في الرياضيات، جَيْب زاوية (بالإنجليزية: Sine of an angle)‏ هوأحد الدوال المثلثية الرئيسية، وهوطول الضلع اللقاء لهذه الزاوية مقسوما على طول الوتر في مثلث ذي زاوية قائمة، حيثقد يكون الوتر هوالضلع اللقاء للزاوية القائمة. ويرمز له بالرمز (جا) أو(حا) أو(بالإنجليزية: sin)‏.

في المثلث القائم في الشكل حيث يُرمز للوتر (الضلع الأكبر في المثلث) بالرمز c. فيكون تعريف جيب الزاوية A كالآتي:

جيب الزاوية A = الضلع a ÷ الوتر (أي نسبة الضلع a إلى الضلع c).

في الرياضيات وفي الفيزياء وفي الهندسة، تعتبر التوابع المثلثية أوالدوال المثلثية دوالا لزاوية هندسية من أبرز الدوال المستخدمة فيها. وهي دوال تتردد في صيغ كثيرة جدا في العلوم ولا مجال لتقدم العلوم بدونها. ومن دراسة حساب المثلثات يمكن وصف ظواهرِ دورية مثل حساب أفلاك الكواكب في الفلك وحسابات التيار المتردد في الهندسة الكهربائية وغيرها.

يمكن تعريف هذه الدوال نسبة بين أضلاع مثلث قائم يَحتوي تلك الزاويةَ أَوبشكل أكثر عمومية إحداثيات على دائرة واحدية.

الدوال المثلثية هي دوال ترتبط بالزاوية، وهي مهمة في دراسة المثلثات وتمثيل الظواهر الدورية المتكررة كالموجات. ويمكن تعريف الدوال المثلثية على أنها نسب بين ضلعين في مثلث قائم فيه الزاوية المعنية، أوبشكل أوسع نسبةً بين إحداثيات نقاط على دائرة الوحدة، ويعتبر دوما عند الإشارة إلى المثلثات حتى الحديث يدور حول مثلث في سطح مستوي (مستوى إحداثي أوإقليدي)، وذلك ليكون مجموع الزوايا 180 درجة دائما.

أصل التسمية

استعيرت حدثة جيب من لفظ في لغة هندية قديمة تعهد بالسنسكريتية هوjīvā بمعنى وتر وكانت ترادفها أيضاً حدثة jyā في تلك اللغة والتي استخدمت في الأصل لوصف وتر قوس المحارب. ينطق حتى الحدثة jīvā استعيرت إلى العربية "جيبا" أثناء ترجمة العرب للخط الهندية حيث كان فيهم فهماء مولعين بالرياضيات.

الدوال الرئيسية للمثلث القائم

هناك ثلاثة دوال مثلثية أساسية هي:

• جا أوجيب الزاوية A = النسبة بين الضلع اللقاء للزاوية a مقسوما على الوتر c.
• جتا أوجيب التمام الزاوية A = النسبة بين الضلع المجاور للزاوية a مقسوما على الوتر c.
• ظا أوظل الزاوية A = النسبة بين الضلع اللقاء للزاوية a والضلع المجاور لها b.

تأطيره

بصفة عامة، قيمة جيب الزاوية محصورة بين 1- و1، وكذلك قيمة جيب تمام الزواية. وبصفة خاصة، جيب الزاوية الحادة محصور بين 0 و1، وكذلك جيب التمام لها.

تطبيق في الهندسة

بواسطة تعريف جيب الزاوية يمكن حساب الارتفاع ${\displaystyle h_{c$ في المثلث ABC بالمتر حيث:

متر ${\displaystyle a=5,4$

والزاوية ${\displaystyle \beta =42^{\circ$:

${\displaystyle {\begin{aligned {\frac {h_{c {a &=\sin(\beta )\\h_{c &=a\cdot \sin(\beta )\\h_{c &=5{, 4\cdot \sin(42^{\circ )\approx 3{, 613\end{aligned$

متر

مثلما في المثال السابق يمكن حساب الأطوال (والارتفاعات) سواء كانت المقاييس المستخدمة بالمتر أوسنتيمتر أوكيلومتر.

قانون الجيب

ينص قانون الجيب على أنه: في أي مثلث أضلاعه هي a وb وc والزوايا اللقاءة لهذه الأضلاع هي A وB وC على الترتيبقد يكون:

${\displaystyle {\frac {\sin A {a ={\frac {\sin B {b ={\frac {\sin C {c .$

أويمكن صياغته بالشكل التالي:

${\displaystyle {\frac {a {\sin A ={\frac {b {\sin B ={\frac {c {\sin C =2R,$

حيث R هونصف قطر الدائرة المحيطية لهذا المثلث.

خصائص دالة الجيب

دورية

دالة الجيب هي دالة دورية دورها 2π.

${\displaystyle \forall x\in \mathbb {R \quad \sin(x+2\pi )=\sin x$

هذه الخاصية تتدفق بشكل طبيعي من التعريف انطلاقا من دائرة الوحدة. بتعبير أدق، هناك رقمان حقيقيان لهما نفس الجيب إذا كان مجموعهم أوفرقهم ينتمي إلى ${\displaystyle 2\pi \mathbb {Z$.

زوجية

دالة الجيب هي دالة فردية أي:

${\displaystyle \forall x\in \mathbb {R \quad \sin(-x)=-\sin x$.

دالة عكسية

دالة الجيب هي دالة دورية وبالتالي غير تباينية. أيضا، نعتبر اقتصارها إلى [- π/2,π/2] التي هي تقابلية عند نفس المجال في المدى [-1,1] ، ثم نعهد دالتها العكسية، قوس الجيب:

${\displaystyle {\begin{matrix \mathrm {arcsin :&[-1,1]&\to &[-{\frac {\pi {2 ,{\frac {\pi {2 ]\\&x&\mapsto &\arcsin x\end{matrix$

التي تحقق:

${\displaystyle \forall x\in \left[-{\frac {\pi {2 ,{\frac {\pi {2 \right]\quad \arcsin(\sin x)=x$ ;

${\displaystyle \forall x\in [-1,1]\quad \sin(\arcsin x)=x$

مشتق

مشتق الدالة هودالة جيب التمام.

${\displaystyle \forall x\in \mathbb {R \quad \sin 'x=\cos x$.

مشتق عكسي

${\displaystyle \int \sin(x)dx=-\cos(x)$.

نهايات

من أجل إلى جميع عدد حقيقي x، تكون دالة الجيب مستمرة عند النقطة a، لذلك تكون النهاية في هذه النقطة هي sin (a)، بتعبير آخر:

${\displaystyle \lim _{x\to a \sin(x)=\sin(a)$

أما بالنسبة لنهاية الدالة عند ±∞، فهي غير موجودة بسبب دورية الدالة.

الشكل الأسي للدالة

• لدينا:

${\displaystyle {\begin{aligned e^{i\theta &=\cos \theta +i\sin \theta \\[5pt]e^{-i\theta &=\cos \theta -i\sin \theta .\end{aligned$

من تلك الصيغ (صيغ أويلر)، يمكن كتابة دالة الجيب على هذا الشكل:

${\displaystyle \sin \theta ={\frac {e^{i\theta -e^{-i\theta {2i ={\frac {\sinh(i\theta ) {i$

حيث i هي الوحدة التخيلية التي مربعها يساوي الواحد، بتعبير آخر: ${\displaystyle i^2=-<!--\; -\; -->1}$

دائرة الوحدة

لحساب جيب الزاوية عندما تتغير الزاوية A بين 0 و360 درجة يمكن استعمال دائرة الوحدة. تستخدم تلك الطريقة كثيرا في الفيزياء والفلك والهندسة الكهربائية. وتفسح دائرة الوحدة المجال لحساب الدوال الموجية، ونبين هنا رسما بيانيا لما يسمى الموجة الجيبية.

التعريف باستعمال المتسلسلات غير المنتهية

يمكن التعبير عن جيب الزاوية لزاوية x -معبرا عنها بالتقدير الدائري- بواسطة سلسلة تايلور التالية:

${\displaystyle {\begin{aligned \sin x&=x-{\frac {x^{3 {3! +{\frac {x^{5 {5! -{\frac {x^{7 {7! +\cdots \\[8pt]&=\sum _{n=0 ^{\infty {\frac {(-1)^{n {(2n+1)! x^{2n+1 ,\\[8pt]\end{aligned$

إذا كانت الزاوية مقاسة بالدرجات فسوف تحتوي السلسلة علي كسور مكونة من قوي "ط" مقسومة علي 180 كالتالي:

${\displaystyle {\begin{aligned \sin x_{\mathrm {deg &=\sin y_{\mathrm {rad \\&={\frac {\pi {180 x-\left({\frac {\pi {180 \right)^{3 \ {\frac {x^{3 {3! +\left({\frac {\pi {180 \right)^{5 \ {\frac {x^{5 {5! -\left({\frac {\pi {180 \right)^{7 \ {\frac {x^{7 {7! +\cdots .\end{aligned$

الكسور المستمرة

كما يمكن التعبير عن جيب الزاوية x بواسطة الكسر المستمر المعمم التالي:

${\displaystyle \sin x={\cfrac {x {1+{\cfrac {x^{2 {2\cdot 3-x^{2 +{\cfrac {2\cdot 3x^{2 {4\cdot 5-x^{2 +{\cfrac {4\cdot 5x^{2 {6\cdot 7-x^{2 +\ddots .$

التاريخ

أول من نشر المختصرات sin وcos وtan هوعالم الرياضيات الفرنسي ألبرت جيرارد ولقد كان ذلك في القرن السادس عشر.

العلاقة مع الأعداد المركبة

.

دالة الجيب فهمً على عدد مركب (عقدي)

${\displaystyle \sin(\theta )$ هوالجزء التخيلي لـ ${\displaystyle e^{i\theta$.

${\displaystyle {\begin{aligned \sin(z)&=\sum _{n=0 ^{\infty {\frac {(-1)^{n {(2n+1)! z^{2n+1 \\&={\frac {e^{iz -e^{-iz {2i \\&={\frac {\sinh \left(iz\right) {i \end{aligned$

قيم الجيب لبعض الزوايا

x (الزاوية)			جيب الزاوية x
درجات	دائري	غراد	القيمة بالضبط	بالنظام العشري
0°	0	0g	0	0
180°	${\displaystyle \pi$	200g
15°	${\displaystyle {\frac {\pi {12$	162⁄3g	${\displaystyle {\frac {{\sqrt {6 -{\sqrt {2 {4$	0.258819045102521
165°	${\displaystyle {\frac {11\cdot \pi {12$	1831⁄3g
30°	${\displaystyle {\frac {\pi {6$	331⁄3g	${\displaystyle {\frac {1 {2$	0.5
150°	${\displaystyle {\frac {5\cdot \pi {6$	1662⁄3g
45°	${\displaystyle {\frac {\pi {4$	50g	${\displaystyle {\sqrt {\frac {1 {2$	0.707106781186548
135°	${\displaystyle {\frac {3\cdot \pi {4$	150g
60°	${\displaystyle {\frac {\pi {3$	662⁄3g	${\displaystyle {\frac {\sqrt {3 {2$	0.866025403784439
120°	${\displaystyle {\frac {2\cdot \pi {3$	1331⁄3g
75°	${\displaystyle {\frac {5\cdot \pi {12$	831⁄3g	${\displaystyle {\frac {{\sqrt {6 +{\sqrt {2 {4$	0.965925826289068
105°	${\displaystyle {\frac {7\cdot \pi {12$	1162⁄3g
90°	${\displaystyle {\frac {\pi {2$	100g	1	1

مراجع

انظر أيضا

• موجة جيبية
• جيب التمام