في الرياضيات، مكاملة دالة هي نوع من التعميم لكميات قابلة للتجزئة مثل المساحة أوالحجم أوالكتلة أوأي مجموع لعناصر متناهية في الصغر.

وأيضاً يمكن حتى يُنظر إلى عملية التكامل على أنها عملية عكسية لعملية التفاضل.

بالرغم من تعدد التعاريف المستخدمة للتكامل وتعدد طرق استخدامه فإن نتيجة هذه الطرق جميعها متشابهة وجميع التعاريف تؤدي في النهاية إلى المعنى ذاته.

يمكن اعتبار تكامل دالة حقيقية مستمرة ذات قيم موجبة لمتغير حقيقي بين قيمة حدية دنيا وقيمة حدية عليا هي المساحة المحصورة بين المستقيمين الرأسيين: x=a, x=b والمحور x والمنحني المحدد بالدالة، يمكن صياغة ذلك بشكل رياضي:

${\displaystyle S=\{(x,y)\in \mathbb {R _{+ ^{2 :a\leq x\leq b\land 0\leq y\leq f(x)\ ,$

ويرمز لهذه العملية حسب اصطلاح لورينتز :

${\displaystyle \int _{a ^{b f(x)\,dx\,$.

النقطة الأساسية في التكامل تأتي من المبرهنة الأساسية في التكامل والتي تنص على حتى مشتق تابع المساحة تحت منحني الدالة هوالدالة نفسها. بالتالي إذا عهدنا دالة تربط القيمة x بقيمة المساحة المحدودة بين منحني الدالة ${\displaystyle f(x)\,$ ومحور السينات(x) ومن الجهة الأخرى محدودة بمحور الصادات(y) والمستقيم X=x، تدعى هذه الدالة ب دالة المساحة ومشتقها هوالدالة ${\displaystyle f(x)\,$ نفسها، لذلك ندعوتابع المساحة عكس الاشتقاق أوالتابع الأصلي للدالة ${\displaystyle f(x)\,$.

يقوم حساب التكامل على إيجاد التابع الأصلي للدالة التي نريد القيام بمكاملتها.

وقد عرض غوتفريد لايبنتز، في 13 نوفمبر 1675، أول عملية تكامل لحساب المساحة تحت منحنى الدالة ص = د(س).

يوجد عدة أنواع للتكامل منها: التكامل بالتجزئة ،تكامل بالتعويض، التحويل إلى الكسور الجزئية، الاختزال المتتالى

تاريخ

التكامل ما قبل عصر فهم التفاضل والتكامل

توجد دلالات تاريخية على استخدام التكامل في عهد قدماء المصريين (حوالي 1800 قبل الميلاد) فقد دلت بردية موسكوالرياضية على فهمهم بصيغة لحساب حجم الهرم المقطوع. وتعد طريقة الاستنزاف من أوائل الطرق المستعملة في إيجاد التكاملات حيث تعود إلى 370 قبل الميلاد وكانت تحسب بها الحجوم والمساحات وذلك بتقسيمها إلى أشكال صغيرة غير منتهية معلومة المساحة أوالحجم. كما تم تطوير هذه الطريقة من قبل أرخميدس وتم استعمالها في حساب مساحات البتر المكافئ والتقريب لمساحة الدائرة. وفي الصين طورت طرق مماثلة في القرن الثالث الميلادي بواسطة ليوهوي، والذي استخدمها لإيجاد مساحة الدائرة كما تم استعمال هذه الطرق فيما بعد في القرن الخامس من قبل الرياضيين الصينيين - الأب والابن تسوتشونغ وزوجنغ لإيجاد حجم الكرة. في نفس القرن، استخدم الرياضي الهندي أريابهاتا طريقة مماثلة لحساب حجم المكعب.

أتت المستوى التالية والهامة في التفاضل التكاملي في القرن الحادي عشر عندما أخترع العالم الفلكي الحسن بن الهيثم ما يعهد اليوم باسم مسألة الحسن (نسبة لاسمه المشهور عند الأوروبيين) والتي تقود إلى معادلة الدرجة الرابعة. في كتابه المناظر. بينما كان يحل هذه المسألة، قام بعملية تكامل لإيجاد حجم السطح المكافئ. وقد استطاع بالاستقراء الرياضي تعميم هذه النتيجة لدوال كثيرة الحدود حتى الدرجة الرابعة وقد كان بالتالي قادرا على إيجاد صيغة عامة لتكاملات كثيرة الحدود ولكنه لم يعر للأمر أهمية لذلك في وقته. بعض الأفكار في التفاضل التكاملي يمكن مشاهدتها أيضا في سيدهانتا شيروماني، وهي تعبير عن نص يعود للقرن الثاني عشر للفلكي الهندي بهاسكارا 2.

لم يبدأ ظهور التقدم الملحوظ في فهم التكامل التفاضلي إلا مع القرن السادس عشر وفي هذا الوقت كان عمل كافاليري وعمل فيرمات، ولقد بدأ بوضع الأساسيات لفهم التفاضل والتكامل الحديث. وكان لإسحق نيوتن وتورشيلي دورا هاما أيضا في توسيع هذا الفهم أوائل القرن السابع عشر اللذان قدما التلميحات الأولى في وجود صلة بين التكامل والاشتقاق في الوقت الذي كان الرياضيون اليابانيون قد أسهموفي أعمال مماثلة وبشكل خاص على يد سيكي كاوا. كان منها طرق إيجاد مساحات الأشكال بالتكامل، بتوسيع طريقة الاستنزاف.

نيوتن وليبنز

مثل اكتشاف النظرية الأساسية للتفاضل والتكامل الفريد من قبل إسحاق نيوتن وليبنيز تقدما عظيما في فهم التفاضل والتكامل. فهي توضح العلاقة بين التكامل والتفاضل. هذه العلاقة -بدمجها مع قرينتها السهلة - الاشتقاق يمكن استغلالها لحساب التكاملات. وبشكل خاص فإن النظرية الأساسية للتفاضل والتكامل تساعد في حل مسائل أكثر تعقيدا. وبإعطاء اسم التفاضل المتناهي في الصغر فقد سمحت بتحليل دقيق لدوال متصلة. لقد أصبح هذا العمل التفاضل والتكامل الحديث، والذي استمد رمزه من عمل ليبنيز.

صياغة التكاملات

مع حتى نيوتن وليبنز أوجدا طريقة نظامية للتكامل إلا حتى عملهما كان يفتقر إلى درجة الدقة. فقد هاجم جورج بركلي تعبير متناهي في الصغر ووصفها بكميات الأشباح المغادرة. اكتسب التفاضل والتكامل مع تطور فهم النهايات وتوطدت أركانه بفضل أوغستين لويس كوشي في منتصف القرن التاسع عشر. تم أولا صياغة التكامل بدقة باستعمال النهايات من قبل بيرنارد ريمان كما ظهرت صورة أخرى من قبل هنري لوبيغ في تأسيس نظرية القياس.

العلامة

استخدم نيوتن عمودا صغيرا فوق المتغير للإشارة إلى عملية التكامل، أوحتى يضع المتغير داخل مربع. كان القضيب العمودي يلتبس مع ${\displaystyle {\dot {x$ و${\displaystyle x'\,\!$, والتي كان قد استخدمها نيوتن للإشارة للتفاضل. كما أنه من الصعب على الطابعة التعامل مع المربع، وبالتالي لم يتم تبني هذه العلامات. الرمز الحديث للتكامل الغير محدود تم تقديمه على يد ليبنيز عام 1675 (Burton 1988، p. 359; Leibniz 1899، p. 154), كما أنه قام بموائمة رمز التكامل,:${\displaystyle \int <!--\; \int \; -->}$

الجدير بالذكر حتى الرياضيات العربية التي تخط من اليمين لليسار تستعمل الرمز المعكوس للتكامل, ، ليتماشى مع اتجاه الكتابة.(W3C 2006).

مقدمة

تظهر التكاملات في الكثير من الحالات التطبيقية. إذا اعتبرنا بركة السباحة مثلا، إذا كانت مستطيلة الشكل، من طولها، عرضها, وعمقها فمن الممكن إيجاد حجم الماء التي يمكن احتواؤها (لملئها), مساحتها السطحية (التي تغطيها من جميع الجهات), وطول حوافها (بحبل مثلا). لكن إذا كانت بيضاوية الشكل ومدورة من القعر، فإن جميع هذه الكميات تستدعي التكامل. قد تكون التقريبات التطبيقية كافية في مثل هذه الأمثلة البسيطة ولكن الدقة الهندسية تتطلب قيما مضبوطة ودقيقة لهذه العناصر.

للبدء، اعتبر المنحنى${\displaystyle y=f(x)\,$ بين x = 0 وx = 1, و${\displaystyle f(x)={\sqrt {( x)\,$.قد يكون السؤال:

ماهي المساحة تحت الدالة f, في الفترة 0 إلى 1?

ولندعي حتى هذه المساحة (حتى الآن غير معلومة) هي تكامل f.قد يكون الرمز لهذا التكامل هو:

${\displaystyle \int _{0 ^{1 {\sqrt {x \,dx\,\!.$

كتقريب أولي فلننظر في مربع الوحدة المعطى بالأضلاع x = 0 إلى x = 1 و${\displaystyle y=f(x)\,$ nbsp;= 0 and y = f(1) = 1. مساحته هي 1 تماما. ينبغي حتى تكون القيمة الحقيقية للتكامل أقل مما هي عليه. بتقليل عرض المستطيلات التقريبية يعطي نتيجة أفضل، وبالتالي عبر الفترة في خمس خطوات، باستعمال نقاط التقريب 0, ¹⁄₅, ²⁄₅, إلى غير ذلك حتى 1. بوضع مربعا مناسبا لكل خطوة مستخدمين الارتفاع المناسب لكل بترة منحنية، وعليه ¹⁄₅√, ²⁄₅√, إلى غير ذلك حتى   1√= 1. وبجمع مساحات هذه المستطيلات، نحصل على تقريبا أفضل للتكاملات المقصودة,

${\displaystyle \textstyle {\sqrt {\frac {1 {5 \left({\frac {1 {5 -0\right)+{\sqrt {\frac {2 {5 \left({\frac {2 {5 -{\frac {1 {5 \right)+\cdots +{\sqrt {\frac {5 {5 \left({\frac {5 {5 -{\frac {4 {5 \right)\approx 0.7497.\,\!$

لاحظ أننا نأخذ مجموع لقيم دوال عديدة محدودة لـ f, مضروبة في الفرق بين فترتين تقريبيتين متعاقبتين. يمكننا ملاحظة حتى التقريب ما زال كبيرا. وحدثا استخدمنا خطوات أكثر حصلنا على تقريبات أفضل، ولكننا لن نحصل على قيم دقيقة أبدا: بإبدال الـ5 فترات بـ12 فترة نحصل على التقريب 0.6203, وهي تقريب أفضل. مفتاح الفكرة يكمن في الانتنطق من الكثير من نقاط التقريب المحدودة مضروبة بقيم دالتها إلى استعمال عدد لانهائي أوخطى متناهية في الصغر. بالنسبة للحساب الحقيقي للتكامل، تكون النظرية الأساسية للتكامل هي الرابط الأساسي بين عمليات الاشتقاق والتكامل. وبتطبيقها على منحنى الجذر التربيعي,f(x) = x^1/2, تقترح علينا حتى نبحث عن المشتق العكسي F(x) = ²⁄₃x^3/2, ونأخذ ببساطة F(1) − F(0), حيث 0 و1 هي حدود الفترة [0,1].هذه حالة لقاعدة عامة، لإجل f(x) = x^q, مع q ≠ −1, تكون الدالة المتعلقة والتي تدعى المشتق العكسي هي ${\displaystyle F(x)=x^{q+1 /(q+1)\,$ وبالتالي فإن القيمة الدقيقة للمساحة تحت المنحنى رسميا كما يلي

${\displaystyle \int _{0 ^{1 {\sqrt {x \,dx=\int _{0 ^{1 x^{\frac {1 {2 \,dx=\int _{0 ^{1 d\left({\textstyle {\frac {2 {3 x^{\frac {3 {2 \right)={\textstyle {\frac {2 {3 .$

تعريفات منهجية

هناك عدة طرق لتعريف التكامل بشكل منهجي، لكن هذه الطرق مختلفة عن بعضها البعض في الطرق التي تسلكها. بعض هذه الاختلافات نتجت عن محاولات الرياضيين لحل حالات خاصة من المسائل التي تكون فيها المسألة غير قابلة للتكامل، وبعضها الآخر نتجت لأسباب تعليمية -كتسهيل حل المسائل-. إذا أكثر تعريفين شيوعاً للتكامل هي تكامل ريمان وتكامل لوبيغ.

تكامل ريمان

يمكن تعريف تكامل ريمان على أنها أخذ مجموع ريمان للدالة الموجودة ضمن مجال جزئها المحدد Tagged partition. فإذا كان الفترة [a,b] هي فترة مغلقة في خطها الحقيقي; فإن جزئها المحدد ضمن الفترة [a,b] هي سلسلة متناهية، حيث تكون:

${\displaystyle a=x_{0 \leq t_{1 \leq x_{1 \leq t_{2 \leq x_{2 \leq \cdots \leq x_{n-1 \leq t_{n \leq x_{n =b.\,\!$

وهذا سيجزئ الفترة [a,b] إلى n جزء ذوالفترة الجديدة [x_i−1, x_i]، حيث حتى i يعتمد على عدد الأجزاء، جميع واحد من هذه الأجزاء "تم تحديدها" بنقطة مفرِّقة t_i التي تنتمي للفترة [x_i−1, x_i]. إذاً، تُعرّف مجموع ريمان للدالة f الموجودة ضمن الجزء المحدد من الفترة [a,b] على النحوالتالي:

${\displaystyle \sum _{i=1 ^{n f(t_{i )\Delta _{i ;$

وبالتالي، جميع حد من المجموع هي تعبير عن مساحة لمضلع لديه ازدياد تساوي قيمة الدالة عند النقطة المفرقة للجزء المعطى، ولديه عرض تساوي طول الفترة الجزئية. فلتكنΔ_i = x_i−x_i−1 هي عرض الفترة الجزئية i; لكيقد يكون تشبيك هذا النوع من الأجزاء المحددة هي نفسها عرض أكبر فترة جزئية تم تشكيلها بواسطة التجزئية، التي لها القيمة القصوى _i=1…n Δ_i. إذاً، تكامل ريمان للدالة f في الفترة [a,b] هي مساوية للقيمة S: فإذا كان جميع قيم ε > 0، ستكون جميع قيم δ > 0. وإذا كان هناك جزء محدد في الفترة [a,b] أقل من قيمة δ, ستكون:

${\displaystyle \left|S-\sum _{i=1 ^{n f(t_{i )\Delta _{i \right|<\epsilon .$

تكامل لوبيغ

تكامل لوبيغ للدوال غير سالبة القيمة

لتكن ${\displaystyle f\in {{M ^{+ (X,\sum {)$ نعهد تكامل f بالنسبة للمقياس ${\displaystyle \mu$ على أنه العدد الحقيقي الممتد ${\displaystyle \int {fd\mu =\sup \int {\phi d\mu$ حيث sup يسري على جميع الدوال البسيطة ${\displaystyle \phi$ التي تحقق ${\displaystyle (\forall x\in X):0\leq \phi (x)\leq f(x)$ إذا كانت E مجموعة قابلة للقياس نعهد تكامل f على E بالنسبة للمقياس ${\displaystyle \mu$ على أنه العدد الحقيقي الممتد ${\displaystyle \int \limits _{E {fd\mu ={{\int {f\chi _{E d\mu$ إذا تكامل f على E هومجرد تكامل الدالة ${\displaystyle f{{\chi _{E$.لاحظ حتى هذه الدالة غير سالبة وقابلة للقياس طالما كانت f كذلك.

تكامل أخرى

خواص التكامل

من خواص التكامل (المحدد) :

• إذا كانت n ${\displaystyle \ni$ مجموعة الأعداد الحقيقية وكانت ${\displaystyle f$ قابلة للتكامل على ${\displaystyle [a,b]$ فإن :

${\displaystyle \int _{a ^{b {\color {red n f(x)dx={\color {red n \int _{a ^{b f(x)dx$

• إذا كانت الدالة ${\displaystyle f$ قابلة للتكامل على الفترة ${\displaystyle [a,b]$ فإن :

${\displaystyle \int _{a ^{b f(x)dx\,={\color {red - \,\int _{b ^{a f(x)dx$

وإذا كانت ${\displaystyle b>a$ فإن:

${\displaystyle |\int _{a ^{b f(x)\,dx\,|\geq \,\int _{a ^{b |f(x)|\,dx$

• إذا كانت الدالة ${\displaystyle f$ قابلة للتكامل على الفترة ${\displaystyle [a,b]$ وكانت النقطة ${\displaystyle c\in [a,b]$ فإن :

${\displaystyle \int _{a ^{b f(x)dx\,=\int _{a ^{c f(x)dx\,+\,\int _{c ^{b f(x)dx$

• إذا كانت الدالة د قابلة للتكامل على ${\displaystyle [a,b]$ و${\displaystyle f(x)\geq 0$ على هذه الفترة فإن :

${\displaystyle \int _{a ^{b f(x)dx\,\geq \,0$

• إذا كانت الدالتان ${\displaystyle f_{1 ,f_{2$ قابلتين للتكامل على ${\displaystyle [a,b]$ فإن الدالة ${\displaystyle f_{1 \pm f_{2$ تكون قابلة للتكامل على ${\displaystyle [a,b]$ ويكون :

${\displaystyle \int _{a ^{b (f_{1 \pm f_{2 )(x)\,dx=\int _{a ^{b f_{1 (x)\,dx\,\pm \int _{a ^{b f_{2 (x)\,dx$

النظرية الأساسية للتفاضل والتكامل

المراجع

• كتاب الرياضيات الصف الثالث ثانوي، الفصل الدراسي الثاني طبعة 1431-1432 هـ المملكة العربية السعودية

انظر أيضاً

• المكامل
• التكامل الوظيفي