتر صغيرة (بطريقتين مختلفتين) لإثبات قانون جيب التمام. البتر المتنوعة هي: المساحات الوردية

a 2

، و

b 2

، واثنان من متوازيات الأضلاع مساحة جميع منها

ab cos γ

؛ والمثلثات الرمادية الأربعة متطابقة مع المثلث الأزرق.

البرهنة قانون جيب التمام بالنسبة للزوايا المنفرجة باستخدام "كيفية التقسيم". توضح هذه الصورة سداسيًّا مقطّعًا إلى بتر صغيرة (بطريقتين مختلفتين) لإثبات قانون جيب التمام. البتر المتنوعة هي: المساحات الوردية

a 2

، و

b 2

، واثنان من متوازيات الأضلاع مساحة جميع منها

- ab cos γ

؛ والمثلثات الزرقاء كلها متطابقة.

يعتبر قانون جيب التمام امتدادًا لمبرهنة فيثاغورس. ويسمى أيضا مبرهنة الكاشي.

{\displaystyle c^{2 =a^{2 +b^{2 -2ab\cos \gamma

وقد تخط هاته الصيغة كما يلي:

{\displaystyle \cos \gamma ={\frac {a^{2 +b^{2 -c^{2 {2ab

يمكن إثبات هذه المبرهنة بتقسيم المثلث إلى مثلثين قائمين وباستخدام مبرهنة فيثاغورس.

يمكن استعمال قانون جيب التمام لحساب طول ضلع المثلث إذا كان الضلعان والزاوية بينهما معلومة. يمكن أيضًا استخدامه لإيجاد جيب تمام لأي زاوية إذا كانت أطوال جميع الأضلاع معلومة.

في حالة المثلثات الكروية، ينص القانون على ما يلي:

{\displaystyle \cos c=\cos a\cos b+\sin a\sin b\cos C\,

حيث $a$ و $b$ و $c$ هي الأقواس الثلاثة للمثلث الكروي (والتي يطلق عليها مجازًا أضلاع وتسمى أحيانًا بجوانب المثلث الكروي) وتقاس بالدرجات القوسية أي بقيمة الزاوية المركزية اللقاءة لكل منها داخل الكرة، حيث تحول بعد ذلك إلى وحدات الطول العادية بالضرب في قيمة الدرجة القوسية والتي تساوي محيط الكرة/360 ما يعادل ط × نصف قطر الكرة/180 والرمز ط هنا أو $π$ في اللاتينية؛ والزاوية $C$ هي الزاوية اللقاءة للقوس $c$ .

ويمكن اشتقاق المعادلة التالية مِن العلاقة السابقة لإيجاد قيمة الزاوية $C$ اللقاءة للقوس $c$ في المثلث الكروي عندما تكون مجهولة وبقية الأطوال الثلاثة لأقواس المثلث $a$ و $b$ و $c$ معلومة:

${\displaystyle \cos C\ ={\frac {\cos c-\cos a\cos b {\sin a\sin b$

وهناك صورة أخرى للمعادلة حيث تكون قيم الزوايا الثلاث $A$ و $B$ و $C$ معلومة لنحصل على قيمة قوس مجهول في المثلث الكُرويّ وليكن القوس $c$ كما يلي:

${\displaystyle \cos c\ ={\frac {\cos C+\cos A\cos B {\sin A\sin B$

ومنها يمكن حساب قيمة زاوية مجهولة بمعلومية طول القوس اللقاء لها ومعلومية قيمتي الزاويتين الأخرتين بالمثلث الكروي هكذا:

${\displaystyle \cos C=\sin A\sin B\cos c\,-\cos A\cos B$

قانون الظل

ليكن ABC مثلث، تنص الأشكال الاربعة لقانون الظل على ما يلي:

{\displaystyle {\frac {\tan {\frac {A-B {2 {\tan {\frac {A+B {2 ={\frac {a-b {a+b \,;\qquad {\frac {\tan {\frac {A-C {2 {\tan {\frac {A+C {2 ={\frac {a-c {a+c \,;\qquad {\frac {\tan {\frac {B-C {2 {\tan {\frac {B+C {2 ={\frac {b-c {b+c .

حيث a=BC وb=AC وc=AB.

يمكن إثبات هذه المبرهنة باستخدام قانون الجيب والمتطابقات المثلثية.

أما بالنسبة للمثلثات الكروية، ينص القانون على ما يلي:

{\displaystyle {\frac {\tan \left({\dfrac {A-B {2 \right) {\tan \left({\dfrac {A+B {2 \right) ={\frac {\tan \left({\dfrac {a-b {2 \right) {\tan \left({\dfrac {a+b {2 \right) .

قانون ظل التمام

ليكن ABC مثلث، وa وb وc أضلاعه (حيث a=BC وb=AC وc=AB)، إذا كان:

{\displaystyle r=\zeta ={\sqrt {{\frac {1 {s (s-a)(s-b)(s-c) ~

و

{\displaystyle s={\frac {a+b+c {2 ~

ثم جميع ما يلي يشكل قانون ظل التمام:

{\displaystyle \cot {\frac {A {2 ={\frac {s-a {\zeta ~;\qquad \cot {\frac {B {2 ={\frac {s-b {\zeta ~;\qquad \cot {\frac {C {2 ={\frac {s-c {\zeta ~.

نستنتج أن:

{\displaystyle {\frac {\cot {\dfrac {A {2 {s-a ={\frac {\cot {\dfrac {B {2 {s-b ={\frac {\cot {\dfrac {C {2 {s-c ={\frac {1 {\zeta ~.

مبرهنة الساندويتش

تساعد هذه المبرهنة في حساب النهايات الصعبة ومشتقات الدوال المثلثية. هذه المتباينة الصالحة فقط عند المجال ${\displaystyle -{\pi \over 2 <\theta <{\pi \over 2$ ، هي كما يلي:

{\displaystyle \cos \theta <{\frac {\sin \theta {\theta <1

تمكننا هذه المتباينة من حساب النهاية التالية: ${\displaystyle \lim _{x\to 0 {\frac {\sin x {x$ . تفيد هذه النهاية في حساب مشتقات الدوال المثلثية.

المتباينات المشابهة هي كما يلي:

${\displaystyle {\frac {2 {\pi x\leq \sin x\leq x\qquad 0\leq x\leq {\frac {\pi {2 .$

${\displaystyle x\leq \tan x\qquad 0\leq x\leq {\frac {\pi {2 .$

${\displaystyle x<{\frac {\sin(\pi x) {x(1-x) \leq 4\qquad 0\leq x\leq 1.$

مبرهنة بطليموس

مبرهنة بطليموس هي علاقة بين الأضلاع الأربعة وقطرا الرباعي الدائري (رباعي محاط بدائرة التي تضم جميع رؤوسه).

ليكن ABCD رباعي دائري، إذا كان $θ 1 + θ 2 + θ 3 + θ 4 =180°$ ، فإن:

{\displaystyle {\begin{aligned \sin(\theta _{1 +\theta _{2 )\sin(\theta _{2 +\theta _{3 )&=\sin(\theta _{2 +\theta _{3 )\sin(\theta _{3 +\theta _{4 )&{\text{(trivial) \\&=\sin(\theta _{3 +\theta _{4 )\sin(\theta _{4 +\theta _{1 )&{\text{(trivial) \\&=\sin(\theta _{4 +\theta _{1 )\sin(\theta _{1 +\theta _{2 )&{\text{(trivial) \\&=\sin \theta _{1 \sin \theta _{3 +\sin \theta _{2 \sin \theta _{4 .&{\text{(significant) \end{aligned

صيغة مولفيده

لتكن a وb وc أطوال أضلاع للمثلث، وα وβ وγ الزوايا اللقاءة لتلك الأضلاع الثلاثة على التوالي. تنص صيغة مولفيده على ما يلي:

{\displaystyle {\frac {a+b {c ={\frac {\cos \left({\frac {\alpha -\beta {2 \right) {\sin \left({\frac {\gamma {2 \right)

{\displaystyle {\frac {a-b {c ={\frac {\sin \left({\frac {\alpha -\beta {2 \right) {\cos \left({\frac {\gamma {2 \right)

قانون موري

ينص هذا القانون الرياضي على حتى جداء جيوب التمام لكل من $20°$ و $40°$ و $80°$ يساوي 1/8، بتعبير رياضي:

{\displaystyle \cos(20^{\circ )\cdot \cos(40^{\circ )\cdot \cos(80^{\circ )={\frac {1 {8 .

وهي حالة خاصة للمتطابقة العامة:

{\displaystyle 2^{n \cdot \prod _{k=0 ^{n-1 \cos(2^{k \alpha )={\frac {\sin(2^{n \alpha ) {\sin(\alpha )

مع ${\displaystyle n=3$ و ${\displaystyle \alpha =20^{\circ$ .

هذه المتطابقة تثير الفضول، لأن، عند تعويض n وα للحد الثاني بتلك القيم، يحصل المرء على أن:

{\displaystyle {\frac {\sin(160^{\circ ) {\sin(20^{\circ ) ={\frac {\sin(180^{\circ -20^{\circ ) {\sin(20^{\circ ) =1,

بما أن:

{\displaystyle \sin(180^{\circ -x)=\sin(x).

هناك متطابقة مماثلة لهذه المتطابقة، وهي متعلقة بدالة الجيب:

{\displaystyle \sin(20^{\circ )\cdot \sin(40^{\circ )\cdot \sin(80^{\circ )={\frac {\sqrt {3 {8 .

زيادة على ذلك، عند تقسيم المتطابقة الثانية على الأولى، تنتج متطابقة أخرى:

{\displaystyle \tan(20^{\circ )\cdot \tan(40^{\circ )\cdot \tan(80^{\circ )={\sqrt {3 =\tan(60^{\circ ).

الدوال العكسية

الدوال المثلثية دورية، وبذلك، هي ليست متباينة، وبالتالي ليس لديها دالة عكسية. ومع ذلك، في جميع مجال تكون فيه الدالة المثلثية رتيبة، يمكن للمرء تحديد دالة عكسية، بهذه الطريقة، تعرّف الدوال المثلثية العكسية كدوال متعددة القيم. لتعريف دالة عكسية حقيقية، يصير من الضروري تقليص مجال تعريفها إلى مجال تكون فيه الدالة رتيبة، حتى تكون الدوال المثلثية دوالا تقابلية. يعطى الاختيار الشائع لهذا المجال الذي يطلق عليه اسم "مجموعة القيم الرئيسية" في الجدول التالي. عادة ما يرمز إلى الدوال المثلثية العكسية بالبادئة "arc" قبل اسم أواختصار الدالة.

يوضح الجدول الآتي قائمة الدوال المثلثية العكسية مع ابراز جميع من مجال تعريفهن ومشتقتهن.

الدالة	اسمها بالإنجليزية	الترميز	التعريف	مجال التعريف	المجال اللقاء (مجموعة القيم الرئيسية)	المشتقة
قوس الجيب	Arcsine	${\displaystyle \arcsin x=y\,$	${\displaystyle \sin y=x\,$	${\displaystyle -1\leq x\leq 1\,$	${\displaystyle -{\frac {\pi {2 \leq y\leq {\frac {\pi {2 \,$	${\displaystyle {\frac {1 {\sqrt {1-x^{2$
قوس جيب التمام	Arccosine	${\displaystyle \arccos x=y\,$	${\displaystyle \cos y=x\,$	${\displaystyle -1\leq x\leq 1\,$	${\displaystyle 0\leq y\leq \pi \,$	${\displaystyle -{\frac {1 {\sqrt {1-x^{2$
قوس الظل	Arctangent	${\displaystyle \arctan x=y\,$	${\displaystyle \tan y=x\,$	جميع الاعداد الحقيقية	${\displaystyle -{\frac {\pi {2 <y<{\frac {\pi {2 \,$	${\displaystyle {\frac {1 {1+x^{2$
قوس قاطع التمام	Arccosecant	${\displaystyle \operatorname {arccsc x=y\,$	${\displaystyle \csc y=x\,$	${\displaystyle x\leq -1$ أو ${\displaystyle x\geq 1$	${\displaystyle -{\frac {\pi {2 \leq y\leq {\frac {\pi {2 ,y\neq 0\,$	${\displaystyle {\frac {-1 {\|x\|\,{\sqrt {x^{2 -1$
قوس القاطع	Arcsecant	${\displaystyle \operatorname {arcsec x=y\,$	${\displaystyle \sec y=x\,$	${\displaystyle x\leq -1$ أو ${\displaystyle x\geq 1$	${\displaystyle 0\leq y\leq \pi ,y\neq {\frac {\pi {2 \,$	${\displaystyle {\frac {1 {\|x\|\,{\sqrt {x^{2 -1$
قوس ظل التمام	Arccotangent	${\displaystyle \operatorname {arccot x=y\,$	${\displaystyle \cot y=x\,$	جميع الاعداد الحقيقية	${\displaystyle 0<y<\pi \,$	${\displaystyle -{\frac {1 {1+x^{2$

غالبًا ما تستخدم الترميزات $sin -1$ و $cos -1$ ... إلخ لـ $arcsin$ و $arccos$ ،... إلى غير ذلك. عند استخدام هذا الترميز، قد يؤدي هذا إلى الالتباس بين الدوال العكسية والمعاكيس الضربية.

يمنع الترميز بالبادئة "arc" مثل هذا الالتباس، على الرغم من أنه يمكن الخلط بين "arcsec" لـ arcsecant ولـ "arcsecond"(التي تعني "ثانية القوس").

يُمكن للدوال المثلثية العكسية حتى تعهد بواسطة المتسلسلات تماما كما هوالحال بالنسبة للدوال المثلثية. على سبيل المثال،

{\displaystyle \arcsin z=z+\left({\frac {1 {2 \right){\frac {z^{3 {3 +\left({\frac {1\cdot 3 {2\cdot 4 \right){\frac {z^{5 {5 +\left({\frac {1\cdot 3\cdot 5 {2\cdot 4\cdot 6 \right){\frac {z^{7 {7 +\cdots \,.

يمكن أيضًا التعبير عنها بدلالة اللوغاريتمات العقدية. طالع دوال مثلثية عكسية لمزيد من التفاصيل.

الدوال الزائدية

صورة متحركة للدوال المثلثية (الدائرية) والدوال الزائدية. باللون الأحمر، منحنى معادلته x² + y² = 1 (دائرة الوحدة)، وبالأزرق x² - y² = 1 (البتر الزائد)، مع النقاط (cos(θ),sin(θ)) و(1,tan(θ)) باللون الأحمر و(cosh(θ),sinh(θ)) و(1,tanh(θ)) باللون الأزرق.

الدوال الزائدية هي تلك الدوال التي تشبه الدوال المثلثية لكنها فهم بواسطة البتر الزائد بدلاً من الدائرة: تمامًا كما تشكل النقاط $(cos t, sin t)$ دائرة ذات نصف قطر يساوي الواحد، تشكل النقاط $(cosh t, sinh t)$ النصف الأيمن للبتر الزائد.

الدوال الزائدية هي:


الدالة	الترميز	التعريف	تعبير بدلالة الدوال المثلثية
الجيب الزائدي	${\displaystyle \sinh x$	${\displaystyle {\frac {e^{x -e^{-x {2$	${\displaystyle -i\sin ix$
جيب التمام الزائدي	${\displaystyle \cosh x$	${\displaystyle {\frac {e^{x +e^{-x {2$	${\displaystyle \cos ix$
الظل الزائدي	${\displaystyle \tanh x$	${\displaystyle {\frac {\sinh x {\cosh x ={\frac {e^{x -e^{-x {e^{x +e^{-x$	${\displaystyle -i\tan ix$
ظل التمام الزائدي	${\displaystyle \coth x$	${\displaystyle {\frac {\cosh x {\sinh x ={\frac {e^{x +e^{-x {e^{x -e^{-x$	${\displaystyle i\cot ix$
القاطع الزائدي	${\displaystyle \operatorname {sech x$	${\displaystyle {\frac {1 {\cosh x ={\frac {2 {e^{x +e^{-x$	${\displaystyle \sec {ix$
قاطع التمام الزائدي	${\displaystyle \operatorname {csch x$	${\displaystyle {\frac {1 {\sinh x ={\frac {2 {e^{x -e^{-x$	${\displaystyle i\csc ix$

يعتمد كلا النوعين على عُمدة (Argument)، إما زاوية دائرية أوزاوية زائدية.

بما حتى مساحة القطاع الدائري الذي نصف قطره $r$ وزاويته $u$ هي ${\displaystyle {\frac {1 {2 r^{2 u$ ، فسوف تكون مساوية لـ u عندما تكون $r = \sqrt2$ . في الرسم البياني، تكون الدائرة مماسية على البتر الزائد الذي معادلته $xy = 1$ عند النقطة (1,1). يمثل القطاع البرتنطقي مساحة ومقدار الزاوية الدائرية. وبالمثل، تمثل القطاعان الأصفر والأحمر معًا مساحة ومقدار الزاوية الزائدية.

سيقان المثلثين القائمين اللذين وتراهما هما تعبير عن شعاع محدد للزوايا يبلغ طولهما 2√ مرة الدوال الدائرية والزائدية.

في حالة البتر الزائد الذي معادلته $x 2 - y 2 =1$ ، مقدار الزاوية الزائدية هوضعف المساحة الزرقاء المحددة بالشعاع ومحور السينات والبتر الزائد (انظر الصورة (8))، تماما كماقد يكون مقدار الزاوية الدائرية هوضعف المساحة الزرقاء للدائرة التي معادلتها $x 2 + y 2 =1$ (انظر الصورة (9)).

في المتطابقات الزائدية، هناك تشابه كبير بينها وبين المتطابقات المثلثية، بعض الأمثلة على ذلك:

{\displaystyle \sinh(x+y)=\sinh x\cosh y+\cosh x\sinh y

{\displaystyle \cosh ^{2 x-\sinh ^{2 x=1

{\displaystyle \cosh 2x=\cosh ^{2 x+\sinh ^{2 x

{\displaystyle e^{x =\cosh x+\sinh x

(7) الدائرة والبتر الزائد متلامسان عند النقطة (1,1) تعرضان هندسة الدوال الدائرية بدلالة مقدار الزاوية u، والدوال الزائدية اعتمادًا على مقدار الزاوية u.
(8)
(9)

علاقة الدوال المثلثية بالدوال الخاصة

يمكن كتابة بعض الدوال الخاصة بدلالة مجموعة من الدوال بما في ذلك الدوال المثلثية.

دالة بيسل من الرتبة 1/2: دالة بيسل التي هي تعبير عن متسلسلة القوى، هي حل للمعادلة التفاضلية من الدرجة الثانية التالية:

{\displaystyle x^{2 y''+xy'+(x^{2 -a^{2 )y=0

حيث يمثل $a$ الرتبة. يمكن كتابة أحد الحالات الخاصة لدالة بيسل ( $a = 1/2$ ) كدوال مثلثية على النحوالتالي:

{\displaystyle J_{1/2 ={\sqrt {\frac {2 {\pi x \sin x

{\displaystyle J_{-1/2 ={\sqrt {\frac {2 {\pi x \cos x

متعدد الحدود لشيبيشيف: هوالحل للمعادلة التفاضلية من الدرجة الثانية التالية:

{\displaystyle (1-x^{2 )y''-xy'+n^{2 y=0

حيث تمثل n رتبتها.

يمكن كتابة متعدد الحدود لتشيبيشيف من الرتبة n بدلالة الدوال المثلثية:

{\displaystyle T_{n =\cos(n\arccos x)

تطبيقات

حساب المتجهات

في الرياضيات والفيزياء، تُستخدم المتجهات (التي لها مقدار واتجاه) لتمثيل كمية متجهة وبالاخص في الفيزياء مثل تمثيل القوة والسرعة. تستخدم بعض حسابات المتجهات دوال مثلثية. على سبيل المثال، يمكن حساب الجداء القياسي لمتجهين x وy بواسطة قانون جيب التمام:

{\displaystyle {\vec {x \cdot {\vec {y =\cos \left(\angle ({\vec {x ,{\vec {y )\right)\ \cdot \parallel \!\!{\vec {x \!\!\parallel \cdot \parallel \!\!{\vec {y \parallel

يمكن أيضًا استخدام المعادلة التالية لحساب مقدار الضرب المتجهي:

{\displaystyle \parallel {\vec {x \times {\vec {y \!\!\parallel =\det({\vec {x ,{\vec {y )=\sin \left(\angle ({\vec {x ,{\vec {y )\right)\ \cdot \parallel \!\!{\vec {x \!\!\parallel \cdot \parallel \!\!{\vec {y \parallel

حيث ${\displaystyle {\vec {x$

الإحداثيات القطبية، والأسطوانية والكروية

تمثيل نقطتين في نظام الإحداثيات القطبية

الدوال المثلثية هي الأساس لتحديد نظام الإحداثيات القطبية الذيقد يكون فعالا في تبسيط الكثير من المشكلات الرياضية والفيزيائية، بما في ذلك بعض التكاملات. في نظام الإحداثيات هذا، بدلاً من إحداثيات x وy لنقطة (المستخدمة في نظام الإحداثيات الديكارتية)، بُعدها عن المركز والزاوية المحصورة بين الخط الذي يربطها بالمركز والخط الأفقي (r , θ) فهي تعتبر إحداثيات النقطة. تحويل الإحداثيات الديكارتية إلى الإحداثيات القطبية والعكس بالعكس باستخدام الدوال المثلثية:

{\displaystyle x=r\cos \theta ,y=r\sin \theta

تتشكل أيضًا أنظمة الإحداثيات الأسطوانية والكروية، التي تعد إحداثيات قطبية معممة على ثلاثية الأبعاد، على أساس الدوال المثلثية. تُستخدم هذه الأنظمة في مشكلات مثل تكاملات ثلاثية الأبعاد لها تناظر أسطواني أوكروي.

المساحات

مثلث: هناك قانون يعبر عن مساحة المثلث بدلالة أضلاعه $a$ و $b$ والزاوية المحصورة بينهم θ دون الحاجة إلى فهم ارتفاعه:

{\displaystyle S={1 \over 2 ab\sin \theta

متوازي أضلاع: يمكن ايجاد مساحته من خلال فهم أطوال أضلاعه $a$ و $b$ وإحدى زواياه θ دون الحاجة إلى فهم ارتفاعه بتطبيق هذا القانون:

{\displaystyle S=ab\sin \theta

مضلع منتظم: يمكن ايجاد مساحته من خلال تلك الصيغ:

{\displaystyle {\frac {1 {4 nl^{2 \cdot \cot(\pi /n)\ =\ {\frac {1 {4n p^{2 \cdot \cot(\pi /n)

حيث

n

هوعدد أضلاعه، و

l

هوطول إحدى أضلاعه، و

p

هومحيط المضلع.

إذا كان المضلع محاط بدائرة نصف قطرها R ومحيط بدائرة نصف قطرها

r

(يطلق عليه أيضًا "عامد المضلع"):

{\displaystyle {\frac {1 {2 nR^{2 \cdot \sin(2\pi /n)\ =\ nr^{2 \tan(\pi /n)

المحيطات

مضلع منتظم: يمكن إيجاد محيطه بدلالة عدد أضلاعه $n$ والمسافة بين مركز المضلع وأحد رؤوسه $b$ ودالة الجيب:

{\displaystyle 2nb\sin \left({\frac {\pi {n \right)

بتر ناقص: يمكن إيجاد محيطه باستخدام إحدى الدوال المثلثية:

{\displaystyle C\,=\,4a\int _{0 ^{\pi /2 {\sqrt {1-e^{2 \sin ^{2 \theta \ d\theta \,=\,4a\,E(e)

حيث

a

هونصف محوره الكبير، و:

{\displaystyle e={\sqrt {1-b^{2 /a^{2

{\displaystyle E(e)\,=\,\int _{0 ^{\pi /2 {\sqrt {1-e^{2 \sin ^{2 \theta \ d\theta .

الحجوم

متوازي السطوح: يمكن تعبير عن حجمه بدلالة جيب التمام:

{\displaystyle V=abc{\sqrt {1+2\cos(\alpha )\cos(\beta )\cos(\gamma )-\cos ^{2 (\alpha )-\cos ^{2 (\beta )-\cos ^{2 (\gamma )

حيث ${\displaystyle \ \alpha =\angle ({\vec {b ,{\vec {c ),\;\beta =\angle ({\vec {a ,{\vec {c ),\;\gamma =\angle ({\vec {a ,{\vec {b )$

العلاقة بدالة الأس وبالأعداد المركبة

تمثيل عدد مركب على المستوي المركب

يمكن كتابة أي عدد مركب على الشكل المثلثي:

{\displaystyle i^{2 =-1

يطلق على العلاقة بين الدالة الأسية والدوال المثلثية اسم صيغة أويلر:

{\displaystyle e^{i\theta =\cos \theta +i\sin \theta

إثبات: نعتبر متسلسلة تايلور للدالة الأسية:

{\displaystyle e^{x =\sum _{n=0 ^{\infty {\frac {x^{n {n! =1+x+{\frac {x^{2 {2! +{\frac {x^{3 {3! +{\frac {x^{4 {4! +{\frac {x^{5 {5! +\cdots

بوضع: ${\displaystyle x=i\theta$ ، تصبح المتسلسلة:

{\displaystyle e^{i\theta =1+i\theta -{\frac {\theta ^{2 {2! -{\frac {i\theta ^{3 {3! +{\frac {\theta ^{4 {4! +{\frac {i\theta ^{5 {5! -\cdots

{\displaystyle e^{i\theta =\left(1-{\frac {\theta ^{2 {2! +{\frac {\theta ^{4 {4! -\cdots \right)+i\left(\theta -{\frac {\theta ^{3 {3! +{\frac {\theta ^{5 {5! -\cdots \right)

من متسلسلات تايلور لكل من الجيب وجيب التمام، نستنتج أن:

{\displaystyle e^{i\theta =\cos \theta +i\sin \theta

لدينا:

${\displaystyle {\begin{aligned e^{i\theta &=\cos \theta +i\sin \theta \\[5pt]e^{-i\theta &=\cos \theta -i\sin \theta .\end{aligned$

قد تستعمل صيغة أويلر للحصول على بعض المتطابقات المثلثية، وذلك بكتابة دالتي الجيب والجيب التمام كما يلي:

{\displaystyle \sin \theta ={\frac {e^{i\theta -e^{-i\theta {2i \;

{\displaystyle \cos \theta ={\frac {e^{i\theta +e^{-i\theta {2 \;

يمكن ملاحظة حتى جيب التمام يمكن اعتباره الجزء الحقيقي والجيب هوالجزء التخيلي للدالة الأسية العقدية. رياضيا:

{\displaystyle \cos \theta =\operatorname {Re (e^{i\theta )

{\displaystyle \sin \theta =\operatorname {Im (e^{i\theta )

يعهد الشكل المعمم لصيغة أويلر بصيغة دي موافر:

{\displaystyle e^{in\theta =(\cos \theta +i\sin \theta )^{n =\cos(n\theta )+i\sin(n\theta )

أيضًا، باستخدام تعريف بواسطة متسلسلة ماكلورين للدوال الزائدية والمثلثية، يمكن الحصول على العلاقات بين تلك الدوال:

{\displaystyle \sin z=\sum _{n=0 ^{\infty {\frac {(-1)^{n {(2n+1)! z^{2n+1 ={\frac {e^{iz -e^{-iz {2i ={\frac {\sinh \left(iz\right) {i

{\displaystyle \cos z=\sum _{n=0 ^{\infty {\frac {(-1)^{n {(2n)! z^{2n ={\frac {e^{iz +e^{-iz {2 =\cosh \left(iz\right)

فهم الفلك

استخدمت حساب المثلثات الكروية لعدة قرون لتحديد مسقط الشمس والاقمار والنجوم، والتنبؤ بالكسوف والخسوف، ووصف مدارات الكواكب.

في العصر الحديث، تستخدم تقنية التثليث في فهم الفلك لقياس مسافة النجوم القريبة، وكذلك في أنظمة الملاحة عبر الأقمار الصناعية.

الخرائط

تستخدم عملية التثليث في إيجاد إحداثيات والبعد لسفينة بالنسبة للشاطئ وذلك بقياس الزوايا بين نقطتين مرجعيتين

حساب المثلثات هوأساس معظم ممارسات رسم الخرائط والمساحة. قياس زاوية باستخدام الجهاز أوبدون استخدامه، إسقاط الخرائط (تحويل سطح ناقصي إلى سطح مستوي)، وتحديد الارتفاعات، وحساب زاوية الإتجاه ، والمسح الاجتيازي المفتوح والمغلق، وتصميم الأقواس في انشاء الطرقات، جزء من تطبيقات الدوال المثلثية في مسح الأراضي.

على سبيل المثال، في التثليث، وهي إحدى الطرق القديمة للمساحة، نحسب احداثيات نقطة معينة من خلال قياس الزوايا بين نقطتين مرجعيتين، التي تُستخدم حاليًا في القياس البصري ثلاثي الأبعاد . يُستخدَم في التثليث قانون جيب التمام وقانون الجيب لحساب زوايا المثلثات وتحديد المسقط الدقيق لكل نقطة.

في هذه الحالة، تُحسَب المسافة بتطبيق هذا القانون:

{\displaystyle d={\frac {\sin \alpha \,\sin \beta {\sin(\alpha +\beta ) \ell ={\frac {\tan \alpha \,\tan \beta {\tan \alpha +\tan \beta \ell

رسم توضيحي لكيفية حساب ازدياد جبل.

مثال آخر في التثليث، إذا أراد المرء قياس ازدياد h لجبل أومبنى مرتفع، يتم تحديد الزوايا α، وβ من نقطتين أرضيتين إلى الأعلى. لتكن ℓ مسافة بين هذه النقاط، يحسب الارتفاع بتطبيق هذا القانون:

{\displaystyle h={\frac {\sin \alpha \,\sin \beta {\sin(\beta -\alpha ) \ell ={\frac {\tan \alpha \,\tan \beta {\tan \beta -\tan \alpha \ell .

متسلسلة فورييه وتحويل فورييه

دالتا الجيب وجيب التمام مثل كثيرات الحدود المتعامدة ولها استقلالية خطية. ومنهم يمكن كتابة أي دالة (دورية بشكل عام) على أنها العلاقة التالية بدلالة متسلسلة من تلك الدوال، والتي تسمى متسلسلة فورييه:

{\displaystyle f(x)={\frac {a_{0 {2 +\sum _{n=1 ^{\infty (a_{n \cos nx+b_{n \sin nx)

بالنسبة للدوال الفردية، فقط حدود دالة الجيب، أما الدوال الزوجية، فقط حدود دالة جيب التمام زائد معامل ثابت.

تحويل فورييه هونوع من التحويل التكاملي وهوتعبير عن امتداد لمتسلسلة فورييه. يُعهد هذا التحويل بـ:

{\displaystyle F(\omega )={\frac {1 {\sqrt {2\pi \int \limits _{-\infty ^{\infty f(t)e^{-\mathrm {i \omega t \,dt

تُحوّل الدالة الأسية العقدية إلى دوال مثلثية بواسطة صيغة أويلر. تستخدم تحويل فورييه لحل المعادلات التفاضلية الجزئية مثل معادلة الموجة والتحليل الطيفي ومعالجة الإشارات.

يستخدم تحويل فورييه أيضا في ضغط صور من النوع JPEG، حيث يستخدم فيها تحويل جيب التمام المتبتر.

الحركة التذبذبية (الاهتزازية)

صورة متحركة لموجة مربعية مع عدد متزايد من التوافقيات

الدوال المثلثية مهمة أيضا في الفيزياء. على سبيل المثال، يتم استخدام الجيب وجيب التمام لوصف الحركة التوافقية البسيطة، التي تنمذج الكثير من الظواهر الطبيعية، مثل حركة كتلة متصلة بنابض، وبالنسبة للزوايا الصغيرة، الحركة الرقاصية لكتلة معلقة بواسطة خيط، وفي الهندسة الكهربائية، دراسة الدارات الكهربائية مثل دارة الرنان التوافقي RLC. دوال الجيب وجيب التمام هي اسقاطات أحادية البعد لحركة دائرية منتظمة.

تثبت الدوال المثلثية أيضًا على أنها مفيدة في دراسة الدوال الدورية العامة. تُعد أنماط الموجات المميزة للدوال الدورية مفيدة لنمذجة الظواهر المتكررة مثل الصوت أوالموجات الضوئية.

بشكل عام، يمكن التعبير عن دالة دورية $f (x)$ كمجموع موجات الجيب أوموجات جيب التمام في متسلسلات فورييه مثل موجة مربعية أوموجة سن المنشار.

نرمز للدالة الحاوية للجيب أوجيب التمام بالرمز $φ k$ ، يأخذ مفكوك الدالة الدورية $f (t)$ الشكل:

${\displaystyle f(t)=\sum _{k=1 ^{\infty c_{k \varphi _{k (t)$

حيث $c k$ هومعامل المتسلسلة.

على سبيل المثال، يمكن كتابة الموجة المربعية كمتسلسلة فورييه:

${\displaystyle f_{\text{square (t)={\frac {4 {\pi \sum _{k=1 ^{\infty {\sin {\big ( (2k-1)t{\big ) \over 2k-1 .$

في الرسوم المتحركة لموجة مربعية في أعلى اليسار، يمكن ملاحظة حتى بعض الحدود فقط تنتج تقريبًا جيدًا إلى حد ما.

المعادلات الوسيطية

منحنى ليساجو، كُوّن هذا الشكل باستعمال دوال تعتمد على الدوال المثلثية، حيث

{\displaystyle \omega _{x =5

و

{\displaystyle \omega _{y =4

يمكن تمثيل بعض المنحنيات الخاصة باستخدام المعادلات الوسيطية وبدلالة الدوال المثلثية، بعض الأمثلة على المنحنيات الخاصة هي كما يلي:

الدائرة: تعطى المعادلة الوسيطية للدائرة ذات المركز ${\displaystyle (x_{0 ,y_{0 )$ ونصف القطر ${\displaystyle r$ بواسطة:

{\displaystyle {\begin{cases x=r\,\cos(t)+x_{0 \\y=r\,\sin(t)+y_{0 \end{cases

البتر الناقص: يُمثَّل البتر الناقص ذوالمركز ${\displaystyle (x_{0 ,y_{0 )$ ونصف المحور الكبير ${\displaystyle a$ ونصف المحور الصغير ${\displaystyle b$ كما يلي:

{\displaystyle {\begin{cases x=a\,\cos(t)+x_{0 \\y=b\,\sin(t)+y_{0 \end{cases

منحنى ليساجو: تعطى الشكل الوسيطي لمنحنى ليساجوبواسطة:

{\displaystyle {\begin{cases x=a\,\sin(\omega _{x t+\delta )\\y=b\,\sin(\omega _{y t+\gamma )\end{cases

حيث

{\displaystyle \omega _{x

و

{\displaystyle \omega _{y

هن تعبير عن ثوابت تصف عدد فصوص الشكل.

البتر الزائد، يمكن تمثيل وسيطيًا البتر الزائد الأفقي بواسطة:

{\displaystyle {\begin{cases x=a\sec t+h\\y=b\tan t+k\end{cases

أو

{\displaystyle {\begin{cases x=\pm a\cosh t+h\\y=b\sinh t+k\end{cases

ويمكن تمثيل وسيطيًا البتر الزائد العمودي بواسطة:

{\displaystyle {\begin{cases x=a\tan t+h\\y=b\sec t+k\end{cases

أو

{\displaystyle {\begin{cases x=a\sinh t+h\\y=\pm b\cosh t+k\end{cases

حيث،

{\displaystyle (h,k)

هي مركز البتر الزائد.

بالإضافة إلى تلك المنحنيات، يمكن أيضًا تمثيل عدة منحنيات التي تعتمد على الدوال المثلثية، بما في ذلك المنحنى العجلي التحتي، اللولب، السطوح الوسيطية ،... إلى غير ذلك.

البصريات

انكسار الضوء.

التطبيق الأساسي للدوال المثلثية في فهم البصريات هوقانون سنيل. ينص هذا القانون، الذي ينطبق على ظاهرة انكسار الضوء، على العلاقة بين زوايا السقوط والانكسار:

{\displaystyle {\frac {\sin \theta _{1 {\sin \theta _{2 ={\frac {v_{1 {v_{2 ={\frac {n_{2 {n_{1

حيث:

$θ 1$ : زاوية سقوط الموجة، $θ 2$ : زاوية انكسار الموجة.
$v 1$ : سرعة الضوء في الوسط الأول، $v 2$ : سرعة الضوء في الوسط الثاني.
$n 1$ : معامل الانكسار للوسط الأول، $n 2$ : معامل الانكسار للوسط الثاني

بالإضافة إلى انكسار الضوء، تُستخدم الدوال المثلثية في مجالات أخرى من البصريات، مثل تحليل تداخل الموجات والاستقطاب والحيود.

الملاحة

تاريخيا، استخدمت حساب المثلثات لتحديد احداثيات خطوط الطول والعرض لسفن الإبحار، ورسم المسارات، وحساب المسافات أثناء الملاحة.

لا يزال حساب المثلثات مستخدمًا في الملاحة من خلال وسائل مثل نظام التموضع العالمي (GPS) والذكاء الاصطناعي للمركبات الذاتية.

تُستخدم هذه المعادلة لتحديد المسافة بين نقطتين على الأرض:

{\displaystyle \mathrm {AB =R\arccos \left[\sin \lambda _{\mathrm {A \,\sin \lambda _{\mathrm {B +\cos \lambda _{\mathrm {A \,\cos \lambda _{\mathrm {B \,\cos \left(L_{\mathrm {A -L_{\mathrm {B \right)\right]

حيث:

$λ A$ و $λ B$ هما خطا عرض النقطتين المرغوبة.
$L A$ و $L B$ هما خطا طول النقطتين المرغوبة.
R هونصف قطر الأرض.

يمكن إثبات ذلك من قانون جيب التمام للمثلثات الكروية.

ملاحظة: يجب تحويل الإحداثيات إلى الراديان في الحساب.

الفيزياء الميكانيكية

في الفيزياء الميكانيكية، تُطبق الدوال المثلثية على معادلات الحركة ثنائية الأبعاد وثلاثية الأبعاد، وحتى في دراسة حركة الأجسام. على سبيل المثال، عند تحليل الاختلافات الدورية في الحركيات والديناميكيات الدورانية، ومعادلات الزخم والزخم الزاوي، وظواهر التصادم، نستخدم فيها دوال مثلثية.

قذف جسم من مبدأ المَعْلم

من أكثر التطبيقات المعروفة للدوال المثلثية في الميكانيكا هي دراسة ظاهرة حركة جسم مقذوف بزاوية $α$ ، وتخط المعادلة الوسيطية لمسارها بدلالة الزمن $t$ على النحوالتالي:

{\displaystyle x(t)=v_{0 .t\cos \alpha

{\displaystyle y(t)=-{\frac {1 {2 gt^{2 +v_{0 .t\sin \alpha

حيث $x$ و $y$ هي إحداثيات موضع الجسم عند $t$ ثانية بعد السرعة الإبتدائية $v 0$ ، و $g$ هوتسارع الجاذبية.

أيضا، يتم الحصول على سرعة الجسمين ${\displaystyle v_{1$

{\displaystyle \to m_{1 v_{1 +0=m_{1 v'_{1 \cos \theta +m_{2 v'_{2 \cos \varphi

ثابت

{\displaystyle P_{x =

: على المحور x

${\displaystyle \to 0+0=m_{1 v'_{1 \sin \theta -m_{2 v'_{2 \sin \varphi$ ثابت ${\displaystyle P_{y =$ : على المحور y

الكهرباء والاتصالات

تمثيل دورة واحدة لنظام ثلاثي الطور من 0° إلى 360° (2π راديان) على طول المحور الزمني. يمثل المنحني اختلاف الجهد اللحظي (أوالتيار) بدلالة الزمن. تتكرر هذه الدورة بتردد يعتمد على نظام القدرة الكهربائية.

تستخدم التيارات المتناوبة في تزويد المنازل والمصانع بالطاقة الكهربائية، ويُعبَّر عنها بشكل موجة جيبية. أحد الأسباب الرئيسية لتفضيل التيار المتردد على التيار المستمر في الصناعة هوإمكانية تحويل مستوى الجهد للتيار المتناوب باستخدام المحولات، وهذا يُقلل من الطاقة الضائعة عند النقل لمسافات طويلة ويجعلها ذات كسب عالٍ، بالإضافة لإمكانية عدم استعمال المبدلات في المولدات.

تولد محطات الكهرباء تيارات ثلاثية الطور في الغالب (انظر الصورة). يمكن وصف تغير التيار المتناوب بتلك المعادلات: ${\displaystyle v=V_{m \sin(\omega t+\theta _{v )$

انظر أيضا

في كومنز صور وملفات عن: دوال مثلثية

جداول مثلثية
دوال زائدية
قائمة المطابقات المثلثية
صيغة أويلر
الدوال الإبتدائية

هوامش وملاحظات

^ وقد يُشار إليها أيضاً بـ ${\displaystyle {\text{tg$ .
^ تُسمّى أيضاً دائرة مثلثية أودائرة واحدية.
^ حيث k عدد سليم كيفي.
^ أوتلك الرموز: cotan, cotg ctg, ctn
^ أوهذا الرمز: cosec
^ تم تدوين الشكل الانجليزي لأول مرة عام 1593 في الكتاب Horologiographia الخاص بـ Thomas Fale.
^
هناك مصادر مختلفة أنسبت الاستخدام الاول للمصطلح "sinus" إلى:
- إما ترجمة أفلاطون تيبورتينوس في عام 1116 لأعمال البتاني الخاصة بفهم الفلك.
- أوترجمة جيراردوالكريموني لجبر الخوارزمي
- أوترجمة روبرت أوف تشستر سنة 1145 لجداول الخوارزمي
- طالع:‏
  ‏Merlet, in Ceccarelli (ed.), International Symposium on History of Machines and Mechanisms, Springer, 2004
- أو‏
  ‏Maor (1998), chapter 3, for an earlier etymology crediting Gerard.
- أو‏
  ‏Katx, Victor (July 2008). A history of mathematics (باللغة الإنجليزية) (الطبعة 3). Boston: Pearson. صفحة 210 (sidebar). ISBN .
^ كانت العلاقة المثلثية لدالة الظل معروفة عند الهنود، ولكن لم يعتبروها كميةً مثلثيةً مستقلة كدالة الجيب.
↑ الشريط الأفقي فوق الرقم يعني حتى هذا الرقم يتكرر إلى ما لا نهاية.
^ المثلث القائم أوالمثلث قائم الزاوية هومثلثٌ إحدى زواياه قائمة، أي حتى ضلعيه يشكلان زاوية قياسها ${\displaystyle 90^{\circ$ .
↑ يسمى أيضًا محور الفواصل أومحور الأفاصيل
^ عكس اتجاه عقارب الساعة لأجلِ زاويةٍ موجبةٍ ${\displaystyle \theta >0$ ، وفي اتجاه عقارب الساعة من أجل زاويةٍ سالبةٍ ${\displaystyle \theta <0$ .
^ يُسمّى أيضاً الفاصلة أوالأفصول.
^ يُسمّى أيضاً الترتيبة أوالأرتوب.
^ يسمى أيضًا محور العينات (في سوريا) أومحور التراتيب أومحور الأراتيب
^ نصف قطر التقارب لمتسلسلة قوى هونصف قطر أكبر قرص تتقارب فيه المتسلسلة. وهوإما عدد حقيقي غير سالب أو∞.
^ المعادلة الدالية هي أي معادلة التي متغيرها هي تعبير عن دالة.
^ تكون الدوال متعامدة إذا كان جدائهما الداخلي يساوي الصفر.
^ حيث: a هوثابت حقيقي. s هوعدد مركب.
^
حيث:
- ${\displaystyle \omega$
- ${\displaystyle \delta (\cdot )$
${\displaystyle i$ -1.
↑ أطوال الأضلاع تساوي عدديًا قياس الزوايا التي تقابل أقواس الدائرة العظمى في المركز بالراديان. لذلك، بالنسبة لكرة ذات نصف قطر R لا يساوي الواحد، يجب قسمة أطوال الأضلاع على R قبل استخدام المتطابقة.
^ i هي وحدة تخيلية مربعها يساوي -1
^ تسمى أيضًا "أشعة" مفردها "شعاع".
^ وتسمى أيضا "جداء سلمي".
^ تسمى أيضا "ضرب اتجاهي" أو"جداء شعاعي"
^ عامد هوبترة مستقيمة التي تربط مركز المضلع المنتظم بمنتصف أحد أضلاعه
^ المسح الاجتيازي هوطريقة لمسح منطقة مفتوحة أومغلقة باستخدام قياس الزوايا والمسافات.
^
حيث:
- ${\displaystyle i$
- ${\displaystyle v$
- ${\displaystyle V_{m$
- ${\displaystyle \omega$
- ${\displaystyle \theta$

مراجع

فهرس المراجع

↑ د فرانك; موير, د روبرت (2004-03-01). . international house for cultural investments. ISBN . مؤرشف من الأصل في 21 فبراير 2020.
^ محمد مفيد (2013-01-01). . مركز الكتاب الأكاديمي. ISBN . مؤرشف من الأصل في 21 فبراير 2020.
↑ ميشال إبراهيم ورامي أبوسليمان وفادي (2007-01-01). . دار الخط الفهمية. ISBN . مؤرشف من الأصل في 21 فبراير 2020.
^ Katx, Victor (July 2008). A history of mathematics (باللغة الإنجليزية) (الطبعة 3). Boston: Pearson. صفحة 210 (sidebar). ISBN .
↑ "Clark University". مؤرشف من الأصل في 18 ديسمبر 2017.
^ in Ceccarelli (ed.), International Symposium on History of Machines and Mechanisms, Springer, 2004 See Maor (1998), chapter 3, for an earlier etymology crediting Gerard. See Katx, Victor (July 2008). A history of mathematics (باللغة الإنجليزية) (الطبعة 3). Boston: Pearson. صفحة 210 (sidebar). ISBN . نسخة محفوظةعشرة يونيو2018 على مسقط واي باك مشين.
↑ كرلو(199?). . ktab INC. مؤرشف من الأصل في 12 أبريل 2020.
^ "5 معلومات مهمة عن المثلث وزوايا المثلث". إيد أرابيا. 2018-10-15. مؤرشف من الأصل في 22 ديسمبر 2019. اطلع عليه بتاريخ 12 أبريل 2020.
^ Max; Association, Research and Education (1984-01-01). (باللغة الإنجليزية). Research & Education Assoc. ISBN . مؤرشف من الأصل في 13 أبريل 2020.
^ Anthony (2007). (باللغة الإنجليزية). Pass Publications. ISBN . مؤرشف من الأصل في 13 أبريل 2020.
^ (باللغة الإنجليزية). American Society of Mechanical Engineers. 1969. مؤرشف من الأصل في 13 أبريل 2020.
↑ "Table of Domain and Range of Common Functions". www.analyzemath.com. مؤرشف من الأصل فيثمانية فبراير 2019. اطلع عليه بتاريخعشرة أبريل 2020.
↑ Kim (2008-12-29). (باللغة الإنجليزية). Princeton University Press. ISBN . مؤرشف من الأصل في 04 مارس 2020.
^ القانون المسعودي. 1. صفحة 275.
↑ Oxford English Dictionary
^ Régis (1996). (باللغة الإنجليزية). Psychology Press. ISBN . مؤرشف من الأصل في 04 مارس 2020.
^ Gunter, Edmund (1620). Canon triangulorum.
^ B.B. Datta and A.N. Singh (1983). "Hindu Trigonometry" (PDF). Indian Journal of History of Science. 18 (1): 39–108. مؤرشف من الأصل (PDF) في 05 فبراير 2017. اطلع عليه بتاريخ 01 مارس 2010.
^ Team, Almaany. "تعريف وشرح ومعنى تمام بالعربي في معاجم اللغة العربية معجم المعاني الجامع، المعجم الوسيط ،اللغة العربية المعاصرة ،الرائد ،لسان العرب ،القاموس المحيط - معجم عربي عربي صفحة 1". www.almaany.com (باللغة الإنجليزية). مؤرشف من الأصل في 22 أغسطس 2016. اطلع عليه بتاريخعشرة أبريل 2020.
^ Tobias (2012-10-02). (باللغة الإنجليزية). Courier Corporation. ISBN . مؤرشف من الأصل في 15 أبريل 2020.
↑ Boyer, Carl B. (1991). A History of Mathematics (Second ed.). John Wiley & Sons, Inc. (ردمك 0-471-54397-7).
^ Toomer, G. (1998), Ptolemy's Almagest, Princeton University Press, ISBN CS1 maint: ref=harv (link)
^ . مؤرشف من الأصل في 12 أكتوبر 2016.
^ O'Connor; Robertson. "Madhava of Sangamagrama". School of Mathematics and Statistics University of St Andrews, Scotland. مؤرشف من الأصل في 14 مايو2006. اطلع عليه بتاريخ 08 سبتمبر 2007.
^ Gingerich, Owen (1986). "Islamic Astronomy". ساينتفك أمريكان. المجلد. 254. صفحة 74. مؤرشف من الأصل في 19 أكتوبر 2013. اطلع عليه بتاريخ 13 يوليو2010.
^ "History of Trigonometry - Part 3". nrich.maths.org. مؤرشف من الأصل في 20 فبراير 2020. اطلع عليه بتاريخ 05 أبريل 2020.
↑ Jacques Sesiano, "Islamic mathematics", p. 157, in Selin, Helaine; D'Ambrosio, Ubiratan, المحررون (2000). Mathematics Across Cultures: The History of Non-western Mathematics. Springer. ISBN .
↑ "trigonometry". Encyclopedia Britannica. مؤرشف من الأصل في 12 مايو2015.
^ المفهم الجديد. المجلد 30.
^ Ravi P.; Sen, Syamal K. (2014-11-11). (باللغة الإنجليزية). Springer. ISBN . مؤرشف من الأصل في 18 مايو2020.
^ مصطفى (2005-01-01). . Al Manhal. ISBN . مؤرشف من الأصل في 12 أبريل 2020.
↑ Dirk Jan (1967). (باللغة الإنجليزية). Courier Corporation. ISBN . مؤرشف من الأصل في 03 مارس 2020.
^ Donald Routledge Hill (1996), "Engineering", in Roshdi Rashed, Encyclopedia of the History of Arabic Science, Vol. 3, p. 751–795 [769].
^ O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F., "Abu Arrayhan Muhammad ibn Ahmad al-Biruni", MacTutor History of Mathematics archive CS1 maint: ref=harv (link)
^ نوال حسن; الخليج, دار (2017-01-01). . دار الخليج للنشر والتوزيع / daralkhalij for Publishing and Distribution. ISBN . مؤرشف من الأصل في 12 أبريل 2020.
^ Clifford A. (2009). (باللغة الإنجليزية). Sterling Publishing Company, Inc. ISBN . مؤرشف من الأصل في 15 مايو2020.
^ Marlow Anderson, Victor J. Katz, Robin J. Wilson (2004), Sherlock Holmes in Babylon and Other Tales of Mathematical History, جمعية الرياضيات الأمريكية, صفحة 139, ISBN CS1 maint: ref=harv (link)
^ George Gheverghese (2011). The Crest of the Peacock: Non-European Roots of Mathematics (Third Edition) (باللغة الإنجليزية). Princeton University Press. ISBN .
^ Katz 2007، p. 308
^ O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F., "دوال مثلثية", MacTutor History of Mathematics archive CS1 maint: ref=harv (link)
^ Carl B. (2012-10-09). (باللغة الإنجليزية). Courier Corporation. ISBN . مؤرشف من الأصل في 12 أبريل 2020.
^ "Fincke biography". مؤرشف من الأصل في 07 يناير 2017. اطلع عليه بتاريخ 15 مارس 2017.
^ Bourbaki, Nicolás (1994). . Springer. مؤرشف من الأصل في 16 فبراير 2020.
^ أبوالريحان البيروني. القانون المسعودي. 1. صفحة 321.
^ Nielsen (1966, pp. xxiii–xxiv)
^ Glen Van (2020-01-23). (باللغة الإنجليزية). Oxford University Press. ISBN . مؤرشف من الأصل في 12 أبريل 2020.
↑ George Brinton; Weir, Maurice D.; Hass, Joel (2010). (باللغة الإنجليزية). Pearson. ISBN . مؤرشف من الأصل في 19 فبراير 2020.
↑ Richard A. (2014-04-15). (باللغة الإنجليزية). Courier Corporation. ISBN . مؤرشف من الأصل في 25 فبراير 2020.
^ Lindeburg, Michael R. (2012). Civil Engineering Reference Manual for the PE Exam. Professional Publications, Inc. صفحة 78-7. ISBN .
^ Benjamin (1861). Elements of Plane and Spherical Trigonometry: With Practical Applications (باللغة الإنجليزية). R. S. Davis.
↑ Tim (2019-05-23). (باللغة الإنجليزية). Questing Vole Press. مؤرشف من الأصل في 28 فبراير 2020.
^ Geoffrey C.; Rockett, Andrew M. (2015-01-01). (باللغة الإنجليزية). Cengage Learning. ISBN . مؤرشف من الأصل في 24 فبراير 2020.
↑ Protter & Morrey (1970, pp. APP-2,APP-3)
^ Heng, Cheng and Talbert, "Additional Mathematics" نسخة محفوظة 2015-03-20 على مسقط واي باك مشين., page 228
↑ Coxford, Arthur. Trigonometry.
^ Bityutskov, V.I. (2011-02-07). "Trigonometric Functions". Encyclopedia of Mathematics (باللغة الإنجليزية). مؤرشف من الأصل في 29 ديسمبر 2017. اطلع عليه بتاريخ 29 ديسمبر 2017.
^ Weisstein, Eric W. "Circular Functions". mathworld.wolfram.com (باللغة الإنجليزية). مؤرشف من الأصل في ثلاثة أبريل 2017. اطلع عليه بتاريخ 01 مارس 2020.
^ د فرانك; موير, د روبرت (2004-03-01). . international house for cultural investments. ISBN . مؤرشف من الأصل في 25 فبراير 2020.
↑ Larson, Ron (2013). (الطبعة 9th). Cengage Learning. صفحة 153. ISBN . مؤرشف من الأصل في 15 فبراير 2018. Extract of page 153 نسخة محفوظة 2018-02-15 على مسقط واي باك مشين.
^ يتم الحصول على قيم دقيقة للدوال باستخدام متطابقات مجموع أوفرق زاويتين، على سبيل المثال: $cos(15°)=cos(60° - 45°)$
↑ Weisstein, Eric W. "Trigonometry Angles--Pi/9". mathworld.wolfram.com (باللغة الإنجليزية). مؤرشف من الأصل في 30 ديسمبر 2019. اطلع عليه بتاريخ 04 أبريل 2020.
^ M. Ram; Rath, Purusottam (2014-06-24). (باللغة الإنجليزية). Springer. ISBN . مؤرشف من الأصل في 12 أبريل 2020.
^ Abramowitz, Milton and Irene A. Stegun, p.74
^ Milton; Stegun, Irene A. (1965-01-01). (باللغة الإنجليزية). Courier Corporation. ISBN . مؤرشف من الأصل في 25 فبراير 2020.
↑ "«FORMULAS FOR nth ORDER DERIVATIVES OF HYPERBOLIC. AND TRIGONOMETRIC FUNCTIONS»" (PDF). NASA. مؤرشف من الأصل (PDF) في 12 مارس 2017.
^ Timothy; Barrow-Green, June; Leader, Imre (2010-07-18). (باللغة الإنجليزية). Princeton University Press. ISBN . مؤرشف من الأصل في 19 فبراير 2020.
^ Trigonometric functions. V.I. Bityutskov (originator), Encyclopedia of Mathematics. نسخة محفوظة 19 فبراير 2020 على مسقط واي باك مشين.
↑ "Sine: Introduction to the trigonometric functions (subsection Trigonometrics/05)". functions.wolfram.com. مؤرشف من الأصل في 2 مايو2016. اطلع عليه بتاريخ 14 أبريل 2020.
↑ William E. Boyce, Richard C. DiPrima, Douglas B. Meade. Elementary Differential Equations and Boundary Value Problems (باللغة الإنجليزية). صيانة CS1: أسماء متعددة: قائمة المؤلفون (link)
^ Thomas & Finney 1996، §8.9
^ Thomas & Finney 1996, §8.9.
^ Ahlfors, pages 43–44.
^ Michael T. (2007-06-18). (باللغة الإنجليزية). John Wiley & Sons. ISBN . مؤرشف من الأصل في 12 أبريل 2020.
^ Abramowitz; Weisstein.
^ Weisstein, Eric W. "Pole". mathworld.wolfram.com (باللغة الإنجليزية). مؤرشف من الأصل في 18 مارس 2020. اطلع عليه بتاريخ 09 أبريل 2020.
^ Stanley, Enumerative Combinatorics, Vol I., page 149
^ Green, Robin. "Faster Math Functions" (PDF). صفحة 6–7. مؤرشف من الأصل (PDF) في 23 مارس 2020.
^ Aigner, Martin; Ziegler, Günter M. (2000). (الطبعة Second). سبرنجر. صفحة 149. ISBN . مؤرشف من الأصل في 08 مارس 2014.
^ Remmert, Reinhold (1991). . Springer. صفحة 327. ISBN . مؤرشف من الأصل في 20 مارس 2015. Extract of page 327 نسخة محفوظة 2015-03-20 على مسقط واي باك مشين.
^ Omar (2016-02-09). (باللغة الإنجليزية). Springer. ISBN . مؤرشف من الأصل في 12 أبريل 2020.
↑ Luis Manuel Braga da Costa (2012-04-04). (باللغة الإنجليزية). CRC Press. ISBN . مؤرشف من الأصل في 03 مارس 2020.
^ Kannappan, Palaniappan (2009). Functional Equations and Inequalities with Applications. Springer. ISBN .
^ John H.; Howell, Russell W. (2006). (باللغة الإنجليزية). Jones & Bartlett Learning. ISBN . مؤرشف من الأصل في 22 مارس 2016.
^ Gandhi, Viswanathan (07-10-2014). "Domain coloring for visualizing complex functions". مؤرشف من الأصل في 12 أبريل 2020.
^ The Princeton Companion to Mathematics. صفحة 307 - 308.
^ Olver, NIST Handbook of Mathematical Functions. صفحة 122.
^ Elementary Differential Equations and Boundary Value Problems. صفحة 376.
^ David W. (2008-01-17). (باللغة الإنجليزية). Cambridge University Press. ISBN . مؤرشف من الأصل في 12 مارس 2020.
^ Marcus (2010-01-07). (باللغة الإنجليزية). Cambridge University Press. ISBN . مؤرشف من الأصل في 13 أبريل 2020.
^ "More Approximations to Trigonometric Functions" (PDF). مؤرشف من الأصل (PDF) في 23 مارس 2020.
^ Kantabutra, Vitit (1996). "On hardware for computing exponential and trigonometric functions" – عبر IEEE Transactions on Computers.
^ Jurgen; Platzner, Marco (2004-08-19). (باللغة الإنجليزية). Springer Science & Business Media. ISBN . مؤرشف من الأصل في 12 أبريل 2020.
^ "التنفیذ المادي باستخدام FPGA لخوارزمیتي كوردك وجدول المقارنة لحساب الدوال الریاضیة الأولیة". المجلات الأكاديمية الفهمية العراقية. مؤرشف من الأصل في 12 أبريل 2020.
^ P, BrentRichard (1976-04-01). "Fast Multiple-Precision Evaluation of Elementary Functions". Journal of the ACM (JACM) (باللغة الإنجليزية). doi:10.1145/321941.321944. مؤرشف من الأصل في 12 أبريل 2020.
^ "Weierstrass Substitution". Math24 (باللغة الإنجليزية). مؤرشف من الأصل في 27 مارس 2020. اطلع عليه بتاريخ 27 مارس 2020.
^ Selby 1970، pg. 190
^ Abramowitz and Stegun. Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables. صفحة 72.
^ Clifford A. (2009). (باللغة الإنجليزية). Sterling Publishing Company, Inc. ISBN . مؤرشف من الأصل في 30 مارس 2017.
^ Romuald Ireneus 'Scibor-Marchocki, Spherical trigonometry, Elementary-Geometry Trigonometry web page (1997). نسخة محفوظة 21 أبريل 2020 على مسقط واي باك مشين.
^ W. Gellert, S. Gottwald, M. Hellwich, H. Kästner, and H. Küstner, The VNR Concise Encyclopedia of Mathematics, 2nd ed., ch. 12 (Van Nostrand Reinhold: New York, 1989).
^ Todhunter, I. (1886). (الطبعة 5th). MacMillan. مؤرشف من الأصل في 14 أبريل 2020.
↑ The Universal Encyclopaedia of Mathematics, Pan Reference Books, 1976, page 529-530. English version George Allen and Unwin, 1964. Translated from the German version Meyers Rechenduden, 1960.
^ Daniel Zwillinger, CRC Standard Mathematical Tables and Formulae, 32nd Edition, CRC Press, 2011, page 219.
^ Modern calculus with analytic geometry, Volume 1. صفحة 105-106.
^ Calculus and Analytic Geometry. صفحة 138.
^ Olver, NIST Handbook of Mathematical Functions. صفحة 116.
^ Ernest William (1891). (باللغة الإنجليزية). University Press. مؤرشف من الأصل في 12 أبريل 2020.
^ Michael Sullivan, Trigonometry, Dellen Publishing Company, 1988, page 243.
^ W. A. Beyer, J. D. Louck, and D. Zeilberger, A Generalization of a Curiosity that Feynman Remembered All His Life, Math. Mag. 69, 43–44, 1996.
↑ Arthur Graham; Frink, Fred Goodrich ([c1909]). . New York : Henry Holt. مؤرشف من الأصل في 13 أبريل 2020.
^ Weisstein, Eric W. "Inverse Trigonometric Functions". mathworld.wolfram.com (باللغة الإنجليزية). مؤرشف من الأصل في 13 أبريل 2020. اطلع عليه بتاريخ 13 أبريل 2020.
↑ V. G.; Argunov, B. I.; Skornyakov, L. A.; Boltyanskii, V. G. (2013-11-07). (باللغة الإنجليزية). Courier Corporation. ISBN . مؤرشف من الأصل في 12 أبريل 2020.
↑ "Hyperbolic functions" (PDF). Mathcentre.تسعة يناير 2006. مؤرشف من الأصل (PDF) فيتسعة سبتمبر 2019.
^ Árpád (2010-05-25). (باللغة الإنجليزية). Springer Science & Business Media. ISBN . مؤرشف من الأصل في 14 مارس 2020.
^ United States National Bureau of (1952). (باللغة الإنجليزية). U.S. Government Printing Office. مؤرشف من الأصل في 14 مارس 2020.
^ Robert; Halliday, David; Krane, Kenneth S. (1992-03-16). (باللغة الإنجليزية). Wiley. ISBN . مؤرشف من الأصل في 19 فبراير 2020.
^ "Area Formulas". www.math.com. مؤرشف من الأصل في 15 مايو2020. اطلع عليه بتاريخ 21 مايو2020.
^ "Area of Triangle Using Trigonometry - MathBitsNotebook(Geo - CCSS Math)". mathbitsnotebook.com. مؤرشف من الأصل في 29 أكتوبر 2019. اطلع عليه بتاريخ 21 مايو2020.
^ Aaron (1875). (باللغة الإنجليزية). American Book Company. مؤرشف من الأصل في 22 مايو2020.
^ Max; Association, Research and Education (1984-01-01). (باللغة الإنجليزية). Research & Education Assoc. ISBN . مؤرشف من الأصل في 22 مايو2020.
^ Ron; Edwards, Bruce H. (2010-01-01). (باللغة الإنجليزية). Cengage Learning. ISBN . مؤرشف من الأصل في 22 مايو2020.
^ Isaac (1878). Spherical Trigonometry, for the Use of Colleges and Schools: With Numerous Examples (باللغة الإنجليزية). Macmillan.
^ Gilbert (1991-01-01). (باللغة الإنجليزية). SIAM. ISBN . مؤرشف من الأصل في 12 أبريل 2020.
^ Milton; Stegun, Irene A. (2012-04-30). (باللغة الإنجليزية). Courier Corporation. ISBN . مؤرشف من الأصل في 19 فبراير 2020.
^ (باللغة الإنجليزية). 1845. مؤرشف من الأصل في 12 أبريل 2020.
^ Michael; Backman, Dana (2009-01-05). (باللغة الإنجليزية). Cengage Learning. ISBN . مؤرشف من الأصل في 12 أبريل 2020.
^ عاصی، محمدرضا. نقشه‌برداری (ژئوماتیک) (ویراست چهارم) (باللغة الفارسية). انتشارات فهمی دانشگاه ضنعتی شریف. ISBN .
^ "Solving ASA Triangles". www.mathsisfun.com. مؤرشف من الأصل في 01 يوليو2018. اطلع عليه بتاريخ 28 مايو2020.
^ Геометрия. 7-9 классы. Учебник. ФГОС, размер 165x220 мм. Атанасян Левон Сергеевич (باللغة الروسية). ISBN .
^ N. K. (2014-05-12). (باللغة الإنجليزية). Elsevier. ISBN . مؤرشف من الأصل في 12 أبريل 2020.
^ Weisstein, Eric W. "Fourier Transform". mathworld.wolfram.com (باللغة الإنجليزية). مؤرشف من الأصل في 18 مارس 2020. اطلع عليه بتاريخ 14 أبريل 2020.
^ Gerald B Folland. Fourier Analysis and its Applications. صفحات 225–234.
^ "JPEG (Transform Compression)". www.dspguide.com. مؤرشف من الأصل في 20 يناير 2020. اطلع عليه بتاريخ 11 أبريل 2020.
^ James R. (2010-11-08). (باللغة الإنجليزية). John Wiley & Sons. ISBN . مؤرشف من الأصل في 03 مارس 2020.
^ Morris; Pollard, Harry (1985-10-01). (باللغة الإنجليزية). Courier Corporation. ISBN . مؤرشف من الأصل في 03 مارس 2020.
^ Farlow, Stanley J. (1993). (الطبعة Reprint of Wiley 1982). Courier Dover Publications. صفحة 82. ISBN . مؤرشف من الأصل في 20 مارس 2015.
^ Gerald B Folland. Fourier Analysis and its Applications. صفحة 77ff.
^ Peter J. (2013-11-08). (باللغة الإنجليزية). Springer Science & Business Media. ISBN . مؤرشف من الأصل في 12 أبريل 2020.
^ Lawrence (2013-09-25). (باللغة الإنجليزية). CRC Press. ISBN . مؤرشف من الأصل في 12 أبريل 2020.
^ "Parametric Equation of a Circle - Math Open Reference". www.mathopenref.com. مؤرشف من الأصل في 18 نوفمبر 2019. اطلع عليه بتاريخ 25 مايو2020.
↑ "Welcome to CK-12 Foundation | CK-12 Foundation". www.ck12.org. مؤرشف من الأصل في 17 فبراير 2017. اطلع عليه بتاريخ 25 مايو2020.
^ Weisstein, Eric W. "Lissajous Curve". mathworld.wolfram.com (باللغة الإنجليزية). مؤرشف من الأصل في 15 نوفمبر 2019. اطلع عليه بتاريخ 25 مايو2020.
^ Francis A.; White, Harvey E. (1937). (باللغة الإنجليزية). Tata McGraw-Hill Education. ISBN . مؤرشف من الأصل في 24 فبراير 2020.
^ Vasiliĭ Petrovich (1963). (باللغة الإنجليزية). Foreign Technology Division. مؤرشف من الأصل في 24 فبراير 2020.
^ Halliday, Resnick and Krane ,Physics
^ "Parametric Equations and Projectile Motion" (PDF). Classzone. مؤرشف من الأصل (PDF) في 12 أبريل 2020.
^ "Contemporary Physics". مؤرشف من الأصل في 22 أبريل 2020.
↑ Mark (2009-12-03). (باللغة الإنجليزية). Cambridge University Press. ISBN . مؤرشف من الأصل في 12 مارس 2020.
↑ بررسی سیستم‌های قدرت. طهران. ISBN .
^ "Electrical Power in AC Circuits and Reactive Power". مؤرشف من الأصل في 12 يوليو2019.
^ Alan V.; Willsky, Alan S.; Nawab, Syed Hamid (1997). (باللغة الإنجليزية). Prentice-Hall International. ISBN . مؤرشف من الأصل في 12 أبريل 2020.

معلومات الخط كاملة

Abramowitz, Milton; Stegun, Irene Ann (1983). Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables . ISBN .
Lars Ahlfors (1966). Complex Analysis: an introduction to the theory of analytic functions of one complex variable (الطبعة الثانية). New York: McGraw-Hill Education. ISBN .
Boyer, Carl B. (1991). A History of Mathematics (الطبعة الثانية). John Wiley & Sons, Inc. ISBN .
Gal, Shmuel; Bachelis, Boris (1991). An accurate elementary mathematical library for the IEEE floating point standard, ACM Transactions on Mathematical Software.
Joseph, George G (2000). The Crest of the Peacock: Non-European Roots of Mathematics (الطبعة الثانية). London: Penguin Books. ISBN .
Kantabutra, Vitit (1996). "On hardware for computing exponential and trigonometric functions". IEEE Trans. Computers. IEEE: 328–339.
Maor, Eli. (الطبعة 1998). Princeton Univ. Press. ISBN .
Needham, Tristan (1999). (PDF). Oxford University Press. ISBN .
Nielsen, Kaj L. (1966). "Logarithmic and Trigonometric Tables to Five Places" (الطبعة الثانية). New York, USA: Barnes & Noble. LCCN 61-9103.
O'Connor, J. J.; E. F. Robertson (1996). . MacTutor History of Mathematics archive.
O'Connor, J. J; E. F. Robertson (2000). . MacTutor History of Mathematics archive. مؤرشف من الأصل في 25 أغسطس 2019.
Pearce, Ian G (2002). . MacTutor History of Mathematics archive. مؤرشف من الأصل في 02 يوليو2019.
Protter, Murray H; Morrey, Charles B., Jr (1970). "College Calculus with Analytic Geometry" (الطبعة الثانية). Reading: Addison-Wesley. LCCN 76087042.
Weisstein, Eric W. . from MathWorld. مؤرشف من الأصل في 30 ديسمبر 2019. اطلع عليه بتاريخ 21 يناير 2006.
Gerald B; Folland (2009). (باللغة الإنجليزية). American Mathematical Society. ISBN . مؤرشف من الأصل في 12 أبريل 2020.

ملحق: مسرد المصطلحات الإنجليزية

مَسرد المفردات وفق الترتيب الأبجدي الإنجليزي
A
إحداثي x	Abscissa
قدرة فعالة	Active power
زاوية حادة	Acute angle
إضافة	Addition
ضلع مجاور	Adjacent side
عدد جبري	Algebraic number
تيار متناوب	Alternating current
مطال موجة	Amplitude of a wave
تضمين المطال	Amplitude modulation
إشارة تشابهية	Analog signal
زاوية	Angle
متطابقات مجموع وفرق الزوايا	Angle sum and difference identities
تردد زاوي	Angular frequency
زخم زاوي	Angular momentum
مشتق عكسي	Antiderivative
تقريب	Approximation
قوس	Arc
مساحة	Area
عُمدة	Argument
متوسط حسابي هندسي	Arithmetic–geometric mean
B
عدد بيرنولي	Bernoulli number
دالة بيسل	Bessel function
دالة تقابلية	Bijective function
C
حساب التفاضل والتكامل	Calculus
موجة حاملة	Carrier wave
معادلة مميزة	Characteristic equation
تقريب تشيبيشيف	Chebyshev approximation
متعدد الحدود لشيبيشيف	Chebyshev polynomial
دالة الوتر	Chord
زاوية دائرية	Circular angle
حركة دائرية	Circular motion
قطاع دائري	Circular sector
محيط دائرة/بتر ناقص (منحنى مغلق بشكل عام)	Circumference
مضلع محيط	Circumscribed polygon
مستقر دالة	Codomain of a function
تصادم	Collision
قناة اتصال	Communication Channel
فرجار	Compass
زوايا متتامة	Complementary angles
تحليل مركب/عقدي	Complex analysis
عدد مركب/عقدي	Complex number
مستوي مركب/عقدي	Complex plane
دالة مستمرة	Continuous function
إحداثيات	Coordinates
لازمة	Corollary
جداء متجهي/ضرب متجهي	Cross product
جذر تكعيبي	Cube root
سهم التمام	Coversine
رباعي دائري	Cyclic quadrilateral
إحداثيات أسطوانية	Cylindrical coordinates
D
صيغة دي موافر	De Moivre's formula
درجة	Degree
مقام	Denominator
مشتق	Derivative
قطر الدائرة	Diameter
فرق	Difference
تفاضل	Differential
معادلة تفاضلية	Differential equation
دالة ديراك	Dirac function
تيار مستمر	Direct Current
متطابقات ضعف الزاوية	Double-angle identities
مجال دالة	Domain of a function
جداء قياسي	Dot product
E
تباعد مركزي	Eccentricity
أحرف متعدد السطوح	Edges of a polyhedron
دالة ذاتية	Eigenfunction
بتر ناقص/إهليلج	Ellipse
تكامل اهليلجي	Elliptic integral
دالة كاملة	Entire function
معادلة حركة	Equation of motion
مثلث متساوي الأضلاع	Equilateral triangle
متطابقة أويلر	Euler's identity
عدد أويلر	Euler number
دوال زوجية وفردية	Even and odd functions
قاطع التمام الخارجي	Excosecant
قاطع خارجي	Exsecant
دالة أسية	Exponential function
F
عاملي عدد	Factorial of a number
وحدة الفاصلة العائمة	Floating Point Unit
متسلسلة فورييه	Fourier series
تحويل فورييه	Fourier transform
G
نظرية غالوا	Galois theory
كسر مستمر معمم	Generalized continued fraction
تشابه هندسي	Geometric similarity
تمثيل بياني لدالة	Graph of a function
تسارع الجاذبية	Gravitational acceleration
H
متطابقات نصف الزاوية	Half-angle identities
مضاعف العتاد	Hardware multiplier
نصف السهم	Haversine
لولب	Helix
المعالِجات الراقية	Higher-end Processors
دالة تامة الشكل	Holomorphic function
بتر زائد	Hyperbola
زاوية زائدية	Hyperbolic angle
دوال زائدية	Hyperbolic functions
قطاع زائدي	Hyperbolic sector
وتر المثلث	Hypotenuse
منحنى عجلي تحتي	Hypotrochoid
I
وحدة تخيلية	Imaginary unit
متباينة	Inequality
دالة متباينة	Injective function
مضلع محاط	Inscribed polygon
تكامل	Integral
عدد سليم	Integer number
مجال/فترة	Interval
تقاطع مستقيمين	Intersection of two lines
متسلسلة الجداء اللانهائي	Infinite product expansion
قدرة لحظية	Instantaneous power
دالة عكسية	Inverse function
نقطة معزولة	Isolated point
L
تحويل لابلاس	Laplace transform
مؤثر لابلاسي	Laplace operator / Laplacian
قانون جيب التمام	Law of cosines
قانون حفظ الزخم	Law of momentum conservation
قانون الجيب	Law of sines
ساق مثلث	Leg of a triangle
طول	Length
نهاية دالة	Limit of a function
مستقيم	Line
منحنى ليساجو	Lissajous curve
M
متسلسلة ماكلورين	Maclaurin series
مقدار	Magnitude
معيار عدد مركب	Magnitude of a complex number
إسقاط الخرائط	Map projection
دالة جزئية الشكل	Meromorphic function
تضمين	Modulation
صيغة مولفيده	Mollweide's formula
زخم	Momentum
دالة رتيبة	Monotonic function
قانون موري	Morrie's law
دالة متعددة القيم	Multivalued function
N
لقاء عدد	Negative of a number
بسط	Numerator
جذر نوني	nth root
O
ضلع لقاء	Opposite side
إحداثي y	Ordinate
نقطة الأصل	Origin
دوال متعامدة	Orthogonal functions
P
تقريب بادي	Padé approximant
متوازي السطوح	Parallelepiped
متوازي أضلاع	Parallelogram
معادلة وسيطية	Parametric equation
جسم / جسيم	Particle
حركة رقاصية/حركة بندولية	Pendular motion
دالة دورية
محيط (مضلعات)	Perimeter
Periodic function
دورية	Periodicity
طور	Phase
تقدم وتأخر الطور	Phase leading and lagging
إحداثيات قطبية	Polar coordinates
زاوية القدرة	Power angle
معامل القدرة	Power factor
متسلسلة قوى	Power series / Power expansion
مبرهنة بطليموس	Ptolemy's theorem
متطابقة فيثاغورس	Pythagorean identity
مبرهنة فيثاغورس	Pythagorean theorem
Q
ربع الدائرة	Quadrant
قاعدة ناتج القسمة	Quotient rule
R
نسبة	Ratio
نصف القطر	Radius
نصف قطر التقارب	Radius of convergence
تقليص المدى	Range reduction
سرعة التقارب	Rate of convergence
دالة كسرية	Rational function
عدد كسري/نسبي/ناطق/جذري	Rational number
قدرة غير فعالة	Reactive power
عدد حقيقي	Real number
علاقة استنادىء ذاتي	Recurrence relation
إنعكاس	Reflection
انكسار الضوء	Refraction of light
خماسي منتظم	Regular pentagon
باقي (متسلسلة)	Remainder term
زاوية قائمة	Right angle
مثلث قائم الزاوية	Right-angled triangle / Right triangle
جذر معادلة/جذر دالة	Root
دوران	Rotation
S
عمق القوس	Sagitta
موجة سن المنشار	Sawtooth wave
نصف المحور الكبير	Semi-major axis
نصف المحور الصغير	Semi-minor axis
مجموعة القيم الرئيسية	Set of principal values
حركة توافقية بسيطة	Simple Harmonic Motion
موجة جيبية	Sine wave
قانون سنيل	Snell's law
حلحلة المثلثات	Solution of triangles
زوايا خاصة	Special angles
دوال خاصة	Special functions
إحداثيات كروية	Spherical coordinates
مثلث كروي	Spherical triangle
حساب المثلثات الكروية	Spherical trigonometry
نابض	Spring
جذر تربيعي	Square root
موجة مربعية	Square wave
مبرهنة الساندويتش	Squeeze theorem / Sandwich theorem
مسطرة	Straightedge
طرح	Subtraction
مجموع	Sum
تناظر/تماثل	Symmetry
T
مماس	Tangent
تعويض بظل نصف الزاوية	Tangent half-angle substitution
متسلسلة تايلور	Taylor series
حدود	Terms
مبرهنة طاليس	Thales theorem
تيارات ثلاثية الطور	Three-phase current
عدد متسامي	Transcendental numbers
مسح اجتيازي	Traverse
تثليث	Triangulation
فهم المثلثات/حساب المثلثات	Trigonometry
متطابقات ثلاثية الزاوية	Triple-angle identities
دورة (وحدة قياس الزوايا)	Turn
U
دائرة الوحدة	Unit circle
V
متجه	Vector
سهم/ جيب منكوس	Versine
W
تعويض فايرشتراس	Weierstrass substitution
X
محور السينات	x-axis
Y
محور الصادات	y-axis
3
قياس بصري ثلاثي الأبعاد	3D Optical measurement

وصلات خارجية

Visionlearning Module on Wave Mathematics (بالإنجليزية)

الدوال المثلثية والدوال المثلثية العكسية (PDF) (بالعربية)
استعمالات الدوال المثلثية في الهندسة الكهربائية (PDF) (بالعربية)
إنشاء زاوية بالفرجار (بدون منقلة) (بالعربية)

[:0-7] وقد يُشار إليها أيضاً بـ ${\displaystyle {\text{tg$ .

[:1-8] تُسمّى أيضاً دائرة مثلثية أودائرة واحدية.

[14] حيث k عدد سليم كيفي.

[16] أوتلك الرموز: cotan, cotg ctg, ctn

[17] أوهذا الرمز: cosec

[18] تم تدوين الشكل الانجليزي لأول مرة عام 1593 في الكتاب Horologiographia الخاص بـ Thomas Fale.

[19] هناك مصادر مختلفة أنسبت الاستخدام الاول للمصطلح "sinus" إلى:
إما ترجمة أفلاطون تيبورتينوس في عام 1116 لأعمال البتاني الخاصة بفهم الفلك.

أوترجمة جيراردوالكريموني لجبر الخوارزمي

أوترجمة روبرت أوف تشستر سنة 1145 لجداول الخوارزمي

طالع:‏
‏Merlet, in Ceccarelli (ed.), International Symposium on History of Machines and Mechanisms, Springer, 2004

أو‏
‏Maor (1998), chapter 3, for an earlier etymology crediting Gerard.

أو‏
‏Katx, Victor (July 2008). A history of mathematics (باللغة الإنجليزية) (الطبعة 3). Boston: Pearson. صفحة 210 (sidebar). ISBN .

[8] إما ترجمة أفلاطون تيبورتينوس في عام 1116 لأعمال البتاني الخاصة بفهم الفلك.

[9] أوترجمة جيراردوالكريموني لجبر الخوارزمي

[10] أوترجمة روبرت أوف تشستر سنة 1145 لجداول الخوارزمي

[11] طالع:‏
‏Merlet, in Ceccarelli (ed.), International Symposium on History of Machines and Mechanisms, Springer, 2004

[12] أو‏
‏Maor (1998), chapter 3, for an earlier etymology crediting Gerard.

[13] أو‏
‏Katx, Victor (July 2008). A history of mathematics (باللغة الإنجليزية) (الطبعة 3). Boston: Pearson. صفحة 210 (sidebar). ISBN .

[33] كانت العلاقة المثلثية لدالة الظل معروفة عند الهنود، ولكن لم يعتبروها كميةً مثلثيةً مستقلة كدالة الجيب.

[:4-59] الشريط الأفقي فوق الرقم يعني حتى هذا الرقم يتكرر إلى ما لا نهاية.

[62] المثلث القائم أوالمثلث قائم الزاوية هومثلثٌ إحدى زواياه قائمة، أي حتى ضلعيه يشكلان زاوية قياسها ${\displaystyle 90^{\circ$ .

[:3-64] يسمى أيضًا محور الفواصل أومحور الأفاصيل

[68] عكس اتجاه عقارب الساعة لأجلِ زاويةٍ موجبةٍ ${\displaystyle \theta >0$ ، وفي اتجاه عقارب الساعة من أجل زاويةٍ سالبةٍ ${\displaystyle \theta <0$ .

[مولد_تلقائيا11-69] يُسمّى أيضاً الفاصلة أوالأفصول.

[مولد_تلقائيا10-70] يُسمّى أيضاً الترتيبة أوالأرتوب.

[71] يسمى أيضًا محور العينات (في سوريا) أومحور التراتيب أومحور الأراتيب

[88] نصف قطر التقارب لمتسلسلة قوى هونصف قطر أكبر قرص تتقارب فيه المتسلسلة. وهوإما عدد حقيقي غير سالب أو∞.

[98] المعادلة الدالية هي أي معادلة التي متغيرها هي تعبير عن دالة.

[102] تكون الدوال متعامدة إذا كان جدائهما الداخلي يساوي الصفر.

[105] حيث: a هوثابت حقيقي. s هوعدد مركب.

[107] حيث:
${\displaystyle \omega$

${\displaystyle \delta (\cdot )$
${\displaystyle i$

[27] ${\displaystyle \omega$

[28] ${\displaystyle \delta (\cdot )$

[:2-118] أطوال الأضلاع تساوي عدديًا قياس الزوايا التي تقابل أقواس الدائرة العظمى في المركز بالراديان. لذلك، بالنسبة لكرة ذات نصف قطر R لا يساوي الواحد، يجب قسمة أطوال الأضلاع على R قبل استخدام المتطابقة.

[135] هي وحدة تخيلية مربعها يساوي -1

[138] تسمى أيضًا "أشعة" مفردها "شعاع".

[139] وتسمى أيضا "جداء سلمي".

[141] تسمى أيضا "ضرب اتجاهي" أو"جداء شعاعي"

[145] عامد هوبترة مستقيمة التي تربط مركز المضلع المنتظم بمنتصف أحد أضلاعه

[153] المسح الاجتيازي هوطريقة لمسح منطقة مفتوحة أومغلقة باستخدام قياس الزوايا والمسافات.

[177] حيث:
${\displaystyle i$

${\displaystyle v$

${\displaystyle V_{m$

${\displaystyle \omega$

${\displaystyle \theta$

[37] ${\displaystyle i$

[38] ${\displaystyle v$

[39] ${\displaystyle V_{m$

[40] ${\displaystyle \omega$

[41] ${\displaystyle \theta$

[:42-1] د فرانك; موير, د روبرت (2004-03-01). . international house for cultural investments. ISBN . مؤرشف من الأصل في 21 فبراير 2020.

[2] محمد مفيد (2013-01-01). . مركز الكتاب الأكاديمي. ISBN . مؤرشف من الأصل في 21 فبراير 2020.

[:5-3] ميشال إبراهيم ورامي أبوسليمان وفادي (2007-01-01). . دار الخط الفهمية. ISBN . مؤرشف من الأصل في 21 فبراير 2020.

[4] Katx, Victor (July 2008). A history of mathematics (باللغة الإنجليزية) (الطبعة 3). Boston: Pearson. صفحة 210 (sidebar). ISBN .

[:52-5] "Clark University". مؤرشف من الأصل في 18 ديسمبر 2017.

[6] Ceccarelli (ed.), International Symposium on History of Machines and Mechanisms, Springer, 2004 See Maor (1998), chapter 3, for an earlier etymology crediting Gerard. See Katx, Victor (July 2008). A history of mathematics (باللغة الإنجليزية) (الطبعة 3). Boston: Pearson. صفحة 210 (sidebar). ISBN . نسخة محفوظةعشرة يونيو2018 على مسقط واي باك مشين.

[:3-9] كرلو(199?). . ktab INC. مؤرشف من الأصل في 12 أبريل 2020.

[10] "5 معلومات مهمة عن المثلث وزوايا المثلث". إيد أرابيا. 2018-10-15. مؤرشف من الأصل في 22 ديسمبر 2019. اطلع عليه بتاريخ 12 أبريل 2020.

[11] Max; Association, Research and Education (1984-01-01). (باللغة الإنجليزية). Research & Education Assoc. ISBN . مؤرشف من الأصل في 13 أبريل 2020.

[:15-12] Anthony (2007). (باللغة الإنجليزية). Pass Publications. ISBN . مؤرشف من الأصل في 13 أبريل 2020.

[مولد_تلقائيا5-13] (باللغة الإنجليزية). American Society of Mechanical Engineers. 1969. مؤرشف من الأصل في 13 أبريل 2020.

[:9-15] "Table of Domain and Range of Common Functions". www.analyzemath.com. مؤرشف من الأصل فيثمانية فبراير 2019. اطلع عليه بتاريخعشرة أبريل 2020.

[مولد_تلقائيا3-20] Kim (2008-12-29). (باللغة الإنجليزية). Princeton University Press. ISBN . مؤرشف من الأصل في 04 مارس 2020.

[21] القانون المسعودي. 1. صفحة 275.

[مولد_تلقائيا2-22] Oxford English Dictionary

[23] Régis (1996). (باللغة الإنجليزية). Psychology Press. ISBN . مؤرشف من الأصل في 04 مارس 2020.

[Gunter_1620-24] Gunter, Edmund (1620). Canon triangulorum.

[Datta-25] B.B. Datta and A.N. Singh (1983). "Hindu Trigonometry" (PDF). Indian Journal of History of Science. 18 (1): 39–108. مؤرشف من الأصل (PDF) في 05 فبراير 2017. اطلع عليه بتاريخ 01 مارس 2010.

[26] Team, Almaany. "تعريف وشرح ومعنى تمام بالعربي في معاجم اللغة العربية معجم المعاني الجامع، المعجم الوسيط ،اللغة العربية المعاصرة ،الرائد ،لسان العرب ،القاموس المحيط - معجم عربي عربي صفحة 1". www.almaany.com (باللغة الإنجليزية). مؤرشف من الأصل في 22 أغسطس 2016. اطلع عليه بتاريخعشرة أبريل 2020.

[27] Tobias (2012-10-02). (باللغة الإنجليزية). Courier Corporation. ISBN . مؤرشف من الأصل في 15 أبريل 2020.

[Boyer_19912-28] Boyer, Carl B. (1991). A History of Mathematics (Second ed.). John Wiley & Sons, Inc. (ردمك 0-471-54397-7).

[toomer-29] Toomer, G. (1998), Ptolemy's Almagest, Princeton University Press, ISBN CS1 maint: ref=harv (link)

[30] . مؤرشف من الأصل في 12 أكتوبر 2016.

[mact-biog2-31] O'Connor; Robertson. "Madhava of Sangamagrama". School of Mathematics and Statistics University of St Andrews, Scotland. مؤرشف من الأصل في 14 مايو2006. اطلع عليه بتاريخ 08 سبتمبر 2007.

[Gingerich_1986-32] Gingerich, Owen (1986). "Islamic Astronomy". ساينتفك أمريكان. المجلد. 254. صفحة 74. مؤرشف من الأصل في 19 أكتوبر 2013. اطلع عليه بتاريخ 13 يوليو2010.

[34] "History of Trigonometry - Part 3". nrich.maths.org. مؤرشف من الأصل في 20 فبراير 2020. اطلع عليه بتاريخ 05 أبريل 2020.

[Sesiano-35] Jacques Sesiano, "Islamic mathematics", p. 157, in Selin, Helaine; D'Ambrosio, Ubiratan, المحررون (2000). Mathematics Across Cultures: The History of Non-western Mathematics. Springer. ISBN .

[Britannica-36] "trigonometry". Encyclopedia Britannica. مؤرشف من الأصل في 12 مايو2015.

[37] المفهم الجديد. المجلد 30.

[38] Ravi P.; Sen, Syamal K. (2014-11-11). (باللغة الإنجليزية). Springer. ISBN . مؤرشف من الأصل في 18 مايو2020.

[39] مصطفى (2005-01-01). . Al Manhal. ISBN . مؤرشف من الأصل في 12 أبريل 2020.

[:4-40] Dirk Jan (1967). (باللغة الإنجليزية). Courier Corporation. ISBN . مؤرشف من الأصل في 03 مارس 2020.

[41] Donald Routledge Hill (1996), "Engineering", in Roshdi Rashed, Encyclopedia of the History of Arabic Science, Vol. 3, p. 751–795 [769].

[42] O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F., "Abu Arrayhan Muhammad ibn Ahmad al-Biruni", MacTutor History of Mathematics archive CS1 maint: ref=harv (link)

[مولد_تلقائيا12-43] نوال حسن; الخليج, دار (2017-01-01). . دار الخليج للنشر والتوزيع / daralkhalij for Publishing and Distribution. ISBN . مؤرشف من الأصل في 12 أبريل 2020.

[44] Clifford A. (2009). (باللغة الإنجليزية). Sterling Publishing Company, Inc. ISBN . مؤرشف من الأصل في 15 مايو2020.

[45] Marlow Anderson, Victor J. Katz, Robin J. Wilson (2004), Sherlock Holmes in Babylon and Other Tales of Mathematical History, جمعية الرياضيات الأمريكية, صفحة 139, ISBN CS1 maint: ref=harv (link)

[46] George Gheverghese (2011). The Crest of the Peacock: Non-European Roots of Mathematics (Third Edition) (باللغة الإنجليزية). Princeton University Press. ISBN .

[katz_308-47] Katz 2007، p. 308

[MacTutor-48] O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F., "دوال مثلثية", MacTutor History of Mathematics archive CS1 maint: ref=harv (link)

[49] Carl B. (2012-10-09). (باللغة الإنجليزية). Courier Corporation. ISBN . مؤرشف من الأصل في 12 أبريل 2020.

[Fincke-50] "Fincke biography". مؤرشف من الأصل في 07 يناير 2017. اطلع عليه بتاريخ 15 مارس 2017.

[Bourbaki_1994-51] Bourbaki, Nicolás (1994). . Springer. مؤرشف من الأصل في 16 فبراير 2020.

[52] أبوالريحان البيروني. القانون المسعودي. 1. صفحة 321.

[53] Nielsen (1966, pp. xxiii–xxiv)

[54] Glen Van (2020-01-23). (باللغة الإنجليزية). Oxford University Press. ISBN . مؤرشف من الأصل في 12 أبريل 2020.

[:02-55] George Brinton; Weir, Maurice D.; Hass, Joel (2010). (باللغة الإنجليزية). Pearson. ISBN . مؤرشف من الأصل في 19 فبراير 2020.

[مولد_تلقائيا6-56] Richard A. (2014-04-15). (باللغة الإنجليزية). Courier Corporation. ISBN . مؤرشف من الأصل في 25 فبراير 2020.

[57] Lindeburg, Michael R. (2012). Civil Engineering Reference Manual for the PE Exam. Professional Publications, Inc. صفحة 78-7. ISBN .

[58] Benjamin (1861). Elements of Plane and Spherical Trigonometry: With Practical Applications (باللغة الإنجليزية). R. S. Davis.

[:2-60] Tim (2019-05-23). (باللغة الإنجليزية). Questing Vole Press. مؤرشف من الأصل في 28 فبراير 2020.

[61] Geoffrey C.; Rockett, Andrew M. (2015-01-01). (باللغة الإنجليزية). Cengage Learning. ISBN . مؤرشف من الأصل في 24 فبراير 2020.

[مولد_تلقائيا1-63] Protter & Morrey (1970, pp. APP-2,APP-3)

[Heng-65] Heng, Cheng and Talbert, "Additional Mathematics" نسخة محفوظة 2015-03-20 على مسقط واي باك مشين., page 228

[:14-66] Coxford, Arthur. Trigonometry.

[67] Bityutskov, V.I. (2011-02-07). "Trigonometric Functions". Encyclopedia of Mathematics (باللغة الإنجليزية). مؤرشف من الأصل في 29 ديسمبر 2017. اطلع عليه بتاريخ 29 ديسمبر 2017.

[72] Weisstein, Eric W. "Circular Functions". mathworld.wolfram.com (باللغة الإنجليزية). مؤرشف من الأصل في ثلاثة أبريل 2017. اطلع عليه بتاريخ 01 مارس 2020.

[مولد_تلقائيا9-73] د فرانك; موير, د روبرت (2004-03-01). . international house for cultural investments. ISBN . مؤرشف من الأصل في 25 فبراير 2020.

[Larson_2013-74] Larson, Ron (2013). (الطبعة 9th). Cengage Learning. صفحة 153. ISBN . مؤرشف من الأصل في 15 فبراير 2018. Extract of page 153 نسخة محفوظة 2018-02-15 على مسقط واي باك مشين.

[75] يتم الحصول على قيم دقيقة للدوال باستخدام متطابقات مجموع أوفرق زاويتين، على سبيل المثال: $cos(15°)=cos(60° - 45°)$

[:7-76] Weisstein, Eric W. "Trigonometry Angles--Pi/9". mathworld.wolfram.com (باللغة الإنجليزية). مؤرشف من الأصل في 30 ديسمبر 2019. اطلع عليه بتاريخ 04 أبريل 2020.

[77] M. Ram; Rath, Purusottam (2014-06-24). (باللغة الإنجليزية). Springer. ISBN . مؤرشف من الأصل في 12 أبريل 2020.

[Abramowitz_and_Stegun-78] Abramowitz, Milton and Irene A. Stegun, p.74

[79] Milton; Stegun, Irene A. (1965-01-01). (باللغة الإنجليزية). Courier Corporation. ISBN . مؤرشف من الأصل في 25 فبراير 2020.

[NASA-80] "«FORMULAS FOR nth ORDER DERIVATIVES OF HYPERBOLIC. AND TRIGONOMETRIC FUNCTIONS»" (PDF). NASA. مؤرشف من الأصل (PDF) في 12 مارس 2017.

[81] Timothy; Barrow-Green, June; Leader, Imre (2010-07-18). (باللغة الإنجليزية). Princeton University Press. ISBN . مؤرشف من الأصل في 19 فبراير 2020.

[82] Trigonometric functions. V.I. Bityutskov (originator), Encyclopedia of Mathematics. نسخة محفوظة 19 فبراير 2020 على مسقط واي باك مشين.

[مولد_تلقائيا7-83] "Sine: Introduction to the trigonometric functions (subsection Trigonometrics/05)". functions.wolfram.com. مؤرشف من الأصل في 2 مايو2016. اطلع عليه بتاريخ 14 أبريل 2020.

[:11-84] William E. Boyce, Richard C. DiPrima, Douglas B. Meade. Elementary Differential Equations and Boundary Value Problems (باللغة الإنجليزية). صيانة CS1: أسماء متعددة: قائمة المؤلفون (link)

[:83-85] Thomas & Finney 1996، §8.9

[86] Thomas & Finney 1996, §8.9.

[87] Ahlfors, pages 43–44.

[89] Michael T. (2007-06-18). (باللغة الإنجليزية). John Wiley & Sons. ISBN . مؤرشف من الأصل في 12 أبريل 2020.

[90] Abramowitz; Weisstein.

[91] Weisstein, Eric W. "Pole". mathworld.wolfram.com (باللغة الإنجليزية). مؤرشف من الأصل في 18 مارس 2020. اطلع عليه بتاريخ 09 أبريل 2020.

[92] Stanley, Enumerative Combinatorics, Vol I., page 149

[93] Green, Robin. "Faster Math Functions" (PDF). صفحة 6–7. مؤرشف من الأصل (PDF) في 23 مارس 2020.

[Aigner_2000-94] Aigner, Martin; Ziegler, Günter M. (2000). (الطبعة Second). سبرنجر. صفحة 149. ISBN . مؤرشف من الأصل في 08 مارس 2014.

[Remmert_1991-95] Remmert, Reinhold (1991). . Springer. صفحة 327. ISBN . مؤرشف من الأصل في 20 مارس 2015. Extract of page 327 نسخة محفوظة 2015-03-20 على مسقط واي باك مشين.

[96] Omar (2016-02-09). (باللغة الإنجليزية). Springer. ISBN . مؤرشف من الأصل في 12 أبريل 2020.

[:6-97] Luis Manuel Braga da Costa (2012-04-04). (باللغة الإنجليزية). CRC Press. ISBN . مؤرشف من الأصل في 03 مارس 2020.

[Kannappan_2009-99] Kannappan, Palaniappan (2009). Functional Equations and Inequalities with Applications. Springer. ISBN .

[100] John H.; Howell, Russell W. (2006). (باللغة الإنجليزية). Jones & Bartlett Learning. ISBN . مؤرشف من الأصل في 22 مارس 2016.

[101] Gandhi, Viswanathan (07-10-2014). "Domain coloring for visualizing complex functions". مؤرشف من الأصل في 12 أبريل 2020.

[103] The Princeton Companion to Mathematics. صفحة 307 - 308.

[104] Olver, NIST Handbook of Mathematical Functions. صفحة 122.

[106] Elementary Differential Equations and Boundary Value Problems. صفحة 376.

[108] David W. (2008-01-17). (باللغة الإنجليزية). Cambridge University Press. ISBN . مؤرشف من الأصل في 12 مارس 2020.

[109] Marcus (2010-01-07). (باللغة الإنجليزية). Cambridge University Press. ISBN . مؤرشف من الأصل في 13 أبريل 2020.

[110] "More Approximations to Trigonometric Functions" (PDF). مؤرشف من الأصل (PDF) في 23 مارس 2020.

[111] Kantabutra, Vitit (1996). "On hardware for computing exponential and trigonometric functions" – عبر IEEE Transactions on Computers.

[112] Jurgen; Platzner, Marco (2004-08-19). (باللغة الإنجليزية). Springer Science & Business Media. ISBN . مؤرشف من الأصل في 12 أبريل 2020.

[113] "التنفیذ المادي باستخدام FPGA لخوارزمیتي كوردك وجدول المقارنة لحساب الدوال الریاضیة الأولیة". المجلات الأكاديمية الفهمية العراقية. مؤرشف من الأصل في 12 أبريل 2020.

[114] P, BrentRichard (1976-04-01). "Fast Multiple-Precision Evaluation of Elementary Functions". Journal of the ACM (JACM) (باللغة الإنجليزية). doi:10.1145/321941.321944. مؤرشف من الأصل في 12 أبريل 2020.

[115] "Weierstrass Substitution". Math24 (باللغة الإنجليزية). مؤرشف من الأصل في 27 مارس 2020. اطلع عليه بتاريخ 27 مارس 2020.

[116] Selby 1970، pg. 190

[117] Abramowitz and Stegun. Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables. صفحة 72.

[119] Clifford A. (2009). (باللغة الإنجليزية). Sterling Publishing Company, Inc. ISBN . مؤرشف من الأصل في 30 مارس 2017.

[Ireneus-120] Romuald Ireneus 'Scibor-Marchocki, Spherical trigonometry, Elementary-Geometry Trigonometry web page (1997). نسخة محفوظة 21 أبريل 2020 على مسقط واي باك مشين.

[VNR-121] W. Gellert, S. Gottwald, M. Hellwich, H. Kästner, and H. Küstner, The VNR Concise Encyclopedia of Mathematics, 2nd ed., ch. 12 (Van Nostrand Reinhold: New York, 1989).

[122] Todhunter, I. (1886). (الطبعة 5th). MacMillan. مؤرشف من الأصل في 14 أبريل 2020.

[Allen_1976-123] The Universal Encyclopaedia of Mathematics, Pan Reference Books, 1976, page 529-530. English version George Allen and Unwin, 1964. Translated from the German version Meyers Rechenduden, 1960.

[مولد_تلقائيا4-124] Daniel Zwillinger, CRC Standard Mathematical Tables and Formulae, 32nd Edition, CRC Press, 2011, page 219.

[125] Modern calculus with analytic geometry, Volume 1. صفحة 105-106.

[126] Calculus and Analytic Geometry. صفحة 138.

[127] Olver, NIST Handbook of Mathematical Functions. صفحة 116.

[128] Ernest William (1891). (باللغة الإنجليزية). University Press. مؤرشف من الأصل في 12 أبريل 2020.

[129] Michael Sullivan, Trigonometry, Dellen Publishing Company, 1988, page 243.

[130] W. A. Beyer, J. D. Louck, and D. Zeilberger, A Generalization of a Curiosity that Feynman Remembered All His Life, Math. Mag. 69, 43–44, 1996.

[:03-131] Arthur Graham; Frink, Fred Goodrich ([c1909]). . New York : Henry Holt. مؤرشف من الأصل في 13 أبريل 2020.

[132] Weisstein, Eric W. "Inverse Trigonometric Functions". mathworld.wolfram.com (باللغة الإنجليزية). مؤرشف من الأصل في 13 أبريل 2020. اطلع عليه بتاريخ 13 أبريل 2020.

[:12-133] V. G.; Argunov, B. I.; Skornyakov, L. A.; Boltyanskii, V. G. (2013-11-07). (باللغة الإنجليزية). Courier Corporation. ISBN . مؤرشف من الأصل في 12 أبريل 2020.

[:13-134] "Hyperbolic functions" (PDF). Mathcentre.تسعة يناير 2006. مؤرشف من الأصل (PDF) فيتسعة سبتمبر 2019.

[136] Árpád (2010-05-25). (باللغة الإنجليزية). Springer Science & Business Media. ISBN . مؤرشف من الأصل في 14 مارس 2020.

[137] United States National Bureau of (1952). (باللغة الإنجليزية). U.S. Government Printing Office. مؤرشف من الأصل في 14 مارس 2020.

[140] Robert; Halliday, David; Krane, Kenneth S. (1992-03-16). (باللغة الإنجليزية). Wiley. ISBN . مؤرشف من الأصل في 19 فبراير 2020.

[مولد_تلقائيا15-142] "Area Formulas". www.math.com. مؤرشف من الأصل في 15 مايو2020. اطلع عليه بتاريخ 21 مايو2020.

[143] "Area of Triangle Using Trigonometry - MathBitsNotebook(Geo - CCSS Math)". mathbitsnotebook.com. مؤرشف من الأصل في 29 أكتوبر 2019. اطلع عليه بتاريخ 21 مايو2020.

[مولد_تلقائيا13-144] Aaron (1875). (باللغة الإنجليزية). American Book Company. مؤرشف من الأصل في 22 مايو2020.

[مولد_تلقائيا14-146] Max; Association, Research and Education (1984-01-01). (باللغة الإنجليزية). Research & Education Assoc. ISBN . مؤرشف من الأصل في 22 مايو2020.

[147] Ron; Edwards, Bruce H. (2010-01-01). (باللغة الإنجليزية). Cengage Learning. ISBN . مؤرشف من الأصل في 22 مايو2020.

[148] Isaac (1878). Spherical Trigonometry, for the Use of Colleges and Schools: With Numerous Examples (باللغة الإنجليزية). Macmillan.

[149] Gilbert (1991-01-01). (باللغة الإنجليزية). SIAM. ISBN . مؤرشف من الأصل في 12 أبريل 2020.

[150] Milton; Stegun, Irene A. (2012-04-30). (باللغة الإنجليزية). Courier Corporation. ISBN . مؤرشف من الأصل في 19 فبراير 2020.

[151] (باللغة الإنجليزية). 1845. مؤرشف من الأصل في 12 أبريل 2020.

[152] Michael; Backman, Dana (2009-01-05). (باللغة الإنجليزية). Cengage Learning. ISBN . مؤرشف من الأصل في 12 أبريل 2020.

[154] عاصی، محمدرضا. نقشه‌برداری (ژئوماتیک) (ویراست چهارم) (باللغة الفارسية). انتشارات فهمی دانشگاه ضنعتی شریف. ISBN .

[155] "Solving ASA Triangles". www.mathsisfun.com. مؤرشف من الأصل في 01 يوليو2018. اطلع عليه بتاريخ 28 مايو2020.

[156] Геометрия. 7-9 классы. Учебник. ФГОС, размер 165x220 мм. Атанасян Левон Сергеевич (باللغة الروسية). ISBN .

[مولد_تلقائيا8-157] N. K. (2014-05-12). (باللغة الإنجليزية). Elsevier. ISBN . مؤرشف من الأصل في 12 أبريل 2020.

[158] Weisstein, Eric W. "Fourier Transform". mathworld.wolfram.com (باللغة الإنجليزية). مؤرشف من الأصل في 18 مارس 2020. اطلع عليه بتاريخ 14 أبريل 2020.

[159] Gerald B Folland. Fourier Analysis and its Applications. صفحات 225–234.

[160] "JPEG (Transform Compression)". www.dspguide.com. مؤرشف من الأصل في 20 يناير 2020. اطلع عليه بتاريخ 11 أبريل 2020.

[161] James R. (2010-11-08). (باللغة الإنجليزية). John Wiley & Sons. ISBN . مؤرشف من الأصل في 03 مارس 2020.

[162] Morris; Pollard, Harry (1985-10-01). (باللغة الإنجليزية). Courier Corporation. ISBN . مؤرشف من الأصل في 03 مارس 2020.

[Farlow_1993-163] Farlow, Stanley J. (1993). (الطبعة Reprint of Wiley 1982). Courier Dover Publications. صفحة 82. ISBN . مؤرشف من الأصل في 20 مارس 2015.

[164] Gerald B Folland. Fourier Analysis and its Applications. صفحة 77ff.

[165] Peter J. (2013-11-08). (باللغة الإنجليزية). Springer Science & Business Media. ISBN . مؤرشف من الأصل في 12 أبريل 2020.

[166] Lawrence (2013-09-25). (باللغة الإنجليزية). CRC Press. ISBN . مؤرشف من الأصل في 12 أبريل 2020.

[167] "Parametric Equation of a Circle - Math Open Reference". www.mathopenref.com. مؤرشف من الأصل في 18 نوفمبر 2019. اطلع عليه بتاريخ 25 مايو2020.

[:91-168] "Welcome to CK-12 Foundation | CK-12 Foundation". www.ck12.org. مؤرشف من الأصل في 17 فبراير 2017. اطلع عليه بتاريخ 25 مايو2020.

[169] Weisstein, Eric W. "Lissajous Curve". mathworld.wolfram.com (باللغة الإنجليزية). مؤرشف من الأصل في 15 نوفمبر 2019. اطلع عليه بتاريخ 25 مايو2020.

[170] Francis A.; White, Harvey E. (1937). (باللغة الإنجليزية). Tata McGraw-Hill Education. ISBN . مؤرشف من الأصل في 24 فبراير 2020.

[171] Vasiliĭ Petrovich (1963). (باللغة الإنجليزية). Foreign Technology Division. مؤرشف من الأصل في 24 فبراير 2020.

[172] Halliday, Resnick and Krane ,Physics

[173] "Parametric Equations and Projectile Motion" (PDF). Classzone. مؤرشف من الأصل (PDF) في 12 أبريل 2020.

[174] "Contemporary Physics". مؤرشف من الأصل في 22 أبريل 2020.

[Electricity-175] Mark (2009-12-03). (باللغة الإنجليزية). Cambridge University Press. ISBN . مؤرشف من الأصل في 12 مارس 2020.

[:10-176] بررسی سیستم‌های قدرت. طهران. ISBN .

[178] "Electrical Power in AC Circuits and Reactive Power". مؤرشف من الأصل في 12 يوليو2019.

[179] Alan V.; Willsky, Alan S.; Nawab, Syed Hamid (1997). (باللغة الإنجليزية). Prentice-Hall International. ISBN . مؤرشف من الأصل في 12 أبريل 2020.