هذه الموضوعة يتيمة إذ لا تصل إليها منطقة أخرى. ساعد بإضافة وصلة إليها في منطقة متعلقة بها. (ديسمبر 2019)
المصفوفة المرافقة (بالإنجليزية: Comatrix) في الجبر الخطي لمصفوفة مربعة A i A {\displaystyle A
في ما يلي، نعتبر A {\displaystyle A n {\displaystyle n K {\displaystyle K
تعريف
باعتبار مصفوفة مربعة A {\displaystyle A n {\displaystyle n العامل المرافق Cofactor ( i , j ) {\displaystyle (i,j) ( i , j ) {\displaystyle (i,j) c o m ( A ) {\displaystyle com(A)
( com A ) i , j := det ( A i , j ′ ) = ( − 1 ) i + j det ( A i , j ) {\displaystyle \left(\operatorname {com A\right)_{i,j :=\det \left(A'_{i,j \right)=(-1)^{i+j \det \left(A_{i,j \right)
A i , j ′ {\displaystyle A'_{i,j n {\displaystyle n A {\displaystyle A j {\displaystyle j ( i , j ) {\displaystyle (i,j) 1 {\displaystyle 1
A i , j A i , j A {\displaystyle A
صيغ لابلاص
يمكن حساب محدد مصفوفة مربعة A n n − 1 {\displaystyle n-1
صيغ لابلاص لحساب المحددات باستعمال المصفوفات المرافقة
البعد
الصيغة
العمود j {\displaystyle j
det A = ∑ i = 1 n a i ; j ( com A ) i , j {\displaystyle \det A=\sum _{i=1 ^{n a_{i;j (\operatorname {com A)_{i,j
السطر i {\displaystyle i
det A = ∑ j = 1 n a i ; j ( com A ) i , j {\displaystyle \det A=\sum _{j=1 ^{n a_{i;j (\operatorname {com A)_{i,j
خاصيات
المصفوفة المرافقة لمنقولة A c o m ( t A ) = t c o m ( A ) {\displaystyle com({ ^{t A)={ ^{t com(A)
عملية المرافقة ثابتة حسب عملية الجداء: بالنسبة لمصفوفتين مربعتين A {\displaystyle A B {\displaystyle B c o m ( A B ) = c o m ( A ) × c o m ( B ) {\displaystyle com(AB)=com(A)\times com(B)
إذا كان K {\displaystyle K
إذا كانت A n
إذا كانت رتبة A {\displaystyle A n − 1 {\displaystyle n-1 n ≥ 2 {\displaystyle n\geq 2 r a n k ( c o m ( A ) ) = 1 {\displaystyle rank(com(A))=1
إذا كانتr a n k ( A ) ≤ n − 2 {\displaystyle rank(A)\leq n-2 n ≥ 3 {\displaystyle n\geq 3 c o m ( A ) = 0 {\displaystyle com(A)=0
أمثلة
مصفوفة حيزها 2 × 2 {\displaystyle 2\times 2
com ( a b c d ) = ( d − c − b a ) {\displaystyle \operatorname {com {\begin{pmatrix a&b\\c&d\end{pmatrix ={\begin{pmatrix d&-c\\-b&a\end{pmatrix
مصفوفة حيزها 3 × 3 {\displaystyle 3\times 3
com ( a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 ) = ( + | a 22 a 23 a 32 a 33 | − | a 21 a 23 a 31 a 33 | + | a 21 a 22 a 31 a 32 | − | a 12 a 13 a 32 a 33 | + | a 11 a 13 a 31 a 33 | − | a 11 a 12 a 31 a 32 | + | a 12 a 13 a 22 a 23 | − | a 11 a 13 a 21 a 23 | + | a 11 a 12 a 21 a 22 | ) {\displaystyle \operatorname {com {\begin{pmatrix a_{11 &a_{12 &&a_{13 \\a_{21 &a_{22 &&a_{23 \\a_{31 &a_{32 &&a_{33 \\\end{pmatrix ={\begin{pmatrix +{\begin{vmatrix a_{22 &a_{23 \\a_{32 &a_{33 \end{vmatrix &-{\begin{vmatrix a_{21 &a_{23 \\a_{31 &a_{33 \end{vmatrix &+{\begin{vmatrix a_{21 &a_{22 \\a_{31 &a_{32 \end{vmatrix \\-{\begin{vmatrix a_{12 &a_{13 \\a_{32 &a_{33 \end{vmatrix &+{\begin{vmatrix a_{11 &a_{13 \\a_{31 &a_{33 \end{vmatrix &-{\begin{vmatrix a_{11 &a_{12 \\a_{31 &a_{32 \end{vmatrix \\+{\begin{vmatrix a_{12 &a_{13 \\a_{22 &a_{23 \end{vmatrix &-{\begin{vmatrix a_{11 &a_{13 \\a_{21 &a_{23 \end{vmatrix &+{\begin{vmatrix a_{11 &a_{12 \\a_{21 &a_{22 \end{vmatrix \end{pmatrix
للتذكير، فالمحدد يساوي: | a b c d | = a d − b c {\displaystyle {\begin{vmatrix a&b\\c&d\end{vmatrix =ad-bc
مراجع
^ "comatrice-bibmath". مؤرشف من الأصل في 31 ديسمبر 2019.
^ "Mathématiques L1: Cours complet avec 1 000 tests et exercices corrigés". مؤرشف من الأصل فيتسعة يناير 2020.
