0.999...

في الرياضيات، التكرار العشري ...0.999 (يخط في بعض الأحيان مع عدد أكثر أوأقل من التسعات قبل البتر النهائي، أو0.9، أو(9).0، أو ${\displaystyle \scriptstyle \mathbf {0 .\mathbf {\dot {9$

براهين

برهان جبري

الكسور والقسمة المطولة

أحد مسببات التي تجعل الاعداد العشرية اللانهائية تمثل امتداداً للعدد العشري المحدود هولتمثيل الكسور. باستخدام القسمة المطولة، تقسيم سهل من الأعداد السليمة مثل 1/9 تكون نتيجته عدد عشري متكرر، وهو...0.111. وبإستعمال ذلك يمكن إثبات التساوي كالتالي:

{\displaystyle {\begin{aligned {\frac {1 {9 &=0.111\dots \\9\times {\frac {1 {9 &=9\times 0.111\dots \\1&=0.999\dots \end{aligned

التلاعب بالارقام

عندما يتم ضرب عدد عشري بنسبة 10، فان الأرقام لاتتغير وإنما يتحرك جميع رقم مرتبة واحدة إلى اليسار. وبالتاليعشرة × ...0.999 يساوي ...9.999، والذي هوأكبر بتسعة مرات من العدد الأصلي. يتم استعمال ماتقدم في المثال التالي:

{\displaystyle {\begin{aligned x&=0.999\ldots \\10x&=9.999\ldots \\10x-x&=9.999\ldots -0.999\ldots \\9x&=9\\x&=1\\0.999\ldots &=1\end{aligned

برهان تحليلي

من خواص العدد الحقيقي المكتوب بالصيغة العشرية هي: ان يحوي على إشارة (موجب-سالب)، عدد محدد من الارقام التي تمثل العدد السليم، فارزة عشرية، وعدد من الأرقام تمثل تكون الكسر. ولأجل مناقشة ...0.999 فاننا سنعهد العدد السليم من الرقم ب b0 وبالتالي يمكن تمثيل الرقم:

{\displaystyle b_{0 .b_{1 b_{2 b_{3 b_{4 b_{5 \dots .

وهنا يجب التنبيه على ان الجزء الكسري من الرقم (مابعد الفارزة) غير "محدد" على عكس الجزء السليم من الرقم.

السلاسل اللامتناهية والمتواليات

من أشهر الطرق الرياضية لتمثيل الرقم العشري المتوسع هي السلسلة اللانهائية وتكون كالتالي:

{\displaystyle b_{0 .b_{1 b_{2 b_{3 b_{4 \ldots =b_{0 +b_{1 \left({\tfrac {1 {10 \right)+b_{2 \left({\tfrac {1 {10 \right)^{2 +b_{3 \left({\tfrac {1 {10 \right)^{3 +b_{4 \left({\tfrac {1 {10 \right)^{4 +\cdots .

بالنسبة ...0.999 فانه يمكن استعمال نظرية المتسلسلة المتقاربة الخاصة بـالسلسلة الهندسية:

إذا كان ${\displaystyle 1>|r|$

{\displaystyle ar+ar^{2 +ar^{3 +\cdots ={\frac {ar {1-r

وبما إذا ...0.999 يمكن تمثليها بالطريقة اعلاه كحاصل جمع مع نسبة مشهجرة هي r = ¹⁄₁₀قد يكون الإثبات:

{\displaystyle 0.999\ldots =9({\tfrac {1 {10 )+9({\tfrac {1 {10 )^{2 +9({\tfrac {1 {10 )^{3 +\cdots ={\frac {9({\tfrac {1 {10 ) {1-{\tfrac {1 {10 =1

ظهر هذا الإثبات على يد ليونهارت أويلر عام 1970م ي كتابه عناصر من الجبر.

خط الأعداد لكسور الرقم أربعة (.3, .33, .333, ...) تتقارب إلى الواحد

المتتالية (x2, x1, x0, ...) لها نهاية متتالية x إذا كانت المساقة |x-xn| تصغر حدثا زاد n، لذا فان ...0.999=1 يمكن ان تفسر نفسها وتثبت كالتي:

{\displaystyle 0.999\ldots =\lim _{n\to \infty 0.\underbrace {99\ldots 9 _{n =\lim _{n\to \infty \sum _{k=1 ^{n {\frac {9 {10^{k =\lim _{n\to \infty \left(1-{\frac {1 {10^{n \right)=1-\lim _{n\to \infty {\frac {1 {10^{n =1.\,

المستوى الأخيرة الـ¹⁄_10ⁿ إلى n عندما تقترب n من ال ∞ تعتمد على احتمالية ارخميدس للارقام الحقيقية. الطرق المعتمدة على المتتالية استطردت في شرح المسالة فمثلاً اتى في كتاب "The University Arithmetic" التالي: "+999. المستمر إلى المالانهاية =1 لان جميع إالحاق للرقمتسعة يجعل القيمة أقرب إلى 1". اما كتاب "Arithmetic for Schools" الصادر عام 1895 يقول: "عندما يؤخذ عدد كبير من التسعات؛ فان الفرق بين ال 1 و...999. يصبح قليلاً بشكل لايصدق"..

فترات متداخلة وأقل الحدود العليا

فترات متداخلة:1 = ...1.000 = ...0.222

إذا كان العدد الحقيقي x يقع في الفترة المغلقة [0, 10] (يعني ان العدد يساوي أوأكثر من 0 وأقل أويساوي 10)، فلوأردنا تقسيم هذه الفترة إلى عشرة فترات تتقاطع فقط في نهايتها فان هذه الفترات العشرة ستكون [0, 1]، [1, 2]، [2, 3] حتى نصل للفترة [9, 10]. العدد x يجب ان ينتمي لأحد هذه الفترات بالضرورة، فلوإفترضنا انه ينتمي للفترة [2, 3]، هنا لنأخذ الرقم 2 ونقسمه إلى عشر فترات هي [2, 2.1]، [2.1, 2.2]، ....، [2.9, 3]. بالإستمرار بهذه العملية سنحصل على عدد لامتناهي من المتتاليات للفترات المتداخلة، تُوصف من قبل عدد لامتناه من الأعداد b3، b2، b1، b0، ... لتخط مثل:

{\displaystyle x=b_{0 .b_{1 b_{2 b_{3 \dots .

بهذه الطريقة فان تعريف 1=..0.999 و1=1.000 يعكسان على التوالي حقيقة ان 1 يقع في كلا الفترتين [0, 1] و[1, 2]، لذا فان للمرء ان يختار اي من هذين القترتين لإيجاد ارقامها. للتأكد بان هذا الترميز لا يفشل علامة التساوي "="، فإننا نحتاج لطريقة لإعادة بناء رقم مميز وحقيقي لكل رقم عشري. يمكن تحقيق ذلك باستعمال الحدود "limits".

الآن لتكن هناك فترات متقاطعة مغلقة يقل طولها تدريجياً هذه الفترات تحوي على رقم حقيقي واحد في تقاطعن. ولنعهد ...b0.b1b2b3 على انه رقم مميز (ليس له مثيل) موجود في جميع الفترات [b0, b0 + 1]، و[b0.b1, b0.b1 + 0.1] وهلم جراً. على هذا الاساس فليكن ...0.999 هورقمنا المميز وبالتالي فهوموجود في جميع الفترات [0, 1]، [0.9, 1]، [0.99, 1] و[9..0.99, 1] ولكل متتالية محددة من التسعات. وبما ان ال 1 هوالرقم المشهجر في جميع تلك الفترات وبما إنا جعلنا ...0.999 رقمنا المميز المشهجر منذ البداية إذن 1=...0.999.

الاستعانة بنظرية الفترات المغلقة وبإستعمال مفهومها المعروف بأصغر الحدود العليا أو"suprema" يمكن الوصول لاثبات آخر لمسئلة تساوي ال...0.999، فلوعهدنا العدد ...b0.b1b2b3 ليكون أصغر حد على للمجموعة { ...,b0, b0.b1, b0.b1b2 . فسيكون لنا ان نثبت بشكل ضمني بإن 1=...0.999. يقول توم أبوستول:

«حقيقة إمكانية وجود تمثيلين عشريين مختلفين للرقم الحقيقي الواحد هومجرد إنعكاس لحقيقة وجود أصغر حد أعلى "supremum" واحد لمجموعتين مختلفتين من الاعداد الحقيقية»

إثباتات من إنشاء الأعداد الحقيقية

تعمل المناهج على تعريف الأعداد الحقيقية باعتبارها مبنية على الأعداد الكسرية. الأعداد الطبيعية (0، 1، 2، ...) تبدأ من 0 وتسمر للاعلى بحيثقد يكون لكل عدد رقم سابق "successor". الآن يمكنا ان نوسع الأعداد الطبيعية لجعلها تضم أقرانها من الأرقام السالبة وبذلك نحصل على الأعداد السليمة. ولنقوم بتوسيع أكبر بحيث تضم الأرقام الكسرية. أعداد النظام هذه مرتبطة ببعضها بالعمليات الحسابية الضرب، القسمة، الجمع، الطرح. إذن فان هذه الاعداد تتضمن ترتيب ونظام بحيث يمكن مقارنة رقم بآخر ونجد بانه أقل أوأكثر أومساوي له.

المستوى الكبيرة من الكسرية إلى الحقيقية، وهناك على الأقل طريقتان شهيرتان لتحقيق هذه المستوى. تلكا الطريقاتان هما حد ديديكايند ومتتالية كوشي المنشورتان عام 1872. إثباتات 1=...0.999 التي تستعمل هذه الطرق غير موجودة في التحليل الحقيقي لكن بعض الكتاب وصفوا التعبير عن الفكرة بإستخدام "طرق الإنشاء" بانها أكثر مناسبة منطقياً وان نتائج الإثباتات من خلالها تكون "مستقلة بذاتها" بشكل أكبر.

حد ديديكايند

في حد ديديكايند، جميع عدد حقيقي x يُعهد على إنه مجموعة غير منتهية من جميع الأعداد الكسرية الأقل منه. فمثلاً العدد الحقيقي 1 هومجموع جميع الأعداد الكسرية الأقل من 1. جميع توسع عشري موجب يُمكن حسابه بسهولة عن طريق حد ديديكايند وذلك بأخذ مجموعة من الأعداد الكسرية الأقل من فترة معينة من التوسع. وعلى هذا الأساس فإن ...0.999 هومجموعة من الأعداد الكسرية (لنسميها r) بحيث r < 0، أوr < 0.9 أوr < 0.99 أوr أصغر أعداد أخرى تمثل بالشكل:

{\displaystyle {\begin{aligned 1-\left({\tfrac {1 {10 \right)^{n \end{aligned

كل عنصر من ...0.999 هوأقل من 1، وبالتالي في عنصر للعدد الحقيقي 1. وبشكل عكسي فإن عنصر العدد 1 هوعدد كسري:

{\displaystyle {\begin{aligned {\tfrac {a {b <1\end{aligned

وبالتالي:

{\displaystyle {\begin{aligned {\tfrac {a {b <1-\left({\tfrac {1 {10 \right)^{b \end{aligned

وبما إذا ...0.999 و1 لهما نفس العدد الكسري فهما إذن متساويان.

تعريف الأعداد الحقيقية كما هي موجودة في حد ديديكايند تم نشرها للمرة الأولى بوساطة ريتشارد ديدكايند عام 1872. العملية المستعملة أعلاه لإعطاء رقم حقيقي لكل توسع عُشري منقول من ورقة إيضاحية تحت مسمى "هل ...0.999 =1؟" خطها فريد ريجمان في مجلة رياضية موجهة للمدرسين في الجامعات ولطلابهم.

متتالية كوشي

الطريقة الأخرى لتعريف الأعداد الحقيقية هوتعريفها على إنه نهاية "limit" لمتتالية كوشي للأعداد كسرية. طريقة إنشاء الأعداد الحقيقية هذه تستخدم ترتيب الأرقام الكسرية بطريقة اقل صراحة. أولا المسافة بين x وy تُعهدان القيمة المطلقة |x − y|، وهي قيمة موجبة دائماً. بعدها تُعهد الأعداد الحقيقية لتكون متتالية لأعداد كسرية لها خاصية متتالية كوشي بإستعمال هذه المسافة. فلهذه المتتالية (x2, x1, x0, ...) ارتباط بين الأعداد الطبيعية والكسرية، فلأي عدد كسري موجب δ عدد N بحيث xm − xn| ≤ δ| لِكُل m, n > N. (المسافة بين الأطراف تصبح أقل من أي عدد موجب كسري).)

فإذا كانت (xn) و(yn) متتاليتا كوشي، فإنهما يُعهدان على إنهما متساويتان مثل الأعداد الحقيقية إذا كانت المتتالية (xn − yn) لها نهاية "limit" = صفر. فإذا كان العدد العُشري ...b0.b1b2b3 الذي يُولد متتالية من الأعداد الكسرية لها خاصية كوشي؛ فإن هذا يمنحنا القدرة على تعريف قيمة العدد الحقيقي المساوية له. عملى هذا الأساس تكون مهمتنا إثبات إذا لهذه المتتاليتان:

{\displaystyle \left(1-0,1-{9 \over 10 ,1-{99 \over 100 ,\dots \right)=\left(1,{1 \over 10 ,{1 \over 100 ,\dots \right)

لها نهاية = 0. باعتبار ان المتتالية مكونة موn من الحدود بحيث n=1, 2, 3، فاننا يجب حتى نعهد بأن:

{\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty {\frac {1 {10^{n =0.

وهذه النهاية بسيطة لأولئك الفاهمين لتعريف النهايات. وبالتالي فإن 1 =...0.999.

تعريف الأعداد الحقيقية كمتتالية كوشي نُشر للمرة الأولى من قبل كُلٌ من إيدوارد هاين وجورج كانتور بشكل منفصل عام 1872. التقريب للتوسع العُشري أعلاه المتضمن لإثبات 1 =...0.999، يستند لعمل Griffiths وHilton المنشور عام 1970 تحت اسم "comprehensive textbook of classical mathematics: A contemporary interpretation". الكتاب أُنشئ خصيصاً لتقديم نظرة ثانية بطريقة عصرية للمفاهيم المعروفة.

تعميم

نتيجة 1 =...0.999 تعمم ببساطة في طريقين، أولاً جميع عدد (ماعدا الصفر) لهُ عدد محدد من الأرقام العُشرية (ينتهي بأصفار) يعادلهُ عدد مكافئ له ينتهي بتكرار التسعات. مثلاً ...0.24999 يساوي 0.25.

ثانياً، النظرية تطبق ايضاً على النُظم العددية الأخرى. مثلاً في نظام العد الثنائي ...0.111 يساوي 1 وفي نظام العد الثلاثي ...0.222 يساوي 1. وكثيراً ماعمدت الأبحاث الرياضية لإثبات هكذا تساويات وعدم الأكتفاء بمثال ...0.999.

عملية التساوي هذه تعمم أكثر لتحضر أيضاً في أنظمة الأرقام الموضعية غير القياسية، حيث إذا هذه الانظمة تحوي أيضاً على عدة تمثيلات للعدد الواحد وبشكل معقد أكثر. مثلاً:

في نظام العد الثلاثي المتزن فإن: 1/2= ...0.111 = ...1.111
في نظام الرقم المضروب "factorial number system" فإن: 1 = ...1.000 = ...0.1234.

استحالة وجود تمثيل وحيد للعدد

كل تلك الأنظمة العددية المذكورة أعلاه لها أكثر من تمثيل لبعض الأعداد الحقيقية ويُعزا ذلك للأختلاف الأساسي بين الأعداد الحقيقية كمجموعة مرتبة وكمجموعة مكونة من سلاسل لاحصر لها من الأرقام.

المراجع

^ Rudin p. 61, Theorem 3.26; J. Stewart p. 706
^ Euler p. 170
^ The limit follows, for example, from Rudin p. 57, Theorem 3.20e. For a more direct approach, see also Finney, Weir, Giordano (2001) Thomas' Calculus: Early Transcendentals 10ed, Addison-Wesley, New York. Section 8.1, example 2(a), example 6(b).
^ Davies p. 175; Smith and Harrington p. 115
^ Beals p. 22; I. Stewart p. 34
^ Bartle and Sherbert pp. 60–62; Pedrick p. 29; Sohrab p. 46
^ Apostol pp. 9, 11–12; Beals p. 22; Rosenlicht p. 27
^ Apostol p. 12
^ The historical synthesis is claimed by Griffiths and Hilton (p.xiv) in 1970 and again by Pugh (p. 10) in 2001; both actually prefer Dedekind cuts to axioms. For the use of cuts in textbooks, see Pugh p. 17 or Rudin p. 17. For viewpoints on logic, Pugh p. 10, Rudin p.ix, or Munkres p. 30
^ Enderton (p. 113) qualifies this description: "The idea behind Dedekind cuts is that a real number x can be named by giving an infinite set of rationals, namely all the rationals less than x. We will in effect define x to be the set of rationals smaller than x. To avoid circularity in the definition, we must be able to characterize the sets of rationals obtainable in this way..."
^ Rudin pp. 17–20, Richman p. 399, or Enderton p. 119. To be precise, Rudin, Richman, and Enderton call this cut 1*, 1⁻, and 1_R, respectively; all three identify it with the traditional real number 1. Note that what Rudin and Enderton call a Dedekind cut, Richman calls a "nonprincipal Dedekind cut".
^ Richman p. 399
↑ O'Connor, J. J.; Robertson, E. F. (أكتوبر 2005). "History topic: The real numbers: Stevin to Hilbert". MacTutor History of Mathematics. مؤرشف من الأصل في 29 سبتمبر 2007. اطلع عليه بتاريخ 30 أغسطس 2006. الوسيط |تاريخ أرشيف= و|تاريخ-الأرشيف= تكرر أكثر من مرة (مساعدة)
^ Richman
^ Griffiths & Hilton §24.2 "Sequences" p. 386
^ Griffiths & Hilton pp. 388, 393
^ Griffiths & Hilton p. 395
^ Griffiths & Hilton pp.viii, 395
^ Petkovšek p. 408
^ Protter and Morrey p. 503; Bartle and Sherbert p. 61
^ Kempner p. 611; Petkovšek p. 409