متباينة (جبر)

The feasible regions of linear programming are defined by a set of inequalities.

في الرياضيات، المتباينة أوالمتراجحة بالإنگليزية: Inequality هي علاقة رياضية تعبّر عن اختلاف قيمة عنصرين رياضيين، وغالباً ما تحوي إحدى الرموز (> ، < ، ≥ ، ≤).تعريف الجودة (قاموس الرياضيات المصور) | مسقط الويب = www.mathsisfun.com | access-date = 2019-12-03 </ref> يتم استخدامه في أغلب الأحيان لمقارنة رقمين في سطر الأرقام بحجم. هناك الكثير من الرموز المتنوعة المستخدمة لتمثيل أنواع مختلفة من عدم المساواة:

تدوين 'يعني أن' 'a' 'أقل من' b '.
تدوين "أ" "" "ب" "يعني أن" أ "أكبر من" ب ".

في كلتا الحالتين ، "أ" لا تساوي "ب". تُعهد هذه العلاقات باسم عدم المساواة الصارمة '، بمعنى حتى "a" أقل تمامًا من (resp. ، أكبر تمامًا من)' 'b.

على عكس التفاوتات الصارمة ، هناك نوعان من علاقات عدم المساواة التي ليست صارمة:

تدوين "أ" "أ" "ب" أو"أ" أ "" أ "يعني أن" أ "أقل من أويساوي" ب "(أو، على قدم المساواة ، في معظم "ب" ، أوليس أكبر من "ب" ").
تدوين "أ" "أ" "ب" أو"أ" أ "" أ "يعني أن" أ "أكبر من أويساوي" ب "(أو، على قدم المساواة ، في الأقل "ب" ، أوليس أقل من "ب" ").

(يمكن أيضًا تمثيل العلاقة "ليست أكبر من" بعلامة "أ" "أ" "ب" ، رمز "أكبر من" مائل ببترة مائلة ، "لا". وينطبق الشيء نفسه على "ليس أقل من "و" "a" "≮" "b".)

إذا كانت القيم المعنية هي عناصر مجموعة مرتبة ، مثل عدد سليم أورقم حقيقي ، فيمكن مقارنتها في الحجم. من ناحية أخرى ، فإن التدوين الرقمي "أ" "أ" "ب" يعني حتى "أ" لا تساوي "ب" ، وفي بعض الأحيان يعتبر شكلاً من أشكال عدم المساواة الصارمة.لا يقول حتى أحدهما أكبر من الآخر ، أوحتى أنه يمكن مقارنتهما في الحجم في العلوم الهندسية ، يتمثل الاستخدام الأقل رسمية للتدوين في الإشارة إلى حتى كمية ما "أكبر بكثير" من الأخرى ، عادةً بواسطة عدة أوامر الحجم. هذا يعني أنه يمكن إهمال القيمة الأقل بتأثير ضئيل على دقة تقريب (مثل حالة الحد فائق اللونية في الفيزياء).

تدوين "أ" "أ" "ب" يعني حتى "أ" أقل بكثير من "ب". (في نظرية القياس ، ومع ذلك ، يتم استخدام هذا الترميز لـ الاستمرارية المطلقة ، وهومفهوم غير ذي صلة.)
تدوين "أ" "أ" "ب" يعني حتى "أ" أكبر بكثير من "ب".)

في جميع الحالات المذكورة أعلاه ، أي رمزان يعكسان بعضهما البعض متماثلان ؛ b 'و' 'b' 'متكافئان ، إلخ.

الخصائص على سطر الرقم

يحكم عدم المساواة ما يلي خصائص. جميع هذه الخصائص معلقة أيضًا إذا تم استبدال جميع أوجه عدم المساواة غير الصارمة (≤ و≥) بأوجه عدم المساواة الصارمة اللقاءة لها (<و>) - وفي حالة تطبيق وظيفة - تقتصر وظائف الرتابة على "بدقة" 'وظيفة رتابة.

الحديث

العلاقات ≤ و≥ هما العكس ، وهذا يعني أنه بالنسبة لأي رقم حقيقي 's' 'a' 'و' 'b' ':

'≤' 'b' 'و' 'b' 'متساويان.

عبورية

تنص الخاصية متعدية عدم المساواة على أنه بالنسبة لأي رقم حقيقي "أ" و"ب" و"ج":

إذا و '، ثم' .

إذا كان "أي من" المبنى يمثل عدم مساواة صارمة ، فإن الاستنتاج هوعدم مساواة صارمة:

إذا و '، ثم' .

إذا "أ" و ب ، ثم أ .

الجمع والطرح

If x < y, then x + a < y + a.

الثابت المشهجر c قد يحدث المضافة إلى أو طرح من كلا الجانبين من عدم المساواة. لذلك ، لأي رقم حقيقي a ، 'b' '،' c :

إذا '≤' ، ثم '+' '+' c و'a' '-' 'c' ≤ b - c .

بمعنى آخر ، يتم الحفاظ على علاقة عدم المساواة ضمن الإضافة (أوالطرح) والأرقام الحقيقية هي مجموعة مرتبة قيد الإضافة.

الضرب والقسمة

If x < y and a > 0, then ax < ay.

If x < y and a < 0, then ax > ay.

تشير الخصائص التي تتعامل مع الضرب والقسمة) إلى أنه بالنسبة لأي أرقام حقيقية ، "أ" و"ب" وغير صفري "ج":

إذا 0 b و c > 0 ، ثم ac ≤ bc و '/' 'c' '≤' 'ب / ج .

إذا "أ" ≤ b و c <0 ، ثم ac ≥ bc و'a' '/' 'c' '≥' 'ب / ج .

بمعنى آخر ، يتم الحفاظ على علاقة عدم المساواة في ظل الضرب والقسمة مع ثابت إيجابي ، ولكن يتم عكس عندما يتعلق الأمر ثابت ثابت. بشكل عام ، ينطبق هذا على حقل مرتب. لمزيد من المعلومات ، راجع "" § الحقول المطلوبة ".

معكوس المضاف

تنص خاصية معكوس المضاف على أنه بالنسبة لأي أرقام حقيقية "أ" و"ب":

إذا "أ" "أ" "ب" ، ثم - "أ" "أ" - "ب".

معكوس المضاعفة

إذا كان كلا الرقمين موجبًا ، فعندئذٍ تكون علاقة عدم المساواة بين معكوس المضاعف عكس العلاقة بين الأرقام الأصلية. وبشكل أكثر تحديدًا ، لأي أرقام حقيقية غير صفرية "أ" و"ب" "كلاهما إيجابي (أوكلاهما سلبي):

إذا "أ" ≤ '، ثم 1 /' 'أ' '≥ 1 /' 'ب' '.

يمكن أيضًا كتابة جميع الحالات المتعلقة بعلامات "a" و"b" في chained notation ، على النحوالتالي:

إذا كانت 0 < a ≤ b ، ثم 1 / a ≥ 1 / b > 0.

إذا "أ" '≤' 'ب' '<0 ، ثم 0> 1 /' 'أ' '≥ 1 /' 'ب' '.

إذا "أ" '<0 <' 'ب "" ، فثم 1 /' 'أ' '<0 <1 /' 'ب' '.

تطبيق وظيفة لكلا الجانبين

The graph of y = ln x

أي رتابة حليف متزايد وظيفة ، من خلال تعريفه ,يمكن تطبيقه على كلا الجانبين من عدم المساواة دون كسر علاقة عدم المساواة (شريطة حتىقد يكون كلا التعبرين في مجال من هذه الوظيفة). ومع ذلك ، فإن تطبيق وظيفة تناقص رتابة على جانبي اللامساواة يعني حتى علاقة عدم المساواة ستنعكس. تعد جميع من قواعد معكوس المضاف ، وعكسة المضاعف للأعداد الموجبة ، مثالين على تطبيق دالة تناقص رتابة.

إذا كان عدم المساواة صارمًا ( و 'و' 'الوظيفة رتابة تمامًا ، فإن عدم المساواة يبقى صارمًا. إذا كان هناك واحد فقط من هذه الشروط صارم ، فإن عدم المساواة الناتجقد يكون غير صارم. في الواقع ، تعد جميع من القواعد المقلوبة المضافة والمتعددة أمثلة على تطبيق دالة تناقص رتابة "صارمة".

بعض الأمثلة على هذه القاعدة هي:

حمل كلا الجانبين من عدم المساواة إلى قوة n > 0 (equiv. ، - n <0) ، عندما تكون a و b أرقام حقيقية إيجابية:

0 ≤ a ≤ b ⇔ 0 ≤ a ⁿ ≤ b ⁿ.

0 ≤ a ≤ b ⇔ ^{- n} ≥ b ^{- n </ سوب> ≥ 0.}

أخذ اللوغاريتم الطبيعي على جانبي اللامساواة ، عندما تكون "أ" و"ب" تعبير عن أرقام حقيقية إيجابية:

0 < a ≤ b ⇔ ln ( a ) ≤ ln ( b ).

0 < a < b ⇔ ln ( a ) <ln ( b ).

(هذا سليم لأن اللوغاريتم الطبيعي هووظيفة متزايدة بشكل صارم.)

التعاريف الرسمية والتعميمات

(غير صارم) 'ترتيب جزئي' هوعلاقة ثنائية ≤ على مجموعة P وهي انعكاسية ، المضادة للتماثل ، و متعدية.أي أنه بالنسبة للجميع "أ" و"ب" و"ج" في "ب" ، يجب حتى يستوفي الشروط الثلاثة التالية:

a ≤ '( الانعكاسية)
إذا 'و' '، ثم' 'a' '=' ( عدم التناسق)
إذا "أ" 'و' '، ثم' ( العابرة)

تسمى المجموعة ذات الترتيب الجزئي 'مجموعة مرتبة جزئيًا' .تلك هي البديهيات الأساسية التي يجب حتى يفي بها جميع نوع من النظام. تتضمن البديهيات الأخرى الموجودة لتعريفات أخرى للأوامر على مجموعة "" P "":

لكل "أ" و"ب" في "ب" أو"أ" "أ" "أ" أو"أ" "أ" ([[ترتيب كلي] ]).
للجميع a و'b' 'في' 'P' 'والتي' 'a' ، يوجد 'c' 'في' 'P' 'بحيث c (ترتيب كثيف).
كل [فارغ (رياضيات) | مجموعة فرعية]] من "P" مع الحد الأعلى له "الحد الأدنى" الحد الأعلى (الأسمى) في P (أقل الحدود العليا ملزمة) .

الحقول المطلوبة

إذا كان ( F ، + ، ×) هو حقل و≤ هوترتيب كلي على F ، ثم ( F ، + ، × ، ≤) تسمى "[" حقل مرتبة "" إذا وفقط إذا:

a ≤ تعني a + c ≤ b + c ؛
0 ≤ a و0 ≤ b تعني 0 ≤ a × b .

كل من ( 'Q' و+ و× و≤) و( 'R' و+ و× و≤) حقل مرتب ، لكن ≤ لا يمكن تعريفها من أجل إجراء ( 'C' ، + ، × ، ≤) حقل مرتب ،لأن −1 هي مربع "أنا" وبالتالي ستكون إيجابية. بالإضافة إلى كونه حقلًا مرتبًا ، فإن 'R' لديه أيضًا خاصية الحد الأدنى العلوي. في الواقع ، يمكن تعريف 'R' على أنه الحقل المطلوب الوحيد بهذه الجودة.

تدوين بالسلاسل

تدوين 'و' b "" ، والتي ، من خلال خاصية النقل أعلاه ، تتبع أيضًا ذلك "" "" "" "". بموجب القوانين المذكورة أعلاه ، يمكن للمرء إضافة أوطرح نفس الرقم على جميع المصطلحات الثلاثة ، أوضرب أوتقسيم المصطلحات الثلاثة على نفس الرقم غير الصفري وعكس جميع أوجه عدم المساواة إذا كان هذا الرقم سالبًا. وبالتالي ، على سبيل المثال ، مكافئة لـ a 'c' '-' 'e' '.

يمكن تعميم هذا الترميز على أي عدد من المصطلحات: على سبيل المثال ، ₁ ≤ '₂ ≤ ... ≤' 'a' '_{' 'n' '}' تعني حتى a i ≤ '_{' 'i} +1 لـ i = 1 ، 2 ، ... ، n - 1. بالترانزيت ، هذه الحالة تعادل a _i ≤ '_{' 'j' '} لأي 1' i 'j' '≤' 'n' '.

عند حل أوجه عدم المساواة باستخدام الترميز بالسلاسل ، من الممكن والضروري أحيانًا تقييم المصطلحات بشكل مستقل. على سبيل المثال ، لحل معضلة عدم المساواة أربعة x <2x + 1 '3x' '+ 2 ، لا يمكن عزل' 'x' 'في أي جزء من عدم المساواة من خلال الجمع أوالطرح. بدلاً من ذلك ، يجب حل أوجه عدم المساواة بشكل مستقل ، بحيث تسفر عن "x" و"1/2" و"x" و"x" على التوالي ، والتي يمكن دمجها في الحل النهائي −1 ≤ x <1/2 . في بعض الأحيان ، يتم استخدام الترميز السلاسل مع عدم المساواة في اتجاهات مختلفة ، وفي هذه الحالةقد يكون المعنى هوالاقتران المنطقي من عدم المساواة بين المصطلحات المجاورة. على سبيل المثال ، a b = c تعني حتى a ، 'b' ' "، و" ج "" ≤ "د". يوجد هذا الترميز في بعض لغة البرمجة مثل Python. <! -

يمثل عدم المساواة على خط الرقم الحقيقي

يمكن تمثيل جميع عدم مساواة تتضمن أرقامًا حقيقية على خط الأرقام الحقيقي الذي يعرض المناطق المظلمة على الخط. يتم رسم علامة "<" أو">" بواسطة دائرة مفتوحة على الرقم. يتم رسم "≤" أو"≥" بدائرة مغلقة أوسوداء.

->

عدم المساواة الحادة

ينطق إذا عدم المساواة "حاد" ، إذا لم يكن "مريحًا" ولا يزال صالحًا بشكل عام. بشكل رسمي ، يُطلق على عدم المساواة [[كميا عالميا] φ حاد إذا كان ، بالنسبة لكل عدم مساواة صالحة عالميا '، إذا ' ⇒ φ يحمل ، ثم ψ ⇔ φ يحمل أيضًا. على سبيل المثال ، عدم المساواة ∀ a ∈ ℝ. a ² ≥ 0 حاد ، في حين حتى عدم المساواة ∀a ∈ ℝ. a ² ≥ −1 ليست حادة.^[]

عدم المساواة بين الوسائل

نطقب:انظر أيضًا

هناك الكثير من أوجه عدم المساواة بين الوسائل. على سبيل المثال ، بالنسبة لأي أرقام موجبة "أ" ₁ ، "أ" "₂ ، ... ،" "a" "_{" "n" "} لدينا H ≤ G ≤ A ≤ Q ، حيث

-

'"`UNIQ--postMath-00000001-QINU`"'

(الوسط التوافقي)،

-

'"`UNIQ--postMath-00000002-QINU`"'

(الوسط الهندسي) ،

-

'"`UNIQ--postMath-00000003-QINU`"'

(المتوسط الحسابي)،

-

'"`UNIQ--postMath-00000004-QINU`"'

( التربيعي).

عدم المساواة في كوشي - شوارز

ينص عدم المساواة بين كوشي وشوارز على أنه بالنسبة لجميع المتجهات "u" و"v" في مساحة المنتج الداخلية ، سليم أن

'"`UNIQ--postMath-00000005-QINU`"'

حيث '"`UNIQ--postMath-00000006-QINU`"' هوالمنتج الداخلي. تضم الأمثلة على المنتجات الداخلية المنتج الحقيقي والمعقد نقطة المنتج ؛ في المساحة الإقليدية R ⁿ مع المنتج الداخلي القياسي ، فإن عدم المساواة في Cauchy-Schwarz هو

'"`UNIQ--postMath-00000007-QINU`"'

عدم المساواة في السلطة

"عدم المساواة في القوة" "" "عبارة عن عدم مساواة تحتوي على مصطلحات من النموذج" 'a' '^{' 'b' '} ، حيث' 'a' 'و' 'b' ' أرقام إيجابية حقيقية أوتعبيرات متغيرة. غالبًا ما تظهر في التمارين [[أولمبياد الرياضيات].

أمثلة

لأي 'x' حقيقي ،

'"`UNIQ--postMath-00000008-QINU`"'

إذا كان x > 0 و p > 0 ، إذن

'"`UNIQ--postMath-00000009-QINU`"'

في حدود p → 0 ، تلتقي الحدود العليا والسفلى مع ln ( x ).

إذا كان x > 0 ، إذن

'"`UNIQ--postMath-0000000A-QINU`"'

إذا كان x ≥ 1 ، إذن

'"`UNIQ--postMath-0000000B-QINU`"'

إذا كانت x ، 'y' '،' 'z' '> 0 ، إذن

'"`UNIQ--postMath-0000000C-QINU`"'

لأي أرقام مميزة حقيقية "أ" و"ب" ،

'"`UNIQ--postMath-0000000D-QINU`"'

إذا كانت x ، 'y' '> 0 و0 <' 'p' '<1 ، إذن

'"`UNIQ--postMath-0000000E-QINU`"'

إذا كانت x ، 'y' '،' 'z' '> 0 ، إذن

'"`UNIQ--postMath-0000000F-QINU`"'

إذا كان أ ، 'ب' '> 0 ، إذن

'"`UNIQ--postMath-00000010-QINU`"'

تم حل هذا التباين من قبل I.Ilani في JSTOR، AMM، Vol.97، No.1، 1990.

إذا كان أ ، 'ب' '> 0 ، إذن

'"`UNIQ--postMath-00000011-QINU`"'

تم حل هذا التباين بواسطة S.Manyama في AJMAA ، المجلدسبعة ، العدد 2 ، العدد 1.100 وبواسطة V.Cirtoaje في JNSA ، المجلد أربعة ، الإصدار 2 ، 130-137 ، 2011.

إذا "أ" ، "ب" ، "ج"> 0 ، إذن

'"`UNIQ--postMath-00000012-QINU`"'

إذا كان أ ، 'ب' '> 0 ، إذن

'"`UNIQ--postMath-00000013-QINU`"'

عدم المساواة المعروفة

غالبًا ما يستخدم [[عالم الرياضيات] أوجه عدم المساواة في الكميات المربوطة والتي لا يمكن حساب الصيغ الدقيقة لها بسهولة. يتم استخدام بعض أوجه عدم المساواة في كثير من الأحيان بحيثقد يكون لديهم أسماء:

عدم المساواة في أزوما
عدم المساواة في برنولي
عدم المساواة في بيل
عدم المساواة في بول
عدم المساواة بين كوشي وشوارز
عدم المساواة في تشيبشيف
عدم المساواة تشيرنوف
عدم المساواة كريمر راو
عدم المساواة في هوفينج
عدم مساواة هولدر
عدم المساواة في الوسائل الحسابية والهندسية
عدم المساواة في جنسن
عدم المساواة في كولموجوروف
عدم المساواة ماركوف
عدم المساواة مينكوفسكي
عدم المساواة في نسبيت
عدم مساواة بيدو
عدم المساواة Poincaré
عدم المساواة في صامويلسون
عدم المساواة المثلث

أعداد معقدة وعدم المساواة

مجموعة رقم مركب s '"`UNIQ--postMath-00000014-QINU`"' مع عملياتها الجمع والضرب هي حقل ، لكن من المحال تحديد أي علاقة ، بحيث يصبح '"`UNIQ--postMath-00000015-QINU`"' [[[حقل مرتب]]]. لجعل '"`UNIQ--postMath-00000016-QINU`"' حقل مرتبة ، يجب حتى تفي بالخاصيتين التاليتين:

إذا '≤' ، ثم '+' 'c' + 'c' '؛
إذا كان 0 ≤ a و0 ≤ b ، ثم 0 ≤ a b .

لأن ≤ هوترتيب كلي ، لأي رقم "" أ "" ، إما 0 "أو" "أو" "" "(في هذه الحالة ، تشير الخاصية الأولى أعلاه إلى حتى 0" - " 'أ). في كلتا الحالتين 0 ≤ a ² ؛ هذا يعني حتى '"`UNIQ--postMath-00000017-QINU`"' و'"`UNIQ--postMath-00000018-QINU`"'؛ لذلك '"`UNIQ--postMath-00000019-QINU`"' و'"`UNIQ--postMath-0000001A-QINU`"' ، مما يعني '"`UNIQ--postMath-0000001B-QINU`"' ؛ تناقض. ومع ذلك ، يمكن تعريف العملية so لإرضاء الخاصية الأولى فقط (وهي "إذا" "أ" "أ" "ب" "، ثم" أ "" + "" أ "" " '+' 'c' '"). في بعض الأحيان يستخدم تعريف ترتيب المعجم:

'"`UNIQ--postMath-0000001C-QINU`"' ، إذا '"`UNIQ--postMath-0000001D-QINU`"' أو'"`UNIQ--postMath-0000001E-QINU`"' و'"`UNIQ--postMath-0000001F-QINU`"' (بمعنى حتى '"`UNIQ--postMath-00000020-QINU`"' ، حيث '"`UNIQ--postMath-00000021-QINU`"' و'"`UNIQ--postMath-00000022-QINU`"' أرقام حقيقية بالنسبة إلى '"`UNIQ--postMath-00000023-QINU`"') ، يمكننا تحديد العلاقات التالية:
'"`UNIQ--postMath-00000024-QINU`"' ، إذا '"`UNIQ--postMath-00000025-QINU`"' لـ '"`UNIQ--postMath-00000026-QINU`"'.
'"`UNIQ--postMath-00000027-QINU`"' ، إذا '"`UNIQ--postMath-00000028-QINU`"' لـ '"`UNIQ--postMath-00000029-QINU`"'.
'"`UNIQ--postMath-0000002A-QINU`"' ، إذا '"`UNIQ--postMath-0000002B-QINU`"' لـ '"`UNIQ--postMath-0000002C-QINU`"' و'"`UNIQ--postMath-0000002D-QINU`"' ، إذا '"`UNIQ--postMath-0000002E-QINU`"' لـ '"`UNIQ--postMath-0000002F-QINU`"'.

وبالمثل ، يمكننا تحديد العلاقات لـ '"`UNIQ--postMath-00000030-QINU`"' و'"`UNIQ--postMath-00000031-QINU`"' و'"`UNIQ--postMath-00000032-QINU`"'. يتماشى هذا التدوين الرقمي مع تلك المستخدمة من قبل Matthias Ehrgott في Multicriteria Optimization (انظر المراجع).

الخاصية trichotomy (كما هومذكور أعلاه) غير صالحة للعلاقات المتجهة. على سبيل المثال ، عندما '"`UNIQ--postMath-00000033-QINU`"' و'"`UNIQ--postMath-00000034-QINU`"' ، لا يوجد أي صلاحية علاقة عدم المساواة بين هذين المتجهين. أيضًا ، يفترض أن يلزم تعريف معكوس المضاعفة على المتجه قبل دراسة هذه الخاصية. ومع ذلك ، بالنسبة لبقية الخصائص المذكورة أعلاه ، توجد خاصية موازية لعدم المساواة في المتجهات.

نظريات الوجود العام

نطقب:قسم غير معروف لنظام عام من عدم المساواة متعدد الحدود ، يمكن للمرء حتى يجد شرطا للحل في الوجود. أولاً ، يمكن اختزال أي نظام لعدم المساواة متعدد الحدود إلى نظام من عدم المساواة من الدرجة الثانية عن طريق زيادة عدد المتغيرات والمعادلات (على سبيل المثال ، عن طريق تعيين مربع من متغير يساوي متغير جديد). يمكن كتابة تباين متعدد الحدود واحد من الدرجة الثانية في متغيرات 'n' - 1 كـ

'"`UNIQ--postMath-00000035-QINU`"'

حيث X هي متجه للمتغيرات '"`UNIQ--postMath-00000036-QINU`"' ، و'A' 'مصفوفة. هذا له حل ، على سبيل المثال ، عندماقد يكون هناك عنصر إيجابي واحد على الأقل في الخط الرئيسي لـ "A".

يمكن كتابة أنظمة عدم المساواة من حيث المصفوفات "A" و"B" و"C" وما إلى ذلك ، ويمكن كتابة شروط وجود حلول كتعبيرات معقدة فيما يتعلق بهذه المصفوفات. يخبرنا حل عدم المساواة متعدد الحدود في اثنين من المتغيرات ما إذا كانت منطقتان مخروطي المبتر تتداخلان أوداخل بعضهما البعض. الحل العام غير معروف ، لكن يمكن استعمال هذا الحل من الناحية النظرية لحل المشكلات التي لم يتم حلها مثل معضلة رقم التقبيل. ومع ذلك ، ستكون الظروف معقدة للغاية بحيث تتطلب قدراً كبيراً من وقت الحوسبة أوخوارزميات ذكية.

أنظر أيضا

Binary relation
Bracket (mathematics), for the use of similar ‹ and › signs as brackets
Fourier–Motzkin elimination
Inclusion (set theory)
Inequation
Interval (mathematics)
List of inequalities
List of triangle inequalities
Partially ordered set
Relational operators, used in programming languages to denote inequality

المصادر

^ "The Definitive Glossary of Higher Mathematical Jargon — Inequality". Math Vault (in الإنجليزية). 2019-08-01. Retrieved 2019-12-03.
^ "Inequality Definition (Illustrated Mathematics Dictionary)". www.mathsisfun.com. Retrieved 2019-12-03.
^ خطأ استشهاد: وسم <ref> غير سليم؛ لا نص تم توفيره للمراجع المسماة : 0
^ "Inequality". www.learnalberta.ca. Retrieved 2019-12-03.
^ "Absolutely continuous measures - Encyclopedia of Mathematics". www.encyclopediaofmath.org. Retrieved 2019-12-03.
^ "Absolutely continuous measures - Encyclopedia of Mathematics". www.encyclopediaofmath.org. Retrieved 2019-12-03.
^ Weisstein, Eric W. "Much Greater". mathworld.wolfram.com (in الإنجليزية). Retrieved 2019-12-03.
^ Drachman, Bryon C.; Cloud, Michael J. (2006). . Springer Science & Business Media. pp. 2–3. ISBN .
^ خطأ استشهاد: وسم <ref> غير سليم؛ لا نص تم توفيره للمراجع المسماة : 1
^ "ProvingInequalities". www.cs.yale.edu. Retrieved 2019-12-03.
^ Simovici, Dan A. & Djeraba, Chabane (2008). "Partially Ordered Sets". Mathematical Tools for Data Mining: Set Theory, Partial Orders, Combinatorics. Springer. ISBN .
^ Weisstein, Eric W. "Partially Ordered Set". mathworld.wolfram.com (in الإنجليزية). Retrieved 2019-12-03.
^ Feldman, Joel (2014). "Fields" (PDF). math.ubc.ca. Retrieved 2019-12-03.
^ Stewart, Ian (2007). . Hachette UK. p. 106. ISBN .

مصادر

Hardy, G., Littlewood J. E., Pólya, G. (1999). Inequalities. Cambridge Mathematical Library, Cambridge University Press. ISBN .CS1 maint: multiple names: authors list (link)
Beckenbach, E. F., Bellman, R. (1975). An Introduction to Inequalities. Random House Inc. ISBN .CS1 maint: multiple names: authors list (link)
Drachman, Byron C., Cloud, Michael J. (1998). . Springer-Verlag. ISBN .CS1 maint: multiple names: authors list (link)
Grinshpan, A. Z. (2005), "General inequalities, consequences, and applications", Advances in Applied Mathematics 34 (1): 71–100, doi:10.1016/j.aam.2004.05.001
Murray S. Klamkin. Quickie' inequalities" (PDF). Math Strategies.
Arthur Lohwater (1982). "Introduction to Inequalities". Online e-book in PDF format.
Harold Shapiro (2005). "Mathematical Problem Solving". The Old Problem Seminar. Kungliga Tekniska högskolan.
"3rd USAMO". Archived from the original on 2008-02-03.
Pachpatte, B. G. (2005). Mathematical Inequalities. North-Holland Mathematical Library. 67 (first ed.). Amsterdam, The Netherlands: Elsevier. ISBN . ISSN 0924-6509. MR 2147066. Zbl 1091.26008.
Ehrgott, Matthias (2005). Multicriteria Optimization. Springer-Berlin. ISBN .
Steele, J. Michael (2004). . Cambridge University Press. ISBN .

وصلات خارجية

Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), "Inequality", Encyclopaedia of Mathematics, Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1556080104
Graph of Inequalities by Ed Pegg, Jr.
AoPS Wiki entry about Inequalities