سهم (دالة)

دالة السهم أوالجيب المنكوس أوالجيب المعكوس (بالإنجليزية: Versed Sine أوVersine)‏ هي دالة مثلثية موجودة في بعض الجداول المثلثية القديمة. سهم زاوية هوفرق بين جيب تمام زاوية نفسها والواحد، بتعبيرٍ آخر : ${\displaystyle \operatorname {versin \theta =1-\cos \theta$

هناك الكثير من الدوال ذات الصلة، وأبرزها سهم التمام (Coversine) ونصف السهم (Haversine). هذه الأخيرة، لها أهمية خاصة في صيغة نصف السهم للملاحة .

دائرة الوحدة مع الدوال المثلثية، بين هذا الرسم سبب تسمية دالة السهم.

نظرة عامة

السهم هوتعبير عن دالة مثلثية ظهرت سابقا في بعض الجداول المثلثية القديمة. يرمز إليها بالرموز التالية: $versin (θ)$ ، $sinver (θ)$ ، $vers(θ)$ ، $ver (θ)$ أو $siv (θ)$ . باللغة اللاتينية، يُعهد بالاسماء التالية: sinus versus (جيب معكوس)، versinus ،versus أوsagitta (السهم).

يكافئ سهم الزاوية العبارات التالية: $1 - cos(θ)$ و $2 sin 2 (θ / 2)$ .

هناك عدة دوال متعلقة بالسهم:

جيب التمام المنكوس (بالإنجليزية: Versed cosine)‏: يرمز لها بالرمز vercos(θ) أو vcs(θ).

سهم التمام أوجيب المنكوس للتمام (بالإنجليزية: Coversed sine)‏: يرمز لها بالرمز coversin(θ)، أو(covers(θ)، أوcosiv(θ) أوcvs(θ).

جيب التمام المنكوس للتمام (بالإنجليزية: Coversed cosine)‏: يرمز لها بالرمز covercosin(θ) أوcovercos(θ) أوcvc(θ).

توجد أيضًا مجموعة أخرى من أربع دوال "نصف القيمة":

نصف السهم (بالإنجليزية: Haversine)‏: يرمز إليها بالرمز haversin(θ).
نصف سهم التمام (بالإنجليزية: Hacoversed sine)‏: يرمز إليها بالرمز hacoversin(θ).
نصف جيب التمام المنكوس (بالإنجليزية: Haversed cosine)‏: يرمز إليها بالرمز havercosin(θ).
نصف جيب التمام المنكوس للتمام (بالإنجليزية: Hacoversed cosine)‏: يرمز إليها بالرمز hacovercosin(θ).

التاريخ والتطبيقات

السهم وسهم التمام (Coversine)

الجيب وجيب التمام، والسهم للزاوية θ من حيث دائرة الوحدة مع دائرة نصف قطرها 1، مركزها O. كما يوضح هذا الرسم هوالسبب في تسمية الدالة بـ "السهم" . إذا كان قوس ADB للزاوية المزدوجة Δ = 2θ يُنظر إليها على أنها "قوس المحارب" والبترة AB كوترها، ومن ثم فإن البترة المستقيمة CD هو"عمود السهم".

في بعض الأحيان، كانت تسمى تاريخيا دالة الجيب العادية sinus rectus ("الجيب المستقيم" بالترجمة الحرفية) للتمييز بينها وبين السهم (sinus versus).قد يكون معنى هذه المصطلحات واضحًا إذا نظر المرء إلى الدوال في السياق الأصلي لتعريفها، وهي دائرة الوحدة :

بالنسبة للوتر العمودي AB لدائرة الوحدة،قد يكون جيب الزاوية θ (يمثل نصف الزاوية اللقاءة Δ) هوالمسافة AC (نصف الوتر). من ناحية أخرى، فإن سهم الزاوية θ هوالمسافة CD من مركز الوتر إلى مركز القوس. وبالتالي، فإن مجموع $cos (θ)$ (يساوي طول الخط OC ) و $versin (θ)$ (يساوي طول الخط CD) يساوي طول نصف القطر OD (طوله 1). يتضح بهذه الطريقة بأن الجيب عمودي ( rectus، حرفيًا "مستقيم") بينماقد يكون السهم أفقيًا ( versus، حرفيًا "مقلوب، خارج الموضع") ؛ كلاهما مسافات من C إلى الدائرة.

كانت التسمية العربية للدالة ترجمة للحدثة الهندية "sara" التي تستخدم للإشارة إلى سهم المحارب. إذا كان القوس ADB للزاوية المزدوجة Δ = 2θ ينظر إليه على أنه "قوس المحارب" واعتبار AB على أنه "وتر"، والسهم CD هوعمود السهم.

نصف السهم (Haversine)

كانت دالة نصف السهم ( ${\displaystyle \sin ^{2 \left({\theta \over 2 \right)$

المتطابقات الرياضية

التعريفات

${\displaystyle {\textrm {versin (\theta ):=2\sin ^{2 \!\left({\frac {\theta {2 \right)=1-\cos(\theta )\,$
${\displaystyle {\textrm {coversin (\theta ):={\textrm {versin \!\left({\frac {\pi {2 -\theta \right)=1-\sin(\theta )\,$
${\displaystyle {\textrm {vercosin (\theta ):=2\cos ^{2 \!\left({\frac {\theta {2 \right)=1+\cos(\theta )\,$
${\displaystyle {\textrm {covercosin (\theta ):={\textrm {vercosin \!\left({\frac {\pi {2 -\theta \right)=1+\sin(\theta )\,$
${\displaystyle {\textrm {haversin (\theta ):={\frac {{\textrm {versin (\theta ) {2 =\sin ^{2 \!\left({\frac {\theta {2 \right)={\frac {1-\cos(\theta ) {2 \,$
${\displaystyle {\textrm {hacoversin (\theta ):={\frac {{\textrm {coversin (\theta ) {2 ={\frac {1-\sin(\theta ) {2 \,$
${\displaystyle {\textrm {havercosin (\theta ):={\frac {{\textrm {vercosin (\theta ) {2 =\cos ^{2 \!\left({\frac {\theta {2 \right)={\frac {1+\cos(\theta ) {2 \,$
${\displaystyle {\textrm {hacovercosin (\theta ):={\frac {{\textrm {covercosin (\theta ) {2 ={\frac {1+\sin(\theta ) {2 \,$

الدورات الدائرية

{\displaystyle {\begin{aligned \mathrm {versin (\theta )&=\mathrm {coversin \left(\theta +{\frac {\pi {2 \right)=\mathrm {vercosin \left(\theta +\pi \right)=\mathrm {covercosin \left(\theta +{\frac {3\pi {2 \right)\\\mathrm {haversin (\theta )&=\mathrm {hacoversin \left(\theta +{\frac {\pi {2 \right)=\mathrm {havercosin \left(\theta +\pi \right)=\mathrm {hacovercosin \left(\theta +{\frac {3\pi {2 \right)\end{aligned

المشتقات والتكاملات

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d {\mathrm {d x \mathrm {versin (x)=\sin {x$	${\displaystyle \int \mathrm {versin (x)\,\mathrm {d x=x-\sin {x +C$
${\displaystyle {\frac {\mathrm {d {\mathrm {d x \mathrm {coversin (x)=-\cos {x$	${\displaystyle \int \mathrm {coversin (x)\,\mathrm {d x=x+\cos {x +C$
${\displaystyle {\frac {\mathrm {d {\mathrm {d x \mathrm {haversin (x)={\frac {\sin {x {2$	${\displaystyle \int \mathrm {haversin (x)\,\mathrm {d x={\frac {x-\sin {x {2 +C$

خصائص أخرى

يمكن تعبير تلك الدوال بواسطة متسلسلة ماكلورين:

${\displaystyle {\begin{aligned \operatorname {versin (z)&=\sum _{k=1 ^{\infty {\frac {(-1)^{k-1 z^{2k {(2k)! \\\operatorname {haversin (z)&=\sum _{k=1 ^{\infty {\frac {(-1)^{k-1 z^{2k {2(2k)! \end{aligned$

طالع أيضًا

عمق قوس

مراجع

^ قدري حافظ (2018-05-01). . وكاله الصحافه العربيه. مؤرشف من الأصل في 11 فبراير 2020.
^ "الْجُيُوب المنكوسة - - The Arabic Lexicon" (باللغة الإنجليزية). مؤرشف من الأصل فيسبعة نوفمبر 2019. اطلع عليه بتاريخ 13 مايو2020.
^ أبوالريحان البيروني. القانون المسعودي. 1. صفحة 321.
^ موسى،; رشدي, راشد، (2010). مجسطي ابي الوفاء البوزجاني. مركز دراسات الوحدة العربية، بيروت.
^ Calvert, James B. (2007-09-14) [2004-01-10]. "Trigonometry". مؤرشف من الأصل في 02 أكتوبر 2007. اطلع عليه بتاريخ 08 نوفمبر 2015.

[1] قدري حافظ (2018-05-01). . وكاله الصحافه العربيه. مؤرشف من الأصل في 11 فبراير 2020.

[2] "الْجُيُوب المنكوسة - - The Arabic Lexicon" (باللغة الإنجليزية). مؤرشف من الأصل فيسبعة نوفمبر 2019. اطلع عليه بتاريخ 13 مايو2020.

[3] أبوالريحان البيروني. القانون المسعودي. 1. صفحة 321.

[4] موسى،; رشدي, راشد، (2010). مجسطي ابي الوفاء البوزجاني. مركز دراسات الوحدة العربية، بيروت.

[5] Calvert, James B. (2007-09-14) [2004-01-10]. "Trigonometry". مؤرشف من الأصل في 02 أكتوبر 2007. اطلع عليه بتاريخ 08 نوفمبر 2015.

حساب المثلثات

التاريخ الاستعمالات الدّوال (الدوال العكسية) حساب مثلثات معممة حساب المثلثات الكروية
مراجع
المتطابقات القيم الدقيقة للثوابت الجداول دائرة الوحدة
القوانين والنظريات
الجيوب جيوب التمام الظّلال ظلال التمام مبرهنة فيثاغورس
الحسبان
تعويضات مثلثية التكاملات (تكاملات الدوال العكسية) المشتقات